5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第1课时)-2021-2022学年高一数学上学期同步精讲课件(人教A版2019必修第一册27张ppt)

(共27张PPT)
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(第1课时)
复习导入
前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的.这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换.观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角的和(或差)的三角函数与任意角，那么任意角与的和(或差)的三角函数与的三角函数会有什么关系呢？下面来研究这个问题.
新知探索
思考1：如果已知任意角的正弦、余弦，能由此推出的正弦、余弦吗？
下面，我们来探究与角的正弦、余弦之间的关系.
不妨令
如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点以轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于点
新知探索
思考1：如果已知任意角的正弦、余弦，能由此推出的正弦、余弦吗？
下面，我们来探究与角的正弦、余弦之间的关系.
不妨令
如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点以轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于点
终边
终边
终边
新知探索
连接.若把扇形绕着点旋转角，则点分别与点重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以
注：
根据两点间的距离公式，得：
化简得：.
新知探索
当时，容易证明上式仍然成立.
所以，对于任意角有
此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记为.
例析
例1.利用公式证明.
(1); (2).
证明：(1)
(2)
例析
例2.已知是第三象限角，求的值.
解：由，，得：
又由，是第三象限角，得：
所以.
新知探索
思考2：由公式出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
下面以公式为基础来推导其他公式.
例如，比较与，并注意到与之间的联系：
=，则由公式，有
.
于是得到了两角和的余弦公式，简记作.
新知探索
思考3：上面得到了两角和与差的余弦公式.我们知道，用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化.你能根据及诱导公式五(或六)，推导出用任意角的正弦、余弦表示的公式吗？
于是得到了两角和的正弦公式，简记作.
新知探索
于是得到了两角和的正弦公式，简记作.
思考4：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从出发，推导出用任意角的正切表示的公式吗？
新知探索
因为，所以有：
(同除以“”)
.
于是得到了两角和的正切公式，简记作.
新知探索
因为，所以有：
(同除以“”)
.
于是得到了两角和的正切公式，简记作.
新知探索
公式，，给出了任意角的三角函数值与其和角的三角函数值之间的关系.为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式.
类似地，，，都叫做差角公式.
新知探索
辨析1：判断正误.
(1)对于任意实数，都不成立. ( )
(2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角是任意的. ( )
(3)对任意都成立. ( )
答案：×，√，×.
辨析2：
(1)若则
(2)设角的终边过点，则
答案：(1)；(2).
例析
例3.已知是第四象限角，求的值.
解：由，是第四象限角，
得：
所以
于是有
例析
例3.已知是第四象限角，求的值.
解：
思考5：由以上解答可以看到，在本题条件下有那么对于任意角，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？
若(即角互余)，则
证明：因为，所以
例析
例4.利用和(差)角公式计算下列各式的值：
(1)
(2)
解：(1)由公式，得：
(2)由公式，得：
例析
例4.利用和(差)角公式计算下列各式的值：
(3)
解：(3)由公式及得：
练习
例1.求下列各式的值：
(1)(2)
解：(1)原式
(2)∵
∴
题型一：给角求值
练习
例1.求下列各式的值：
(3)
(4)
解：(3)∵
∴原式
(4)∵
∴
∴原式
练习
变1.(1)的值是( ).
A.0 B. C. D.
答案：C.
解：∵∴原式
变1.(2)若是第二象限角且，则
答案：
解：∵是第二象限角且，∴
∴.
练习
例2.已知且则
答案：
解：∵且∴
∴可得：又，
可得：
∴
题型二：给值(式)求值问题
练习
变2.已知是锐角，且求的值.
解：∵是锐角，∴
又∵是锐角，∴∴
∴
∴
练习
例3.已知是锐角，且求的值.
解：∵是锐角，且
∴
∴
∵∴
又∴，则
∴
题型三：给值(式)求角问题
练习
变3.已知且求.
解：∵∴
∵
∴
∴
，即
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)理解记忆两角和与差的正弦、余弦和正切公式；
(2)了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式的推导过程.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P217的练习15题；
(3)课本P220的练习15题.