5.6函数y=Asin(ωx+φ)-2021-2022学年高一数学上学期同步精讲课件(人教A版2019必修第一册26张ppt)

(共26张PPT)
5.6 函数
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
问题导入
我们知道，单位圆上的点，以(1,0)为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画.对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？下面先看一个实际问题.
问题：筒车是我国古代发明的一种水利灌输工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理。
新知探索
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度与时间的关系吗？
因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律。
思考1：与盛水筒运动相关的量有哪些 它们之间有怎样的关系？
新知探索
如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过后，盛水筒从点运动到点.由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度，由以下量所决定：筒车转轮的中心到水面的距离，筒车的半径，筒车转动的角速度，盛水筒的初始位置以及所经过的时间.
下面我们分析这些量的相关关系，进而建立盛水筒运动的数学模型.
新知探索
如图，以为原点，以与水平面平行的直线为轴建立直角坐标系.设时，盛水筒位于点，以为始边，为终边的角为，经过后运动到点于是，以为始边，为终边的角为，并且有①
所以盛水筒距离水面的高度与时间的关系是②
函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律.由于是常量，我们可以只研究函数①的性质。下面我们分析这些量的相关关系，进而建立盛水筒运动的数学模型.
5.6.2 函数的图象
新知探索
上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如(其中)的函数.显然，这个函数由参数所确定.因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质.
思考2：从解析式看，函数就是函数在时的特殊情形.
(1)能否借助我们熟悉的函数的图象研究参数对函数的影响？
(2)函数含有三个参数，你认为应按怎样的思路进行研究？
新知探索
1.探索对图象的影响
为了更加直观地观察参数对函数图象的影响，下面借助信息技术做一个数学实验.如图，取动点在单位圆上以单位角速度按逆时针方向运动.如果动点以为起点(此时)，经过后运动到点，那么点的纵坐标就等于.以为坐标描点，可以得到正弦函数的图象.
新知探索
思考3：在单位圆上拖动起点，使点绕点旋转到，你发现图象有什么变化？如果使点绕点旋转，或者旋转一个任意角呢？
当起点位于时，可得函数的图象.
进一步，在单位圆上，设两个动点，分别以为起点同时开始运动.如果以为起点的动点到达圆周上点的时间为，那么以为起点的动点相继到达点的时间是这个规律反映在图象上就是：如果是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的点，如图所示.
新知探索
这说明，把正弦曲线上的所有点向左平移个单位长度，就得到的图象.
一般地，当动点的起始位置所对应的角为时，对应的函数是，把正弦曲线上的所有点向左(当时)或向右(当时)平移个单位长度，就得到函数的图象.
思考4：分别说一说旋转，，时的情况.
新知探索
2.探索对图象的影响
下面,仍然通过数学实验来探索.如图，取圆的半径为了研究方便，不妨令.当时得到的图象.
思考5：取，图象有什么变化？取呢？取，，图象又有什么变化？当取任意实数呢？
取时，得到函数的图象.
进一步，在单位圆上，设以为起点的动点，当时到达点的时间为，当时到达点的时间为.因为时动点的转速是的2倍，所以.这样，设是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的相应点，如图所示.这说明，把的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，就得到的图象.的周期为，是的周期的.
新知探索
同理，取时，动点的转速是的倍，以为起点，到达点的时间是的2倍.这样，把图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍(纵坐标不变)，就得到的图象.的周期为，是的周期的倍.
新知探索
一般地，函数的周期是把图象上所有点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的倍(纵坐标不变)，就得到的图象.
新知探索
3.探索对图象的影响
下面通过数学实验探索对函数图象的影响.为了研究方便，不妨令.当时，如图，可得的图象.
思考6：改变的取值，使取等，你发现图象有什么变化？当取任意正数呢？
当时，得到函数的图象.
进一步，设射线与以为圆心、2为半径的圆交于.如果单位圆上以为起点的动点，以的转速经过到达圆周上的点，那么点的纵坐标是；相应地，点在以为圆心、2为半径的圆上运动到点，点的纵坐标是.这样，设是函数图象上的一点，那么点就是函数图象上的相应点，如图所示.这说明，把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，就得到的图象.
新知探索
同理，把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，就得到的图象.
新知探索
一般地，函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当时)或缩短(当时)到原来的倍(横坐标不变)而得到.从而，函数的值域是，最大值是，最小值是.
你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到图象的过程与方法吗？
新知探索
一般地，函数的图象，可以用以下方法得到：先画出函数个的图象；再把正弦曲线向左(向右)平移个单位长度，得到函数的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数的图象.
思考7：请同学们结合着以上内容，做出这一过程的流程图.
新知探索
平移变换：
向左(或右)平移个单位长度
将横坐标变为原来的倍
将纵坐标变为原来的倍
从上述步骤可以清楚地看到，参数是如何对函数图象产生影响的.
新知探索
伸缩变换：
向左(或右)平移个单位长度
将纵坐标变为原来的倍
将横坐标变为原来的倍
例析
例1.画出函数的简图.
解：先画出函数的图象；再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数的图象，如图所示.
例析
例1.画出函数的简图.
下面用“五点法”画函数在一个周期内的图象.
令，则.列表，描点画图.
例析
例2.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120，转盘直径为110，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动五后距离地面的高度；
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差(单位：)关于的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1).
例析
解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系.
(1)设时，游客甲位于点，以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，由题意可得
例析
解(2)当时，
所以，游客甲在开始转动五后距离地面的高度约为
解(3)如图，甲、乙两人的位置分别用点表示，则.经过后甲距离2地面的高度为，
例析
点相对于点始终落后，此时乙距离地面的高度为.则甲、乙距离地面的高度差，
利用
可得
当(或)，即(或)时，的最大值为.
所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为.
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)了解匀速圆周运动的数学模型；
(2)理解并掌握图象变换的两种方式.
作业：
(1)梳理回顾本节课的例题；
(2)制作图象变换的思维导图；
(3)课本P239的练习14题.