2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册6.3.5平面向量数量积的坐标表示课件（26张）

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
学习目标
学习目标
学习目标
课标定位
2.会运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题；
1.掌握平面向量数量积的坐标表示；
3、通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。
目录
温故知新
01
例题讲解
02
当堂检测
03
课堂小结
04
温故知新
PART 01
复习回顾
问题1：两个平面向量相加、减运算的坐标表示？
问题3：两个平面向量相乘运算法则？
问题2：平面向量与实数相乘的坐标表示？
若向量????=????1,????1、????=????2,????2,两向量夹角????
?
加法：????±????=????1±????2,????1±?????2
?
数乘：????????=????????1,????????1?
?
乘法：?????????=|????|?|????|????????????????
?
（一）两向量数量积的坐标表示
问题1：过对平面向量的数量积以及向量线性坐标运算的学习，你能否已根据两个非零向量?????＝(????1,????1)， ?????＝(????2,????2)，用????和????的坐标表示?????· ?????
?
答：因为?????＝(????1,????1)， ?????＝(????2,????2)
所以????=????1????+????1????,????????=????2????+????2????
所以?????????=????1????+????1????????2????+????2????
=????1????2????2+????1????2????????+????2????1????????2????+????1????2????2
因为????⊥????，且????=????=1所以????2=????2=1， ?????????=0
?????????= ????1????2+????1????2
?
重要结论：
两向量积的坐标表示：
?????????= ????????????????+????????????????
?
例1：设?????＝(4，－3)， ?????＝(5，12)，求?????· ????
?
解：?????????=4×5＋(－3)×12＝20－36＝－16
?
变式：求?????， ????的夹角θ的余弦值．
?
解：∵?????????=|????|?|????|????????????????
∴????????????????=??????????????????，????=？????=?
?
?????????=|????|?|????|????????????????
?
（二）平面向量坐标表示的几个公式
问题2：设因为?????＝(????????,????????)， ?????＝(????????,????????)
小组合作请大家利用平面向量的数量积的坐标表示推导出向量模的坐标表示
问题3：请大家利用平面向量的数量积的坐标表示推导出两向量垂直的坐标表示以及两向量夹角的余弦公式？
?
答（1）|?????|????=????????????+????????????所以|?????|=????????????+????????????
（2）因为????⊥????，所以?????????=????
所以?????????= ????????????????+????????????????=????
（3）????????????????=?????????|????|?|????|=????????????????+????????????????????????????+????????????????????????+?????????????
?
两点间的距离公式
例1：设?????＝(4，－3)， ?????＝(5，12)，求?????· ????
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解：?????????=4×5＋(－3)×12＝20－36＝－16
?
变式：求?????， ????的夹角θ的余弦值．
?
解：∵?????????=|????|?|????|????????????????
∴????????????????=??????????????????，????=????????+（?????）????=5；????=????????+????????????=13
所以 ????????????????=??????????????????=?165×13=?1665
?
?????????=|????|?|????|????????????????
?
例题讲解
PART 02
例2：已知向量????=（?1，2）， ????=3，????+1,若????⊥???? ,则m =
?
解：因为????⊥????所以?????????=?1×3+2????+1=0； 解得：????=12
?
变式：已知向量 ????=（1，3）， ????=（?2，23），则????与???? 的夹角????=________
?
解：∵ ????????????????=??????????????????=1×?2+3×231+3×4+12=12,????∈0?,180?
∴ ????=????3，
?
例3：已知向量????=5,5，????=????,1，若????+????与????+????的夹角是锐角，则求实数????的取值范围；
?
解：∵????+????与????+????的夹角是锐角
∴(????+????)?(?????????)>0，
即????2?????2>0， 52+52>????2+ 12，
∴ ?7?
易错
继续分析：若????+????=????(?????????)，则5+????=????(5?????)5+1=????(5?1)解得：????=32????=1
∴????≠1，
综上????的范围是?7,1∪1,7
?
你能总结一下这种题型的解题方法吗？
变式：设平面向量????=?2,1， ????=1,???? ，若????与????的夹角为钝角，则求????的取值范围.
?
解：因为????与????的夹角为钝角， ?????????<0且不反向， ?????????=?2+????， 即?2+????<0 解得????<2
当两向量反向时，存在 使????=????????即?2,1=????,?????????，
解得????=?12
所以????的取值范围?∞,?12∪?12,2
?
例4：已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则????ABC是什么形状？证明你的猜想.；
?
解法1：因为????????=(2?1，3?2)=(1，1)
????????=?2?1，5?2=?3，3，????????=(?4，2),
所以????????2=12+12=2,
????????2=(?3)2+32=18,????????2=(?4)2+22=20,，
所以????????2+????????2=????????2?
所以△ABC是直角三角形
?
勾股定理逆定理是判断两条直线是否垂直的重要方法之一
例4：已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则????ABC是什么形状？证明你的猜想.；
?
解法2：因为????????=(2?1，3?2)=(1，1)
????????=(?2?1，5?2)=(?3，3)
所以?????????????????=1×(?3)+1×3=0，
于是????????⊥?????????
所以△ABC是直角三角形
?
向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一
你能比较一下这两种解题方法的异同吗？
当堂检测
PART 03
1、已知????=(?????,????)， ????=(????,?????) ，求?????(?????????) （ ）
A．6 B．-6 C．18 D．-18
?
√
2、已知????=(3，-1)， ????=(1，2)若?????????=????， ?????????=?????，求向量????的坐标（ ）
A．2,3????????????B． ?2,3 C． 2,?3 D． ?2,?3
?
√
3、若向量????=?????,????， ????=????,???? ，则向量????+????与????+????的夹角的余弦值为_________
?
解： ∵????=?2,1,????=1,1
∴ ????+????=?2,1+1,1=（?1，2）；?????????=?2,1?1,1=?3,0
则????+??????????????=?1,2??3,0=3， ????+????=5， ?????????=3
∴????????????????=????+??????????????????+??????????????=35×3=55.
?
4、已知向量????????=????,?????,????????=????,????,?则????????=（ ）．
A．5 B． ?5
C．10 D．?10
?
√
5、已知向量????=1,0,????=1,1,且????+????????⊥????，则????=（ ）
A．2? B．0 C．1 D．-1
?
√
6、若向量????→=????,?????,????→=?????,????，则????????→+????→与????→+????????→的夹角余弦为（ ）
A．????????? B． ?????????? C． ????????????????????? D． ????????????????????
?
√
7、（选做）在矩形????????????????中， ????????=1,????????=2，顶点????、????分别在????轴?????轴的正半轴上（含原点）滑动,且矩形????????????????位于第一象限,则?????????????????的最大值
?
解：如图所示，设????????,0,????0,????,∠????????????=????，????∈0,????2
则????(????+2????????????????,2????????????????),????(2????????????????,????+2????????????????)，
由于????????=1,故????2+????2=1
∴?????????????????=2????????????????(????+2????????????????)+2????????????????(????+2????????????????)
=4+2????????????????????+2????????????????????=4+4????2+4????2????????????(????+????)=4+2????????????(????+????)
其中????????????????=????,????????????????=????.
故?????????????????≤4+2=6
当????????????(????+????)=1即????+????=????2+2????????,????∈????时，等号成立.
故?????????????????的最大值为6
?
课堂小结
PART 04
课堂小结
谢谢