2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册3.2.1单调性与最大（小）值教学设计

课题：3.2.1单调性与最大（小）值
一、内容和内容解析
1.内容
函数的最大值、最小值
2.内容解析
上一课时我们已经学习过函数的单调性，函数的最大值、最小值可以看成是函数单调性的一个“派生”
性质，只要在讨论函数单调性的基础之上，从大小关系上进一步确定函数值中的最大或最小者即可.不过，
这个性质非常实用，在具体确定这个值的时候还需要进行一番数学运算.
基于以上分析，确定教学重点：函数最大值、最小值的定义及应用；
二、目标和目标解析
1.目标
（1）借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义；
（2）能够解决简单的最优化问题.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）知道求函数最大值、最小值的基本步骤，会用最大值、最小值定义求函数的最大值、最小值；
（2）能举例说明解决简单最优化问题的一般步骤；
（3）经历从图象直观到自然语言描述再到符号语言表达最大值、最小值的过程，感受符号语言的作
用和力量.
三、教学问题诊断分析
我们知道，语言学习的基本规律是“示范-模仿-熟练应用”，因此，函数的最大值、最小值宜采用
“规-例”法教学，设置概念同化与概念形成相结合的学习过程，即先由教师在具体情境中示范如何用符号
语言表达函数的最大值，再让学生模仿着表达函数的最小值，在熟悉相应的符号语言表达方式的基础上，
再给出严格的定义，并在结合单调性求具体函数最大值、最小值的过程中，更深入地理解符号语言.
根据以上分析，确定教学难点是：函数最大值、最小值的符号表示及存在性.
四、教学支持条件分析
利用信息技术工具 GeoGebra绘制函数图象.
五、教学过程设计
引导语：上一节课我们研究了函数的单调性，研究的路径是:图象直观描述——数量关系刻画——符
1
号语言表达.具体研究时，我们采取从具体到抽象的方法，从一些具体函数的研究中归纳共性，再抽象成定
义.本节课仍按这一路径研究函数的最大值、最小值问题.
环节一 抽象概括，形成概念
问题 1：观察函数f(x) = x2的图象，可以发现，除了单调性以外，还有一些其他的特征，例如它有一个最
低点，而且这个点其实是与函数的单调性有关系的.我们把与这个点有关的特征梳理成表 1左边栏的内容.
2
2
对于函数f(x) =- x ，你能仿照f(x) = x 的情况填写该表的右边栏吗
表 1
函数
图象特征
数量刻画
符号语言
结论
f(x) = x2
f(x) =- x2
图象上有一个最低点(0,0)
其他点的纵坐标都不小于该点的纵坐标
x ∈ R,都有f(x) ≥ f(0)
函数f(x) = x2有最小值0
师生活动：学生自主完成，再分组选学生代表进行全班展示、交流，给出正确结果.
追问 1：函数f(x) =- |x|(x ≠ 0)有最大值吗？为什么？
师生活动：学生独立完成后 ，由学生代表发言,给出正确答案.因为不存在最大的负数，所以这个函
数没有最大值.
追问 2：函数f(x) =
- |x|,x ≠ 0
有最大值吗？为什么？
x = 0
{1,
师生活动：学生独立完成后 ，由学生代表发言,给出正确答案.
因为当x ≠ 0时，f(x) =- |x| < 0 < 1；又f(0) = 1，所以， x ∈ R都有f(x) ≤ 1 = f(0).所以该
函数有最大值1.
设计意图：通过具体函数的分析,积累感性经验,为形成定义做铺垫.通过正反两方面的例子，帮助学
生理解函数存在最大值、最小值的充要条件.
2
问题 2：你能归纳上述几个例子的共性，类比用符号语言表达单调性的方式，用符号语言表达函数y = f(x)
的最大值吗 请你给出自己的定义，然后与教材 80页的相关内容对照.
师生活动：学生先给出自己的定义，再与教科书中相关内容对照，检查、完善.
追问：你能仿照函数最大值的定义给出函数y = f(x)的最小值的定义吗
师生活动：由学生类比完成.
设计意图：借鉴函数单调性的研究经验，从具体到一般抽象出函数最大值的定义，并类比得出函数最
小值的定义.
问题 3：设函数f(x)的定义域是[ - 6，11].如果f(x)在区间[ - 6， - 2]上单调递减，在区间[ - 2，11]上单调
递增，画出f(x)的一个大致图象，从图象上可以发现f( - 2)是函数的一个
师生活动：学生先画f(x)的一个大致图象，组内对比，交流，得出结论.
追问：你能找到f(x)的最大值吗
.
设计意图：通过图象直观定性分析，提升至对函数最值性质更高层次的理解，得出定量刻画.同时，
让学生体会到函数的单调性是函数的局部性质，而函数的最值是函数在整个定义域上的整体性质.
环节二 初步应用，理解定义
例 1“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h
（单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为h(t)=- 4.9t2 + 14. 7t + 18,那么烟花冲出去后什么时候
是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度是多少(精确到1m)
师生活动：先让学生读题、分析题意，教师可以通过问题引导学生思考，例如，题中的函数关系描述
了实际问题中哪两个量之间的对应关系 什么是“爆裂的最佳时刻” 依据函数的哪个性质求解 再由学生独
立求解，然后进行全班展示、交流.
本题中的函数关系描述了实际问题中烟花距地面的高度h（单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系。“爆
裂的最佳时刻”就是烟花轨迹最高点对应的时间，因此该实际问题转化为二次函数的最大值问题.
追问：你能说说计算烟花爆裂最佳时刻的实际意义吗
师生活动：学生独立思考、作答.有了这个时间点，烟花设计者就可以设定其他的一些相关因素的参数，
例如延时引信的长度、发射管的推进燃料量、烟花药剂量等，以达到施放烟花的最佳效果.让学生课后查阅
一些相关资料了解烟花的有关制作原理.
设计意图：体会函数模型的现实应用，利用函数性质即可进行有效的规划和设计,感受函数的应用价值.
2
x - 1
例 2已知函数f(x) =
,x ∈ [2,6]，求函数的最大值和最小值.
师生活动：学生先独立进行题意分析，再交流解题思路.教师可以通过问题引导学生分析解题思路，
例如求解的依据是什么 按怎样的步骤进行 如何确保满足最大值、最小值定义中的两个条件 等等.
在学生自主完成解答后，展示学生的典型解题过程，规范解题格式，总结解题的一般思路.教科书中
3
2
x - 1
给出的思路是先作图象发现函数f(x) =
,在[2,6]上单调递减，再用单调性定义证明.这个过程体现了“图
象直观定方向，代数推理精解答"的解题路径,具有一般意义.
另外，让学生分享一下如何作出这个函数的草图.最理想的方式是通过图象变换，即先作函数g(x) =
2
2
x - 1
x,x ∈ [1, 5]的图象,再平移得到f(x) =
,x ∈ [2,6]的图象.
追问：利用单调性求函数最大(小)值的步骤大致是怎样的
师生活动：师生一起梳理出求解步骤.
第一步，根据问题条件确定函数的定义域；
第二步，通过图象直观、代数推理判断(证明)函数的单调性；
第三步，将定义域区间端点值代入函数中求值；
第四步，比较大小，给出最大(小)值.
设计意图：在应用中理解函数最值的定义,培养思维的严谨性，表达的规范性，提升数学运算素养.
2x
x - 1
练习: 已知函数f(x) =
,x ∈ (2,6]，求函数的最大值和最小值.
师生活动：学生独立思考并求解，教师予以及时点拨.
设计意图：引导学生学会观察分析，进行理性思考，学会有序求解，帮助学生提升数学运算素养．
环节三 单元小结，形成结构
问题 4： 回顾本节的学习过程，回答下列问题:
(1)函数的单调性、最大（小）值分别刻画了什么问题
(2)我们是如何发现函数的这些性质的
(3)用命题的方式梳理函数的单调性、最大（小）值的所有定义，从符号语言的角度归纳这些定义的
共性，你有什么体会
(4)用定义求解函数的单调性、最大（小）值的一般步骤是怎样的
师生活动：学生先自主小结,再全班交流，教师通过提问与学生互动，促进学生思考，最后给出总结.
(1)函数的性质建立在函数有意义的前提下，因此明确函数的定义域是首要的.函数的单调性所描述的
是在函数定义域的某个区间上函数值随自变量的增大而增大或减小的规律,这里自变量总是增加的，函数值
保持了一种确定的变化趋势；最大（小）值是函数的一个整体性质，是指函数的所有取值中那个最大（或
最小）的值，在具体确定这个值时往往要借助于函数的单调性.
这里的任务主要是掌握一种刻画函数性质的数学符号语言，采取了“模仿——练习——运用”的学习
路径.但在这个过程中还是要注意从具体实例中体会抽象概念的本质，体会符号语言的力量的同时要仔细领
会这样的话语方式.特别是它通过运用全称量词、充要条件等逻辑用语，将一个涉及“无限”的问题转化为
一种“有限”的数学命题表达,这是具有一般意义的.
(2)函数的性质就是“变化中的不变性和规律性”，因此，多研究几个具体事例，从中归纳共性，就能
4
得到性质.
(3)将几个定义放在一起看，可以得出命题中的条件有同一种语言结构，即“任给……都有……”，是
从大小关系给出的.
(4)解题步骤详见教学过程.
设计意图：着重从数学语言学习的角度对本节的内容、过程和思想方法进行梳理.从而落实课程标准
提出的“会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用和实际意义”的要求.其中，特
别注意了从逻辑用语的视角、从命题结构的角度进行归纳总结.当然，它们的作用和实际意义还会在后续研
究基本初等函数的过程中得到充分体现.
环节四 目标检测，检验效果
1.下列函数在 ， 上最大值为 3 的是（
）
[1 4]
1
x
A.
y = + 2
B.
C.y = x2
D.
y = 1 - x
y = 3x - 2
1
x - 1
2. 求函数
f(x) =
,x ∈ [ - 8,0]的最大值和最小值.
设计意图：检测学生对求最大(小)值的方法的掌握情况及思维的严谨性和表达的规范性.
(五)课后作业
1.教材第 86页,习题 3.2：第 4，7，10题.
2.学习了函数的单调性及函数的最大(小)值，你能对初中学过的函数进行一个梳理吗 请你完成下表.
表格中列出的是基本要求，你可以根据自己的研究修改表格的样式.
单调性
单调区间
最大（小）值
常函数y = c
一次函数y = kx + b(k ≠ 0)
5
二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)
k
x
反比例函数y = (k ≠ 0)
设计意图：应用巩固，深化理解，使学生充分感受数学符号语言的简洁，体验数学表达方式的力量.
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