2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册3.2.2函数的奇偶性教学设计

课题：3.2.2 函数的奇偶性
一、内容和内容解析
1、内容
函数的奇偶性
2、内容解析
奇偶性是函数的基本性质之一，从“形”的角度揭示了函数图象整体的对称性；从“数”的
角度，刻画了两点之间自变量与函数值的一种特殊的数量关系.
函数的奇偶性是继单调性后的又一重要性质，是函数概念与表示的进一步拓展与深化，是研
究函数单调性的思想方法的又一次实践应用，为研究函数的另一整体性质——周期性提供活动
经验，也是后续研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的基础.
在方法上，要加强通过图象直观和代数运算揭示函数性质的引导和明示，建构从具体到抽象，
从特殊到一般的过程，归纳概括出用严格的数学语言精确刻画函数奇偶性的方法，从而培养学生
发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，提升学生的数学运算、直观想象、数学抽象
和逻辑推理等素养，加强数学思维品质.
基于以上分析，本节课的教学重点是：函数奇偶性的概念及简单函数的奇偶性判断。
二、目标和目标解析
1、目标
（1）通过具体函数，使学生经历用数量关系刻画函数图象对称性的过程，同时了解函数奇偶
性的概念和几何意义.
（2）掌握判断具体函数奇偶性的方法，理解函数的奇偶性对简化函数研究的作用，体会转化
与化归的数学思想方法.
（3）让学生经历从特殊到一般的数学活动，会用数学符号语言描述奇函数和偶函数，经历从
图形语言到符号语言的过渡，感悟常用逻辑用语中量词与数学严谨性的关系，提升学生的直观想
象、数学抽象、逻辑推理素养.
2、目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）学生能通过列表、描点、作图，发现偶函数图象的共同特征——关于 y轴对称；能通过
列表发现当自变量互为相反数时函数值相等的规律，并用符号语言准确表达.
（2）能通过图象或定义判断函数的奇偶性，掌握运用定义判断具体函数奇偶性的步骤；对于
具体的奇函数或偶函数，能根据其奇偶性将函数图象补充完整，并得到函数的相关性质.
（3）能理解一般函数的图象对称性与相应符号表达之间的等价关系；能类比偶函数的定义过
程得到奇函数的定义。知道用符号语言刻画函数奇偶性时，“任意”“都有”等关键词的含义，
会利用全称命题的否定从反面判断函数奇偶性，领会把一个含有“无限”的问题转化为一种“有
限”方式表示的精妙.
三、教学问题诊断分析
学生在初中已经学习了轴对称图形、中心对称图形，以及它们的性质，对二次函数、反比例
函数图象的对称性也非常熟悉，但学生对对称性的认识只是几何角度的描述，对代数角度的刻画
比较陌生.
通过函数的概念和表示及单调性的学习，学生接触到了更多图象具有对称性的函数，为本节
课的学习增加了素材。此外，通过函数单调性的学习，学生经历了由图象特征到自然语言描述再
到符号语言刻画的过程，具备了用数量关系刻画函数图象上升或下降趋势的基本活动经验，但学
生对符号语言的理解，尤其是独立完成图形语言到符号语言的转化还存在困难.
从学生的思维发展来看，高一年级学生的思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，但
分析、归纳、抽象的思维能力还比较薄弱.
基于以上分析，本节课的教学难点是函数奇偶性符号语言的探究.
四、教学支持条件分析
（1）为使学生更好地理解奇偶性的形式化定义，降低归纳定义过程中的难度，可利用信息技
术，采用动态方式展现两点之间自变量与函数值的一种特殊的数量关系.
（2）制作道具，使学生亲身体验轴对称图象的结构特点.
五、教学过程设计
（一）单元回顾，生长新知
引导语:关于函数,在学习了
概念与表示之后，我们又开始探究
它的几何性质.上节课中,通过观
察函数f(x) = x2的图象,发现它
有自左向右先下降再上升的特点，用单调性描述是函数在( ∞，0)上单调递减,在(0， + ∞)
上单调递增.之后借助单调性又发现图象有最低点,说明函数有最小值.
问题 1：回忆我们是如何探究二次函数f(x) = x2单调性的？
师生活动：学生思考回答,请同学补充,教师概括得到单调性定义的形成过程.
设计意图：好的开始是成功的一半,引导学生回顾单调性定义的形成过程,对本节课的学习起
到 了 提 纲 挈 领 的 作 用 ,也 为 学 生 探 究 新 知 指 明 了 方 向 .概 括 出 “ 具体函数
图象特征 数量刻画 符号语言 抽象定义”的步骤,明确这是研究函数基本性质的一般方法,从
“数”与“形”的角度点明从图象直观和代数运算双管齐下揭示函数性质.
（二）合作探究，形成概念
1.直观感知
问题 2：继续观察函数f(x) = x2的图
象,你还能发现其它特征吗？
追问 1：那函数g(x) = 2 |x|的图象
呢？
追问 2：关于 y轴对称是初中所学轴对称中的特殊情形,能否像探究单调性那样,我们也用符
号语言精确描述这一特征呢？
师生活动：师生一问一答,直观感知图象关于 y轴对称.
设计意图：在以函数f(x) = x2为例回顾了单调性定义的探究过程之后,继续挖掘图象特征，
体现大单元教学知识的延续性、思维的连贯性、方法的一致性.有利于学生对本单元知识的整体
建构和研究函数性质的基本方法的迁移.观察发现函数图象的共同特征,经历直观感知,明确本节
课的研究内容,为“以数解形”做准备,更直接的下一步的实践活动提供操作思路.
2.实践活动
工具：印有函数f(x) = x2图象的网格纸，大头钉
内容：动手操作，体验函数“关于 y轴对称”的特征
师生互动：学生动手操作,小组讨论,教师巡视指导,发现过程中暴露的问题,在接下来的教学
中予以指正.讨论结束,请学生代表回答,其余同学予以补充完善,最终达到实践目的.
在初中,我们学习过轴对称图形的定义,即如果一个平面图形沿着一条直线折叠,直线两旁的
部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形.在回顾概念的前提下,确定操作方案,将图象
沿 y轴对折是容易实现的,同时也会误以为此时就完成了体验,教师在巡视过程中予以指导,启发
学生利用大头钉找对称点.学生展示过程中,通过设问“如何想到使用大头钉的？”“你得到的这
对点有什么特征？”让学生明白实践的意义.
设计意图：在不违背大单元教学理念和双新课程标准的前提下,立足课本,遵循教参,对于“
关于 y轴对称”的直观感受从一般的观察法到体验式,可以锻炼学生的动手能力,培养学生分析问
题,解决问题的能力,更加可以激发学生的学习热情和对新知的探索欲,这个过程也体现了将图象
对称转化为点对称的化归思想,也是降维处理的手段.网格纸为后面由形到数的转化提供了支持,
也埋下数量刻画的伏笔.
追问 1：利用实践中的方法,可以找到一个点关于 y轴的对称点,是不是这样就能说明函数图
象关于 y轴对称了呢？
追问 2：需要找到多少个点关于 y轴的对称点？
师生互动：一问一答.引导学生从“无数个”到“所有的”“每一个”,再联想单调性中的处
理，让学生回答出“任意的”.
设计意图：制造认知冲突,为接下来的数量刻画作铺垫.面对“无穷的”过程,“逼”学生主
动思考解决办法,类比单调性的探究过程,寻求“数”的角度来刻画点的对称.
3.数量刻画
问题 3：类比单调性的探究过程,如何用数量刻画函数图象的对称？
师生互动：继续小组讨论,引导学生观察实践中得到的对称点,小组内相互比较,能不能发现
特殊的点,并且思考网格纸的度量作用,讨论结束请学生代表回答.
通过刚才的实践已经发现图象的对称能用点的对称来体现,坐标就是点的数量表示,利用网
格发现几对特殊的对称点,用坐标表示如下:（-1，1）和（1，1），（-2，4）和（2，4），（-3，9）
和（3，9）以及（0，0）.由此发现,横坐标互为相反数时纵坐标也互为相反数.
设计意图：在“单元回顾”环节引导学生回忆了以函数f(x) = x2为例的单调性探究过程，
也点明了这是研究基本性质的一般步骤,是为了引导学生用代数运算揭示函数性质;让学生经历
将图象的对称性转化为点的对称性,再将点的对称问题转化为点的坐标的数量关系,指导学生从
定性分析到定量分析;培养学生发现问题,解决问题的能力,增强小组合作意识.
追问 1：将坐标中的数据整理成表格,横坐标和纵坐标的取值是函数的什么要素 发现了什么
规律？
追问 2：你能用式子结合数据表达此规律吗？
追问 3：这样的式子还有吗 是否需要继续写下去？
师生互动：一问一答,引导学生完成数量刻画.
将数据以表格形式呈现时,易发现横坐标为函数的自变量,纵坐标为函数的函数值,则上述规
律可以描述成：自变量互为相反数,函数值相等.类比单调性,结合数据,得到若干代数式,如：f(-
1)=f(1),f(-2)=f(2),f(-3)=f(3)以及 f(0)=f(0).启发学生寻找“有限”步骤处理“无限”过程.
设计意图：落实数量刻画这一步骤,深化单调性的探究方法在用符号语言精确描述“关于 y
轴对称”这一特征过程中的指导作用,为下一步的符号语言归纳指明方向.
4.符号归纳
问题 4：如何用数学符号语言刻画以上规律？
追问 1：如何证明猜想？
追问 2：我们称f(x) = x2为偶函数,按照上述分析,g(x) = 2 |x|是偶函数吗？
师生活动：教师引导,学生回答.通过具体式子的结构特征归纳出符号语言 f(-x)=f(x),而归
纳即猜想,正确性无法保证,利用解析式进行代数证明,并诠释了在定义域内取值的任意性.
引导学生从形与数两角度认识g(x) = 2 |x|,作出判断,即形上图象关于 y轴对称,数上满足
x ∈ R,g( x) = g(x),均可判断函数为偶函数.
设计意图：学生通过观察，将自变量由具体数值推广到定义域内“对任意的 x,都有 f(-
x)=f(x)”，突破对“任意”的认知障碍.在单调性中,我们也是用代数方法证明f(x )与f(x )大
1
2
小关系的,这里沿用相同的方法,领会把一个含有“无限”的问题转化为一种“有限”方式表示的
精妙.通过追问 2让学生初步感受偶函数的判断方法,数形结合,双管齐下.
5.抽象定义
问题 5：抽象概括偶函数定义.
追问 1：定义域有什么特点 你能从式子 f(-x)=f(x)的角度分析一下吗？
追问 2：你能举出一些偶函数的例子吗 并说明理由.
师生互动：学生思考回答,相互补充.教师层层追问,让学生自主发现定义域的特征,并可以借
助图象或是定义中的符号语言从代数角度举出一些简单的偶函数.
引导学生思考,我们探究的是图象“关于 y轴对称”这一特征的符号语言,图象关于 y轴对称
定义域未必是 R,也可以是[ 2，2]、[ 3，3]等关于原点对称的区间.而从式子中可以看出,自变
量取相反数时,函数必须先有意义,即 x,-x要同时在定义域内.所以,偶函数的定义为:一般地,设
函数 f(x)定义域为 I,若 x ∈ I,都有 x ∈ I,且 f(-x)=f(x),函数 f(x)就叫做偶函数.
设计意图：通过启发式提问,使学生充分思考偶函数定义,发现判断的前提条件,挖掘定义中
的隐性条件,为实际应用中判断非奇非偶函数提供依据.学生通过举例加深对偶函数概念的理解,
也加强数形结合的思想意识,明白并不是每个函数我们都会画出图象,此时定义的作用就凸显出
来了.
（三）类比迁移，巩固探
究
问 题 6： 观 察 函 数
1
f(x) = x和 g(x) = 的图象,你
x
能发现这两个函数图象有什么
共同特征吗？你能用符号语言
精确地描述这一特征吗？
师生活动：学生小组讨论，请至少两个学生代表以不同函数为示例沿用偶函数的探究过程得
出f( x) = f(x).
设计意图：类比偶函数概念的建构过程,放手让学生经历直观感知、抽象概括的过程,学生合
作交流、自主建构奇函数的概念，让学生再一次领会在数形结合思想指导下研究函数性质的方法，
加深对概念本质的理解,积累教学概念建构的基本活动经验.
（四）学以致用，解决问题
例 1:判断下列函数的奇偶性
1
x 1
（1)f(x) = x5 ；
(2)f(x) =
；
(3)f(x) =
； (4)f(x) = x2 + x。
x2
x3 x2
追问：通过以上函数奇偶性的判定,对于一个函数,我们有哪些方法去判断奇偶性呢 不同方
法有什么特点？
师生活动：(1)教师板书示范,(2)(3)(4)学生代表回答,教师点评.师生共同总结奇偶性的判
定方法.
(1)(2)用定义判断奇偶性,按顺序是先求出定义域,发现关于原点对称后再去看 f(-x)与
f(x)的关系,最后作出判断,简记成“一求二看三判断”;(3)易关注变形忽视定义域,实际上(2)的
定义域不关于原点对称，只要通过举反例便可说明，强调定义域关于原点对称是判断奇偶函数的
前提条件;（4）通过举反例,如 f(1) ≠ f(-1)且 f(1) ≠ -f(-1),得到函数为非奇非偶函数,也
可以通过图象作出判断.
设计意图：教师示范引领,规范推理演绎,当堂检测形成教学反馈与评价.深化学生对于探究
过程中数形结合的理解以及从全称命题的否定入手来判定函数的奇偶性.总结得到三种判定方
法：图象法（直观,快速,仅适用于熟悉的函数）、定义法（适用广,是形的补充,一求二看三判断)
以及举反例（一是 x ∈ I, x I,二是 x ,使得 f( x ) ≠ f(x )且 f( x ) ≠ f(x )).
0
0
0
0
0
0
0
例 2：（1）判断函数f(x) = x3 + x的奇偶性.
（2）如图所示是函数f(x) = x3 + x的图象的一部分,你能根据函数 f(x)的奇偶性,画出它在
y轴左侧的图象吗？
思考：已知奇函数 f(x)在(0， + ∞) 上单调递增,判断它在( ∞，0)上单调性如何？给出
证明.
师生互动：学生代表在电子白板上作图,说明图象的特征以及作图理由,最后一个问题留在课
后完成.
设计意图：这是奇偶性的应用:巩固函数奇偶性的概念,再次熟练判断函数奇偶性的步骤;利
用函数奇偶性画函数的图象,学生的思维由“数”到“形”体现研究函数奇偶性的意义;研究函数
奇偶性的目的是如果一个函数具有奇偶性,只要研究 x ≥ 0(x ≤ 0)的情况就可以了,然后运用
对称性把整个定义域内完整函数的性质研究清楚.
（五）归纳反思，深化总结
通过本节课的学习,你有哪些收获？
（1）奇偶性的探究过程如何？
（2）奇、偶函数定义是什么 如何判断一个
函数的奇偶性？
（2）本节课的学习过程体现了哪些数学思
想？你有哪些感悟？
（3）单元框架
师生互动：学生概括,教师补充.
设计意图：回顾研究过程,总结研究方法,感悟研究函数性质的一般方法,提升学生的思维品
质和数学素养.对比、分析奇函数和偶函数的异同,比较过程中,需要从“数”和“形”两个方面
对概念进行整体思考,即从定义域、定义、图象三个方面对比.进一步可引导学生通过探究过程体
会所蕴含的数学思想,注重学生的体验感和情感上的升华,有追求新知的热情,克服困难的勇气以
及实践出真知的信心.
（六） 作业布置，自我提升
1.基础作业：课本 P85练习.
2.提升作业：已知奇函数 f(x)在(0， + ∞) 上单调递增,判断它在( ∞，0)上单调性如何
？给出证明.
六、目标检测设计
A组 适用普通高中学生
1.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x) = 2x4 + 3x2
(2)f(x) = x3 2x
x3 x2
(3)f(x) =
x 1
x2 1 +
1 x2
(4)f(x) =
设计意图:让学生熟练运用奇偶性的定义判断函数的奇偶性,同时让学生认识到并不是所有
的函数都具有奇偶性.
2.填空
(1)偶函数f(x) = |x|,x ∈ ( 5,a)，则 a 的值为______.
(2)函数f(x) = x + b为奇函数,则 b 的值为______.
(3)二次函数f(x) = ax2 + bx + c为偶函数,则 b 的值为______.
设计意图:加深学生对函数奇偶性概念的理解.
B组 适用重点高中学生
已知函数f(x)为定义在（-2,2）上的奇函数.
1.求f(0)的值;
2.若f(x)在定义域上单调递增,且有f(2 + a) + f(1 2a) > 0,求实数 a 的取值范围.
设计意图:B 组安排了函数单调性和奇偶性相结合的题目,注重函数性质的综合应用,加深学
生对函数性质的整体认知,让学有余力的学生得到更好地发展.