2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册3.1.1 函数的概念教学设计

人教 A 版 高中数学必修第一册 3.1.1 函数的概念 教学设计
教材：人教 A 版高中数学必修第一册
课题：3.1.1 函数的概念
一、课时教学内容与内容解析
1.内容
函数的三要素；“对应关系说”下的函数概念.
2.内容解析
内容的本质：在两个数集之间建立对应关系（单射）是函数概念的本质,用集合语言和
对应关系刻画函数概念是数学抽象素养得到提升的重要标志.
,
.
蕴含的思想方法：学生在初中学习过函数概念 函数定义采用“变量说” 高中阶段要建
,
立函数的“对应关系说” 它比“变量说”更具一般性 函数所蕴含的集合间的“对应”是一
.
,
种重要的数学思想与方法 通过具体情境抽象出数学模型 渗透着数学抽象 直观想象的思想
,
,
.
,
与初中的“变量说”相比 高中用集合语言与对应关系表述函数概念；明确了定义域、值域、
.
引入抽象符
f (x) ,蕴含着等价迁移的思想
知识的上下位关系：函数是现代数学中最基本的概念,是描述客观世界中变量关系和规
律的最为基本的数学语言和工具. 在高中阶段,函数不仅贯穿数学课程的始终. 而且是学习
方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础,在物理、化学、生物等其他学科中也有广
泛应用；在高等数学中,函数是基本数学对象；在实际应用中,函数是数学建模的重要基础.
育人价值：函数所蕴含的集合间的“对应”是一种重要的数学思想与方法帮助人们在不
,
同事物之间建立联系 并运用这种联系去研究、发现事物变化的规律 掌握事物本身的性质这
,
,
,
对于提高人们的思想认识 指导日常行为有着重要的意义与价值
.
教学的重点：用集合语言与对应关系建立函数概念.
二、课时教学目标与目标解析
1.课时教学目标
（1）经历“对应关系说”观点下用集合语言表述函数概念的过程,发展学生数学建
模、数学抽象的能力.
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（2）经历理解 y f (x) 的含义,能用函数的定义刻画简单具体的函数的过程,发展
学生的逻辑推理、数学抽象的能力.
（3）经历由具体函数实例到一般函数概念的归纳过程,发展学生数学抽象的能力.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）学生从具体实例出发,能在初中“变量说”的基础上,进一步抽象对应关系、
定义域与值域等三个要素,构建函数的一般概念.
（2）学生能在确定变量变化范围的基础上,通过解析式、图象、表格等形式表示对
应关系,理解函数对应关系的本质. 体会引入符号 f 表示对应关系的必要性.
（3）学生能在不同实例的比较、分析基础上,归纳共性进而抽象出函数概念,体验
用数学的眼光看待事物,发展数学抽象素养.
三、课时教学问题诊断分析
学生在初中学习函数概念时,没有涉及自变量与函数值的取值范围,也不知道为何要研
究变量的取值范围,这是教学中首先遇到的问题,教学中应结合教科书实例 1 与实例 2 的分
析、比较让学生认识到研究自变量、函数值取值范围的必要性.
,
.
,
如何认识函数的对应关系 就成为了第二个教学问题 教学中 要让学生通过四个实例建
,
立解析式、图象、表格与函数对应关系的联系 通过具体的解析式、图象与表格去体会变量
,
f
之间如何对应 由此抽象出函数的对应关系 的本质
.
在对四个实例分析的基础上,学生认识到了函数自变量的取值范围,函数值的取值范围
及对应关系对于函数的重要性. 但是如何在此基础上让学生进行归纳、抽象出函数概念,并
以此培养学生的数学抽象素养,成为第三个教学问题,这也是本节课的教学难点. 教学中可以
将四个实例各自得到的三个要素表格化,让学生从表格中抽象出函数要素及其表示,并在此
基础上给出一般的函数概念.
2
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在得出函数概念后,如何用新的函数概念重新认识已经学习过的函数,建立知识之间的
联系,是第四个教学问题. 教学中,除让学生按函数定义,仿照四个实例的分析去具体表述一
次函数、二次函数、反比例函数外,还必须重视让学生采用教科书中的练习题与习题进行练习,
也可以根据学生的学习状态适当增加一些题目供练习.
教学难点：如何在实例分析的基础上让学生通过比较、归纳、概括不同案例中的共同特
征,并由此建立函数概念.
四、教学支持条件分析
本节课的教学重点是认识函数要素并建立函数概念,会涉及函数值的计算、图象的应用
及分析所得信息,因此可以借助于信息技术或者几何画板解决以上问题,以让学生有更多的
时间用于观察与思考函数的基本要素和抽象概念上.
五、教学方法与教学手段
问题引导教学法、启发式教学、小组合作学习.
六、教学过程设计
引导语：同学们好！第一章我们学习了集合和常用逻辑用语,第二章学习了一元二次函
数、方程、不等式,本章是前面内容的延续----函数.本章的知识框图如下：
函数的三要素
函数的概念与表示
函数的概念
函数的基本性质
幂函数
函数
函数的应用（一）
3
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这节课我们将学习第一单元中第一课时：函数的概念.
我们知道,客观世界中有各种各样的运动变化现象.例如,“神舟十二号载人飞船“在发射
过程中,离发射点的距离随时间的变化而变化;一个装满水的蓄水池,在使用过程中,水面的高
度随时间的增大而不断减小;我国高速铁路运营里程在逐年增加,已突破 2 万公里……所有
这些现象,常常用函数模型来描述,并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律在.
初中我们已经接触过函数的概念,知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.
（一）知识回顾,提出对象
回顾：初中已经接触过函数的概念,我们是如何定义函数的？
初中函数的定义：
如果有两个变量 x 与 y,并且对于 x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,我
们就说 x 是自变量,y 是 x 的函数.
设计意图：通过回顾初中函数的内容,为后面问题的提出提供基础,为本节课继续学习函
数概念提供了契机,让学生了解到需要用更精确的语言描述函数的必要性.
（二）创设情境、构建概念
问题 1：请同学们根据如下情境回答问题：
某“复兴号”高速列车加速到 350km/h 后保持匀速运行半小时.
（1）这段时间内,列车行进的路程S （单位：km）与运行时间t （单位：h）的关系如
何表示？这是一个函数吗？为什么？
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师生互动：学生先独立思考,再和小组同学交流确认.对应关系是 S=350t,并且对于任意
的时刻 t,都有唯一确定的路程 S 与它对应.因此,这是一个函数.
（2）如果有人说：“根据对应关系 S 350t ,这趟列车加速到 350km/h 后,运行 1h 就
前进了 350km. ”你认为这个说法正确吗？
师生活动：小组同学交流,教师请学生回答补充.由于无法确认在 0.5h 之后列车速度,因
此这种说法不正确.
设计意图：通过具体的情景,以及问题的设置,使学生认知上产生冲突,发现原有初中的函
数概念不严谨,为本节内容的学习提供了必要性.
（3）你认为如何表述 S 与 t 的对应关系才能更精确？
学生活动：学生在小组中展开讨论,教师对小组的讨论做出提示与纠正.
t
设计意图：为了让学生关注到 的变化范围 并尝试用精确的语言表述 从初中的 变量
,
.
”
”
”
”. .
说 自然过渡到现在的 集合说 教师可以在学生回答的基础上给出精确表述的示范
问题 2：某电气维修公司要求工人每周工作至少 1 天,至多不超过 6 天,如果公司确定的
工资标准是每人每天 350 元,而且每周付一次工资,那么：
（1）你认为该怎样确定一个工人的每周所得？
（2）一个工人的工资 w 是他工作天数 d 的函数吗？
设计意图：通过前面两个问题让学生继续通过初中对函数概念的认知,判断是否为函数.
（3）你能仿照问题 1 中对S 与t 的对应关系的精确表示,给出这个问题中 w 与 d 对应关
系的精确表示吗？
师生活动：学生回忆刚才老师的示范,独立思考,初步形成函数概念的精确表示,并试着通
过集合语言来精确表示具体的函数.
问题 3：图 1 是北京市 2016 年 11 月 23 日的空气质量指数（Air Quality Index,简称 AQI）
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变化图.
（1）你认为这里的 I 是t 的函数吗？
师生互动：学生小组交流,教师引导学生可以举例说明,比如：你能找到中午 12 时的 I 值
吗？学生的答案不一,是否说明对于任一时刻t,无法找到唯一确定的I值与它对应呢？由于误
差,导致答案不一,但对应的 I 值确实是唯一存在的.
（2）你能仿照前面的方法描述 I 与t 的对应关系吗？
学生活动：学生小组交流,按照前面的精确描述,学生已经形成了“集合对应说”下的函
数概念模式,但是对应关系是图象,学生不能确定.教师按照定义解释图象对应关系存在的合
理性.对于函数值的集合本题中无法精确的表示,教师引导学生可以通过函数值所在的集合
来代替函数值的集合,体现了函数概念中,对于集合 B 的容纳性.
,
,
设计意图：学生根据图像描述对应关系有困难 特别是在值域不能完全确定时 通过引入
,
一个较大范围的集合 使函数值“落入其中” 这是学生经验中不具备的 实际上 如果用映
.
.
,
,
.
,
1
,
射观点看 这时的映射就是非满射 为此 在问题（ ）之后 先让学生认可图象表示一个函数
.
,
,
.
,
I
t
然后再通过教师讲解 给出对应关系的描述方法 从而化解难点 这里 学生只要理解 是 的
,
函数 并能够接受这种描述方式就可以了
.
食物支出金额
总支出金额
问题 4：国际上常用恩格尔系数 r （ r
100% ）反映一个地区人民
生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高. 表 1 是我国某省城镇居民恩格尔系数变化
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情况,从中可以看出,该省城镇居民的生活质量越来越高.
表 1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
年份 y
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
恩格尔系数 r （%） 36.69
36.81
38.17
35.69
35.15
33.53
33.87
29.89
29.35
28.57
（1）你认为按表 1 给出的对应关系,恩格尔系数 r 是年份 y 的函数吗？为什么？
,
（2）如果是 你能仿照前面的方法给出精确的刻画吗？
师生互动：经历前面三个例子的探究过程,学生已经可以独立形成集合对应下的函数概
念的精确描述,学生自由发言,总结出本题函数的精确刻画.
（3）如果我们引入 B4 {r | 0 r 1},将对应关系表述为“对于任何一个年份都有 y ,都
有 B4 中唯一确定的 r 与之对应”,你认为有道理吗？
设计意图：学生在问题 3 的探究中,已经了解到函数的表述,对于函数值的集合没有特别
的要求,只要是函数值所在的集合即可.这为后面抽象出一般函数的概念做铺垫.
问题 5：上述问题 1~问题 4 中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数的本质特
征吗？
师生活动：给学生充分思考的时间,引导学生重新回顾用集合与对应语言刻画函数的过
程,如果学生归纳、概括有困难,可以给出表 2 帮助学生思考.
问题情境
自变量的集合
对应关系
函数值所在集合
函数值的集合
A
1
{t | 0 t 0.5}
B1 {S | 0 S 150}
S 350t
B1
问题 1
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B {350,700,
2
问题 2
问题 3
1050,1400,1750,
2100}
A2 ｛1，2，3，4，5，6｝ w 350d
B2
3
B {I | 0＜I＜150}
C B
3 3 3
C
A
3
{t | 0 t 24}
图 1
表 1
A
4
{2006,2007,20
C {0.3669,0.3681,0.3
4
2009,2010,2011,201
2013,2014,2015}
B4 {r | 0＜r 1}
0.3569,0.3515,0.3353,0.
0.2989,0.2935,0.2857}
问题 4
教师引导学生得出：
（1）都包含两个非空数集,用 A,B 来表示;
（2）都有一个对应关系;
（3）尽管对应关系的表示方法不同,但他们都有如下特性：对于数集 A 中的任意一个数
x ,按照对应关系,在数集 B 中都有唯一确定的数 y 与它对应. 事实上,除解析式、图象、表格
外,还有 venn 图、文字等其他表示对应关系的方法,为了表示方便,我们引进符号 f 统一表示
对应关系
设计意图：让学生通过归纳四个实例中函数的共同特征,体会数学抽象过程,概括出用集
合与对应语言刻画的一般性函数概念. 在此过程中,要突破“如何在四个实例基础上让学生
进行归纳、概括、抽象函数概念,并以此培养学生的数学抽象素养”这一难点,突出“在学生
初中已有函数认识基础上,通过实例归纳概括出函数的基本特征（要素）,用集合与对应的语
言建立函数的概念”这一教学重点.
（三）抽象概念、表示概念
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,
在上述归纳的基础上 给出函数的一般性定义 设
:
A, B
,
是非空的数集 如果按照某种确定
f ,使对于集合
A
中的任意一个数
x ,在集合
B
中都有唯一确定的数
f (x)
和它对
的对应关系
,
应 那么就称
f : A B
, y f (x), x A.
为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作
其中, x 叫做自变量, x
x
y
的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 值叫做函
A
f (x) | x A
,
数值 函数值的集合
.
叫做函数的值域
师生互动：教师解释函数的记号 y f x, xA. 而在函数的定义中强调：（1）值域
{f(x) | x A} B （2）函数的三要素：定义域、对于关系、值域.
（四）辨析概念、初步应用
追问 1：问题 1 和 2 中函数的对应关系相同,你认为它们是同一个函数吗？如果将每人
每天 350 元换成每人每天 400 元,你认为它们还是同一个函数吗？为什么？
追问 2：你认为影响函数的要素有哪些？
设计意图：学习完函数的定义,通过对比两个有相同的对应关系的函数,发现定义域不同,
两个函数不同.如果更换对应关系,两个函数也不同.而教师通过不断的追问,进一步理解函数
的三要素：定义域、对于关系、值域.以及函数概念中的任意和唯一确定两个关键词.
问题 6 如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数,那么你会
怎样表述这些函数？
师生活动：在学生思考后,教师用一次函数与二次函数进行示范,学生用反比例函数进行
练习.
设计意图：用函数定义重新认识已学函数,加深对函数定义的理解,进一步体会定义域、
对应关系与值域是函数的三个要素.
函数
一次函数
二次函数
反比例函数
k
y (k 0)
y ax b(a 0)
y ax
2
bx c(a 0)
对应关系
定义域
x
R
R
{x | x 0}
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4ac b
2
4ac b
2
{y | y
,a 0} {y | y
,a 0}
{y | y 0}
值域
R
4a
4a
（五）理解概念、例题互动
例 1：你能构建一个问题情境,使其中的函数的对应关系为 y x10 x吗？
师生活动：在学生思考后,教师以例 1 进行示范. 若学生学习基础好,则让他们完成教科
书例 1 后“探究”栏目的问题；若学习基础一般,则要求他们完成教科书练习第 4 题.
设计意图：让学生在完成例 1 的过程中,进一步体会函数模型应用的广泛性,加深对函数
概念的理解.
（六）收获感悟、总结提高
1、通过本节课的学习,你有哪些收获呢？与初中学习过的函数概念相比,你对函数又有
什么新的认识吗？
2、本节课我们是怎样得到函数概念的？通过本节课的学习,你对于如何学习概念有什么
体会？
师生活动：教师出示问题后,先由学生思考后再进行全班交流,有学生自己总结、归纳,同
时教师要强调如下几点：
（1）函数的定义是判断一个对应关系是不是函数的标准;
2
f
（ ）要通过具体例子理解函数的对应关系 的特征 特别是对于“ 中任意一个数”“
,
A
B
;
中都有唯一确定的数”等关键词的含义要认真体会
3
f
（ ）对应关系 的表示形式可以是解析式、图象、表格等多种形式 但它们的实质相同
,
.
.
在后续的学习中要注意积累用适当的方式表示函数的经验
,
设计意图：引导学生从函数概念的内涵、要素的归纳过程 关键词理解等角度进行小结
,
10
函数的概念与表示
函数的概念
函数的三要素
定义域、区间、函数相等
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.
进一步加深对函数概念的理解
函数的三要素
函数的概念与表示
函数的概念
区间、定义域、函数相等
函数的基本性质
幂函数
函数
函数的应用（一）
（七）布置作业
1.基础巩固
教科书习题 3.1.1
第 1,11,14 题
2.素养提升
3.拓广探索
预习教科书
3.1.1 函数的概念（第二课时）
1
构建一个问题情景,使其中的变量关系能用解析式 y = ax
2
(a > 0)
2
来描述.
（八）教学设计板书
一、函数的定义
例 1：
定义域、对应关系 f、值域
任意一个数 x,都有唯一确定的数 y
（1）设边长 x
面积 y=x(10-x)
(2) 设一个数 x
y=x(10-x)
七、目标检测设计
A 组 适用普通高中学生
1.一枚炮弹发射后,经过 26 s 落到地面击中目标.炮弹的射高为 845 m ,且炮弹距地面的
高度 h （单位：m）与时间t （单位：s）的关系为
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h = 130t - 5t2 .①
求①所表示的函数的定义域与值域,并用函数的定义描述这个函数.
2.构建一个问题情境,使其中的变量关系能用解析式 y = x 来描述.
B 组 适用重点高中学生
1. 一个圆柱形容器的底部直径是 dcm ,高是 hcm .现在以 vcm / s 的速度向容器内注
3
入某种溶液.求容器内溶液的高度 x （单位：cm）关于注入溶液的时间t （单位：s）
的函数解析式,并写出函数的定义域和值域.
2. 给定数集 A=R,B=(- ,0],方程
2
u + 2v = 0,
①
(1)任给u A,对应关系 f 使方程①的解 v 和u 对应,判断 v = f (u) 是否为函数;
(2) 任给 v B ,对应关系 g 使方程①的解u 和 v 对应,判断u = f (v) 是否为函数.
12