2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册3.1.2 函数的表示法教学设计

人教 A 版 高中数学必修第一册 3.1.2 函数的表示法 教学设计
教材：人教 A 版高中数学必修第一册
课题：3.1.2 函数的表示法
一、内容和内容解析
1.内容
在初中已经接触过函数的三种表示法——解析法、列表法和图象法的基础上，明确三种表示法各自的
特点；通过例题引出分段函数，渗透研究分段函数的一般思想方法.
2.内容解析
(1)内容的本质：给出数学对象的表示方法是定义数学概念的一部分，不同的表示法之间可以互相转化.
对于函数，常用的表示法有解析法、列表法和图象法，其中解析法和图象法在后续的研究中起着非常重要
的作用.
(2)蕴含的数学思想和方法：函数的三种表示法之间的转化蕴含了数形结合思想，分段函数的研究蕴
含了分类讨论思想.
(3)知识的上下位关系：本节内容上承前面两个课时所学的“函数概念”，在充分认识函数定义和函
数三要素的基础上，研究函数的表示法，给学生提供了一个从两个变量之间的依赖关系、两个实数集合
之间的对应关系、函数图象的几何直观等多个角度认识函数概念的机会,有利于学生在数学表达与抽象定
义之间建立联系，全面理解y = f(x)中f的意义.本节课的两个例题都突出了图象表示函数的直观性，为后
续利用图像解决问题打下基础.
(4)育人价值：函数的解析式与图象的综合使用是向学生渗透数形结合，培养学生直观想象素养很好
的载体；分段函数的研究是向学生渗透分类讨论，培养逻辑推理和数学运算素养很好的契机.
(5)教学重点：引导学生归纳不同表示法各自的特点，使学生面对数学问题时，会根据不同的需要选
择恰当的方法（解析法、列表法、图象法）表示函数.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)体验解析法、列表法、图象法的应用，感受各自的特点，使学生面对实际情境时，会根据不同的需
要选择恰当的方法表示函数，发展数学抽象素养;
(2)了解分段函数的概念，掌握研究分段函数的一般思想方法，发展学生的直观想象、数学运算和逻辑
推理素养;
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(3)经历图象（形）与解析式（数）的综合使用，加强学生的数形结合观念和直观想象能力.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
(1)面对实际情境时，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;
(2)能从图象和解析式两个角度分别研究分段函数;
(3)能根据解析式画函数图象，也能利用图象理解解析式.
三、教学问题诊断分析
学生初中虽然学过函数的三种常用表示法，但是对于函数的认识多局限在一次函数、二次函数和反
比例函数，对于这三种表示法各自的特点并没有系统认识,尤其对于函数图象的认识是非常狭隘的，重新
认识函数图象是教学的第一个难点.此外，学生对于分段函数整体性的理解，是教学的第二个难点.
教学难点：函数图像的认识，分段函数概念的理解.
四、教学支持条件分析
本节课的教学重点是引导学生归纳不同表示法各自的特点，使学生面对数学问题时，会根据不同的需
要选择恰当的方法（解析法、列表法、图象法）表示函数，我们可以借助多媒体设备呈现不同形式的函数，
帮助学生整理归纳不同表示法的特点.此外，本节课中函数图象贯穿始末，可以借助几何画板绘制精美的
函数图象，有助于学生感受图象的直观性.
五、教学过程设计
引导语：前面我们学习了函数的概念，我们知道函数是两个非空数集间一种特殊的对应关系,我们常
用抽象符号f来统一表示.但是，为了进一步研究函数的性质和应用，我们还需要深入学习函数的具体表示
方法.
（一）整理旧知，铺垫新课
问题 1： 请同学们回顾一下，初中，我们学习的函数表示法有哪些？
师生活动：先由学生独立思考并作答，师生帮助一起完善并配以 3.1.1的具体实例.
（1）解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.如教科书 3.1.1中的问题 1;
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 如教科书 3.1.1中的问题 4;
（3）图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.如教科书 3.1.1中的问题 3.
设计意图：通过复习初中所学函数的表示方法，回顾 3.1.1中的具体实例，引入本节新课，体现知
识间的联系性和整体性.
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（二）体验方法， 感悟特点
问题 2：某种笔记本的单价是 5元，买x(x ∈ {1,2,,3,4,5})个笔记本需要y元.你能表示出函数y = f(
x)吗？
师生活动：学生自主选择合适的方法对函数进行表示，然后在小组内部交流，进行修正和完善.教师
展示学生中有代表性的答案，注意强调“研究函数，先看定义域”，尤其注意函数图象为五个离散的点.
设计意图:让学生回忆并熟悉三种表示法的具体呈现过程，并再次强调定义域的作用，使学生进一步
理解函数的三种表示方法，建构自己的知识体系.
追问 1：相比于初中学过的函数图象，你对函数的图象有什么新的认识？
师生活动：学生对比初中一次函数、二次函数等函数的图像，重新认识函数的图象：函数图像既可以
是连续的曲线（或直线），也可以是离散的点.
追问 2：(教师调整散点的位置，学生辨析是否仍然表示函数)判断一个图形是不是函数图象的依据是
什么？
师生活动：组织学生根据函数的定义辨析函数的图象. 教师总结：对于一个图形，若垂直于x轴的直
线与图形至多有一个交点，则这个图形可以作为某个函数的图象.其中，若此直线与x轴的交点横坐标属于
定义域，则直线与图形有一个交点，反之，直线与图形无交点.
设计意图：完善对函数图象的认识,加深学生对函数概念的理解.
追问 3：综合上面的解题过程，比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？

师生活动：小组讨论，总结归纳三种表示法各自的特点，最后与教师一起总结出结论：
表示法
解析法
列表法
图象法
特点
一是简明、全面地概括了变量间的关系；
二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.
不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利
于我们研究函数的某些性质.
设计意图：让学生总结归纳三种表示法各自的特点，明确了特征，才能灵活运用.
（三）例题讲解， 强化认识
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例 1. 画出函数 y = |x|的图像.
师生活动：教师出示问题后，先让学生独立思考，之后可引导学生对含有绝对值的函数 y = |x|进行
变形，去掉绝对值，转化成熟悉的一次函数，先让学生自己在草稿纸上画出相应图象,教师展示，提醒学生：
这里的函数图象是由两条射线组成的一条折线，这是因为从解析式看，自变量取值在不同的范围时，函数
有不同的对应关系,引入分段函数概念.强调分段函数是一个函数，而不是几个函数，要规范写法，写成分
段函数形式.最后，总结思路:含有绝对值的函数可转化为分段函数进行研究；对于分段函数的图象，只需
分别画出每段的函数图象，并注意端点的开闭即可.
设计意图：学生从解析式入手，把陌生的含有绝对值的函数转化成熟悉的不含绝对值符号的分段函数，
并绘制其函数图象，体会转化化归的思想方法，感受研究分段函数的一般思路. 从解析式（数）到图象（形）
的转化有助于加强学生数形结合观念.
追问：生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，你可以举出一些例子吗？
师生活动：学生独立思考，列举生活中与分段函数有关的实例.
设计意图：考查学生的理解、掌握的程度.加深学生对分段函数的理解，体会其普遍性与应用价值.
例 2：给定函数 f(x) = x + 1, g(x) = (x + 1)2,x ∈ R.
(1) 在同一直角坐标系中画出函数 f(x), g(x)的图象;
(2) x ∈ R,用M(x)表示 f(x), g(x)中的较大者，记为M(x) = max{f(x), g(x)}.例如，当 x = 1
时，M(1) = max{f(1), g(1)} = max{2，4} = 4.
请分别用图象法和解析法表示函数M(x).
师生活动：给学生充分时间画图，有初中的基础，学生基本都可画出函数 f(x), g(x)的图象.然后给
出第（2）问，并对函数M(x)做适当解读：当 x每取一个值时，f(x), g(x)各有唯一一个函数值与之对应，
而M(x)对应的则是这两个函数值中的较大者，由函数定义可知，M(x)是 x的函数.引导学生从图象上对f
(x), g(x)的函数值进行比较，得到M(x)的函数值,学生很自然地根据图 1得到图 2所示的函数M(x)的图象；
利用图象和解方程知识，学生即可顺利求出M(x)的解析式.
g(x) = (x + 1)2
f(x) = x + 1
M(x)
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图 1
图 1
图 2
图 2
追问：刚才我们首先研究了图象，从图象得出了解析式.那么，你还能用其他方法研究M(x)吗？
师生活动：找有想法的同学分享思路，师生共同完成另一思路：按f(x), g(x)的大小关系进行分类讨论，
先得到M(x)的解析式，再根据解析式分段画出M(x)的图象.
设计意图：例 2同时研究两个函数，考察学生对新概念的分析理解能力，感受分段函数的另一种构造
方式及其图象和解析式的求法，加深对分段函数的理解与运用.两种解题思路对比使用，渗透数形结合的
思想.
变式: 给定函数 f(x) = x + 1, g(x) = (x + 1)2,x ∈ R.
x ∈ R,用m(x)表示 f(x), g(x)中的较小者，记为m(x) = min{f(x), g(x)}.
你能用图象法和解析法表示函数m(x)吗？
师生活动：学生自主完成，然后找代表分享思路与结果.有了例题的铺垫，学生对函数m(x)的理解应
比较到位，解决此问题会相对顺利.
设计意图：创设类似的问题情境，检验学生对例 2的掌握程度，加深学生对解题方法的理解.
思考：所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图象法呢？请举出实例加以说明。
师生活动：先找学生代表回答.教师举例： 3.1.1的问题 3、问题 4就不能用解析法表示；3.1.1的问
题 1不能用列表法表示；狄利克雷函数不能用图象法表示.
设计意图：突出三种方法各自的局限性，从而在处理实际问题时选择合适的表示方法.
（四）课堂小结
教师引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生从以下几个方面进行总结：
（1）本节课我们是如何学习函数表示法的？请总结我们的学习过程.
（2）函数的常用表示法有哪些？各有怎样的特点？
（3）本节课的学习过程体现了哪些数学思想
师生活动：学生自主总结、交流分享，教师提炼概括：本节课我们首先梳理初中学过的三种常用的函
数表示法，在此基础上，我们实践了函数的不同表示，体会了三种表示法各自的特点.特别地，我们发现
函数的图象既可以是连续的曲线、直线，还可以是折线、甚至是离散的点等.解题中我们还学习了一种新
的函数,叫做分段函数.数学来源于生活，又服务于生活，下节课我们将学习如何对生活中的函数进行表示.
设计意图：帮助学生梳理基本知识，总结研究方法，深化对课堂内容的理解，为进一步的研究铺路奠基.
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（五）布置作业：
(1)基础性作业：教材第 69页练习 1-3题,第 73页习题 3.1第 7，10题;
(2)提高性作业：完成教材第 73页习题 3.1第 11-13题;谈谈你对函数图像有什么新的认识？
(3)探究性作业：请从生活中举出一些函数的例子，并用合适的方式表示出来.
六、目标检测设计
A组：适用普通高中学生
1．下列三个图形中，是函数图象的是（ ）
（1）
（2）
（3）
A．（1）（2）
答案：B．
B．（2）（3）
C．（2）
D．（3）
x + 2(x ≤- 1)
{
2
2．设f(x) = x ( - 1 < x < 2)，
2x(x ≥ 2)
（1）在下列直角坐标系中画出f(x)的图象；
（2）若f(t) = 3，求t的值．
答案：（1）函数图象略;（2）t = 3.
3．已知函数f(x) = x|x - m|(x ∈ R)，且f(1) = 0．
（1）求m的值，并用分段函数的形式来表示f(x)；
（2）在平面直角坐标系内作出函数f(x)的图象.
2
x - x(x ≥ 1)
答案：（1）m = 1；f(x) = x|x - 1| =
{
（2）函数图象略.
2
- x + x(x < 1).
B组：适用重点高中学生
1-3题：同 A 组.
1
4．对任意实数x,规定f(x)取4 - x,x + 1， (5 - x)三个值中的最小值，请分别用图象法和解析法表示
2
函数y = f(x).
答案：图象略，解析式为f(x) =
x + 1,x ≤ 1,
(5 - x),1 < x < 3,
4 - x,x ≥ 3.
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{
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设计意图：通过题目检测本堂课的目标完成情况.
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