2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册3.1.2函数的表示法教学设计

人教 A 版 高中数学必修第一册 3.1.2 函数的表示法 教学设计
教材：人教 A 版高中数学必修第一册
课题：3.1.2 函数的表示法
一、内容和内容解析
1.内容
基于前面三节课所学的函数概念及表示法，在具体问题情境中建立函数模型，加深对函数概念的认识，
通过不同问题情境让学生体验不同表示法的综合使用.
2.内容解析
(1)内容的本质：实际生活中的“函数”是丰富多彩的，如何从实际问题中建构起函数模型，并根据
具体情境灵活选择恰当的方式来呈现，是本节课的主要内容.
(2)蕴含的数学思想和方法：函数思想是高中最重要的数学思想之一,函数模型是解决实际问题的重要
数学模型.函数的三种表示法的转化与综合使用蕴含了数形结合思想.
(3)知识的上下位关系：本节内容上承前面三个课时所学的“函数概念及其表示”，应用前面三节课
所学的函数知识解决实际问题，同时在应用中继续加深对前面内容的理解.本节课的两个例题当中都突出
了图象表示函数的重要性，为下一单元利用图像讨论函数性质打下基础.
(4)育人价值：学生经历从实际问题中构建函数模型，这个过程能很好地发展养学生的数学抽象素养；
函数不同表示法的综合使用是向学生渗透数形结合，培养学生直观想象素养很好的载体.例 7、例 8中所选
择的实际问题，不仅能够发展学生数学建模素养和数据分析素养，素材本身也比较有教育意义，如例 8向
学生普及了我国个税税法相关知识。
(5)教学重点：从实际问题情境中抽象出函数；函数三种表示法的灵活选择与综合使用.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)在实际情境中，会选择函数模型去表述变化规律，并根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
培养学生的数学抽象素养；
(2)对一些简单函数，会根据函数的解析式画函数的图象，理解函数图象的作用；培养学生的直观想
象素养.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
(1)学生能从具体的实际问题中抽象出函数模型，并选择恰当的方法表示函数，能根据需要对不同的
表示法进行综合使用；
(2)能根据实际问题的需要，画出函数的图象，并根据图象解决相关问题.
三、教学问题诊断分析
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函数概念来源于实际问题，而函数模型是解决实际问题的重要模型。学习了函数的概念及其表示
法，如何在实际问题情境中抽象出函数模型并用恰当的方式将其表示出来，是教学中需要关注的问题.教
学中，要舍得花时间让学生经历建模全过程，不能操之过急；另外，还可以选取生活中学生感兴趣的素
材，引导学生发现问题，并运用函数为工具进行解决.
教学难点：如何用在实际问题情境中抽象出函数模型并用恰当的方式将其表示出来.
四、教学支持条件分析
本节课的教学重点之一是从实际问题情境中抽象出函数模型，教学中问题情境的选择以及问题的呈现
方式直接影响着学生的学习兴趣和学习效果，我们可以借助多媒体设备丰富问题的呈现方式，也可以鼓励
学生提前收集感兴趣素材，开展小组合作和小组展示等.本节课的第二个教学重点是函数三种表示法的灵
活选择与综合使用.在信息技术环境下，我们可以方便地由函数的解析式画出函数的图象，为学生创造丰
富的数形结合环境，帮助学生更深刻地理解函数的表示法，尤其是图象法的重要性.
五、教学过程设计
引导语：前面我们学习了函数的概念及其表示，对于函数的表示，我们常采用解析法、图像法及列表
法.其实，生活中也有非常多的函数关系，今天我们来学习如何对生活中的函数进行表示.
（一）问题情境一
问题 1：结合目前所学函数知识，你能联想生活中的哪些实际问题？请举例说明.
师生活动：学生列举身边的函数关系.学生给出或教师引导给出学生最熟悉的成绩问题.
设计意图：引出问题情境一“学生数学成绩分析”
问题 2：下表是某校高一（X）班三名同学在高一学年六次数学测试中的成绩及班级平均分表:
测试序号
姓名
第 1次
90
第 2次
76
第 3次
88
第 4次
75
第 5次
86
第 6次
80
小城
小伟
98
87
91
92
88
95
小磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析.
追问 1:首先来看小城同学的成绩，请做一个分析.
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师生活动：学生不难发现小城的成绩不稳定，若学生提出通过画图来反应这种不稳定，则进入画图环
节，否则增设追问 2.
追问 2：你如何呈现这种“不稳定”？
师生活动：引导学生提出用图像法替代表格法.
设计意图：引导学生将表格转化为图象，体会图像法在观察变化趋势上的优势.
追问 3：请画出表示小城同学成绩与测试序号间函数关系的图象.
师生活动：学生动手画函数图象，教师检查找到连线和不连线的两种图象，上传到屏幕上，由学生进
行点评和区分，再次强调函数的构成要素，定义域和对应关系缺一不可，并展示正确的图象（六个散点构
成），用虚线进行连接，以便观察变化趋势.
追问 4：我们继续画出另外两个同学的成绩以及班级平均分对应的函数图像,并用虚线进行连接，就可
以清楚地看到每一位同学的学习情况了.小组之间做一个简短的交流，对三位同学的数学学习情况做一个
综合分析.
师生活动：小组交流，形成结果.学生代表描述三位同学的成绩.教师引导学生分两个角度来分析：一
方面是横向看每个同学成绩的变化情况，另一方面是纵向比较每次测试中三位同学的成绩.
设计意图：体会图象法表示函数的重要性，在观察函数值随自变量变化规律时，图象的直观性是解析
式和表格无法替代的，渗透数形结合的思想.
（二）问题情境二
问题 3：老师这边也遇到了一个问题，我的一位好朋友小王叔叔告诉我，自打工作以来，他的工资涨
了不少，但是每年缴纳的个人所得税变化并不大，他深深地感受了作为一名中国人的幸福感，你能说明当
中的道理吗？
教师补充：同学们，你了解我国的个人所得税法吗？老师这边给大家准备了知识卡，我们一起来学习
我国的个税计算方案。
师生活动：教师课前对教材例 8的素材进行处理，分两个步骤呈现给学生.将应纳税所得额的计算公
式后置，先突出强调对个税税额计算公式的理解.学生利用教师事先准备好的知识卡，首先学习个税计算
公式和税率表.
设计意图：以生活化的口吻调动学生兴趣，引导学生自主学习我国的个税计算方式，既为后续创设具
体问题情境做铺垫，也向学生普及了我国的税法政策.对教材例 8中问题的表述做了一定的处理，分解学
生学习生僻概念的难度，循序渐进为之，让学生更容易建立起个税税额与应纳税所得额之间的函数关系.
追问 1：你能分享一下你对个税的理解吗？
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师生活动：请一位同学对知识卡上的内容进行解读，由学生自己发现“个税税额和应纳税所得额之间
是函数关系”，并且对应表格中的 7个等级，税率和速算扣除数是不一样的.
追问 2（也可能由学生提出）：什么是速算扣除数？
师生活动：教师指出，速算扣除数并非税法规定，而是根据税法推算出来，它的目的就是方便计算.
为便于学生理解，教师举具体数据，推算一到两个速算扣除数，其余的留作课后探究.
设计意图：对绝大多数同学来说，税法当中所出现的一些名词都是非常陌生的，及时解决这些生僻的
概念，不仅能够加深学生对问题本身的理解，同时有助于培养学生思考的习惯.特别地，如果是学生主动
提出对“速算扣除数”的疑惑，那么教师就更应舍得下功夫解释它.
问题 4：通过刚刚的学习，我们了解到个税税额和应纳税所得额之间是函数关系，如果设应纳税所得
额为 t，应缴个税税额为 y，你能表示出这个函数吗？请大家尝试一下.
师生活动：同学板演.教师适当引导、点评：对应表格中的 7个等级，把应纳税所得额 t的取值集合
划分为 7个区间，分别代入相应等级的税率和速算扣除数，化简、就可以得到完整的函数解析式.
设计意图：体会在具体情境中如何选择合适的方式表示函数，而板演有助于强调分段函数解析式的书
写规范.这里对教材例 8的第（1）问作了处理，先进行学生最容易想到的解析法，通过后续问题需要，再
由学生自己提出画图.
问题 5：现在，你可以解释小王叔叔的困惑吗 为什么收入增加了不少，但是缴纳的个税变化不大呢？
师生活动：教师突出强调要研究“变化规律”，引导学生将解析法转化为图象法。
追问 1：怎么画这个分段函数的图象？
师生活动：学生回顾上节课的内容，不难发现其实就是依次画出这七个正比例或一次函数在对应区间
的图象，合并在一起可以了.教师呈现函数图像.
设计意图：这里的数据比较大，作图耗时比较久，应当把重点放在引导学生产生画图象的想法，并且
知道怎样画分段函数图象，至于具体的作图，教师可以课前完成、课上直接呈现.
追问 2：观察图象，你能解释当中的道理了吗？
师生活动：同学回答，教师总结：“当小王叔叔的收入还不是很高的时候，他的应纳税所得额自然也
就不高，从图像我们看到在应纳税所得额较低的这一段，应缴个税税额上升得是非常慢的，说明我国的税
法政策对低收入人群是相对保护的.”
设计意图：画图的目的是为了用图，训练学生解读图象的能力.
问题 6：什么是应纳税所得额，它和收入是不是一回事呢？我们一起了解下应纳税所得额.
师生活动：学生利用教师提前准备的知识卡，学习应纳税所得额的相关知识.
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设计意图：继续普及我国的个人所得税法，为后续问题做铺垫.
问题 7：若小王叔叔全年综合所得收入额为 189 600元，缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业
保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是 8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是 52
800元，依法确定的其他扣除是 4 560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
师生活动：学生结合所了解的背景知识，根据全年综合所得以及一系列的扣除计算应纳税所得额，并
最终算出全年应缴纳的个税税额.在通过应纳税所得额计算应缴个税税额时，教师引导学生注意解析式的
使用.
设计意图：检验学生对应纳税所得额、个税税额等概念的理解，培养学生分析实际问题的能力.从应
纳税所得额计算应缴个税税额时，教师要突出强调解析式的作用.
问题 8：结合这道题，谈谈你对函数表示法的认识.
师生活动：教师引导学生对整个解题过程进行回顾，体会图像法和解析法各自的优点.
设计意图:：及时反思，一方面加深学生对函数表示法的理解，另一方面有助于培养学生总结反思的
习惯.
（三）合作探究
问题 9：根据提供的图片，请提出一个实际问题，并运用函数解决它.
师生活动：小组探究，形成初步成果，并选择一到两组进行展示.此外，鼓励学生课后继续讨论，或
者选择其他感兴趣的问题进行研究.
设计意图：开放性问题的设计增添了灵活性和趣味性.不仅能训练运用函数解决实际问题的基本方法，
还有助于发展学生的创新思维.
（四）课堂小结
教师引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生从以下几个方面进行总结：
（1）本节课我们是如何进一步研究函数表示法的？请总结我们的学习过程.
（2）通过本节课的学习，你对函数的表示法有什么新的认识？
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（3）本节课的学习过程体现了哪些数学思想
师生活动：学生自主总结、交流分享，教师提炼概括.
设计意图：帮助学生梳理基本知识，总结研究方法，深化对课堂内容的理解，为进一步的研究铺路奠
基.
（五）布置作业
1.选择一个你感兴趣的实际问题，运用函数为工具进行解决；
2.教材第 71-72页练习题，教材第 72-74页习题 3.1第 8-10,15题.
设计意图：通过作业巩固概念，使学生知识技能、综合能力得到提升．
六、目标检测设计
A组：适用普通高中学生
1.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站
停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出火车在这
段时间内的速度变化情况的是( )
答案：B
2.在一次国际比赛中某三名铅球运动员决赛的成绩如表(单位：m).
第 1次
20.61
18.10
19.77
19.49
第 2次
21.31
18.25
19.33
19.63
第 3次
20.47
19.05
20.17
19.90
第 4次
20.78
19.15
20.54
20.16
第 5次
21.36
19.70
19.75
20.27
运动员甲
运动员乙
运动员丙
平均成绩
请你对这三名运动员在这次比赛中的成绩做一个分析.
提示：具体分析思路可以参照问题情境一中三名同学成绩的分析.
3.某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100km ,票价是每千米 0.5元;如果超过100km ,
超过部分按每千米 0.4元定价.
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请根据题意，写出客运票价 y (元)与行程数 x(km)之间的函数解析式，并画出函数的图象.
ì 0.5x,0 x 100,
答案： y =í
图象略.
10 +0.4x, x >100.

B组：适用重点高中学生
1-3题；同 A组.
4.小明同学对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿.由历年市场行情得知，从 2月 1日
起的 300天内，西红柿市场销售与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间
的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.
（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）
（1）写出图一表示的市场售价间接函数关系P = f(t). 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式
Q = g(t).
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
答案：
300 - t,0 ≤ t ≤ 200,
（1）由图一可得市场售价间接函数关系为:f(t) = {
2t - 300,200 < t ≤ 300.
1
(t - 150)2 + 100,(0 ≤ t ≤ 300).
由图二可得种植成本间接函数关系式为g(t) =
200
（2）从 2月 1日开始的第 50天时，上市的西红柿收益最大.
设计意图：通过题目检测本堂课的目标完成情况.
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