2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册3.3幂函数教学设计

人教 A 版 高中数学必修第一册 3.3 幂函数 教学设计
教材：人教 A 版高中数学必修第一册
课题：3.3幂函数
一、课时教学内容
幂函数：掌握幂函数定义，探究五个特殊的幂函数图象与性质。
内容解析：
幂函数是一类重要的基本初等函数，很多函数都是由幂函数及其它基本的初等函数经过
运算、复合得到的。幂函数是学生进入高中后学习的第一类具体的基本初等函数。学生已经
学习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数。 y = x- 1 ，
y = x ， y = x
2
等都是学
生很熟悉的。因此，幂函数的学习是在学生已有的函数学习经验上的拓展。主要是在归纳五
个具体函数共性基础上的数学抽象。
幂函数的内容安排在函数的概念与性质一章的第三节，是在学习完一般函数的概念，以
及函数的基本性质后。选取一类简单的基本初等函数进行研究。使学生明确一类具体函数的
研究内容（定义、表示-图象与性质-应用），并体会如何在一般函数的概念及基本性质的指
导下展开研究。因此幂函数的学习。既是对前面所学内容的巩固。也是为后面指数函数、对
数函数的学习打下基础。
二、课时教学目标
1
y = x, y = x
2
, y = x
3, y = x2 , y = x- 1
，五
1. 通过具体实例，了解幂函数的定义，会画
个幂函数的图象，理解它们的性质。达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次。
2. 通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法。达到数学建模核心素
养学业质量水平三的层次。
三、教学重点与难点
1. 教学重点：对幂函数概念的掌握、对幂函数图象与性质的探究。
2. 教学难点：观察五个幂函数的解析式的共性，抽象幂函数概念；观察函数图象的内容
和方法。
四、教学方法与手段
1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数
的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.
2．利用智慧课堂教学，借助数学软件 GeoGebra教学。
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五、教学过程设计
（一） 单元教学（预计 2分钟）
函数
函数的概念
及其表示
函数的基本
性质
？
？
函
数
的
概
念
函
数
的
表
示
单
调
性
最
值
奇
偶
性
【设计意图：通过复习回顾前面所学内容，构建知识体系，为本节课从原有知识体系中
生长出新的知识做铺垫。】
（二） 情境导入（预计 3分钟）
【活动一】请同学们观察五个微视频，一起解决视频中的问题。
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1.它们是函
数吗？
2.为什么？
【设计意图：通过买菜场景、口罩问题、垃圾分类问题、新冠防疫打疫苗、学生跑操生
活等实际问题，将课本 5 个例题生活情境化，拉近数学与生活的距离感。使学生体会到数学
与生活的紧密和谐的关系，朴素的问题情景自然地对学生产生一种情感上的亲和力和感召力,
让学生主动参与到其中，以引起学生关注、思考和探究。】
（三） 抽象定义（预计 5分钟）
问题 1：如果去掉这些变量的实际意义，将自变量用 x 表示，因变量用 y 表示，分别如
何表示
抽象
1
1
2
p = w,S = a
2
,V = b
3
,c = S 2 ,v = t- 1
y = x, y = x
2
, y = x
3
, y = x
, y = x- 1
问题 2：观察抽象后的式子，它们形式上都有哪些共同特征
师生互动：学生分组讨论后汇报，教师总结。
问题 3：根据这些特征，可以用一个怎样的式子进行概括
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特殊
一般
p = w
y = x
S = a
V = b
2
（1）幂的形式
y = x
y = x
2
（系数为1）
3
特征
抽象
3
y = x
a
（2）幂的底数为自变量
1
2
1
c = S = S
y = x
2
（3）幂的指数为常数
1
v = = t- 1
y = x- 1
t
这样我们就将这些特殊的函数抽象出一般的函数式，这就是今天要学习的一类新的函数
即幂函数。 板书课题和定义。
定义：一般地，函数 y xa 叫做幂函数，其中 x
是自变量，a
是常数。
=
幂的形式
y = x
a
指数a 为常数，a R
底数 x 为自变量
问题 4：下列正确的是
（
）
A.y = 3x
4
B.y = 3
x
C.y = x
0
D.y = x + x
2
师生互动：根据学生的回答，再一次强调幂函数的特征。
幂函数的指数a 为一切实数 R ，a 不同，幂的含义也各不同，该如何研究呢 类比初中
研究一次函数、二次函数和反比例函数时，对参数的处理是由特殊到一般，这里就先研究这
1
y = x, y = x
2
, y = x
3, y = x2 , y = x- 1
五个特殊的幂函数
。
【设计意图：将生活实例中得出的关系式进行抽象，从形式上总结这些函数的特征，从
而将这些特殊的函数抽象概括出一般的函数式，由特殊到一般，抽象出幂函数定义。培养学
生数学抽象核心素养，感悟特殊到一般的数学思想方法。】
（四） 动手画图 （预计 7分钟）
问题 5：定义已学完，根据以往学习函数的经验，接下来应该如何研究幂函数
定义
图象
性质
应用
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y = x, y = x
2
, y = x- 1 是如何作图的
问题 6：如何画图象呢 回顾熟悉的函数
1
y = x
3
, y = x
2 的图象。
【活动一】：类比以往作图的方法，请在同一直角坐标系中画出
师生活动：请一学生板演，其它学生在下面画，互相点评。
x
y = x
y = x
3
1
2
引导 1：由解析式和定义域除了通过“列表—描点—连线”作图外，还可利用所学的性
质简化作图。
定义
图象
性质
应用
简
化
预 设：由解析式和定义域，列表-描点-连线法作图学生容易想到，但是对于利用性质简
化和分析图象，可能需要引导，如果学生没想到，可适当引导学生“前面我们学过函数的基
本性质比如单调性、奇偶性、最值等，它们能帮助我们画图吗 ”
引导 2：关注学生在同一直角坐标系中两个函数图象的上下关系判断是否正确 （尤其
关注[0,1]区间上的图象），启发学生以后像这样在同一直角坐标系中，某个区间上出现多
个函数图象时，可通过取特殊点，比较函数值的大小来判断函数图象上下关系。
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预设：学生在利用列表-描点-连线法作图时，容易忽视[0,1]区间上的取点，关注学生
取点要有代表性。如果学生有在[0,1]区间上没有取点的，可拍照展示，先提问其他学生：“针
对这样的取点，有没有同学提出质疑？”如果没有学生质疑，教师引导：“比如[0,1]区间
上大家是如何判断两个函数图象的上下关系的 ”
【设计意图：关注学生易错点和疑点，帮助学生更准确的掌握函数图象，为后面性质的
归纳做铺垫，这也为幂函数比较大小指出方法，也为后面学习指数函数和对数函数比较大小
提供了方法。】
【活动二】利用 GeoGebra数学软件做出五个幂函数图象
数学是严谨的，教科书的第 87页我们学过数学软件 GeoGebra作图，请一学生现场演示
1
y = x , y = x
2 图象，同学们核对自己画的图象，感受更精准的函数图象。
3
在软件中作出
现在五个函数图象都会画了，当它们都在同一直角坐标系中又是怎样的 请继续在该直
y = x, y = x
2
, y = x- 1 的图象。
角坐标系中画出
【设计意图：通过软件验证画图，体现了数学的严谨性，让学生感受现代信息技术的便
捷和传统教学的朴实之美，提高学生信息技术运用能力。】
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（五） 归纳性质（预计 15分钟）
问题 7：根据图象可以从哪些方面对这些函数进行研究？
（定义域、值域、奇偶性、单调性）
1
2
【活动三】分别观察 y x 、
y x
2
、
y x1 、
y x 、 y x
3
，这五个幂函数的
图象，并完成表格。（学生板演，其它学生对照自己填的点评）
1
y = x
y = x
2
y = x3
y = x-1
y = x
2
图
象
定义域
值
域
奇偶性
单调性
师生互动：引导学生如何观察图象，小组研讨确定答案后进行小组展示。其它同学提出
质疑和修改方案。尤其注意学生单调性的书写规范等。
【设计意图：通过具体的函数图象引导学生学会观察、分析、归纳概括得出这五个幂函
数的定义域、值域、奇偶性、 单调性，为进一步得出幂函数的共性和个性作铺垫。实现师
生互动，加强对话、沟通、交流，构建民主和谐的教学氛围。】
【活动四】从这些函数的图象可以看出幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图
象也存在着差异，这些差异之间存在着哪些共性和个性呢 同学们根据表格和图象，分组讨
论，寻找这 5 个幂函数的共同点和不同点 （分组汇报）
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师生互动：启发学生从本质上理解五个特殊的幂函数的共性与个性。
共同点：
图象都过（1, 1）点，图象都过第一象限，都不过第四象限
不同点：
1
2
（1）y = x, y = x
3
, y = x-1 都是奇函数，y = x 是偶函数，y = x
2
是非奇非偶函数
1
（2）在（0，+ ）上，y = x , y = x
递增，y = x-1 是单调递减的
3
，y = x2 ，y = x 都是单调
2
（3）第一象限内，y = x-1 的图象向上与y 轴无限接近，向右与x
轴无限接近
【设计意图：为突破难点，采用小组合作学习，使个人努力与合作学习相结合促进
学生对数学的理解。在交流与讨论中，让思维碰撞出火花，这有助于扩展思路，提高能
力，加强自信，培养合作精神。有助于教师的因材施教。】
归
简
纳
化
定义
图象
性质
应用
问题 8：其实幂函数的性质还有很多，这只是这五个特殊的幂函数性质，尝试去猜想一
般的幂函数可能会有哪些性质？课下可以借助信息技术去探究。
总结：这里我们通过观察又将形转化成了数。这种数形结合的思想也是今后指导其他函
数的重要思想方法。
（六） 例题讲解（预计 6分钟）
问题 9：前面从图象上直观感知函数的单调性，但是缺少严格证明，请:回顾一下前面
是如何证明函数的单调性的？
例 1 证明幂函数 f (x) = x 是增函数。（拍照上传，共同点评并总结归纳）
【设计意图：引导学生除了前面可以因式分解、配方法等判断符号，对于带根式的式子
可以将分子有理化的方法判断符号，从而增强学生对新知的运用能力，达到能力转型和新知
运用能力。】
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（七） 课堂总结（预计 2分钟）
1. 教学内容
1
y = x, y = x
2
, y = x
3
, y = x2 , y = x- 1
五个特殊的幂函数图象与性质
幂函数的定义、
2. 数学思想
数
形
特殊
一般
3. 研究路径
生活实例
抽象定义
函数图象
函数性质
函数应用
4. 知识建构
函数
函数的概念
及其表示
函数的基本
性质
函数的应
用（一）
幂函数
函
数
的
概
念
函
单
调
性
最
值
奇
偶
性
数
的
表
示
【设计意图：从教学内容、数学思想、研究路径和知识结构上进行总结，前后首尾呼应，
使新旧知识融为一体。幂函数是既前面函数概念和性质后研究的首个具体函数，其研究路径
和思想方法也为后面研究指数函数和对数函数提供参考依据和指导方法。原来知识也可以象
大树一样生枝发芽，茁壮成长，帮助学生在原有基础上生出新的芽，并铺垫下一节课和后面
所学内容。全方位培养学生数学核心素养。】
（八） 布置作业
1.必做题：课本 P91 面 习题 3.3 完成。
2.选做题
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【设计意图：作业分必做、选做兼顾各类学生，必做题比较基础，以落实课堂基础知识。
探究作业有一定难度，让学生自行分组，通过合作讨论得到共同提高，拓展知识面。】
（九） 板书设计
3.3 幂函数
一、定义
电子屏幕探究
三、性质
四、应用
二、图象
六、目标检测设计
A组
f (x) = x
3
的单调性，并判断其奇偶性。
1.根据单调性和奇偶性的定义，讨论函数
1
y = x, y = x
2 , y = x2 , y = x- 1
，这四个
【设计意图：本节课研究的 5个特殊的幂函数，
f (x) = x
3
的单调性又该如何证明？引导学生进一步探
单调性的证明都很熟悉了，那么
究。】
B组
1.已知幂函数 y = f (x) 的图象过点（2，2），求这个函数的解析式。
2.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小；
1
1
（1） (-1.5)
3
，( -1.4)
3
（2）
，
-1.5
-1.4
【设计意图：巩固本节课所学知识，加强概念的理解和性质的运用。】
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