2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第三章函数的概念与性质-单元整体设计

人教 A 版高中数学必修第一册
第三章 函数的概念与性质
一、单元内容和内容解析
1.内容
客观世界中有各种各样的运动变化现象，其中很多变化现象都表现为变量间的对应关
系，这种关系常常可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化
规律.
函数是贯穿高中数学的一条主线，是解决问题的基本工具；函数概念及其反映的数学思
想方法已渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础.同时，函数知识有广泛的
实际应用，并且是学习其他学科的重要基础.
本章我们将在初中的基础上，通过具体实例学习用集合语言和对应关系刻画函数概念，
通过函数的不同表示法加深对函数概念的认知，学习用精确的符号语言刻画函数性质的方
法，并通过幂函数的学习感受研究函数的基本内容、过程和方法.
具体来看，本章包括四节内容：3.1 函数的概念及其表示，3.2 函数的基本性质，3.3 幂
函数，3.4 函数的应用（一）. 这一结构体系体现了研究一个数学对象及其应用的基本思路
和方法. 本单元的知识结构如下：
本章教学约需 12课时，大致分配如下：
（1）3.1函数的概念及其表示（4课时）
第 1课时：立足初中的函数概念（“变量说”），通过四个具体实例的归纳、概括，抽
象出函数的“对应关系说”，引进抽象符号 f 统一表示对应关系、介绍函数的定义域和值
域（函数的三要素）；
第 2课时：介绍“区间”概念，“两个函数相同”及其判断，进一步加深对函数概念以
1
及函数记号的理解；
第 3课时：通过具体应用，比较函数的三种表示法，体会各自的特点，为下一课时函数
在实际情境中的应用做准备；介绍分段函数的概念及其表示；介绍函数表示法之间的相互转
化；
第 4课时：在具体问题情境中，如何构建函数模型并选择恰当的方法表示出函数,继续
加深对函数概念的理解以及对函数三种表示法的综合应用.
（2）3.2函数的基本性质（3课时）
第 1 课时：通过学生熟悉的函数及其图象特征，结合初中对增减性的认知，进一步抽象
出单调性的符号语言，掌握增（减）函数的定义和图象特征，并且介绍单调区间的定义和增
（减）函数的判断方法.
第 2 课时：类比单调性的探究过程，通过学生熟悉的函数及其图象特征，发现有的函数
具有最大（小）值的特征并归纳最大（小）值的定义，介绍求函数最大（小）值的方法.
第 3 课时：类比单调性的探究过程，通过学生熟悉的函数及其图象特征，发现有的函数
具有轴对称和中心对称的图象特征并归纳奇偶函数的定义，介绍奇偶函数的判断方法和简单
应用.
（3）3.3幂函数（1课时）
通过五个实例，归纳五个函数的共性特征，抽象出幂函数的定义，介绍五个幂函数的图
象和其性质及其简单应用.
（4）3.4函数的应用（一）（1课时）
由实际问题抽象成函数问题，体会利用函数模型解决实际问题的过程和方法.
（5）文献阅读与数学写作：函数的形成与发展（1课时）
介绍函数的形成、发展的历史，体验文献综述的写作过程与方法.
（6）小结（2课时）
第 1 课时：回顾 3.1 函数的概念及其表示和 3.2 函数的基本性质，梳理其知识结构，对
典型题型进一步的巩固训练.
第 2 课时：回顾 3.3 幂函数和 3.4 函数的应用（一），梳理其知识结构，对典型题型进
一步的巩固训练.
2.内容解析
(1)内容的本质：函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律
的最为基本的数学语言和工具，函数是覆盖面广、有统率作用的概念，是进一步学习和研究
其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用.
(2)蕴含的数学思想和方法：本章研究框架如下：函数的事实—函数概念的定义、表示
—函数的性质—基本初等函数—函数的应用. 本章的数学思想方法十分丰富，包括函数与方
程的思想、数形结合的思想、特殊与一般的思想和分类与整合的思想等
2
(3)知识的上下位关系：集合语言与常用逻辑用语的学习可以简洁准确地表达函数的定
义、表示和基本性质，初中函数的概念提供了理解高中函数概念的基础；本章内部知识结构
的编排层层递进，注重知识的发生发展过程，符合学生的认知规律；指数函数、对数函数、
三角函数这三个基本初等函数是本章知识的延续和延展，蕴含着一般与特殊的关系；并且函
数是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础，在物理、化学、生物等其他学科
中也有广泛应用；在高等数学中，函数是基本数学对象；在实际应用中，函数是数学建模的
重要基础.
(4)育人价值：本章函数概念的学习是对初中函数概念深层次的抽象；从一些特殊函数
值具有的特征发现函数的性质；在具体的情境中抽象出熟悉的函数模型；函数解析式转化为
图象，借助图象发现性质；本章是培养学生发现和提出问题、分析和解决问题，发展学生抽
象概括、推理论证、直观想象、数据分析和数学运算等核心素养很好的载体.
(5)教学重点：用集合语言与对应关系建立函数概念；用区间表示定义域和判断函数的
相等；函数的三种表示法（解析法、列表法、图象法）及其各自的特点；函数单调性的符号
语言刻画，应用定义证明函数单调性的步骤；函数最大值、最小值的定义及应用；函数奇偶
性的概念及简单函数的奇偶性判断；幂函数的概念、幂函数图象与性质的探究；将实际问题
中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系.
二、单元目标和目标解析
1.目标
(1)在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，
建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，理解 y f (x)
的含义.
(2)了解构成函数的三要素，定义域、对应关系、值域，会用区间表示定义域、值域，
会用函数三要素判断函数是否相等.
(3)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如解析法、列表法、图象法）
表示函数，体验解析法、列表法、图象法的应用，感受各自的特点.
(4)通过具体的实例，了解简单的分段函数，知道分段函数是一种重要的函数模型，能
够根据给出的实际问题，写出分段函数的表达式，并能简单应用.
(5)借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用
和实际意义，能利用函数的单调性画出函数的图象，能根据图象写出函数的单调区间，对于
一些简单函数，能够判断函数的单调性、能够求出函数的单调区间.
(6)借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大（小）值，知道求函数最大值、最小
值的基本步骤；对于一些简单函数，能够求出函数的最大值和最小值.
(7)通过具体函数,使学生经历用符号语言精确描述函数图象对称性的过程,同时了解函
3
数奇偶性的概念和几何意义，掌握判断具体函数奇偶性的方法.
1
y = x, y = , y = x
2
, y = x, y = x
3
的图象，理解它们的变化
(8)通过具体实例，结合
x
1
y = x, y = , y = x
2
, y = x, y = x
3
这五个幂函数的图
规律，了解幂函数的定义，并且掌握
x
像与性质.
(9)体会函数与现实世界的密切联系，初步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和
规律的重要数学语言和工具.
(10)收集函数概念的形成与发展的历史资料，撰写论文，论述函数发展的过程、重要结
果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
(1)能通过丰富具体的实例，用归纳的方式抽象概括出函数的概念，并用建立在集合语
言与对应关系基础上的函数概念去理解函数；能够说出构成函数的三要素.
(2)能用区间正确表示函数的定义域、值域，能求出简单函数的定义域，能根据自变量
的值正确计算出对应的函数值.
(3)能够在实际情境中，根据不同的需要，选择恰当的方法表示函数，对于一些简单的
函数，能根据函数的解析式画出函数的图象．
(4)知道分段函数是一种重要的函数模型，能够根据给出的实际问题，写出分段函数的
表达式，并能简单应用.
(5)能从初中所学的函数有关增减性知识结合具体的函数，从文字语言、图形语言、符
号语言的角度描述函数的单调性，能深刻理解“任意”“都有”等关键词的含义；能够从形
和数的角度推理得出单调递增、单调递减区间；知道单调性反映了现实世界中事物在量的增
加或减小上的变化趋势.
(6)理解函数最大值、最小值的定义，能用自然语言、图形语言、符号语言正确描述函
数最大值、最小值，对于一些简单函数，能够求出函数的最大值和最小值.
(7)能够根据具体的数学问题，用归纳和类比的方式，抽象概括出函数的奇偶性的概念
和奇偶函数图象的特征，并能用数学符号语言表达函数的奇偶性，能从定义和图象特征判断
函数的奇偶性.
(8)能识别幂函数，能正确画出五种常见的幂函数的图象，并掌握它们的性质.
(9)能结合具体的现实问题情境，合理选择已经学过的正比例函数、反比例函数、一次
函数、二次函数、幂函数与分段函数等函数模型，解决简单的实际问题.
(10)能够在本章的学习中，提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理
的素养.
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三、单元教学问题诊断分析
从学生已经学习过的知识中看，初中阶段学生已经学习过“变量说”的函数概念，但
是没有涉及自变量与函数值的取值范围，也不知道为何要研究变量的取值范围；知道一次函
数、二次函数、正比例函数和反比例函数的概念和图象；知道函数单调性的文字语言描述；
知道轴对称和中心对称图象的形状特征；在高中数学必修一第一章中学习了集合中的符号语
言，“任意”“所有”等全称量词；在高中数学必修一第二章中学习了等式性质与不等式性
质，对于“基本性质”的本质有一定的认知.
从学生现有的学习能力看，通过“预备知识”的学习，学生在学习心理、学习方法和知
识技能等方面为本章的学习作了一定的准备，但是数形结合、特殊与一般、转化与划归等思
想方法，学生的感悟不高，学生具备的抽象概括能力不足，概念的内涵和基本性质的本质理
解不够透彻，不够深入，从现实情境归纳函数模型的能力相对欠缺.
本章教学难点定位为：如何在实例分析的基础上让学生通过比较、归纳、概括不同案例
中的共同特征，并由此建立函数概念，对“集合——对应说”的函数概念的理解；用区间表
示定义域，判断函数相等的依据；函数图像的认识，分段函数概念的理解；单调性中对“任
意”“都有”等涉及无限取值的语言的理解和使用；函数最大值、最小值的符号表示及存在
性；函数奇偶性符号语言的探究过程；函数基本性质的理解与运用；幂函数概念的抽象过程
及五个幂函数的图象和性质；实际问题抽象出函数模型及函数模型的运算求解.
因此教师在本章教学中要注重与现实的联系，注重引导学生学习集合语言和对应关系刻
画函数概念的必要性；结合等式性质与不等式性质的学习，让学生明白性质即为变化中的不
变性和规律性，因此，函数基本性质的存在具有了合理性，并且有着研究的必要性；函数单
调性的教学要注重其研究路径的分析，即具体函数—图象特征—数量刻画—符号语言—抽
象定义这一研究过程；对于最大（小）值和奇偶性的学习，因为研究过程和方法和单调性类
似，所以自然用类比的方法学习最大（小）值和奇偶性；通过幂函数的学习，使学生理解研
究一类函数的内容、基本思路（定义、表示—图象与性质—应用）和方法，为指数函数、对
数函数、三角函数的学习提供研究的路径与模式；通过函数的应用让学生体会如何利用函数
的概念及其蕴含的数学思想方法解决简单的实际问题.
整体而言，在每一课时的教学中都要注重前后知识内在的逻辑结构，能够让学生理解“函
数的事实—函数概念的定义、表示—函数的性质—基本初等函数—函数的应用”这一大的结
构顺序编排的合理性.因为本章概念的抽象性、基本性质用数学语言表达的多样性和符号语
言的抽象性，以及实际问题如何抽象出数学问题等都需要老师遵循知识的发生发展过程，尊
重学生的认知理解过程.所以，根据本章知识的内在逻辑结构，教师需要精心设计、精心组织，
积极引导学生积极参与，以帮助学生形成有效的知识结构体系，并感知研究一类概念的基本
路径与方法.
四、单元教学支持条件分析
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根据本章教学内容的特点，为了更直观形象的突出重点、突破难点，也为了调动学生的
学习兴趣，在教学中可以借助信息技术，如借助多媒体设备呈现教学中需要的图片、音频和
视频等问题情境材料，如用几何画板等软件绘制函数图象，变抽象为直观，体会数形结合思
想，为数学抽象提供直观的背景，如用几何画板等软件观察图象中动点变化时坐标与几何之
间的关系，有利于正确理解函数的性质.
五、教学方法与教学手段
问题引导教学法、启发式教学、小组合作学习.
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