2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册3.2.1单调性与最大（小）值教学设计

课题：3.2.1单调性与最大（小）值
一、内容和内容解析
1.内容
函数的单调性.
2.内容解析
函数的单调性是函数的基本性质之一，它刻画了函数的增减变化趋势.
函数的单调性是函数的“局部”性质，即它通常是在函数定义域的某个子集上具有的性
质.从初中到高中，函数单调性概念的形成，经历了从定性到定量的过程，实现了变化规律
的精确化表达，体现了数学抽象的一般过程，对于培养学生的数学抽象能力具有重要意义.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：借助符号语言刻画函数图象从左向右的上升（下
降），得到单调性定义，运用定义证明常见函数的单调性，形成研究函数基本性质的思路.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性，理解它们的作用和实际意义；
(2)会用定义证明简单函数的单调性.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）经历借助函数图象变化趋势，用数量刻画特征，再到符号语言表达特征的探究过程，
形成单调性定义.积累应用从特殊到一般、类比、数形结合等方法研究函数基本性质的经验，
发展直观想象和数学抽象素养.
（2）体验利用单调性定义证明函数单调性的作用与过程，掌握证明的基本步骤：取值—
—作差——变形——判号——定论,发展逻辑推理素养.
（3）在抽象函数单调性的过程中感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用，体会通过
引入“ x ,x ∈ D”的符号表示，把一个含有“无限”的问题转化为一种“有限”方式表示的
方法，感受数学符号语言的作用.
1
2
三、教学问题诊断分析
学生的已有认知基础是,在初中阶段,通过对一次函数、二次函数和反比例函数性质的学
习，学生能够结合具体的函数图象，用自然语言定性的刻画函数的性质，并积累了一些利用
函数单调性比较两个实数大小的经验.在上一节内容进一步学习了用集合语言刻画函数的概
念，认识到构成函数概念的三个要素，函数的本质就是两个非空数集之间的一种对应关系和
函数的三种表示方法，能够结合函数图象，用集合语言描述具体函数的三个要素，积累了一
些通过观察函数图象分析函数特征的经验.通过对集合的概念和表示、集合的性质和运算的
学习，初步体会研究数学对象的一般路径.通过对充分必要条件学习，对如何认识数学对象
的“性质”有了进一步认识.通过对逻辑语言的学习和不等式性质的学习，为用符号语言刻
画函数的性质奠定了基础.
即便如此,由于高一新生处在由感性为主的经验型思维向理性为主的抽象型思维的过渡
期，这需要一个较长的过程，因此在使用符号语言表述函数性质的过程中,“任意”两字是
学生遇到的一个难点.另外,根据定义证明具体函数的性质也是一个难点，原因是刚进入高一
的学生推理论证能力还比较薄弱，尤其是在代数方面的内容上，前面缺少足够的学习经验.
根据以上分析，确定本节课的教学难点：符号语言的引入，对“任意”“都有”等涉及
无限取值的语言的理解和使用.
四、教学支持条件分析
利用信息技术，采用动态方式展现函数值随自变量变化的规律，体会取值的任意性.
五、教学过程设计
（一）创设情境，联系生活
引导 语：前面我们分别学习了函数的定义和表示法，用严谨的集合和对应语言表述了函
数的概念，明确了函数的三要素是：定义域、对应关系、值域.之后又学习了函数的三种表
示法，分别是：解析法、列表法、图象法.从中我们更深刻地感受到对于客观世界中各种各
样的运动变化现象，都可以借助函数模型来描述.
情境 一：这是“神舟十二号载人飞船“的发射过程，飞船离发射点的距离随时间的变化
而变化，具体来说，随着时间的增加距离在不断变大.
情境 二：这是一段过山车的体验过程，随着时间的增加体验者离地面距离在交替地增大
减小，也因此增强了体验的刺激感.
以上的运动变化反映在函数图象上，便是图象的变化趋势.
师生活动：教师引导学生发现两个情境中离地面距离随时间变化而变化的函数关系，以
及增减趋势.
设计意图：在现实世界的运动变化中，增减趋势是主要的变化规律之一，通过熟悉的生
活情境让学生感知这一点，为后面引进函数单调性的概念来刻画这种变化规律做好铺垫，并
让学生感受到数学是来源于生活并应用于生活，提高学习数学的兴趣，激发探索欲.
问题一：从上述变化的角度观察下列函数图象，说说它们的特点.
追问：除了变化趋势外，图象还有哪些其他特征吗？
师生活动：请不同的学生代表回答，尽可能多地从不同角度作出回答，老师予以肯定，
并指出所回答的特征与之后学习内容的联系，体现本单元的整体性与联系性.
预设回答：1.第一个图象是上升的，第二个第三个图象有升也有降.
2.第一个图象关于原点对称，第三个图象关于 y轴对称.
3.第二个图象有最高点，第三个图象有最低点.
4.第一个图象虽然一直在上升，但是一开始上升的越来越慢，后来又越来越快等等.
教师指出：函数图象所反映的这些特点
就是函数的性质，有我们即将要学习的单调
性最、大（小）值、奇偶性.对于图象在某个区
间保持上升或下降的特点的就是函数的单调
性，也是本节课要学习的内容.
设计意图：通过观察函数图象从多角度
得出图象特征，提高学生直观想象的学科素
养，为大单元教学中知识的延续性、思维的连
贯性、方法的一致性做好指引.
(二)探究新知，引出概念
问题二：以二次函数f(x) = x2为例，探究单调性的符号语言.
思考 1:观察函数图象，如何描述图象在 y轴左侧的变化趋势？
预设回答：是下降的.
追问 1：能不能说是上升的？
预设回答：按照习惯自左向右观察图象，所以是下降的.
追问 2：为了更直观地感受图象的下降，可在左侧图象上选取点 A进行拖动，按什么方
向拖动？点除了从左向右变化外，还伴随着怎样的变化？
预设回答：沿着图象从左向右拖动，发现点除了从左向右变化外还伴随着从上到下的变
化.
设计意图：发展学生的直观想象素养，为后面的以数解形做好铺垫，明确图象变化趋势
的观察方向，方便得出相应的符号语言.
思考 2：对于上述变化我们能不能从数量的角度进行刻画呢？
追问 1：点的位置是由什么确定的呢？
预设回答：坐标.
追问 2:在点 A从左向右的变化过程中坐标如何在变？
预设回答：横坐标在变大，纵坐标在减小，而且纵坐标随着横坐标的增大而减小.
教师指出：站在函数的角度，又可以说成当x < 0时，函数值随自变量的增大而减小.
追问 3:“增大”“减小”如何用数量刻画？
师生活动：在教师的启发下，请学生代表上黑板经历实践过程，发现规律，师生一起完
善思路，明确探究方向.
“增大”“减小”意味着需要两个量来比较，那么在点 A的拖动过程中，随机暂停，便
可以得到一些点，请两位同学上来展示一下获取点的过程并记录下它们的坐标，完成表格.
让学生结合数据来具体描述“函数值随自变量的增大而减小”，如：当自变量x从-4 增大到-3
时，则函数值 y 从 16 减小到 9 等等.我们可以借助不等式当 4 < 3,则 f( 4) > f( 3)来表示不等
关系.
由于我们可以在这个过程中获取更多的点，所以这样的不等式写不完，更重要的是，具
体数值无法表示“一直变化”的过程，所以我们需要借助具有一般性的符号来表示.
设计意图：探究对“y 轴左侧图象自左向右是下降的”进行数量刻画的过程，结合第二
章已学习不等式表示大小，得到一些特殊的不等式，为推广到一般的符号语言埋下伏笔.
思考 3:如何用符号语言表示“x < 0时，函数值随自变量的增大而减小”？
师生活动：学生小组讨论，然后展示，得出结论.
初中就学习过用字母表示数，而且字母具有一般性.所以在 y 轴左侧图象上选取一点 A,
记坐标为（x ,f(x )）,也就是在( ∞,0)上取一个数x ，相应函数值为 f(x )，随自变量的增大，
1
1
1
1
也就是从左向右，所以在 A 点右侧选取一点 B，坐标为（x ，f(x )），显然x < x 而函数
2
2
1
2,
值减小便是 f(x )>f(x ).
1
2
追问 1：“随着”说明了两个不等式之间是怎样的关系？
预设回答：是条件与结论的关系，在x < x 的条件下，有 f(x )>f(x )的结论.
1
2
1
2
追问 2： x ，x 的取值有多少对？
1
2
预设回答：无数对.
教师指出：回忆点 A、B 的产生过程，结合第一章所学内容可知，x 、x 的取值是任意
1
2
的.综上所述， x x ∈ ( ∞,0),当x < x 都有 f(x ) > f(x )，此时我们称函数f(x) = x
1,
2
2
1
2,
1
2
在区间( ∞,0)上单调递减.
追问 3:类比上述过程，你能用符号语言刻画f(x) = x2图象在 y 轴右侧的变化趋势吗？
图象在 y 轴右侧是上升的，也就是x > 0时，函数值随自变量的增大而增大，所以在 y 轴
右侧图象上选取一点 A,记坐标为（x ,f(x )）,也就是在(0, + ∞)上取一个数x ，相应函数值为 f
1
1
1
(x )，随自变量的增大，也就是从左向右，所以在 A 点右侧选取一点 B，坐标为（x ，f(x )），
1
2
2
显 然 x < x 而 函 数 值 增 大 便 是 f(x ) 1,
1
2,
1
2
2
1
2,
都有 f(x ) < f(x )，此时我们称函数f(x) = x 在区间(0, + ∞)上单调递增.
2
1
2
设计意图：该环节是本节课的重点，其核心是通过具体到抽象的过程，让学生学会用严
格的符号语言刻画“x < 0时，函数值随自变量的增大而减小”.在“图象从左向右下降——y
随 x 的增大而减小——任取x x ∈ ( ∞,0),当x < x 都有 f(x ) > f(x )”的不断精确化
1,
2
1
2,
1
2
的过程，引导他们体会借助符号，体会用“任意”刻画“无限”的数学方法的威力，并有效
地突破 x 取值任意性这一难点.
（三）二次体验，抽象定义
问题三：函数f(x) = |x|,f(x) = x2各有怎样的单调性？
师生活动：学生结合图象说出函数在区间上的单调性，对于第二个函数再用符号语言进
行描述.
设计意图：从数形结合的角度感悟函数图象的变化趋势和符号语言的刻画.
问题四：一般函数y = f(x)的单调性是如何定义的？
师生活动：先由学生独立完成，然后小组交流，再组织全班交流，在充分交流的基础上，
请学生代表相互补充，教师给出严格的单调性定义表述.
定 义 ： 一 般 地 ， 设 函 数 f(x)定 义 域 为 I， 区 间 D
x x ∈ D,当 x < x
I，如果 1,
2
1
2
时，都有 f(x ) < f(x )，那么就称函数 f(x)在 D 上单调递增.
1
2
x x ∈ D,当 x < x 时，都有 f(x ) > f(x )，那么就称函数 f(x)在 D 上单调递减.
如果 1,
2
1
2
1
2
教师强调：区间 D 体现了单调性是局部性质；x < x 体现了从左向右观察的角度;
1
2,
在x < x 前提下判断 f(x )与 f(x )的大小
的有限操作.此时我们就说函数 y=f(x)在区间 D 上有单调性，区间 D 叫做函数 y=f(x)的单调区
间.
保障了变化过程的连续性，将无限的过程转化为
1
2
1
2
设计意图：通过聚焦研究帮助学生逐步勾勒出函数单调性的符号语言，让学生充分参与
到概念的建构过程中，切身体验数学概念如何从直观到抽象、从文字到符号、从粗疏到严密
的过程,让他们充分感悟到数学概念符号化的建构原则,通过逐层分解、逐步抽象的微观建构，
真正提升学生在建构中的直观想象、数学抽象等核心素养.
概念辨析：你能结合图象举例说明，若区间上x x 的取值不满足任意性，还能根据定义
1,
2
得到函数的单调性吗？
师生活动：学生独立思考完成，教师可以提醒学生用多种方法表示函数，特别是利用图
象直观说明问题.
设计意图：引导学生辨析定义中的“任意”二字.
追 问：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内单调递增
或单调递减的函数吗？
师生活动：学生容易想到初中学习的一次函数，教师正好给出增（减）函数的定义.
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数.
设计意图：为了区分在定义域内某些区间上“增”而在另一些区间上“减”的函数,避
免混淆.
(四)学以致用，解决问题
例 1.根据定义，研究函数f(x) = kx + b(k ≠ 0)的单调性.
追 问：观察图象，你对函数的单调性有怎样的判断？利用定义证明单调性时，你的思路
是什么？
师生活动：先让学生独立思考，再请学生代表说证明思路.
教师板书过程，再请其他同学指出不足.强调判断函数值f(x )与f(x )的大小关系，就是基
1
2
于两实数大小关系的基本事实，只需要将函数值大小关系转化为判断它们差的正负，即与 0
比大小，这种方法形象地称为作差法，操作过程为作差——变形——判号——定论，其中变形
的手段多样，对于整式常采用因式分解，配方，对于分式采用通分，而对于根式采用有理化，
在证明单调性的过程中，需要先给出x < x 的前提条件，我们称为取值.通过作差将“无限”
1
2
的问题转化为了具体可操作的“有限”过程.
设计意图：关于一次函数的单调性，初中是通过观察图象得到的，这里是利用定义通过
严格的逻辑推理证明结论.由此，不仅体现了形式化定义的作用，而且通过比较简单的推理
过程，让学生理解用单调性定义考察函数单调性的基本方法.
k
V
例 2.物理学中的玻意耳定律p = (k 为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积 V
减小时，压强 p 增大，试对此用函数的单调性证明.
追 问：定律中的公式是哪种函数模型？自变量的取值范围是什么？你能结合图象对单调
性作出判断吗？“体积 V 减小时，压强 p 增大”的含义是什么？
师生活动：让学生独立完成证明，进行板书，完成后再进行点评完善.
设计意图：例 2 是一个物理学中的公式，本例要使学生体会函数模型可以用来刻画现实
世界中的现象，而且数学研究的不是一个现象而是抽象概括出来的一般性问题，将一些不同
的现象抽象成一类函数，通过研究这一类函数的性质获得事物的变化规律.
k
x
思考 1：对于反比例函数y = ,（k 为正常数）如何描述它在定义域上的单调性？
思考 2：是否每个函数都会画出它的图象？如f(x) = x3,我们可以通过什么方法知道它图
象的变化趋势呢？
（五）归纳反思，深化总结
1.我们是如何探究单调性的？探究过程是怎样
的？
2.单调性的定义是什么？如何用定义证明一个
函数的单调性？
3.本节课的学习过程体现了哪些数学思想？你
有哪些感悟？
4.单元框架
师生互动：学生概括,教师补充.
下节课我们将继续从不同角度观察函数图象，沿用单调性的探究路径，将图象特征符号
化，得到更多的性质，如最大（小）值和奇偶性，之后会学习进入高中以来遇到的第一类函
数——幂函数，结合所学性质去认识它.
设计意图：1.让学生准确叙述单调递增、单调递减、增函数、减函数的概念，使学生进
一步把握单调性的要点.
2.引导学生进一步理解“函数有意义”是讨论函数单调性的前提，“ x x ∈ I,且设 x
1,
2
1
< x ”的含义，如何对“f(x ) f(x )”进行代数变形.
2
1
2
3.使学生体会“从定性到定量的”研究思路，即通过图象直观及自然语言刻画得到函数
性质的定性刻画，再用符号语言进行定量刻画，从而使函数性质得到严谨的数学表达.
（六）作业布置，自我提升
1.基础作业：课本 79 页，练习第 4 题；
习题 3.2 第 1-3 题.
2.提升作业：对于函数f(x) = x3，可以利用定义证明单调性来判断图象的变化趋势吗？
1
3
3.探究作业：函数单调性定义有怎样的等价形式？用信息技术画出f(x) = x3和 f(x) = x
的
图象，区别在哪？能否从等价形式的角度作出解释？
六、目标检测设计
A组 适用普通高中学生
1.函数y = f(x)在区间[ 2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间
A．[－2,0]
C．[－2,1]
B．[0,1]
D．[－1,1]
6
x
2.函数y = 的减区间是(
)
A．[0，＋∞)
B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
3.在下列函数中，满足对任意x ，x ∈ (0, + ∞)，当x < x 时，都有f(x ) > f(x ) (
)
1
2
1
2
1
2
1
x
A.f(x) = x2
B．f(x) =
C．f(x) = |x|
D．f(x)＝2x＋1
2
x
4.证明函数f(x) = x + 在( 2， + ∞）上是增函数．
B组 适用重点高中学生
(3a 1)x + 4a，x < 1
1.若函数f(x) = {
是定义在 R 上的减函数，则 a的取值范围为(
)
ax，x ≥ 1
1
8
1
3
1
3
A.[ ， )
B．(0， )
1
8
1
1
[ ， + ∞)
( ∞， ] [ ， + ∞)
8 3
C.
D．
∪
2.已知y = f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1 a) < f(2a 1)，求 a的取值范围.
3.已知函数 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，若a，b ∈ R 且a + b > 0，则有(
)
A．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
B．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b)
D．f(a)＋f(b)1
2
4.判断并证明函数f(x) = ax + (其中 1 < a < 3)在[1,2]上的单调性．
x
设计意图：考查学生从数形结合的角度认识函数的单调性，感受“形”的直观以及“数”
的严谨，使学生能更熟练地应用定义来证明单调性，掌握证明步骤,初步感受单调性在研究
不等式方面的应用.