2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册10.1有限样本空间与随机事件教学设计

《有限样本空间与随机事件》教学设计
课程基本信息
学科
高中数学
年级
有限样本空间与随机事件
名：人教 2019版高中数学必修第二册
出版社：人民教育出版社
高一
学期
秋季
课题
教科书
书
出版日期：2019年 01月
教学内容分析
本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教 A 版）第九章《10.1.1 有限样本空
间与随机事件》，本节课是在初中概率学习的基础上，进一步用数学语言对有限样本空间、样
本点、随机事件等概率理论的核心概念进行深入刻画，样本空间的概念是数学化随机现象过
程中的基础部分，它的重要性在于可以描述随机试验的结果，而且是测量随机事件的基础，
随机试验以多个结果为特征，每个可能的基本结果称为样本点，有限样本空间是指只有有限
个可能的结果所成的集合.用集合语言描述样本空间与样本点概念，就可以利用样本点的特征
与分类将随机事件定义为样本空间的子集，并在此基础上定义基本事件与事件的发生.将必然
事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子
集.引入样本空间概念，把随机事件看成样本空间的子集，不仅体现了重要概念的螺旋上升，
而且进一步揭示了随机事件的本质.通过集合语言，可以类比集合的关系与运算，更好地理解
事件的关系和运算的意义，引入样本空间概念还有利于对实际问题进行数学抽象，建立概率
模型，以及在后续概率课程的学习中，理解随机变量的本质是样本空间到实数集的映射.本节
课的学习，一方面让学生通过不同的实例抽象出有限样本空间概念，以及利用样本空间描述
一个随机试验的结果，利用集合语言与样本点描述一个随机事件，发展学生的概率思维、数
学抽象、数学语言表达与交流的能力.另一方面，还可以让学生认清有限样本空间概念与随机
事件等概念的纵向联系，体会这种定义方式对于理解随机性的意义。
学情分析
学生已有的认知基础包括初中的"概率初步"和上一章的"统计"，但是概率统计研究的是
不确定性数学，其思想方法与确定性数学存在巨大差异.要想建立起科学的概率统计思维，还
需要经过长期学习.
本节课的样本点、样本空间、用集合定义随机事件是学生首次接触.那么，为什么要用集
合语言刻画随机现象和随机事件呢 学生对此可能会有疑问.换言之，从初中描述性的概念到
高中准确的数学表达，学生在理解上可能会有困难.而起始概念的建立需要扎实到位，才能有
利于后续的学习.
此外，面对一个实际情境，学生未必能够很好地表示出试验的样本空间、随机事件，主
要表现在不知道选用什么样的符号和形式来表达样本点，这需要经过一定的训练和指导.
教学目标
课程目标：
1.理解随机试验的概念及特点；
2.理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间；
3.理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，并会判断某一事件的性质。
学科素养：
1.数学建模：随机实验及样本空间的概念；
2.逻辑推理：通过不同的方法（列举法、树状图法、列表法）分析随机实验的样本空间；
3.数学运算：能够准确地不重不漏地罗列随机事件的样本空间，例如随机抛掷两枚筛子向上
的点数和、抛掷两枚硬币正面朝上所有的情况等。
重难点
重点：
1、了解随机现象、随机试验的特征.
2、理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点、样本空间的关系.
3、能够准确、规范地写出实际情境中的样本空间、随机事件，提高抽象表征能力.
难点：
1、用适当的符号表达样本点，用不同的方式罗列样本空间。
2、理解随机事件和样本空间的关系
教学策略
通过创设情境、直观感知、抽象概括的过程，建构概念，并进行规范的表达，具体如下.
（1）结合丰富、典型的实例，加强学生对随机现象的随机性及随机性中表现出来的统计规律
性的直观感知.选择贴近学生实际生活的案例和概率论中的部分经典案例，分析其中的不确定
性，以及随着观测次数的增加随机现象呈现出来的规律性.
（2）在抽象样本点的概念之前，先设计合适的试验（试验结果分别采用文字、字母、数字表
示），让学生尝试表达试验结果.得到概念后，再次强化文字、字母、数字三种形式的相互转
化.规范表达样本点、样本空间与随机事件，提高数学表征能力.
（3）注重知识的内在逻辑，从"随机现象、随机试验"到"样本点、样本空间"，再到"随机事
件"，都做到过渡自然、衔接连贯，搭建清晰的知识网络. 按照"情境问题—实例探究一抽象
表征—建立概念一刻画深构—迁移应用"的模式展开教学。
教学过程
一、情境引入
（一）小视频四则：播放四则小视频，第一则小视频为麦迪时刻（麦迪 35秒的时间投中
13 分），在麦迪起跳的那一刻视频终止，并播出字样球能进么？第二则小视频为欧洲杯足球
赛中裁判以掷硬币的方式确定发球权，当硬币落在手背上时视频终止并出现正面朝上还是反
面朝上字样。第三则视频为猴子水中捞月的视频，并配上文字能发生么？第四则视频是插在
沸腾水中的温度计显示温度为 100摄氏度，配上文字常温常压下 100摄氏度水会沸腾么？
（二）问题 1：将上述四个现象进行分类你会怎么分？
学生归纳概括，上述四则现象按照发生的可能性可以分为三类，投篮和掷硬币放在第
一类表示可发生也可能不发生的情况。水中捞月是第二类表示不可能发生的现象。常温常压
100摄氏度情况下水沸腾是第三类情况表示必然发生的现象。
（三）问题 2：投篮进球是随机的，在一次比赛中如果让你传球，你会传给麦迪还是李
老师？为什么？
学生回答，会选择麦迪，教师进行追问，为什么会选择麦迪而不是李老师呢？学生回
答，因为麦迪的命中率比李老师高。这时教师展示麦迪、姚明、詹姆斯生涯的投球命中率，
麦迪为 43%，姚明为 52%，詹姆斯为 47%，教师引导学生虽然每次投球命中还是不命中是随机
的但是大量试验的情况下某人的投球命中率具有稳定性。
（四）问题 3：探究掷硬币正面向上的频率（小组分组试验掷一枚硬币十次，六人为一
组，第一人抛掷，第二人记录正面朝上的次数，第三人汇报其余同学监督）
教师在学生周围指导学生应该控制好硬币下落的高度保持其他条件的一致性。等试验
做完了请五组小组汇报结果，研究每一个小组的正面朝上的频率并将五组同学的结果汇总再
探究正面朝上的次数与频率。最后通过几何画板模拟掷 200 枚硬币的情况，并用动画展示正
面向上频率的变化，请一位学生总结规律。学生回答，试验次数较少的情况下频率波动较大，
而在试验次数足够多的情况下，正面向上的频率趋于稳定。教师总结，虽然每一次掷硬币试
验出现正面还是反面朝上是不确定的，但是大量实验的情况下出现正面朝上的频率具有稳定
的趋势。
【设计意图】篮球投篮是受到很多随机因素干扰的真实的生活情境，既体现出随机现象的特
点，又体现出利用概率进行决策的思想.掷硬币这个例子是概率论中的经典案例，通过计算机
模拟试验及学生现场参与掷硬币活动，让学生的思考更充分.让学生用随机的思想看待周围的
事物，感受随机现象的普遍性.通过对于篮球和掷硬币现象的深入探究，让学生能直观的感受
到虽然二个现象出现哪个结果不确定，但是大量实验的条件下出现某结果的频率具有稳定性，
从而得到随机现象的概念，加深学生对于随机现象的理解。
二、新课讲解
（一）形成概念：教师引导学生形成随机试验的概念。
随机现象：在一定条件下不能事先预知结果，且各个结果发生的频率都具有稳定性的
现象称为随机现象。
随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验(Random Experiment)，
简称试验，常用字母 E表示。
随机试验的三个特征：
1、试验可以在相同条件下重复进行。（可重复性）
2、试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个。（可预知性）
3、每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果。
（随机性）
（二）问题探究：
例 1：抛掷一枚硬币，观察它落地朝上的情况，写出所有可能的结果。
例 2：抛掷一枚骰子，观察它落地朝上面的点数，写出所有可能的结果。
我们研究随机现象，进行随机试验，自然就要观测试验的所有可能结果.那么，就应当
先用某种方式对试验结果进行表示.如何表示上述两个随机试验所有可能结果 学生回答，例
1中所有可能的结果为正面朝上和反面朝上，而例 2中所有可能结果是 1、2、3、4、5、6。
接下来教师在黑板上总结学生的答案，在讲述正面朝上和反面朝上的时候，画一个圈将之圈
住问学生这个形状像我们之前学的什么？学生回答像集合里面的韦恩图。教师这时阐述概念，
把试验所有可能的结果称为样本点，而样本点构成的集合称样本空间。
（三）形成概念：
样本点、样本空间：我们把随机试验 E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本
点的集合称为试验的样本空间. 一般地，我们用 Ω 表示样本空间，用表示样本点.
注：1、基本结果为不可再分的结果。
2、样本点个数有限的样本空间称为有限样本空间（研究对象）。
3、样本空间的实质为样本点构成的集合（书写要规范）。
4、样本空间可由文字、字母、数字等多种方式表示。
（四）例题探究：
例 1（变式）：抛掷一枚硬币，观察它落地朝上的情况，写出其样本空间。
投影学生的解答过程，师生共同评析∶该试验的样本点是二维的，可以用数串或数对
来表示;为了保证不重不漏，可以借助树状图来帮助列举;对比三种语言表述，从文字到字母
再到数字，抽象化的程度逐步提高（采用 0和 1表示具有更多的好处，在今后的学习中会有
所体会）.教师出示例 1的规范解答，师生共同总结书写格式∶
文字表示：={正面朝上，反面朝上}
字母表示：如果用 h 表示“正面朝上”，t 表示“反面朝上”，则样本空间可以表示 Ω={h,t}．
数字表示：如果用 1 表示“正面朝上”，0 表示“反面朝上”，则样本空间可以表示 Ω={1,0}．
例 3：先后抛掷两枚硬币，观察它落地朝上的情况，写出其样本空间（尝试用不同的
方法表示）
投影学生的作答情况，该例题的目的在于通过刚才对于样本点书写的规范化使学生能
够学以致用，教师出示例 3 的规范解答，指出首先以树状图进行所有可能情况的分析，其次
师生共同规范书写的格式：
字母表示：用 h 表示“正面朝上”， t 表示“反面朝上”，则 Ω={hh,ht,th,tt}
数字表示：用 1 表示“正面朝上”， 0 表示“反面朝上”，则 Ω={11,10,01,00}
数对表示：一枚硬币可能的基本结果用 x 表示，第二枚硬币可能的基本结果用 y 表示，
那么试验的样本点可用(x,y)表示，Ω={（1,1），（1,0），（0,1），（0,0）}.
例 3（变式）：先后抛掷两枚硬币，观察正面朝上硬币的个数，写出其样本空间。
该题与例 3的区别在于虽然试验是一样的但是研究对象不一样，例 3研究正面朝上的
情况而变式研究正面朝上硬币的个数，意在培养学生的举一反三能力。投影学生的作答过程，
教师做出规范作答，Ω={0,1,2}。并得出结论同一随机试验，若试验目的不同，则得到的样本
空间也不相同。
（五）情境探究：
情境：抛掷一枚骰子，观察向上点数
问题 1：掷出奇数点是随机事件么？如何判断该事件发生了？用集合的形式表示它。
该集合与Ω有何关系？
问题 2：掷出 3 的倍数是随机事件么？如何判断该事件发生了？用集合的形式表示它。
该集合与Ω有何关系？
首先引导学生回忆初中所学随机事件的定义 （在一定条件下，可能发生也可能不发生
的事件），那么上述两个事件显然是随机事件。其次引导学生思考这两个事件发生的含义，进
行双向互推∶当"掷出奇数点"时，意味着集合{1，3，5}中的一个样本点发生;反之，若集合{1，
3，5}中的一个样本点出现，则意味着事件"掷出奇数点"发生.因此，可以用集合{1，3.5}表示
事件"掷出奇数点".第二个例子同理.从而得出随机事件与样本点、样本空间的关系.在以上问题
的基础上，得到随机事件的定义。我们将样本空间 Ω 的子集称为随机事件，简称事件，一般
用大写字母 A、B、C...表示.在每次试验当中，当且仅当 A 中某个样本点出现时称为事件 A
发生。
追问：既然随机事件是样本空间的子集，子集有哪些特殊情况？
学生容易想到空集和样本空间自身.教师引导学生，只包含一个样本点的事件也是比较
特殊的，结合样本点的含义，这类事件应该叫基本事件. 结合初中所学，样本空间自身应该
叫做必然事件，空集应该叫做不可能事件.教师引导学生利用事件发生的含义进行解释，并让
学生以掷骰子为例来举出必然事件和不可能事件，直观、正确地来理解这两个概念.教师指出，
必然事件和不可能事件是不具有随机性的，这里是将它们作为随机事件的两个极端情形，以
方便统一处理.
（六）课堂小游戏：
下列情境中哪些是必然事件。用游戏的方式让两位同学上黑板演示，选出对错，极大
提高学生的学习积极性。
1、从分别标有数字 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张，得到标有数字 4 的标签
2、函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)为增函数
3、平行于同一条直线的两条直线（不重合）平行
4、随机选取一个实数 x，得 2x<0
三、课堂练习
（一）练习 1：
从高一年级某 3位教师中选择 2位教师分别参加午、晚的交通岗执勤工作，写出该事
件的样本空间。
解：用 1,2,3分别表示三位老师，则={12,13,21,23,31,32}
（二）练习 2：
如图，一个电路中有 A、B 、C 三个电器元件，每个元件可
能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，
观察这个电路中各元件是否正常．
⑴写出试验的样本空间;
⑵用集合表示下列事件：
N = “电路是通路”；
投影学生的解答过程，师生共同评析∶面对复杂的实际情境，要先分析试验的所有可
能结果，然后选择恰当的符号形式，按照规范步骤写出样本空间.例如，该题的试验结果可用
三维数组表示，借助树状图可以更加直观、有序地写出所有可能结果.再分析具体的随机事件，
用集合表示出来.
四、课堂总结
1.样本点与样本空间
样本点∶随机试验 E 的每个可能的基本结果.
样本空间∶全体样本点的集合.
2. 随机事件
随机事件∶ 样本空间 Ω 的子集;
基本事件∶只包含一个样本点的事件;
必然事件∶样本空间 Ω;
不可能事件∶ .