湖南省娄底市2021-2022学年高三上学期期末教学质量检测数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 湖南省娄底市2021-2022学年高三上学期期末教学质量检测数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 965.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-31 13:08:14 | ||
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文档简介
娄底市2021-2022学年高三上学期期末教学质量检测
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．已知，，若向量，共线，且，则实数m的取值为（ ）．
A．1 B． C．3 D．
3．复数在复平面内对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．函数的图象大致是（ ）．
A．B．C．D．
5．若，则（ ）．
A．9 B． C．405 D．
6．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．1
7．已知双曲线的左焦点为，M为C右支上任意一点，D的坐标为，则的最大值为（ ）．
A．3 B．1 C． D．
8．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．2017年3月，由国家信息中心“一带一路”大数据中心等编写的《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》发布，呈现了我国与“一带一路”沿线国家的贸易成果现状报告．贸易顺差额=贸易出口额-贸易进口额．由数据分析可知，在2011年到2016年这六年中（ ）．
中国与“一带一路”沿线国家出口额和进口额（亿美元）
A．2016年中国与沿线国家贸易进口额最小
B．中国与沿线国家贸易进口额的中位数为4492亿美元
C．中国与沿线国家贸易出口额逐年递增
D．中国与沿线国家贸易顺差额逐年递增
10．已知数列满足，，为数列的前n项和，则（ ）．
A．
B．是关于n的单调递增数列
C．可以取到的任意一个值
D．若对一切正整数n都成立，则
11．在三棱锥中，已知，，，平面平面ABC，且，则（ ）．
A．
B．平面平面ABC
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球的表面积为
12．已知函数，若关于x的方程有3个不同的实数根，则t的取值可以为（ ）．
A． B． C． D．3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知a，b为正实数，且，则的最小值为______．
14．已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点到焦点的距离，则点M的坐标为______．
15．设D，E，F分别为边长为2的三角形ABC的三边的中点，从这6个点中任意取出三个不共线的点，则这三点构成的三角形面积为的概率为______．
16．若四棱锥的各顶点都在同一个球O的表面上，底面ABCD，，，，，则球O的体积为______．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在等差数列中，已知，是一元二次方程的两个根．
（1）求，；
（2）求的通项公式．
18．（本小题满分12分）
在中，已知，．
（1）若，求的面积；
（2）若，求的周长．
（参考数据：．）
19．（本小题满分12分）
某机构对于某地区的10000户家庭中的年可支配收入的调查中，获得如下的统计数据：60％的家庭将年可支配收入购买银行结构性存款，20％的家庭将年可支配收入存入银行，其余家庭将年可支配收入用于风险投资．又已知银行结构性存款获得的年收益率为5％的概率为95％，获得的年收益率为％的概率为5％，存入银行的年收益率为2％，风险投资的平均收益率为3％，以下把频率当概率．假设该地区的每个家庭的年可支配收入为10万元．
（1）求家庭的可支配收入不存入银行的概率；
（2）设年可支配收入为10万元获得的年收益为X，求X的分布列和数学期望．
20．（本小题满分12分）
如图，在长方体中，，．若平面APSB与棱，分别交于点P，S，且，Q，R分别为棱，BC上的点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）设平面APSB与平面所成锐二面角为，探究：是否成立？请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C的标准方程为，右焦点为F，离心率为，椭圆C上一点为．直线AB的方程为，交椭圆C于A，B两点，M为AB中点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过F且与AB垂直的直线与直线OM交于P点，过O点作一条与AB平行的直线l，过F作与MO垂直的直线m，设，求证：直线轴．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）证明：函数在区间内存在唯一的极大值点；
（2）判断函数在上的极值点的个数．
（参考数据：，，）
娄底市2021-2022学年高三上学期期末教学质量检测
数学参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A A C B D B AB BD ABC AB
1．C
【解析】联立，解得，
则，故选C．
2．B
【解析】因为向量，共线，所以，
所以或，
因为，所以实数m的取值为．
3．A
【解析】∵，
∴z在复平面内对应的点为，位于第一象限．故选A．
4．A
【解析】为偶函数，图象关于y轴对称，所以排除D，
又，排除B，C，所以选A．
5．C
【解析】因为，
所以．
6．B
【解析】将的图象向右平移个单位长度后
得到的图象．
因为，所以，
因为在上单调递减，
所以，即，所以的最大值为，故选B．
7．D
【解析】双曲线的实半轴长为，右焦点为，
所以，
当且仅当M，，D三点共线时取等号．
8．B
【解析】，，故．
，即，所以，即，
因为，所以．
在同一坐标系内分别作出函数，的图象得，
当时，成立，
运用此结论得，，即，
所以，所以，
所以，所以．
9．AB
【解析】2011年中国与沿线国家贸易出口额最小，进口额最小的是2016年，所以A正确；
由已知的数据计算得，B正确；
2014年到2016年的出口额为6370.4，6145.8，5874.8，所以C错误；
又2011年至2016年的贸易顺差额依次为：142.9，428.6，976.8，1536.8，2262.4，2213.7，2016年开始下降，所以D错误．故选AB．
10．BD
【解析】当时，，即，
当时，，所以，
当时，，也满足，所以，所以A不正确；
，
故
，
因为关于n为单调递增，所以B正确；
所以，但n只能取正整数，所以不可以取到的任意一个值，所以C不正确；
若对一切正整数n都成立，则，所以D正确．
11．ABC
【解析】因为，，
所以，所以，
过D作于E．
因为平面平面ABC，平面平面，
所以平面ABC，所以，
假设DB，DE不重合，因为，所以平面DBC，
所以，这样与矛盾，
所以假设不成立，所以DB，DE重合，即平面ABC，
所以平面平面ABC，所以A，B正确；
三棱锥的体积为，所以C正确；
设三角形ABC的外心为F，过F作平面ABC，
设O为外接球的球心，则，，
所以，
所以，解得，
所以外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积为，所以D不正确．
12．AB
【解析】当时，，单调递减，
当时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在时，取得最小值，，
画出的图象，
令，则方程为，要想方程有3个不同的实数根，
结合的图象可知需要满足：有两个不同的实数根，，
满足：且或满足：且，
令，则，即，
当时，另外一个根为，不符合且；
当且时，必须，所以，
综上，．故选AB．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．6
【解析】由已知条件得，，
当且仅当，即，时取等号．
14．
【解析】点F的坐标为，
因为，所以．
抛物线方程为，将代入方程，可得（负值舍去），
所以点M坐标为．
15． 【解析】三角形的面积为的概率为．
16．
【解析】设球心O到平面ABCD的距离为h，AD，BC的中点分别为F，E，
由已知条件得，四边形ABCD所在的截面圆的圆心G必在线段EF的延长线上，
因为，所以，
所以，
解得，，
因为，所以，
因为，所以，
所以球O的半径为，
所以球O的体积为．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）因为，所以或14，
所以，；或，．
（2）设公差为d，若，，则，
所以通项公式为；
若，，则，所以通项公式为．
18．【解析】（1）在中，
由正弦定理得，，
所以，
所以的面积为
．
（2）因为，所以可设，，
在中，由余弦定理得，，
因为，，
所以，解得，
所以三角形的周长为．
19．【解析】（1）由已知得，家庭的可支配收入不存入银行的概率为％＝80％．
（2）由已知得，X的值分别为10×5％×95％+10×（－2％）×5％=0.465，
10×2％=0.2，10×3％=0.3，
所以X的分布列为
X 0.465 0.2 0.3
P 60％ 20％ 20％
所以数学期望为％＋0.2×20％＋0.3×20％＝0.379（万元）．
20．【解析】（1）在长方体中，
因为平面，平面，所以，因为，，
所以，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面．
（2）以D为坐标原点，射线DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
，，，所以，，
设平面APSB的法向量为，
所以，不妨设，其中，
由（1）得，平面的法向量为，
因为，，所以，
则，
若，则，解得，因为，所以成立．
21．【解析】（1）依题意得，解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）联立椭圆C的方程，与直线AB的方程，消去y得，
，设，，
得，，
设，所以，，
所以直线MO的斜率为，MO的方程为，
F的坐标为，
过F且与AB垂直的直线方程为，
由与联立消去y得，P点的横坐标为4，
直线m的方程为，直线l的方程为，
由与联立消去y得，Q点的横坐标也为4，所以直线轴．
22．【解析】（1）因为，所以，
因为时，，分别单调递减，
所以在区间单调递减，
因为，所以，
因为，所以，
根据零点存在定理可得，存在唯一零点，
使得，
所以当时，，当，，
所以是函数在区间内唯一的极大值点．
（2），，当时，恒成立，
所以在上单调递增．
当时，单调递增，
，
，
根据零点存在定理可知，存在唯一使得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
，
，，
根据零点存在定理可知，存在，使得，，
所以在、分别成立，在上成立，
所以函数在上的极值点的个数为2．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．已知，，若向量，共线，且，则实数m的取值为（ ）．
A．1 B． C．3 D．
3．复数在复平面内对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．函数的图象大致是（ ）．
A．B．C．D．
5．若，则（ ）．
A．9 B． C．405 D．
6．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．1
7．已知双曲线的左焦点为，M为C右支上任意一点，D的坐标为，则的最大值为（ ）．
A．3 B．1 C． D．
8．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．2017年3月，由国家信息中心“一带一路”大数据中心等编写的《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》发布，呈现了我国与“一带一路”沿线国家的贸易成果现状报告．贸易顺差额=贸易出口额-贸易进口额．由数据分析可知，在2011年到2016年这六年中（ ）．
中国与“一带一路”沿线国家出口额和进口额（亿美元）
A．2016年中国与沿线国家贸易进口额最小
B．中国与沿线国家贸易进口额的中位数为4492亿美元
C．中国与沿线国家贸易出口额逐年递增
D．中国与沿线国家贸易顺差额逐年递增
10．已知数列满足，，为数列的前n项和，则（ ）．
A．
B．是关于n的单调递增数列
C．可以取到的任意一个值
D．若对一切正整数n都成立，则
11．在三棱锥中，已知，，，平面平面ABC，且，则（ ）．
A．
B．平面平面ABC
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球的表面积为
12．已知函数，若关于x的方程有3个不同的实数根，则t的取值可以为（ ）．
A． B． C． D．3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知a，b为正实数，且，则的最小值为______．
14．已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点到焦点的距离，则点M的坐标为______．
15．设D，E，F分别为边长为2的三角形ABC的三边的中点，从这6个点中任意取出三个不共线的点，则这三点构成的三角形面积为的概率为______．
16．若四棱锥的各顶点都在同一个球O的表面上，底面ABCD，，，，，则球O的体积为______．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在等差数列中，已知，是一元二次方程的两个根．
（1）求，；
（2）求的通项公式．
18．（本小题满分12分）
在中，已知，．
（1）若，求的面积；
（2）若，求的周长．
（参考数据：．）
19．（本小题满分12分）
某机构对于某地区的10000户家庭中的年可支配收入的调查中，获得如下的统计数据：60％的家庭将年可支配收入购买银行结构性存款，20％的家庭将年可支配收入存入银行，其余家庭将年可支配收入用于风险投资．又已知银行结构性存款获得的年收益率为5％的概率为95％，获得的年收益率为％的概率为5％，存入银行的年收益率为2％，风险投资的平均收益率为3％，以下把频率当概率．假设该地区的每个家庭的年可支配收入为10万元．
（1）求家庭的可支配收入不存入银行的概率；
（2）设年可支配收入为10万元获得的年收益为X，求X的分布列和数学期望．
20．（本小题满分12分）
如图，在长方体中，，．若平面APSB与棱，分别交于点P，S，且，Q，R分别为棱，BC上的点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）设平面APSB与平面所成锐二面角为，探究：是否成立？请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C的标准方程为，右焦点为F，离心率为，椭圆C上一点为．直线AB的方程为，交椭圆C于A，B两点，M为AB中点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过F且与AB垂直的直线与直线OM交于P点，过O点作一条与AB平行的直线l，过F作与MO垂直的直线m，设，求证：直线轴．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）证明：函数在区间内存在唯一的极大值点；
（2）判断函数在上的极值点的个数．
（参考数据：，，）
娄底市2021-2022学年高三上学期期末教学质量检测
数学参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A A C B D B AB BD ABC AB
1．C
【解析】联立，解得，
则，故选C．
2．B
【解析】因为向量，共线，所以，
所以或，
因为，所以实数m的取值为．
3．A
【解析】∵，
∴z在复平面内对应的点为，位于第一象限．故选A．
4．A
【解析】为偶函数，图象关于y轴对称，所以排除D，
又，排除B，C，所以选A．
5．C
【解析】因为，
所以．
6．B
【解析】将的图象向右平移个单位长度后
得到的图象．
因为，所以，
因为在上单调递减，
所以，即，所以的最大值为，故选B．
7．D
【解析】双曲线的实半轴长为，右焦点为，
所以，
当且仅当M，，D三点共线时取等号．
8．B
【解析】，，故．
，即，所以，即，
因为，所以．
在同一坐标系内分别作出函数，的图象得，
当时，成立，
运用此结论得，，即，
所以，所以，
所以，所以．
9．AB
【解析】2011年中国与沿线国家贸易出口额最小，进口额最小的是2016年，所以A正确；
由已知的数据计算得，B正确；
2014年到2016年的出口额为6370.4，6145.8，5874.8，所以C错误；
又2011年至2016年的贸易顺差额依次为：142.9，428.6，976.8，1536.8，2262.4，2213.7，2016年开始下降，所以D错误．故选AB．
10．BD
【解析】当时，，即，
当时，，所以，
当时，，也满足，所以，所以A不正确；
，
故
，
因为关于n为单调递增，所以B正确；
所以，但n只能取正整数，所以不可以取到的任意一个值，所以C不正确；
若对一切正整数n都成立，则，所以D正确．
11．ABC
【解析】因为，，
所以，所以，
过D作于E．
因为平面平面ABC，平面平面，
所以平面ABC，所以，
假设DB，DE不重合，因为，所以平面DBC，
所以，这样与矛盾，
所以假设不成立，所以DB，DE重合，即平面ABC，
所以平面平面ABC，所以A，B正确；
三棱锥的体积为，所以C正确；
设三角形ABC的外心为F，过F作平面ABC，
设O为外接球的球心，则，，
所以，
所以，解得，
所以外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积为，所以D不正确．
12．AB
【解析】当时，，单调递减，
当时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在时，取得最小值，，
画出的图象，
令，则方程为，要想方程有3个不同的实数根，
结合的图象可知需要满足：有两个不同的实数根，，
满足：且或满足：且，
令，则，即，
当时，另外一个根为，不符合且；
当且时，必须，所以，
综上，．故选AB．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．6
【解析】由已知条件得，，
当且仅当，即，时取等号．
14．
【解析】点F的坐标为，
因为，所以．
抛物线方程为，将代入方程，可得（负值舍去），
所以点M坐标为．
15． 【解析】三角形的面积为的概率为．
16．
【解析】设球心O到平面ABCD的距离为h，AD，BC的中点分别为F，E，
由已知条件得，四边形ABCD所在的截面圆的圆心G必在线段EF的延长线上，
因为，所以，
所以，
解得，，
因为，所以，
因为，所以，
所以球O的半径为，
所以球O的体积为．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）因为，所以或14，
所以，；或，．
（2）设公差为d，若，，则，
所以通项公式为；
若，，则，所以通项公式为．
18．【解析】（1）在中，
由正弦定理得，，
所以，
所以的面积为
．
（2）因为，所以可设，，
在中，由余弦定理得，，
因为，，
所以，解得，
所以三角形的周长为．
19．【解析】（1）由已知得，家庭的可支配收入不存入银行的概率为％＝80％．
（2）由已知得，X的值分别为10×5％×95％+10×（－2％）×5％=0.465，
10×2％=0.2，10×3％=0.3，
所以X的分布列为
X 0.465 0.2 0.3
P 60％ 20％ 20％
所以数学期望为％＋0.2×20％＋0.3×20％＝0.379（万元）．
20．【解析】（1）在长方体中，
因为平面，平面，所以，因为，，
所以，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面．
（2）以D为坐标原点，射线DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
，，，所以，，
设平面APSB的法向量为，
所以，不妨设，其中，
由（1）得，平面的法向量为，
因为，，所以，
则，
若，则，解得，因为，所以成立．
21．【解析】（1）依题意得，解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）联立椭圆C的方程，与直线AB的方程，消去y得，
，设，，
得，，
设，所以，，
所以直线MO的斜率为，MO的方程为，
F的坐标为，
过F且与AB垂直的直线方程为，
由与联立消去y得，P点的横坐标为4，
直线m的方程为，直线l的方程为，
由与联立消去y得，Q点的横坐标也为4，所以直线轴．
22．【解析】（1）因为，所以，
因为时，，分别单调递减，
所以在区间单调递减，
因为，所以，
因为，所以，
根据零点存在定理可得，存在唯一零点，
使得，
所以当时，，当，，
所以是函数在区间内唯一的极大值点．
（2），，当时，恒成立，
所以在上单调递增．
当时，单调递增，
，
，
根据零点存在定理可知，存在唯一使得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
，
，，
根据零点存在定理可知，存在，使得，，
所以在、分别成立，在上成立，
所以函数在上的极值点的个数为2．
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