2021-2022学年鲁教版（五四制）六年级数学下册6.7完全平方公式 解答题专题训练（word版含解析）

2021-2022学年鲁教版六年级数学下册《6-7完全平方公式》解答题专题训练（附答案）
1．运用完全平方公式计算：
（1）（3a+b）2
（2）（x﹣2y）2
（3）（﹣x﹣y）2
（4）1992．
2．计算：（x+3y）（x﹣2y）﹣（2x+y）2．
3．计算：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣3y）2．
4．化简：2a（a+2b）﹣（a+2b）2．
5．计算：（x+5y）（x﹣y）﹣（﹣x﹣2y）2．
6．计算：（x﹣3）（3x﹣4）﹣（x﹣2）2
7．化简：（a﹣3）2﹣a（a+7）﹣9．
8．化简：（a﹣1）2﹣a（a+2）．
9．计算：（2x﹣y）2﹣x（x+y）+2xy．
10．计算：（x﹣2y）（x+3y）+（x﹣y）2．
11．已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：
（1）a2+b2；
（2）6ab．
12．已知a﹣b＝7，ab＝18，求下列各式的值．
①a2﹣ab+b2．
②a+b．
13．利用乘法公式解决下列问题：
（1）若x﹣y＝8，xy＝40．则x2+y2＝　 　；
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2值．
14．已知2x2﹣2x＝1，求代数式（x﹣1）2+（x+3）（x﹣3）的值．
15．已知x＝a﹣2021，y＝2026﹣a，xy＝5．
（1）求x2+y2的值；
（2）求（x﹣y）2的值；
（3）求a的值．
16．已知多项式A＝（x+2）2﹣（x﹣1）（2+x）﹣3．
（1）化简多项式A；
（2）若（x+1）2﹣x2＝﹣3，求A的值．
17．（1）已知若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
（2）若（7﹣x）（x﹣3）＝1，求（7﹣x）2+（x﹣3）2的值．
18．在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨．
（1）若ab＝30，a+b＝10，则a2+b2的值为 　 　．
（2）“若y满足（40﹣y）（y﹣20）＝50，求（40﹣y）2+（y﹣20）2的值”．
阅读以下解法，并解决相应问题．
解：设40﹣y＝a，y﹣20＝b
则a+b＝（40﹣y）+（y﹣20）＝20
ab＝（40﹣y）（y﹣20）＝50
这样就可以利用（1）的方法进行求值了．
若x满足（40﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（40﹣x） +（x﹣20） 的值．
（3）若x满足（30+x）（20+x）＝10，求（30+x） +（20+x） 的值．
19．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
请你根据上述解题思路回答下列问题：
（1）已知a+b＝5，ab＝7，求，a2﹣ab+b2的值．
（2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，（a﹣b）c＝﹣12，求（a﹣b）2+c2的值．
20．将多项式9x2+x加上一个整式后，使它能成为另一个整式的平方，你有哪些方法，请写出三类不同的解法．
21．【教材呈现】图①、图②、图③分别是华东师大版八年级上册数学教材第33页、第34页和第52页的图形，结合图形解决下列问题：
（1）分别写出能够表示图①、图②中图形的面积关系的乘法公式：　 　，　 　．
（2）图③是用四个长和宽分别为a、b的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、4ab之间的等量关系：　 　．
【结论应用】根据上面（2）中探索的结论，回答下列问题：
（3）当m+n＝5，mn＝4时，求m﹣n的值．
（4）当A＝，B＝m﹣3时，化简（A+B）2﹣（A﹣B）2．
参考答案
1．解：（1）（3a+b）2＝9a2+6ab+b2；
（2）（x﹣2y）2＝x2﹣2xy+4y2；
（3）（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2
（4）1992＝（200﹣1）2＝40000﹣400+1＝39601．
2．解：原式＝x2﹣2xy+3xy﹣6y2﹣（4x2+4xy+y2）
＝x2﹣2xy+3xy﹣6y2﹣4x2﹣4xy﹣y2
＝﹣3x2﹣3xy﹣7y2．
3．解：原式＝6x +4xy﹣9xy﹣6y ﹣（4x ﹣12xy+9y ）．
＝6x ﹣5xy﹣6y ﹣4x +12xy﹣9y ．
＝2x +7xy﹣15y ．
4．解：2a（a+2b）﹣（a+2b）2
＝（a+2b）[2a﹣（a+2b）]
＝（a+2b）（2a﹣a﹣2b）
＝（a+2b）（a﹣2b）
＝a2﹣4b2．
5．解：（x+5y）（x﹣y）﹣（﹣x﹣2y）2
＝（x+5y）（x﹣y）﹣（x+2y）2
＝x2+4xy﹣5y2﹣x2﹣4xy﹣4y2
＝﹣9y2．
6．解：原式＝3x2﹣9x﹣4x+12﹣（x2﹣4x+4）
＝3x2﹣13x+12﹣x2+4x﹣4
＝2x2﹣9x+8．
7．解：（a﹣3）2﹣a（a+7）﹣9
＝a2﹣6a+9﹣a2﹣7a﹣9
＝﹣13a．
8．解：（a﹣1）2﹣a（a+2）
＝a2﹣2a+1﹣a2﹣2a
＝1﹣4a．
9．解：（2x﹣y）2﹣x（x+y）+2xy
＝4x2﹣4xy+y2﹣x2﹣xy+2xy
＝3x2﹣3xy+y2．
10．解：（x﹣2y）（x+3y）+（x﹣y）2
＝x2+3xy﹣2xy﹣6y2+x2﹣2xy+y2
＝2x2﹣xy﹣5y2．
11．解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，
∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，
∴2（a2+b2）＝8，
解得：a2+b2＝4；
（2）∵a2+b2＝4，
∴4+2ab＝5，
解得：ab＝，
∴6ab＝3．
12．解：（1）∵a﹣b＝7，
∴a2﹣2ab+b2＝49，
∵ab＝18，
∴a2+b2＝85，
∴a2﹣ab+b2
＝85﹣18
＝67；
（2）设a+b＝x，
∴a2+2ab+b2＝x2，
∴85+2×18＝x2，
∴x＝±11；
∴a+b＝±11．
13．解：（1）∵x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，
把x﹣y＝8，xy＝40，代入上式，得x2+y2＝82+2×40＝144．
故答案是：144；
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，
由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴（25﹣x）2+（x﹣10）2
＝[（25﹣x）+（x﹣10）]2﹣2（25﹣x）（x﹣10）
＝152﹣2×（﹣15）
＝225+30
＝255．
14．解：（x﹣1）2+（x+3）（x﹣3）
＝x2﹣2x+1+x2﹣9
＝2x2﹣2x﹣8．
∵2x2﹣2x＝1，
∴原式＝1﹣8＝﹣7．
15．解：（1）∵x＝a﹣2021，y＝2027﹣a，xy＝5，
∴x+y＝a﹣2021+2027﹣a＝6．
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×5＝36﹣10＝26．
（2）由（1）知：x2+y2＝26．
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝26﹣2×5＝16．
（3）由（2）知：（x﹣y）2＝16．
∴x﹣y＝4或x﹣y＝﹣4．
当x﹣y＝4时，由x+y＝6，解得x＝5，y＝1，此时a＝x+2021＝2026．
当x﹣y＝﹣4时，由x+y＝6，解得x＝1，y＝5，此时a＝x+2021＝2022．
综上：a＝2026或a＝2022．
16．解：（1）A＝x2+4x+4+2+x﹣2x﹣x2﹣3＝3x+3；
（2）∵（x+1）2﹣x2＝﹣3，
2x+1＝﹣3，
x＝﹣2．
当x＝﹣2时，A＝3×（﹣2）+3＝﹣3．
17．解：（1）∵a+b＝3，ab＝1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝32﹣2×1
＝9﹣2
＝7；
（2）设a＝7﹣x，b＝x﹣3，
∴a+b＝4，ab＝1，
∴（7﹣x）2+（x﹣3）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝16﹣2
＝14．
18．解：（1）∵a+b＝10，
∴（a+b）2＝100，
即a2+2ab+b2＝100，
将ab＝30，代入得：a2+b2+2×30＝100，
∴a2+b2＝100﹣60＝40，
故答案为40．
（2）设40﹣x＝a，x﹣20＝b，
则 （40﹣x）（x﹣20）＝ab＝﹣10，
∵a+b＝（40﹣x）+（x﹣20）＝20，
∴（40﹣x）2+（x﹣20）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝202﹣2×（﹣10）
＝420．
（3）设30+x＝a，20+x＝b，
则 （30+x）（20+x）＝ab＝10，
∵a﹣b＝（30+x）﹣（20+x）＝10，
∴（30+x）2+（20+x）2
＝a2+b2
＝（a﹣b）2+2ab
＝102+2×10
＝120．
19．解：（1）∵a+b＝5，ab＝7，
∴＝＝＝，
a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣2ab﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝52﹣3×7＝4．
（2）（a﹣b）2+c2＝[（a﹣b）﹣c]2+2（a﹣b）c
＝（a﹣c﹣b）2+2（a﹣b）c
＝（﹣10）2+2×（﹣12）
＝76．
20．解：将多项式9x2+x加上一个整式后，使它能成为另一个整式的平方，有如下方法：
9x2+x+（﹣x）＝（3x）2；9x2+x+（5x+1）＝（3x+1）2；9x2+x+（﹣7x+1）＝（3x﹣1）2
21．解：（1）∵图①的面积可表示为（a+b）2或a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∵图②的面积可表示为（a﹣b）2或a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
（2）∵图③的面积可表示为（a+b）2或（a﹣b）2+4ab，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）由（2）题结果（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab可得，
（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
∴当m+n＝5，mn＝4时
m﹣n＝±3，
∴m﹣n的值为±3；
（4）由（2）题结果（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab可得，
（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
∴（A+B）2﹣（A﹣B）2＝4AB，
∴当A＝，B＝m﹣3时，
（A+B）2﹣（A﹣B）2＝4AB＝．