等比数列的概念与性质
【基础知识梳理】
1、等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
【注意】
（1）“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；
（2）“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；
(3)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝(n≥2)或q＝.
特别注意，q不可以为零，
当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．
2、等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±.
【注意】
（1）G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．
G＝±，即等比中项有两个，且互为相反数．
（2）当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0，0，5不是等比数列．
3、等比数列的通项公式
等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1.
4、等比数列的性质
（1）若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．
特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列．
（2）在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.
（3）数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积．
（4）在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1.
（5）当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．
【题型1 等比数列基本量与通项公式】
【例1-1】（1）在等比数列中，，，则公比的值为（ ）
A． B．或1 C．－1 D．或－1
（2）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】（1）B（2）C
【解析】（1）由题意，解得或．故选：B．
（2）设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
【例1-2】在正项等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝，求通项公式an.
【答案】×26－n.
【解析】设公比为q，由题意得
，解得.
∴an＝a1qn－1＝×()n－1＝×26－n.
【变式1-1】已知是等比数列，，，则公比q=（ ）
A． B．-2 C．2 D．
【答案】D
【解析】∵是等比数列，∴，∴．故选：D．
【变式1-2】已知数列满足，若，则等于（ ）
A．1 B．2 C．64 D．128
【答案】C
【解析】因为数列满足，所以该数列是以为公比的等比数列，
又，所以，即.
【变式1-3】各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则公比的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】由题得，所以，
因为是各项都是正数的等比数列，所以，所以.
【变式1-4】已知各项均为正数的等比数列，且成等差数列，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】各项均为正数的等比数列的公比设为q，则q>0，
由成等差数列，可得，即，
所以，解得或（舍），
所以.故选：D.
【变式1-5】已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
【解析】解法一：∵a1a3＝a，∴a1a2a3＝a＝8，∴a2＝2.
从而，解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1.
当 a1＝1时，q＝2；当 a1＝4时，q＝，故an＝2n－1或an＝23－n.
解法二：由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2.
代入已知得，即，解得：q＝2或q＝.
或，以下同解法一．
【题型2 等比中项基础应用】
【方法小结】
（1）由等比中项的定义可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项；
（2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项；
（3）a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)。
【例2】在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )
A．±4 B．4 C．± D.
【答案】A
【解析】由an＝×2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.
【变式2-1】设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.
【变式2-2】如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
【答案】B
【解析】因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，
所以b＝－3，且a，c必同号．
所以ac＝b2＝9.
【变式2-3】已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
【答案】
【解析】由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，所以q＝＝＝，
所以.
【题型3 等比中项拓展应用】
【例3】（1）在等比数列中，若，则（ ）
A． B． C． D．
（2）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）B（2）B
【解析】（1）由等比中项的性质可得，解得，因此，.故选：B.
（2）由等比数列的性质可得：，所以.
则
【变式3-1】已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝( )
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】∵a3·a9＝a，∴a＝2a，∴()2＝2，∴q2＝2.
又∵q>0，∴q＝.
又a2＝1，∴a1＝＝＝.
【变式3-2】等比数列{an}中，a1a9＝256，a4＋a6＝40，则公比q的值为_____________.
【答案】q＝±2，或±
【解析】∵a4a6＝a1a9＝256，a4＋a6＝40，
∴a4与a6是方程x2－40x＋256＝0的两根，
∴或，
∵a6＝a4q2，∴q2＝4或，∴q＝±2，或±.
【变式3-3】在等比数列{an}中，若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值.
【答案】32
【解析】∵a3a4a5＝8，又a3a4a5＝a，∴a4＝2.∴a2a3a4a5a6＝a＝25＝32.
【题型4 对称法设元】
几个数成等比数列的设法：
（1）三个数成等比数列设为，a，aq；
推广到一般：奇数个数成等比数列设为：…，，a，aq，aq2……
（2）四个符号相同的数成等比数列设为：，，aq，aq3
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…，，，aq，aq3，aq5……
（3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3
【例4】（1）有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________．
（2）有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．
【答案】（1）45 （2）9 6 4 2
【解析】（1）设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．即
，整理得，解得，.
因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45.
（2）法一：设前三个数为，a，aq，则·a·aq＝216，所以a3＝216.所以a＝6.
因此前三个数为，6，6q.
由题意知第4个数为12q－6.所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝.故所求的四个数为9，6，4，2.
法二：设后三个数为4－d，4，4＋d，则第一个数为(4－d)2，
由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6.所以d＝－2.
故所求得的四个数为9，6，4，2.
【变式4-1】在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )
A．－4或 B．4或 C．4 D．17
【答案】B
【解析】设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为.
由a，，20成等差数列得2×＝a＋20.
∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.
当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋＝4.
当a＝5时，插入的两个数的和为a＋＝.
【变式4-2】三个正数构成等比数列，它们的积是27，平方和为91，求这三个数.
【答案】1，3，9
【解析】设三数为，a，aq，则，
由①得a＝3，代入②中得q＝±3或q＝±，
∵三个数为正数，∴q>0，∴q＝3或.
当q＝3时，三数为1，3，9；
当q＝时，三数为9，3，1.
综上知，这三个数为1，3，9.
【变式4-3】已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数.
【答案】
【解析】设四个数为－a、、a、aq，
则由题意得，解得或.
因此所求的四个数为－4，2，8，32或4，－2，－8，－32.
【变式4-4】三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，则这三个数为________
【解析】由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，
这三个数可表示为2－d，2，2＋d，
①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4，2，8.
.②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8，2，－4.
③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，
∴d＝0(舍去)．
综上可知此三数为－4，2，8.
【变式4-5】在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是 .
【解析】此三数为3、a、b，则，
解得或.
∴这个未知数为3或27.
【题型5 等比数列证明】
【例5】已知数列满足，．设．
（1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式．
【答案】（1）详见解析；（2）．
【解析】（1），，由条件可得，即，又，
所以是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）由（1）可得，，所以．
【变式5-1】数列（ ）
A．既不是等差数列又不是等比数列 B．是等比数列但不是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．是等差数列但不是等比数列
【答案】D
【解析】数列是无穷数列，
从第二项开始起，每一项与它前一项的差都等于常数，符合等差数列的定义，
所以数列是等差数列，根据等比数列的定义可知，等比数列中不含有为的项，
所以数列不是等比数列，故选D.
【变式5-2】已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是
① ② ③ ④
【答案】①④
【解析】时，，数列不一定是等比数列，
时，，数列不一定是等比数列，
由等比数列的定义知和都是等比数列．
【变式5-3】已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1(n∈N*)．求证：数列{an}是等比数列.
【解析】∵Sn＝2an＋1(n∈N*)，
∴Sn－1＝2an－1＋1(n≥2)，
两式相减，得an＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，
即＝2(n≥2)．故数列{an}是等比数列．
【变式5-4】已知正项数列的前项和为，若数列是公差为的等差数列，且是，等差中项.
（1）证明数列等比数列； （2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）因为数列是公差为的等差数列，所以，
故，所以，所以数列是公比为3的等比数列.
（2）因为是的等差中项，所以，所以，
解得，数列的通项公式为.
【题型6 等比数列的单调性】
【例6】已知单调递减的等比数列中，，则该数列的公比的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为等比数列单调递减，所以，，
因为，所以，
又因为，所以，所以，故选：D
【变式6-1】等比数列中，首项为，公比为，则下列条件中，是一定为递减数列的条件是（ ）
A. B.， C. ，或， D.
【答案】C
【解析】∵等比数列是递减数列，∴，
即，∴，
∴，或，.
【变式6-2】已知数列满足，对一切，，则数列是（ ）
A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.不确定
【答案】B
【解析】因为，所以数列是等比数列，且，
又因为，则，
所以得，，故数列是递减数列。
【变式6-3】已知为等比数列，，，以表示的前项积，则使得达到最大值的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】为等比数列，，，
，，，，．
故是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，
以表示的前项积，则使得达到最大值的是4，故选：．
【变式6-4】（较难）设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论：
①； ②； ③的值是中最大的； ④使成立的最大自然数等于198
其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【解析】①，，．，．
又，，且．，即①正确；
②，，即，故②错误；
③由于，而，故有，故③错误；
④中，
，故④正确．正确的为①④，
【变式6-5】（难）已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，，，则，
则有，所以，
可知数列是等比数列，首项为，公比为2，
所以，
由于，所以，
因为数列是单调递增数列，
当时，，即，
即，整理得：，
则，所以，
当时，，而，
则，解得：，
综上得：1等比数列的概念与性质
【基础知识梳理】
1、等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
【注意】
（1）“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；
（2）“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；
(3)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝(n≥2)或q＝.
特别注意，q不可以为零，
当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．
2、等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±.
【注意】
（1）G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．
G＝±，即等比中项有两个，且互为相反数．
（2）当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0，0，5不是等比数列．
3、等比数列的通项公式
等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1.
4、等比数列的性质
（1）若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．
特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列．
（2）在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.
（3）数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积．
（4）在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1.
（5）当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．
【题型1 等比数列基本量与通项公式】
【例1-1】（1）在等比数列中，，，则公比的值为（ ）
A． B．或1 C．－1 D．或－1
（2）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【例1-2】在正项等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝，求通项公式an.
【变式1-1】已知是等比数列，，，则公比q=（ ）
A． B．-2 C．2 D．
【变式1-2】已知数列满足，若，则等于（ ）
A．1 B．2 C．64 D．128
【变式1-3】各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则公比的值为（ ）
A． B． C． D．或
【变式1-4】已知各项均为正数的等比数列，且成等差数列，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-5】已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
【题型2 等比中项基础应用】
【方法小结】
（1）由等比中项的定义可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项；
（2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项；
（3）a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)。
【例2】在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )
A．±4 B．4 C．± D.
【变式2-1】设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式2-2】如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
【变式2-3】已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
【题型3 等比中项拓展应用】
【例3】（1）在等比数列中，若，则（ ）
A． B． C． D．
（2）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝( )
A． B． C． D．2
【变式3-2】等比数列{an}中，a1a9＝256，a4＋a6＝40，则公比q的值为_____________.
【变式3-3】在等比数列{an}中，若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值.
【题型4 对称法设元】
几个数成等比数列的设法：
（1）三个数成等比数列设为，a，aq；
推广到一般：奇数个数成等比数列设为：…，，a，aq，aq2……
（2）四个符号相同的数成等比数列设为：，，aq，aq3
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…，，，aq，aq3，aq5……
（3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3
【例4】（1）有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________．
（2）有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．
【变式4-1】在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )
A．－4或 B．4或 C．4 D．17
【变式4-2】三个正数构成等比数列，它们的积是27，平方和为91，求这三个数.
【变式4-3】已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数.
【变式4-4】三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，则这三个数为________
【变式4-5】在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是 .
【题型5 等比数列证明】
【例5】已知数列满足，．设．
（1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式．
【变式5-1】数列（ ）
A．既不是等差数列又不是等比数列 B．是等比数列但不是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．是等差数列但不是等比数列
【变式5-2】已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是
① ② ③ ④
【变式5-3】已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1(n∈N*)．求证：数列{an}是等比数列.
【变式5-4】已知正项数列的前项和为，若数列是公差为的等差数列，且是，等差中项.
（1）证明数列等比数列； （2）求数列的通项公式.
【题型6 等比数列的单调性】
【例6】已知单调递减的等比数列中，，则该数列的公比的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】等比数列中，首项为，公比为，则下列条件中，是一定为递减数列的条件是（ ）
A. B.， C. ，或， D.
【变式6-2】已知数列满足，对一切，，则数列是（ ）
A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.不确定
【变式6-3】已知为等比数列，，，以表示的前项积，则使得达到最大值的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式6-4】（较难）设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论：
①； ②； ③的值是中最大的； ④使成立的最大自然数等于198
其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【变式6-5】（难）已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.1
