贵州省贵阳市普通中学2022届高三上学期期末监测考试数学（理）试题（Word版含答案）

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贵阳市普通中学2022届高三上学期期末监测考试
理科数学
2022.1
注意事项：
1.本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.
2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分.
3.考试过程中不得使用计算器
第I卷（选择题共60分）
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设复数，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知双曲线的方程为，双曲线的右顶点到渐近线的距离为（ ）
A.1 B. C. D.
4.已知函数为上的奇函数，当时，，则（ ）
A. B. C.1 D.3
5.“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍
B.该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的
C.该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的
D.该直播间第三季度服装收入高于前两个季度的服装收入之和
6.若，则等于（ ）
A. B. C. D.
7.正方体中，分别是的中点.那么过三点的截面图形是（ ）
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
8.已知向量的夹角为，且，则向量与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
9.由直线上一点引圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10.若，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知三棱柱的6个顶点都在球的表面上，三棱柱的侧面积为，则球的表面积的最小值是（ ）
A. B. C. D.
12.过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，设为拋物线上的一动点，若，则的最小值是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
第II卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22 23题为选考题，考生根据要求作答.
二 填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.若满足约束条件，，则的最小值为__________.
14.在的展开式中，常数项是__________.（用数字作答）
15.将函数的图像分别向左 向右各平移个单位长度后，所得的两个函数图象的对称轴重合，则的最小值为__________.
16.的内角的对边分别是，且，若，则的取值范围为__________.
三 解答题：第17至21题每题12分，第22 23题为选考题，各10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
设是首项为1的等比数列，数列满足，已知成等差数列.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.（本题满分12分）
为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部开展了招生改革工作一一强基计划.现某机构对某高中学校学生对强基课程学习的情况进行调查，在参加数学和物理的强基计划课程学习的学生中，某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的数据，统计如下表：
数学成绩 46 79 89 99 109 116 120 123 134 140
物理成绩 50 54 60 63 66 68 70 0 73 76 80
（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩与数学成绩之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立关于的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；
（2）在这次物理强基课程的测试中，晹除缺考考生的物理成绩后，剩余这10名学生物理成绩的统计数据如茎叶图所示.从中抽取3名同学参加学校组织的关于强基计划的访谈调查，记抽到访谈调查的是女同学的人数名，求随机变量的分布列和数学期望.
附：参考公式：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
参考数据：（剔除零分前）
1120 660 68586 122726
上表中的表示样本中第名考生的数学成绩，表示样本中第名考生的物理成绩.
19.（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，为垂足.
（1）当点在线段上移动时，判断是否为直角三角形，并说明理由；
（2）若，且与平面所成角为，求二面角的大小.
20.（本题满分12分）
已知椭圆的焦距为，左 右焦点分别是，其离心率为，圆与圆相交，两圆交点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线不经过点且与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.
21.（本题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调递增区间：
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
请考生在第22 23题中任选一领作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用铅笔在答题卡上把所选题目对应影号的方 涂黑.
22.选修4-4：坐标系与参数方程（本 满分10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若点的极坐标为，直线与曲线交于两点，求的值.
23.选修4-5：不等式选讲（本题满分10分）
已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若均为正实数，且的最小值5，求证：.
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贵阳市普通中学2022届高三上学期期末监测考试
理科数学参考答案及评分建议
2022.1
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B C A D A D A B D D C
二 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
题号 13 14 15 16
答案 6
三 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
解：（1）成等差数列，
，
是首项为1的等比数列，设其公比为，
则，
（2）解：由（1）知，
①
②
①-②得，，
18.（本小题满分12分）
解：（1）设根据剔除后数据建立的关于的回归直线方程为，
剔除异常数据后的数学平均分为，
剔除异常数据后的物理平均分为，
又因为
所以，
所以所求回归直线方程为，又物理缺考考生的数学成绩为120，
所以估计其可能取得的物理成绩为.
（2）所有可能取值为：
故的分布列为：
0 1 2 3
所以的数学期望为：
19.（本小题满分12分）
解：（1）是直角三角形.
平面，
，
又底面是矩形，
，且，
平面，又平面，
，
又，且，
平面，又平面，
，即，
当点在线段上移动时，是直角三角形.
（2）因为则为的中点；，
所以点是的中点.
平面，且平面是矩形，
所以建立如图所示空间直角坐标系，
设则，
所以；则，
设平面的法向量为，则由，
令，则所以；
依题意得与平面所成角为，
所以，即，解得，
所以，
则
设平面的法向量为，
由，令，
则所以，
由（1）知平面，即是平面的一个法向量，
则，
所以二面角的大小为.
20.（本小题满分12分）
解：（1）由题意得，
解得：
所以椭圆的方程为：.
（2）①当直线的斜率不存在时，设直线，
由题可知，且，设，
因为直线的斜率之和为，所以，
化简得.所以直线的方程为.
②当直线的斜率存在时，
设方程为，
联立消去，化简得.
由题意可得
因为直线的斜率之和为，
所以，
，
，
，
化简整理得
当且仅当时，
直线的方程：，即.
故直线过定点.
综上①②可得直线过定点.
法二：（设直线的方程：）
21.（本小题满分12分）
解：（1），
，
令，即，
解得，
的单调增区间为；
（2）当时，由已知得当时，
即恒成立，
设，
，
由，得，
在单调递减，在单调递增，
当时，，
，
在为增函数，
，
，解得，
的取值范围为
请考生在第22 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.
22.选修4-4：坐标系与参数方程（本题满分10分）
解：（1）曲线的参数方程为（为参数），
，
直线的极坐标方程为，
化简得，由得，
直线的直角坐标方程为.
（2）由点的极坐标为，
点的直角坐标为，
点在直线上，
直线的参数方程为（为参数），
代入得
，
故不妨设且，
23.选修4-5：不等式选讲（本题满分10分）
解：（1）法一：当时，
当时，，
当时，
综上，的最小值为3（也可由分段函数图像得到）.
法二：由绝对值的几何意义可得的最小值为3.
法三：由可得的最小值为3.
（2）证明：均为正实数，且的最小值5，
即，
（当且仅当且时，即，取“=”）