湖北省重点高中智学联盟2021-2022学年高三上学期期末联考数学试题（Word版含答案）

湖北省重点高中智学联盟2022届高三年级期末考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程可以是（ ）
A. B. C. D.
4. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆：，过直线：上一点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，，为的重心，若，则外接圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
8. 若不同两点、均在函数的图象上，且点、关于原点对称，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）.已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 线性回归方程对应的直线一定经过点
B. 若随机变量，则
C. 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小
D. “事件是互斥事件”是“事件是对立事件”的充分不必要条件
10. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ）
A
B. 当时，函数单调递增
C. 当时，点的纵坐标越来越小
D. 当时，
11. 中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线的图象关于原点对称
B. 曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C. 曲线上任意一点到坐标原点距离都不超过3
D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
12. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，
B. 直线与平面所成角的正弦值最大值为
C. 当平面截直四棱柱所得截面面积为时，
D. 四面体的体积为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若幂函数在在上单调递增，则______.
14. 2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有______种.（用数字作答）
15. 设函数，定义，其中，，则______.
16. 已知是定义在上的可导函数，对于任意实数都有.当时，，若，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，角，，所对的边分别为，，.的角平分线与交于点.
（1）若，的面积为4，求的面积；
（2）若，，，求的值.
18. 中国载人航天工程办公室发布消息，为发挥中国空间站的综合效益，中国首个太空科普教育品牌“天宫课堂”正式推出.中国空间站首次太空授课活动于2021年12月9日面向全球进行直播.为了了解学生对此次直播课的观看情况，现从高三某班随机选取10名学生进行调查，发现有6名学生观看了直播，4名学生未观看直播.
（1）若从这10名学生中任选2名学生，求至多有1名学生未观看直播的概率；
（2）若从这10名学生中任选3名学生，记其中观看了直播的学生人数为，求的分布列和数学期望.
19. 如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，是线段上的动点（不包括端点）.
（1）证明：；
（2）当为线段中点时，设二面角的大小为，求的值.
20. 已知数列满足，；数列前项和为，且，.
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）设，求前项和.
21. 已知椭圆：（），、分别为椭圆的左、右顶点.点，为坐标原点，椭圆长轴长等于，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过作垂直于轴的直线，为上的一个动点，与椭圆交与点，与椭圆交与点.求证：直线过定点.
22. 已知函数.
（1）当时，求函数在上的最值；
（2）若函数在上单调递减，求实数取值范围.
湖北省重点高中智学联盟2022届高三年级期末考试
数学试题 答案版
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
答案 D
2. 复数，则（ ）
A. B. C. D.
答案 D
3. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程可以是（ ）
A. B. C. D.
答案 C
4. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）
A. B. C. D.
答案 B
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案 A
6. 已知圆：，过直线：上一点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案 A
7. 在中，，为的重心，若，则外接圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
答案 C
8. 若不同两点、均在函数的图象上，且点、关于原点对称，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）.已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案 B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 线性回归方程对应的直线一定经过点
B. 若随机变量，则
C. 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小
D. “事件是互斥事件”是“事件是对立事件”的充分不必要条件
答案 ABC
10. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ）
A
B. 当时，函数单调递增
C. 当时，点的纵坐标越来越小
D. 当时，
答案 CD
11. 中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线的图象关于原点对称
B. 曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C. 曲线上任意一点到坐标原点距离都不超过3
D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
答案 ACD
12. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，
B. 直线与平面所成角的正弦值最大值为
C. 当平面截直四棱柱所得截面面积为时，
D. 四面体的体积为定值
答案 ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若幂函数在在上单调递增，则______.
答案 1
14. 2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有______种.（用数字作答）
答案 36
15. 设函数，定义，其中，，则______.
答案 0
16. 已知是定义在上的可导函数，对于任意实数都有.当时，，若，则的取值范围是______.
答案 或
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，角，，所对的边分别为，，.的角平分线与交于点.
（1）若，的面积为4，求的面积；
（2）若，，，求的值.
答案 （1）6 （2）
18. 中国载人航天工程办公室发布消息，为发挥中国空间站的综合效益，中国首个太空科普教育品牌“天宫课堂”正式推出.中国空间站首次太空授课活动于2021年12月9日面向全球进行直播.为了了解学生对此次直播课的观看情况，现从高三某班随机选取10名学生进行调查，发现有6名学生观看了直播，4名学生未观看直播.
（1）若从这10名学生中任选2名学生，求至多有1名学生未观看直播的概率；
（2）若从这10名学生中任选3名学生，记其中观看了直播的学生人数为，求的分布列和数学期望.
答案 （1）
（2）分布列见解析，
19. 如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，是线段上的动点（不包括端点）.
（1）证明：；
（2）当为线段中点时，设二面角的大小为，求的值.
答案 （1）证明见解析
（2）
20. 已知数列满足，；数列前项和为，且，.
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）设，求前项和.
答案 （1），；
（2）.
21. 已知椭圆：（），、分别为椭圆的左、右顶点.点，为坐标原点，椭圆长轴长等于，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过作垂直于轴的直线，为上的一个动点，与椭圆交与点，与椭圆交与点.求证：直线过定点.
答案 （1）
（2）证明见解析
22. 已知函数.
（1）当时，求函数在上的最值；
（2）若函数在上单调递减，求实数取值范围.
答案 （1）最小值，最大值
（2）或.