陕西省安康市2021-2022学年高三上学期期末考试文科数学试题（Word版含答案）

安康市2021-2022学年高三上学期期末考试
数学（文科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.已知直线与直线，若，则
A.6 B. C.2 D.
3.已知，则
A. B. C. D.
4.“”是“方程是圆的方程”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知，，，则
A. B. C. D.
6.已知向量，满足，则
A.2 B.4 C. D.
7.已知，，且直线始终平分圆的周长，则的最小值是
A.2 B. C.6 D.16
8.在中，，分别在线段，上，且，，点是线段的中点，则
A. B.
C. D.
9.在正三棱柱中，，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列结论正确的是
A.是周期为的奇函数 B.的图象关于点对称
C.在上单调递增 D.的值域是
11.曲线过点的切线方程是
A. B.
C. D.
12.如图，是边长为4的等边三角形的中位线，将沿折起，使得点与重合，平面平面，则四棱锥外接球的表面积是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知3，，27成等比数列，则______.
14.某学生到某工厂进行劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为20cm的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半.打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g.（取）
15.已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是______.
16.已知，，在直线上存在点，使，则的最大值是______.
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
设等差数列的前项和为，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）求的最大值.
18.（12分）
如图，在多面体中，和均为等边三角形，是的中点，.
（1）证明：.
（2）若，求多面体的体积.
19.（12分）
已知向量，，函数.
（1）求在上的值域；
（2）若，且，求的值.
20.（12分）
已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.
21.（12分）
已知圆的圆心在直线上，且圆经过，两点.
（1）求圆的标准方程.
（2）设直线与圆交于，（异于坐标原点）两点，若以为直径的圆过原点，试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.
22.（12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，且这两个极值点分别为，，若不等式恒成立，求的值.
安康市2021-2022学年高三上学期期末考试
数学参考答案（文科）
1.C 由题意可得，则.
2.A 因为，所以，解得.
3.C 因为，所以，
所以，所以.
4.A 由方程是圆的方程，得，即，解得或，则“”是“方程是圆的方程”的充分不必要条件.
5.D 因为，，，所以.
6.D 因为，所以，所以，则.
7.B 由题意可得，即，则.因为，，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立.
8.A 如图，因为，所以.因为点是线段的中点，所以.因为，则.
9.C 如图，分别取棱，的中点，，连接，，，，.因为，分别是，的中点，所以，则为异面直线与所成的角或异面直线与所成角的补角.设，则，，，从而，，.在中，由余弦定理可得.
10.C 由题意可得.因为
，所以不是奇函数，则A错误.
因为，所以的图象不关于点对称，则B错误.
令，解得.当时，，则C正确.因为，所以，所以，即的值域是，则D错误.
11.B 由题意可得点不在曲线上，设切点为，因为，所以所求切线的斜率，所以.因为点是切点，所以，所以，即.设，因为在上单调递增，且，所以有唯一解，则所求切线的斜率，故所求切线方程为.
12.A 如图，分别取，的中点，，连接，.因为是边长为4的等边三角形，所以，所以，则四边形外接圆的圆心为，半径.设四棱锥外接球的球心为，连接，过点作，垂足为.易证四边形是矩形，则，.设四棱锥外接球的半径为，则，即，解得，故四棱锥外接球的表面积是.
13. 由题意可得，解得.
14.4500 设大圆柱的高为，底面圆的半径为，小圆柱底面圆的半径为，则，则.因为小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，所以，所以，则该模型的体积，故制作该模型所需原料的质量为4500g.
15. 令，得，则函数有3个零点等价于函数的图象与直线有3个交点.作出函数的大致图象，如图所示，则，解得.
16.11 设以线段为直径的圆为圆，则圆心为，半径，故圆的方程为.因为，所以点在圆上.因为点在直线上，所以圆心到直线的距离，解得.
17.解：（1）设数列的公差为，则解得，.…………3分
故.…………5分
（2）由等差数列前项和公式可得，…………8分
则当时，取得最大值，且最大值为.…………10分
18.（1）证明：连接.
因为，且为的中点，所以.…………1分
因为，且为的中点，所以.…………2分
因为平面，平面，且，所以平面.…………3分
因为，所以，，，四点共面，所以平面，所以.…………4分
（2）解：因为和均为等边三角形，且，所以.…………5分
因为，，所以四边形是平行四边形. …………6分
因为，所以，
因为，所以，所以，则平行四边形是矩形.…………8分
由（1）可知平面，
则四棱锥的体积，…………10分
故多面体的体积.…………12分
19.解：（1）由题意可得
.…………2分
因为，所以，所以，…………4分
所以，即在上的值域为.…………6分
（2）因为，所以，所以.…………8分
因为，所以，…………9分
所以，…………11分
故.…………12分
20.解：（1）因为，所以，所以，…………2分
所以，解得.…………4分
（2）由，得，即，
即或.…………6分
当时，，，
则或，解得；…………8分
当时，，，
则或，解得.…………10分
综上，的取值范围是.…………12分
21.解：（1）设圆的标准方程为.
由题意可得解得，，.…………3分
故圆的标准方程为.…………4分
（2）设，.
联立整理得，…………5分
，
则，，…………6分
故.…………7分
因为以为直径的圆过原点，所以，
即，…………8分
则，
化简得.…………10分
因为直线不过原点，所以，所以，
则直线过定点.…………12分
22.解：（1）由题意可知的定义域为，
. …………2分
当时，由，得；由，得.则在上单调递减，在上单调递增.
当时，由，得或；由，得.则在和上单调递增，在上单调递减.
当时，恒成立，则在上单调递增.
当时，由，得或；由，得.则在和上单调递增，在上单调递减.…………4分
综上，当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.…………5分
（2）由（1）可知或，且两个极值点分别是1和，不妨设，，
则，，
故恒成立，即恒成立.…………7分
当时，，则，
因为，所以，则；…………9分
当时，，则，
因为，所以，则.…………11分
综上，.…………12分