云南省昭通市2022届高三上学期期末考试数学（理）试题（Word版含答案）

秘密★启用前【考试时间：1月17日15:00～17:00】
昭通市2022届高三上学期期末考试
理科数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，若，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的焦距是虚轴长的倍，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．函数在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．等比数列中，公比为q，首项为，则“对任意正整数n，都有”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若定义在R上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．某传统体育学校计划举行夏季运动会，本次运动会径赛项目有：50米、100米、…、3000米共8个项目．为确保径赛项目顺利举办，需要招募一批志愿者，甲、乙两名同学申请报名时，计划在8个项目的服务岗位中各随机选取3项，则两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（ ）
A．420种 B．441种 C．735种 D．840种
10．设，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么过点P作的垂线，垂足为M，与距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12．把的图象向左平移个单位，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若对成立，则（ ）
①的一个单调递城区间为；
②的图象向右平移个单位得到的函数是一个偶函数，则m的最小值为；
③的对称中心为；
④若关于x的方程在区间上有两个不相等的实根，则n的取值范围为．
其中，判断正确的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．的展开式中的各项系数之和为96，则展开式中的系数为________．
14．某照明单元按如图1方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则照明单元正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该照明单元的使用寿命超过2000小时的概率为________．
15．等差数列的前n项和分别为，，，，则的公差为________．
16．设函数已知，且，若的最小值为，则a的值为___________．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
在①；②；③，且．
这三个条件中任意选一个填在下面的横线上，并完成试题（如果多选，以选①评分）．
（1）若___________，求角C；
（2）在（1）的条件下，若，求的面积．
18．（本小题满分12分）
2021年因疫情的原因，我国电子商务蓬勃发展，管理部门推出了针对某网购平台商品质量和服务质量的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品质量的满意率为0.55，对服务质量的满意率为0.7，其中对商品质量和服务质量都满意的交易为70次．
（1）根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有95%的把握认为“网购者对商品质量满意与对服务质量满意之间有关系”？
对服务质量满意 对服务质量不满意 合计
对商品质量满意 70
对商品质量不满意
合计 200
（2）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，对商品质量和服务质量都满意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
附：．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
19．（本小题满分12分）
如图，已知M，N是平面外两点，．
（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的一个您点与短轴的两个端点组成的三角形是等膜直角三角形，点是椭圆C上一点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设是椭圆C上的一动点，由原点0向引两条切线，分别交椭圆C于点P，Q，若直线的斜率均存在，并分别记为，求证：为定值．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）设是的极值点，求的单调区间；
（2）当时，求证：．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线（为参数）经过伸缩变换后得到曲线，直线l的参数方程为（t为参数，）．在极坐标系中以O为极点，x轴正半轴为极轴．
（1）求的极坐标方程；
（2）当时，直线l与曲线在第一象限交于A，B两点，求线段的值．
23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数，且的解集为．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c是正实数．且，求证：．
昭通市2022届高三上学期期末考试
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C D A B C B C D A D B
【解析】
1．由题意知，，故选A．
2．，故选C．
3．∵且，∴，解得，故选D．
4．由双曲线可知，焦应在x轴上，由于距是虚轴长的倍，可得，∴，易得，故选A．
5．由得函数在点处的切线斜率为2，所以所求切线方程为，故选B．
6．定义域为，，所以是偶函数，其图象关于y轴对称，选项B，D不正确，当时，显然，当时，，排除A，故选C．
7．∵，“对任意正整数n，都有”，即等比数列是单调递增数列，所以且或者且，充分性不成立，必要性成立，故选B．
8．因为，所以或因为在上单调递增，且，所以，因为在R上为奇函数，所以在上单调递增，且，因此，
综上：不等式的解集为，故选C．
9．根据题意可知，可分三步考虑：第一步，在8项中选取2项，共有种不同的方法；第二步，甲在剩下6项中选取1项，共有种不同的方法；第三步，乙在剩下5项中选取1项，共有种不同的方法．根据分步乘法计数原理可知，两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（种），故选D．
10．因为，又，又，所以，即，故选A．
11．抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径，如图所示，根据点P到距离等于到准线的距离加1，由抛物线的定义可知，点P到准线的距离等于到焦点的距离，进而推断当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为，故与距离的最小值为，故选D．
12．，∵，∴，解得，∵，∴．当，时在上单调递增，①正确；的图象向右平移个单位得到的函数是是一个偶函数，则，∵，∴，②错误；令，故③正确；，，，令，则关于x的方程在区间上有两个不相等的实根，∴在上有两个不相等的实根．当，显然不是的根，当时，，∴，只需与在上有两个不同的交点，如图所示，∴当时满足题意，④错误，故选B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 25 8 1
【解析】
13．令，得展开式中各项系数之和为，则展开式中的的系数为：．
14．设元件1，2，3的使用寿命超过2000小时的事件分别记为A，B，C，显然，∴该照明单元的使用寿命超过2000的事件为，∴该照明单元的使用寿命超过2000小时的概率为．
15．∵，∴可得，又∵，∴，∴，∴的公差为8．
16．令，由图象如图所示可知．因为，则，，得，所以．令，则，∴当时，即时，，∴在上单调递减，所以，解得；∴当时，即时，，∴在上单调递减，在上单调递增，所以，解得与矛盾，舍去．综上可得．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（1）选择①
∵，
由正弦定理得，， （2分）
化简得，， （3分）
∴， （4分）
∵，∴． （6分）
选择②
∵，∴， （3分）
即或（舍去），
∵，∴． （6分）
选择③
∵，∴， （1分）
∴， （2分）
即，∵，∴，∴， （5分）
∵，∴． （6分）
（2）∵，∴， （7分）
∴， （8分）
由正弦定理得，， （9分）
∵，∴， （10分）
∴的面积． （12分）
18．（本小题满分12分）
解：（1）列联表如下：
对服务质量满意 对服务质量不满意 合计
对商品质量满意 70 40 110
对商品质量不满意 70 20 90
合计 140 60 200
（3分）
， （5分）
因为，
所以能有95%的把握认为“网购者对商品质量满意与对服务质量满意之间有关系”． （6分）
（2）每次购物时，对商品质量和服务质量都满意的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3．
； （7分）
； （8分）
； （9分）
． （10分）
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以，
或者由于，得． （12分）
19．（本小题满分12分）
（1）证明：∵，
∴， （2分）
又∵平面平面， （4分）
∴平面平面平面，∴平面． （6分）
（2）解：∵，∴平面，故以的方向分别为x轴，y轴的正方向，以过点D垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （7分）
设，则，
则有， （8分）
∴， （9分）
设平面与平面的法向量分别为，
由可得，
由可得， （10分）
故， （11分）
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为． （12分）
20．（本小题满分12分）
（1）解：由已知有 （1分）
解得 （4分）
∴椭圆C的方程为． （5分）
（2）证明：设直线，直线，又直线为圆R的切线，
则， （6分）
化简可得， （7分）
同理可得， （8分）
∴是方程的两根，
由，可知， （10分）
又在椭圆上，即， （11分）
∴，∴为定值． （12分）
21．（本小题满分12分）
（1）解：的定义域为，， （1分）
∵是的极值点，
∴，
即，∴， （2分）
∴在上单调递增，且，
∴的单调递减区间为，单调递增区间为． （5分）
（2）证明：由可得，
所以， （6分）
令，则，
∵在上单调递增，且．
∴，使得，有，① （8分）
且在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴，
由①得，即有，∴，
∴， （10分）
又∵在区间上单调递增，
∴ （11分）
∴，
∴，
∴，结论得证． （12分）
22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
解：（1）的普通方程为，
的极坐标方程为． （5分）
（2）因为l的极坐标方程为，的普通方程为， （6分）
的极坐标方程为，
所以A，B的极坐标为， （8分）
． （10分）
23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
（1）解：依题意，，即，，
∴． （5分）
（2）证明：由（1）知，
由柯西不等式得，，
所以， （8分）
当且仅当，即时取等号． （10分）