九年级培优讲义：相似专题讲义（教师版）
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文档简介
2021－2022学年度九年级讲义
教学内容：相似三角形
第一讲：图形的相似与比例线段
第二讲：平行与比例、相似（1）
第三讲：平行与比例、相似（2）
第四讲：相似的性质与判定（1）
补充专题一：与定线上的动点有关的定形运动问题探究
第五讲：相似的性质与判定（2）
补充专题二：认识基本图——交叉A形、羊角三角形、双蝶形的基本结论及相互转化
补充专题三：认识基本图——“子母三角形”
补充专题四：认识基本图——“射影定理图’’
补充专题五：“圆的证明与计算一”
补充专题六：“圆的证明与计算二”
第六讲：相似的综合运用（1）
第七讲：相似的综合运用（2）
《相似三角形》学习中你要注意的积累
一、相似的基本图：
（一）平行A形 （二）平行X形 （三）平行双A形 （四）平行双X形
A型 X型 双A型 双X型
（五）“羊角三角形” （六）“交叉A形” （七）双蝶形（四点共圆形）
已知D、E分别为AB、AC上的点，BE、CD交于点0
（1）如图，若∠B＝∠1，则△ADE∽△ ；（“交叉A形”）
（2）如图，若∠B＝∠C，则△ABE∽△ ；（“羊角三角形”）△DBO∽△ ；（“蝶形相似”）
“羊角三角形”、“交叉A形”、“双蝶形”三个基本图之间的相互转化
（3）图中，若∠ABC＝∠1，连接BE、CD，求证：∠ABE＝∠ACD； ∠EDC＝∠EBC；
（4）图中，若∠ABE＝∠ACD，连接DE、BC，求证：∠ADE＝∠ACB； ∠EDC＝∠EBC
（5）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAC＝∠BDC，求证∠DAC＝∠DBC．
（八）子母三角形
1．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，求证：BA2＝BD·BC；
2．如图，在△ABC中，D为BC上一点，BA2＝BD·BC，求证：∠BAD＝∠C；
3．在图中，分别在某边或边的延长线上取一点，构造子母三角形相似．
(备用图)
（九）射影定理图：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则有：
（1）三个重要的平方等积：①＝ ADAB；②＝ BD·BA：③＝ AD·BD；
（2）一个重要的平方比例（计算）：﹒
（十）四点共圆形（共斜边的双直角）
通过证明四点共圆，可灵活转化多直角几何图形中的锐角
二、与相似有关的构造
（一）特殊结论的构造
1．形如“ad＝ bc”等积式的证明：
（1）由“等积式”的基本图，寻找相似三角形；
（2）转化为比例式：①共线比找平行
②非共线比找相似
2．形如“a＝b”的证明：选择同一条线段m或相等的两条线段，转化证明“”；
3．形如“a＋b＝kc”的证明：转化证明“”；
4．形如“”的证明：转化证明“”；
5．形如“ ”的证明：（1）转化证明“，”
（2）转化证明“，”从而证明“”；
6．形如“ab＋ cd＝ ef”的证明：在f上取一点得f＝x＋y，从而转化证明“ab＝ex，cd＝ey”；
（二）平行线的构造一一“共线比”的构造
1．证明类：（1）公共点在端点构造平行A形：如图1中的构造
（公共点A，B、C两点互作平行线）；
（2）公共点在中间构造平行X形：如图2中的构造
（公共点B，A、C两点互作平行线）；
2．计算类：上、下、全比值可以相互转化，排除没有条件的交点，另两点互作平行线．
（1）如图3，若，则 ， ．
（2）如图3，若，则 ， ．
三、边、角相似的构造
挨着对应边找等角，确定两个三角形，固定一个三角形，改造第二个三角形（等角）
第一讲 图形的相似与比例线段
【知识要点】
一、四条线段成比例：a∶b＝c∶d（），其中a、d叫做比例的外项，b、c叫做比例的内项，可以转化为ad＝bc．特别地，若a∶b＝b∶c，那么b2＝ac，此时b叫做a、c的比例中项；
二、（1）所有的边对应成比例，所有的角对应相等的两个多边形叫做相似多边形；
（2）相似多边形所有的边对应成比例，所有的角对应相等；
三、相似比：对应边的比值．
（1）注意相似比的相对性：△ABC∽△DEE，它们的相似比为＝k，而△DEF∽△ABC，它们的相似比为；
（2）相似比k＝1的两个三角形全等：全等三角形一定相似，但相似三角形不一定全等．
第一部分【能力提高】
1．如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中的△ABD与△ACD的相似比是 ，△DBA与△ABC的相似比是 ，△ABC与△DAC的相似比是 ．
第1 题图 第2 题图
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝3，AC＝4，则图中的△ABD与△CAD的相似比是 ，△DBA与△ABC的相似比是 ，△ABC与△DAC的相似比是 ．
3．下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的直角三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的等边三角形都相似；⑤所有的平行四边形都相似；⑥所有的矩形都相似；⑦所有的菱形都相似；⑧所有的正方形都相似．其中正确的有 ．（只填写序号）
4．△ABC∽△DEF，其中∠B＝60°，∠F＝70°，则∠A＝ ．
5．己知，则 · ＝ · ；若PA·QC＝PB·QD，则 ＝ ．
6．如图所示，每个大正方形均由边长为1的九个小正方形组成，则下列左图四个三角形（阴影部分）中能与△ABC相似的是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，己知四边形ABCD∽四边形EFGH，请直接写出：
（1）α＝ ，β＝ ；
（2）EH的长度x＝ ；
（3）四边形EFGH与四边形ABCD相似的相似比为 ．
第二部分【综合运用】
8．如图，有一个格点三角形（顶点是格点的三角形），请在图中画出三个不同的格点三角形与之相似（且与原三角形不同），并直接写出新三角形与原三角形相似的相似比（对应边的比值）．
相似比：
答案：如下图
9．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上的点D，折痕为MN．已知AB＝6，BC＝4，若△ABC∽△DNC．
（1）求证：DM∥BC；
（2）求BN的长度．
答案：（1）∵△ABC∽△DNC，∴∠B＝∠DNC，∴AB∥DN，∴∠BMN＝∠MND，由折叠易得DM∥BC；
（2）易证BN＝BM＝MD＝x，∴,∴，∴x＝2.4，即BN＝2.4
10．（1）“黄金分割比”是把一条线段分割为两部分，使其中较短一部分与较长部分之比等于较长部分与全长之比．由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割比，其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618．这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．
如图，P为线段AB上一点（AP＜BP），且＝k，求k的值；
答案：设AB＝1，AP＝x，则BP＝1－x，∵，∴，解得x＝（舍负值），∴k＝
（2）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D为AC上一点，且△ABC∽△BDC，求的值；
答案：
（3）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，D为BC上一点，且△ABC∽△DBA，求；
答案：
（4）将一张矩形纸片ABCD（AD＞AB）沿AD、BC边的中点EF对折，如果得到的两个矩形ABFE、矩形CDEF都和原来的矩形ABCD相似，求的值；
答案：
（5）将一张矩形纸片ABCD（AD＞AB）裁去一个正方形ABFE后，如果剩下的矩形CDEF和原来的矩形ABCD相似，求的值．
答案：
（6）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，D为AC上一点，且△ABC∽△BDC，求的值；
答案：．
11．如图1，在矩形MNPQ中，点E、F、G、H分别在NP、PQ、QM、MN上，当∠1＝∠2＝∠3＝∠4时，我们称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．已知矩形ABCD和它的反射四边形EFGH的四个顶点均为边长为1的正方形网格的格点，请解决下列问题：
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
答案：∵∠1＋∠2＋∠GHE＝180°，∠3＋∠4＋∠GHE＝180°，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠GHE＝∠GFE．∵四边形MNPQ是矩形，∴∠Q＝∠M＝∠N＝∠P＝90°．∴∠1＋∠QGF＝∠2＋∠PEF＝∠3＋∠MGH＝∠4＋∠HEN＝90°．∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠QGF＝∠PEF＝∠MGH＝∠HEN．同理可证∠HGF＝∠HEF．∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）已知AB＝5，BC＝10，请结合图2求满足条件的反射四边形EFGH共有几个 并在图3中作出矩形ABCD的所有反射四边形（E、F、G、H四点都在格点上）；
答案：
（3）如图4，已知AB＝8，BC＝12，请在图4中直接作出矩形ABCD的所有反射四边形（E、F、G、H四点都在格点上）．
答案：
第二讲 平行与比例、相似（1）
知识要点：
一、平行线分线段成比例：
＝ （＝）、＝ （＝）、＝ （＝）；
二、平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；
注意：（1）平行比例；
（2）平行相似比例（有平行线段参与的比例，必须先写相似，再得对应边成比例）；
三、与平行（共线比）相关的相似基本图：平行A形、平行X形、平行双A形、平行双X形．
引例：如上图“双A型”、“双X型”中：若DE∥BC，求证：＝．
答案：∵DE∥BC，∴，∴.
第一部分【能力提高】
1、如图，AB∥CD∥EF．
（1）图中相似三角形有几对？请分别写出来；
（2）已知AC＝3，CE＝5，CD＝2．
①＝ ；② ＝ ；③ ＝ ；④ ＝ ；
⑤AB的长为 ；EF的长为 ．
答案：（1）3对；△ABE∽△CDE；△ABD∽△FED；△ACD∽△AEF；
（2）①；②；③；④；⑤；；
2、如图，□ABCD中，G是DC延长线上一点，连结AG交BD、DF于E、F两点，求证：AE2＝EFEG．
答案：∵□ABCD，∴AB∥CD,AD∥BC，∴，，∴，∴AE2＝EFEG．
3、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是DC中点，直线BE交AC于点F，交AD的延长线于点G，求证：EF·BG＝BF·EG．
答案：答案：∵AB∥CD，∴∠GDE＝∠GAB，∠GED＝∠GBA，∠CEF＝∠ABF，∠ECF＝∠BAF．
∴△CEF∽△ABF，△DGE∽△AGB．∴EF：BF＝EC：AB，EG：BG＝DE：AB．
∵DE＝EC，∴EF：BF＝EG：BG．∴EF BG＝BF EG．
4、如图，□ABCD中，E为AD上一点，EF∥AC交CD于点F，延长BF、AD交于点G，求证：AD2＝AEAG．
答案：答案：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，AB＝CD，
∵EF∥AC，∴AE：AD＝CF；CD，∵AB∥CD，∴CH：AH＝CF：AB，
∵AB＝CD，∴AE：AD＝CH：AH，∵AD∥BC，∴BC：AG＝CH：AH，
∴AE：AD＝BC：AG，∵AD＝BC，∴AE：AD＝AD：AG，∴AD2＝AE AG．
5、如图，在□ABCD中，直线DE分别交AC、AB的延长线于F、G两点，EF·GD＝DF·GE，求证：E为BC的中点．
答案：∵BC∥AD,∴,,∵EF·GD＝DF·GE,∴BE＝EC
6、如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，以直角边AB、AC为边分别向形外作正方形ABDE和正方形ACFG，CD、AB交于点M，BF、AC交于点N，求证：AM＝AN．
答案：∵AB∥DE,∴,∵AC∥FG,∴,∴AM＝BN
第二部分【综合运用】
7、如图，在△ABC中，BC＝2AB，BD平分∠ABC，DE∥BC，DF∥AB，直线EF、AC交于点G．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）求证：E为FG的中点．
答案：(1)∵BD平分∠ABC，DE∥BC，DF∥AB，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四边形BEDF为菱形
（2）∵DF∥AB，∴，∴，∵DE∥BC，∴，∴E为FG的中点．
8、如图，△ABC中，AB＝AC，BD∥AC，CE∥AB，过点A的直线交BD于点D，交CE于点E，延长CD交AB于点N，延长EB交CA于点M，（1）求证：△ABD∽△ECA．（2）求证：AM＝BN．
答案：(1) 答案：（1）∵BD∥AC，CE∥AB，∴∠CAE＝∠BDA，∠CEA＝∠BAD，
∴△ABD∽△ECA；
(2)∵BD∥AC，∴△NBD∽△NAC，∴ ，∵△ABD∽△ECA，
∴；∵AB∥CE，∴△ABM∽△CEM，∴，∴，
∴，∴，∴AM＝NB．
9、如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E，求证：＋＝．
答案：∵BD平分∠ABC，DE∥BC，∴，∴，∴＋＝．
10、如图，在△ABC中，M为BC的中点，P为CM上任一点，过点P作PE∥AM，PE分别交AC、BA的延长线于D、E两点，求证：PD＋PE＝2AM．
答案：∵PE∥AM，∴,，∴PD＋PE＝2AM
11、如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，BH＝6，CH＝3．平行于BC的动直线l分别交AB、AC于D、E两点，CD交AH于点F，EF交BC于点P，求HP的长度．
解：AH与l的交点即为Q，则，∴，又∵，∴PH＝1.5
12、如图，在△ABC中，D为AB上一点，DE∥BC交AC于点E，过A作BC的平行线分别交CD的延长线、BE的延长线于M、N两点．
（1）求证：AM＝AN；
（2）若DE＝a，BC＝b，求MN的长度（用含a、b的式子表示）．
答案：（1）∵DE∥BC，∴，∴AM＝AN
（2）∵，∴，∴，∴
13、如图，△ABC中，D为BC上一点，过D作DE∥AB交AC于点E，过E作EF∥AD交BC于点F．
（1）求证：CD2＝CFCB；
（2）若CF＝4，BD＝5，求DF的长度．
答案：（1）∵DE∥AB，EF∥AD，∴，∴CD2＝CFCB
（2）设DF＝x，则由（1）可得，，解得
14、如图，正方形ABCD中，AB＝5，P为BD上的一动点，PQ∥BC，AP、AQ分别交BC于M、N两点．
（1）求线段MN的长度；
（2）若＝，求PQ的长度．
答案：（1）∵，∴MN＝BC＝5
（2）∵＝，∴，∴，∴
15、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于点O，过O作EF∥AB分别交AD、BC于E、F两点．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：＋＝；
（3）若AB＝12，CD＝9，求EF的长．
答案：（1）∵AB∥CD，∴DO：DB＝CO：AC，又∵FO：AB＝OC：AC，EO：AB＝DO：DB，
∴EO：AB＝FO：AB，∴O是EF的中点，∴OE＝OF；
（2）∵AB∥CD∥EF，∴△BFO∽△BCD，且△DOE∽△DBA，
∴FO：CD＝BO：BD，且OE：AB＝DO：AB，两式相加，可得，
又∵OE＝OF＝ EF，∴＋＝．
（3）∵，∴
16、（1）如图，在△ABC中，DE∥BC，CD、BE交于点F，直线AF分别交DE、BC于P、Q两点，
求证：Q为BC的中点．
答案：如图，设BQ＝x，CQ＝y，DP＝m，PE＝n，
∵DE∥BC，∴＝＝，＝＝，
∴＝＝，∴x2＝y2，∴x＝y，即Q为BC的中点
（2）如图，△ABC中，EF∥BC，D为BC上一点，BF交AD于点P，延长EP交BC于点G．
①求证：DB2＝DGDC；
②若BC＝3BD，求的值．
答案：①∵EF∥BC，∴＝＝，∴DB2＝DGDC；
②∵BC＝3BD，∴＝＝＝2，∴BD＝BC，∴DG＝BD＝BC，
∴BG＝BD＋DG＝BC＋BC＝BC，∴＝
17、如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上一点，BP＝nCP，BD⊥AP于点D，CE⊥AP于点E．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）若n＝2时，求证：D为AE的中点；
（3）请用n的代数式表示的值．
答案：（1）略；
（2）∵＝＝2，BD＝AE，AD＝CE，∴AE＝2AD，∴D为AE的中点；
（3）∵＝＝n，BD＝AE，AD＝CE，∴AE＝nAD，∴＝
18、如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且连接AE＝EF＝FD．连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H．
（1）求EG：BG的值；
（2）求证：AG＝OG；
（3）设AG＝a，GH＝b，HC＝c，求a：b：c的值．
答案：（1）＝＝；
（2）∵＝＝；∴AC＝4AG，又AO＝AC，∴AO＝2AG，∴AG＝OG
（3）∵＝，＝＝，∴AG＝AC，AH＝AC，HC＝AC，
∴GH＝AH－AG＝AC－AC＝AC，
∴a∶b∶c＝AC∶AC∶AC＝5∶3∶12
19、如图，□ABCD中，E为AB上一点，EF∥BD交AD于点F，连接CM、CF分别交BD于M、N两点．
（1）求证：BM＝DN；
（2）若AB＝nAE，求的值．（用n的式子表示）
答案：
（1）分别延长CB、CD交EF于G、H，则△GBE≌△FDH，∴GE＝FH，
∵＝＝＝，∴BM＝DN
（2）＝＝，∴＝＝
20、如图，在□ABCD中，M为AD上的一个动点，过点M作MN∥AB，直线AB、CM交于点P，直线BM、CD交于点Q．
（1）求证：；
答案：∵＝，＝，∴＋＝＋＝＝1
（2）若AB＝1，求APDQ的值；
答案：∵＝＝，∴APDQ＝CDAB＝1
（3）若AB＝1，求的值．
答案：∵＝，＝，∴＋＝＋＝＝1，
∴＋＝＝1．
第三讲 平行与比例、相似（2）
知识要点：
一、平行线分线段成比例（平行≥比例）；
二、平行于三角形—边的直线得截得的三角形与原三角形相似（平行相似比例）；
三、共线比的平行构造：
（1）公共点在端点构造平行A型；
（2）公共点在中间构造平行X型．
第一部分【能力提高】
1、角平分线定理（构造平行线证明“共线比”）
（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，求证：＝；
证明：作CE∥AB交AD于E，则∠E＝∠BAD＝∠CAE，∴AC＝CE，
又由AB∥CE可得＝，∴＝．
（2）如图2，AD为△ABC的外角平分线，求证：＝．
证明：作CE∥AB交AD于E，则∠AEC＝∠PAD＝∠CAE，∴AC＝CE，
又由AB∥CE可得＝，∴＝．
2、（梅涅劳斯定理）如图，任意一条直线分别交△ABC的三边所在的直线于D、E、F三点，求证：··＝1．
答案：过C作CG∥DE交AB于G.则∴··＝1．
3.（塞瓦定理）如图，己知O为△ABC内任意一点，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F三点，
求证：··＝1．
答案：∵＝＝,由合比性质得＝＝；
同理：＝；＝；∴＝＝1
4、如图，P为△ABC内任意一点，AP、BP、CP分别交对边于D、E、F三点，求证：．
答案:∵S△PBC＋S△PBA＋S△PAC＝S△ABC ∴ ∴
5、如图，在△ABC中，AB＝AC， D是AB延长线上一点，E是AC上一点，连接DE与BC相交于点F，求证：DF：FE＝DB：CE．
答案：过E作EG∥BC交AB于G,易证BG＝EC,∴DF：FE＝DB:BG ∴DF：FE＝DB：CE．
6、如图，D、E分别为AB、AC上一点，BD＝CE，直线DE、BC交于点F，求证：＝．
答案：过E作EG∥AB交BC于G,∴DF：FE＝DB:EG ∵BD＝CE ∴DF：FE＝EC：GE．
由∵EC：GE＝AC:AB ∴
7、如图，在△ABC中，D为BC延长线上的一点， BC＝CD，E为AC的中点，直线DE交AB于点F，求的值．
答案：过E作EG∥BC交AB于G,∵AE＝CE ∴BC＝2EG∵BC＝CD，∴BD＝4EG
由∵EF： FD＝EG: BD ∴DF＝4EF,∴
8、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为边AC的中点，延长ED并交AB延长线于点F，求证： ＝．
答案：易证△BDF∽△DAF,∴,易证△BDA∽△ADC, ∴∴
第二部分【综合运用】
9、己知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，BA＝BD，E为AC的中点，AD、BE相交于点F，求证：AB·AF＝BC· DF．
答案：过A作AG∥BC交BE延长线于G,∵易证△BDF∽△GAF,∴,易证△BCE≌△GAE,
∴AG＝BC,又∵BA＝BD，∴∴AB·AF＝BC· DF．
10、如图，△ABC中，M为BC的中点，P为AM上任一点，延长CP交AB于点Q，求证：＝．
答案：过M作MN∥QC交AB于N,∵易证△APQ∽△AMN,∴,∵M为BC的中点，
∴BQ＝2BN＝NQ∴
11、如图，在△ABC中，BC＝6，E、F分别是AB、AC的中点，点P在射线EF上，连接BP交CE于D点，∠CBP的平分线交CE于点Q，设BP＝y，PE＝x．当CQ＝CE（n为不小于2的常数）时，求y与x之间的函数关系式．
答案：延长BQD交EF于K,∵EK∥BC，∵BQ是∠CBP的平分线，易证PB＝PK, 当CQ＝CE, ∴△CBQ∽△EKQ,
∴∴EK＝(n－1) BC＝6（n－1）, ∵BP＝y，PE＝x∴PK＋EP＝6(n－1) ∴y＝6(n－1)－x
12、如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠ABC，求证：．
答案：过D作DE∥AB交AC于E,∵AD平分∠ABC，∠BAC＝120°，∵易证△ADE为等边三角形，AE＝DE＝AD ∵DE∥AB∴△CED∽△CAB,∴∴∴
13、如图，在△ABC中，M、N分别为AB、AC的中点，P为MN上一点，BP延长交AC于点D，设，，求y与x的函数关系式．
答案：过A作AQ∥BC交BP延长线于E,∵设PN＝1,∵ ∴MP＝x ∵M、N分别为AB、AC的中点，
∴BC∥MN ∥AQ∴△AQD∽△NPD,∴∴AQ＝y，∴△AQB∽△MPB,∴AQ＝2MP
∴y＝2x
14、如图，△ABC中，M为AC的中点，E为AB上一点，AB＝nAE，延长EM交直线BC于点D．
(1)若n＝4，求的值；
(2)若C为BD的中点，求n的值；
(3)请用n的代数式表示的值．
答案：过点C作CF∥AB交DE于F, ∵M为AC的中点, ∴AE＝CF.
(1)∵AB＝4AE, ∴BE＝3AE, 即, , ∴, ∴.
(2)n＝3
(3) ∵AB＝nAE, 即BE＝(n－1)AE, 即, , ∴, ∴.
15、如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，CD＝nBD，E为AD的中点，延长BE交AC于点F．
(1)当n＝2时，求的值；
(2)若CF＝2AF，求证：AD⊥BC；
(3)请求出的值．（用n的代数式表示）
答案：过点D作DG∥AC交BF于G, ∵E为AD的中点, ∴DG＝AF.
(1)∵CD＝2BD，即BC＝3BD, , ∴, 即, .
(2)∵CF＝2AF，即, , ∴BD＝DC, ∴AD⊥BC.
(3) CD＝nBD，即BC＝(n＋1)BD, , ∴, 即, .
16、如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，P为DE上一点，延长BP交AC于点N，延长CP交AB于点M，求证：．
答案：过点A作KL∥BC交CM延长线于K,BN延长线于K, 则KL＝BC.
∵, , 两式相加得, , ∴
17、如图，△ABC中，M为BC的中点，N为AM的中点，P为AB上的一个动点，延长PN交AC于点Q，当P
点运动时，求的值．
答案：过点A作AK∥BC交PQ延长线于K, QP与CB交于L, ∵AN＝NM, ∴AK＝LM.
∵, , ∴,
又LB＋CL＝LB＋(LM＋CM)＝(LB＋CM)＋LM＝(LB＋BM)＋LM＝LM＋LM＝2LM, ∴.
18、已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，M为OD上一点，过点M的直线分别交AD、CD于P、Q两
点，与BA、BC的延长线交于E、F两点．
(1)如图1，若M为OD的中点，EF∥AC，求证：PE＋QF＝2PQ．
图1
答案：∵OM＝MD, ∴AP＝PD, CQ＝QD, ∴PE＝PQ＝QF, 即PE＋QF＝2PQ ．
(2)如图2，若M为OD的中点，EF与AC不平行时,(1)中的结论是否仍然成立？说明你的理由；
图2
答案：过点O作OK∥EF交EF于K.
∵, , ∴.
又O为AC中点, ∴AP＋CF＝2OQ, 而M为OD中点, ∴OQ＝PD, ∴, 即.
∴PE＋QF＝2PQ, (1)中的结论是成立.
(3)如图3，若BM＝nDM，EF与AC不平行时，请写出：的值为 _______ ．(请用含n的式子表示你的结论并证明)．
图3
答案： n－1.
19、类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值．
(1)【尝试探究】在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 _______ ，CG和EH的数量关系是 ________ ，的值是 _________ ．
图1
答案： AB＝3EH, CG＝2EH, .
(2)【类比延伸】如图2，在原题条件下，若（m＞0），求的值．（用含m的代数式表示）
图2
答案：
过点E作EH∥AB交BG于点H，
∵， ∴， 又AB＝CD, EH＝CG, ∴ .
(3)【拓展迁移】如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的延长线上一点，BE和AC相交于点F，若，＝b，则的值是 ___________ ．（用含a和b的代数式表示）
图3
答案： ab.
过点E作EH∥AB交CA延长线于点H.
∵， ∵， ＝b, 即＝b, ∴.
第四讲 相似三角形的性质与判定（1）
知识要点：
一、三边对应成比例的两个三角形相似（类比全等的“SSS ”公理）；
二、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（类比全等的“SAS ”公理）；
三、利用相似比例逆用证明两直线平行或垂直．
第一部分【能力提高】
一、如图，在□ABCD 中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，∠AFE＝∠B．
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝8，AD＝，AF＝，求AE的长．
答案：
(1)∵∠ADF＝∠CED, 又∠AFE＝∠B, ∴∠AFD＝∠C, ∴△ADF∽△DEC.
(2) 由(1)△ADF∽△DEC, ∴, 即, DE＝12, 由勾股定理.
二、如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．
(1)求证:；
(2)若AD＝4，AB＝6，求AF的长度．
答案：(1) ∵△ADC∽△ACB, ∴, ∴.
(2) 连CE, ∵∠1＝∠2, 又∠ACB＝90°, E为AB中点, ∴∠2＝∠3, ∠1＝∠3, AD∥CE.
由(1) , ∴.
又, 即, , 即.
三、如图，Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AC＝nAB，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．
（1）求证：△ABE∽△CAF；
（2）若n＝2 时，求的值；
（3）当n＝ 时，E为AF的中点．
(1)证明：∵D为BC边的中点，∠BAC＝90°，∴AD＝BD＝CD,∴∠CAD＝∠ACD,
∵∠BAD＋∠CAD＝90°＝∠ABE＋∠BAE，∴∠CAD＝∠ABE，∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∴△ABE∽△CAF .
(2)∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵∠BDE＝∠CDF，
∴△BDE≌△CDF，∴BE＝CF，由（1）△ABE∽△CAF，
∴＝＝＝,∴AF＝2BE＝2CF，CF＝2AE，∴AF＝4AE，∴＝.
(3)由（1）知AE＝nBE＝nCF＝n2AE，若E为AF的中点，∴AF＝2AE，即n2＝2,∴n＝
四、【共底角顶点的两个等腰必有相似】
如图，等腰△ABC和等腰△DEC中，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝α．
（1）求证：△CAD∽△CBE（）；
（2）延长BE、AD交于点P，求∠APB的度数（用α的式子表示）．
（1）证明：∵AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC，∴∠ACB＝∠DCE，＝ ，∴∠ACD＝∠BCE，∴△CAD∽△CBE.
（2）解：由（1）知△CAD∽△CBE，∴∠CAD＝∠CBE，∴∠ABE＋∠CAD＝∠ABC＝，∴∠APB＝180°－－＝90°－
五、如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，以AE为腰作等腰Rt△AEF，连接AC、CF．
（1）求证：AC⊥CF；（2）求的值．
（1）证明：过F作FG⊥BC交BC延长线于点G，∵△AEF为等腰直角三角形，∴△ABE≌△EGF，
∴BE＝FG＝CG，∴∠FCG＝45°，∴∠ACF＝90°，∴AC⊥CF.
（2）由（1）知FG＝BE＝ CG，∴＝
六、如图，已知在等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 中，∠ACB＝∠AED＝90°，连接 CD，P、M、N 分别为CD、BC、DE 的中点，求的值和∠MPN 的度数．
解：连接BD，CE，则△ABD∽△ACE，∴＝＝,∵P，M，N分别为CD，BC，DE的中点，
∴PMAD，PNCE，∴＝＝，
延长DC交AE于G点，则∠NPC＝∠ECG＝∠CED＋∠EDC
又∠MPC＝∠BDC＝∠BDA＋∠CDA，∠BDA＝∠AEC，∴∠MPN＝135°.
七、如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，G为线段EF上的一个动点，以G为顶点、BG为腰作等腰Rt△GBH，连结DH．
（1）求证：DH＝BH；
（2）若AB＝4，当G点从E点运动到F点时，请直接写出动点H的运动路径长为 ．
答案：（1）连AG、BD.∵∠ABD＝∠HBG＝45°，∴∠GBA＝∠HBD,又，∴△BHD∽△BGA，
易证△BGA是等腰△，∴△BHD也是等腰△，∴DH＝BH
方法二：NH＝MH＝a＋b，BN＝DM＝a＋b－2a，∴△HBN≌△HDM，∴DH＝BH
（2）三垂直得△GBE≌△，∴＝4
八、（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，将图（1）中的正方形AEGH绕点 A 旋转一定角度，如图（2），求 HD∶GC∶EB 的值；
解：由旋转△ADH≌△ABE，∴DH＝EB，
连接AC，AG，则△ADH∽△ACG，∴＝＝，∴HD：GC：EB＝1：：1.
（2）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB＝HA：AE＝ m：n，求HD：GC：EB的值．
解：由△ADH∽△ABE得DA：AB＝DH：BE＝m：连接AC，AG，则△ADH∽△ACG，∴＝＝，∴HD：GC：EB＝m：：n.
第二部分【综合运用】
九、如图，在△ABC的内部任取一点O，连接AO、BO、CO，D为OA上任一点，过D点作DE∥AB，DF∥AC，求证：EF∥BC．
证明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴＝＝，∴EF∥BC
十、如图，在△ABC中，D为BC上一点，过D作DE∥AB交AC于点E，F为CD上一点，且CD2＝CF·CB，
求证：EF∥AD．
证明：∵DE∥AB，∴＝，∵CD2＝CF·CB，∴＝，∴＝，∴EF∥AD
11、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M为AB的中点，BD、AM交于点E，AC、DM交于点F．
（1）求证：EF∥AD；
（2）若 AD＝6，BC＝8，求 EF 的长．
（1）证明：∵AD∥BC，M为AB的中点，∴＝＝＝，∴EF∥AD
（2）由（1）知＝＝＝，∴＝＝＝，∴EF＝
12、如图，在△ABC中，P为边BC上的任一点，PD∥AB，PE∥AC，BD、PE交于点M，CE、PD交于点 N，求证：MN∥BC．
证明：∵PD∥AB，PE∥AC，∴＝＝＝，∴MN∥BC
13、已知、、分别为三边的中点．
（1）如图1，与交于点，求证：为的中点；
（2）如图2，为的中点，延长、交于点，求证：；
（3）如图3，若不是的中点，（2）中的结论是否仍然成立？写出你的结论并证明．
解：（1）如图1，连接DF，EF，∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，∴DF，EF都是△ABC 的中位线，
∴DF∥AE，EF∥AD，四边形ADFE是平行四边形，∴DE与AF互相平分，∴M为DE的中点；
（2）证明：如图2，延长EF交BQ于G，由（1）可得EF是△ABC 的中位线，，
又是的中点，，，，，
又∵BD＝AD，∴PF＝GF，在△CPF和△BGF中，，，
，；
（3）CP∥BQ仍成立．
证明：如图3，延长EF交BQ于G，由（1）可得，EF是△ABC 的中位线，∴EF∥AB，即PG∥AB，
，又∵AD＝BD，∴PF＝GF，在和中，，
∴△CPF≌△BGF(SAS)，∴∠PCF＝∠GBF，∴CP∥BQ．
14、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD丄AD于点D，CE丄AD于点E，直线BE、CD交于点P，求证：AP丄AD
证明：∵BD丄AD，CE丄AD，得EC∥BD，得，注意到△ABD∽△ACE，
所以，∴，所以AP∥BD，易得AP丄AD．
15、如图，AE是△ARC的外角∠CAG的平分线，过B、C两点作BD丄AE于点D, CE丄AE于点E．连结BE，CD交于点F，连结AF，求证：∠BAF＝∠CAF．
证明：∵AE是△ARC的外角∠CAG的平分线，∴∠GAE＝∠EAC＝∠DAB，又∵RD丄AE，CE丄AE，
∴∠BDE＝∠DEC，∴△ADB∽△AEC，BD∥EC，．
16、如图，是中边的中点，是上任意一点，连接、并延长交、于、，求证：．
答案： 过O作NF∥BC交AB于N，交AC于F．∵NO∥BM，OF∥MC，
∴NO：MB＝AO：AM，OF：MC＝AO：AM，∵MB＝MC，∴NO＝OF．
∵NO∥BC，OF∥BC，∴NO：BC＝EO：EC，OF：BC＝DO：BD，
∴EO：EC＝DO：BD，∴DE∥BC．
17、如图，在△ABC中，M、N分别为AB、AC边上的两点，MN//BC，D、E分别为CA、BA延长线上的两点，BD//EN，求证：DM//CE．
证明：∵BD//EN，∴① ，又∵MN//BC，∴②，①×②得，∴DM//CE．
18、如图，在等腰△ABC和等腰△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，B、C、E、F在同一条直线上，A、D在直线BF的同侧，连结BD交AC于点M，连结AF交DE于点 N．
（1）求证：MN//BF；
（2）若BC＝6，CE＝2， EF＝4，求线段MN的长度．
证明：（1）∵AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，∴∠ABC＝∠DEF，∴AB∥DN，∴，
同理，，∴HN×HB＝MH×FH，∴，∴MN//BF；
（2）由DE∥AB，MN∥BF，得，解得MN＝4．
补充专题一：与定线上的动点有关的定形轨迹问题探究
一、定直线上的动点与定点构成的定形
方法一：线段形路径——解析法
方法二：线段形路径——还原起点全等或相似构造法
例一、A点的坐标为（0，4），动点P从O点出发沿轴正半轴运动，直到运动到（4，0）时运动停止．
（1）如图，以P为直角顶点，在第一象限内作等腰RtAPQ，则点Q的运动路径长为 ；
（2）如图，在（1）的条件下，等腰Rt△APQ的外心M的运动路径长为 ．
解：（1）作点D（4，0），∴△AOD是等腰直角三角形，∴△AOD∽△ADQ，∴，∠OAD＝∠PAQ，
∴∠OAP＝∠DAQ，∴△AOP∽△ADO，∴∠ADO＝90°，∴∠EDF＝45°，∴Q的运动路径为DE＝4．
（2）外心M为AQ的中点，所以外心M运动的路径为△ADE的中位线，且平行于DE，所以外心M运动的路径长为2．
例二、A点的坐标为（0，4），动点P从O点出发沿x轴正半轴运动，直到运动到（4，0）时运动停止．
（1）如图，以P为直角顶点，在第一象限内作等边△APQ，则点Q的运动路径长为 ；
（2）如图，在（1）的条件下，等边△APQ的外心M的运动路径长为 ．
解：为（1）如图所示，D（4，0），作等边△AOD和△ADE，所以点Q的运动路径为EF的长度．
易证△AFE≌△AOD，所以点Q运动的路径长EF＝4．
（2）如图所示，MM′就是点M运动的路径．易证△AFE≌△AOD，所以∠AEF＝∠ADO＝45°，
注意∠AOE＝60°＋45°＝∠FAE＋60°，所以∠EAF＝45°，∴△AFE是等腰直角三角形，
∴∠AFE＝90°，∴∠OFG＝30°，又∠FOD＝30°，∴∠FOG＝∠OFG＝30°，∴OG＝GF，
所以AG⊥OK，由等边三角形外心可得，所以MM′∥HK，所以∠AHK＝90°，
注意到∠OAG＝∠KAE＝30°，∴∠GAK＝45°，
所以△AMM′为等腰直角三角形，所以MM′＝．
例三、如图，A点的坐标为（0，4），动点P从0点出发沿x轴正半轴运动，直到运动到（4，0）时运动停止．以P为直角顶点，在第一象限内作Rt△AP0，且AP＝2PQ，则点Q的运动路径长为 ．
解：作G（4，0），作△AGE，使∠AGE＝90°，AG＝2GE，易知△APE∽△AGE，
作F（2，0），连结AF．则EF为点Q运动路径．易知△APE∽△AGE∽△AOF，
易证△APG∽△AQE，得∠AGO＝∠AEF＝45°，
注意到∠OAF＝∠GAQ，∠OAP＝45°，则∠FAQ＝45°，
所以△AEF为等腰直角三角形，∠AFQ＝45°，所以EF＝AF＝2．
二、定圆上的动点与定点构成的定形
连接动点与圆心，以定点、圆心按相同的顺序构造定形，通过全等或相似转化到与圆半径的关系．
例四、如图，O为AB上一点，OA＝2，OB＝6，以O为圆心，OA为半径作⊙O,点P是⊙O上的一个动点，连接BP，以BP为斜边作等腰Rt△BPQ，使∠BQB＝90°，其中B、P、Q三点为顺时针顺序，连接AQ，当P点在⊙O上旋转一周时，动点Q的路径长为 ，则AQ的取值范围是 ．
解：如图所示，作等腰直角△OTB，则△OTB∽△BPQ，易证△OPB∽△BTQ，
所以，∴TQ＝．所以动点Q的路径长为2．
当AQ过圆心时，如图所示，过TE⊥AQ取得最值：－≤AQ≤＋．
例五、如图，扇形的圆心角∠AOB＝120°，OA＝，P为扇形弧上的一个动点，将线段PA绕P点顺时针旋转120°，得到线段PQ，当动点P在上从A点运动到B点的过程中，动点Q的运动路径长为 ．
解：连接AB，易证△AOB∽△APQ，∴易得△AOP∽△ABQ，∴，所以BQ＝3，
∴点Q的运动路径是以B为圆心，3为半径，120°为圆心角一段圆弧．∴点Q的运动路径长为：．
例六、如图，扇形的圆心角∠AOB＝120°，OA＝，P为扇形弧上的一个动点，以P为直角顶点AP为腰作等腰Rt△APQ，其中A、P、Q三点为逆时针顺序，当动点P在上从A点运动到B点的过程中，动点Q的运动路径长为 ．
解：如图所示，过O作OT⊥AO，交于点T，连接AT，则△AOT是等腰直角三角形，∴△AOT∽△APQ，
易证：△AOP∽△ATQ，∴，∴QT＝2，所以点Q运动和路径为．
三、两动点在定线上定长滑动（定形）
1．定长线段滑动（定弦、定角半径一定的动圆运动的相对性）
2．两动点定速度滑动
例七、如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的边长为定长16，A、B两点分别在y轴正半轴、x轴正半轴上滑动，则线段OC的最大值 ．
解：取AB的中点D，连接OD、CD，如图所示．∵△AOB为直角三角形，D为AB的中点，
∴OD＝AB＝8，∵△ABC是边长为16的正三角形，D为AB的中点，∴CD＝AB＝8．
在△OCD中，OC＜OD＋CD．当点O、C、D三点共线时，OC＝OD＋CD最大，此时OC＝8＋8．
故答案为：8＋8．
例八、如图，∠MON＝60°，等边△ABC为的边长定长6，A、B两点分别在射线OM、射线ON上滑动，则线段OC的最大值 ．
解：作△AOB的外接圆，圆心为D，连接OD、CD．当O、D、C三点共线时，OC的值最大．
应∵∠AOB＝60°，∴∠ADB＝120°．∴∠DAB＝∠DBA＝30°．
∵AD＝BD、AC＝BC，DC＝DC，∴△ADC≌△BDC，∴∠ADC＝∠BDC，∠DAC＝∠DBC,又∵∠ADB＝120°，∠ACB＝60°，∴∠DAC＝90°，CD⊥AB，∵AB＝6，∴AD＝BD＝OD＝2，在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，AD＝2，∴CD＝4．
∴OC的最大值为2＋4＝6．
例九、如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB＝6，∠BAC＝30°，A、B两点分别在y轴正半轴、x轴正半轴上滑动，则线段OC的最大值 ．
解：当D为AB的中点，当O，D及C共线时，OC最大，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴设BC＝x，则AC＝2x，∴AB＝x＝6，∴x＝2，∴CD＝
∴OC的最大值为．
四、两动点在定线上定速滑动（定形）
例十、如图1，在直角坐标系中，A点的坐标为（0，6），B（0，0），以B为直角顶点AB为直角边在第一象限内作等等腰Rt△ABC，当点A以1单位／秒速度从（0，6）向原点运动，同时B点以1单位/秒速度从（0，0）沿x轴正半轴方向运动，在运动过程中等腰Rt△ABC的形状不变，若OC＝10，则运动的时间为 ．
解：过C作CD⊥x轴，垂足为D，容易证明△AOB≌△BDC，∴OB＝CD，AO＝BD． 设运动时间为t，则OB＝CD＝t，OA＝BD＝6－t，
在Rt△COD中，t2＋62＝102，∴t＝8．
例11、如图，在直角坐标系中，A点的坐标为（0，6），B（0，0），以B为直角顶点AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，当点A以1单位／秒速度从（0，6）向原点运动，同时B点以2单位／秒速度从（0，0）沿x轴正半轴方向运动，在运动过程中等腰Rt△ABC的形状不变，当A点从（0，6）运动到（0，0）时，C点运动的路径长为 ．
解： 过C作CD⊥x轴，垂足为D，容易证明△AOB≌△BDC，∴AO＝BD，OB＝CD．设点A运动的时间为t秒，则OA＝CD＝6－t,OB＝CD＝2t,∴C（6＋t,2t）,当t＝0时，C的坐标为（6,0），当t＝6时，C的坐标为（12,12），所以C点运动的路径长为．
第五讲 相似三角形的性质与判定（2）
知识要点：
一、两角对应相等的两个三角形相似；
二、与“共线积”相关的相似基本图：
交叉A形、羊角三角形、双蝶形（四点共圆形）、射影定理图、子母三角形；
三、“交叉A形”、“羊角三角形”、“双蝶形”三个基本图之间的相互转化．
基本图：
一、“羊角三角形”、“交叉A形”：
己知D、E分别为AB、AC上的点，BE、CD交于点O．
（1）如图1，若∠B＝∠1，则△ADE∽△ ；（“交叉A形”）
（2）如图2，若∠B＝∠C，则△ABE∽△ ；（“羊角三角形”）△DBO∽△ ；（“蝶形相似”）
“羊角三角形”、“交叉A形”、“双蝶形”三个基本图之间的相互转化
（3）图1中，若∠ABC＝∠1，连接BE、CD，求证：∠ABE＝∠ACD；∠EDC＝∠EBC；
（4）图2中，若∠ABE＝∠ACD，连接DE、BC，求证：∠ADE＝∠ACB；∠EDC＝∠EBC．
二、双蝶形（具有四点共圆转角的特性，但要通过两次相似转化）：
如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAC＝∠BDC，求证：∠DAC＝∠DBC．
三、射影定理图：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
则有：①△ACD∽△ABCAC2＝AD·AB；
②△BCD∽△BACBC2＝BD·BA；
③△ACD∽△CBDCD2＝AD·BD．
四、子母三角形：
1．在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，求证：BA2＝BD·BC；
2．在△ABC中，D为BC上一点，BA2＝ BDBC，求证：∠BAD＝∠C．
第一部分【能力提高】
一、如图，△ABC，E为AB上一点，AE＝AC，过A作AD⊥CE交BC于点D，垂足为M，过B作BN⊥AD于点N，求证：△ABN∽△ACM．
证明：∵AE＝AC，AD⊥CE，∴∠BAN＝∠CAM．又∵BN⊥AD，AD⊥CE，∴∠BNA＝∠CMA．∴△ABN∽△ACM
二、如图，在等边△ABC中，P为BC边上的任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点，求证：BP·CP＝BM·CN．
证明：连接MP、NP,∵MN垂直平分AP，∴MA＝MP，NA＝NP，∴∠MPN＝∠BAC＝60°，又∵∠MPC＝∠MPN＋∠NPC＝∠B＋∠BMP，∠B＝∠MPN＝60°，∴∠BMP＝∠NPC，∵∠B＝∠C＝60°，∴△BMP∽△CPN，∴BM:PC＝BP:CN，∴BP·CP＝BM·CN．
三、如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
(1)△CAF与△CGA相似吗？说说你的理由；
(2)求∠1＋∠2的度数．
解:(1)相似.
理由:设正方形的边长为a,AC＝.
∵,.∴.∵∠ACF＝∠ACF,∴△ACF~△GCA.
(2)∵△ACF~△GCA,∴∠1＝∠CAF，∵∠CAF＋∠2＝45°,∴∠1＋∠2＝45°.
四、如图，等边△ABC，D为CB延长线上的一点，E为BC延长线上的一点，∠DAE＝120°．
(1)求证：DA2＝DB·DE；
(2)若BD＝8，CE＝2，求等边△ABC的边长．
解:(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∴∠DBA＋∠D＝60°.
∵∠DAE＝120°,∴∠D＋∠E＝60°, ∴∠DAB＝∠E.
∴△ADB∽△EDA. ∴,∴DA2＝DB·DE；
(2)∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC＝∠ACB＝60°, ∴∠DBA＝∠ECA＝120°.
∵∠DAE＝120°,∴∠D＋∠E＝60°,又:∠D＋∠DAB＝60°,∴∠DAB＝∠E.
∴△ADB∽△EAC. ∴,∵BD＝8，CE＝2，又∵AB＝AC,∴AB＝AC＝4.
∴等边△ABC的边长.
五、如图，正方形DEFG内接于Rt△ABC．
(1)求证：EF2＝BECF；
(2)若AB＝4，AC＝3，求正方形DEFG的边长．
解: (1)∵△ABC为直角三角形,∴∠ABC＋∠ACB＝90°.
又∵四边形DEFG是正方形,∴∠DEB＝∠GFC＝90°.∴∠B＋∠BDE＝90°. ∴∠BDE＝∠C.
∴△BDE∽△GCF. ∴,∴GF·DE＝BE·CF；∵四边形DEFG是正方形,∴DE＝EF＝HF；
∴EF2＝BE·CF；
(2)设正方形DEFG的边长是x,△ABC是直角三角形,∠A＝90°,AB＝4,AC＝3∴由勾股定理得:BC＝5,
过A作AM⊥BC,交BC于M,交DG于N,如图①由三角形面积公式得:AB×AC＝BC×AM.
∵AB＝4, AC＝3, BC＝ 5，∴AM＝2.4
∵四边形DEFG是正方形，∴DG＝ GF＝ EF＝ DE＝ MN＝x, ∵DG∥BC, ∴△ADG∽△ABC
∴,∴,∴
六、如图，已知边长为2的等边△ABC中，P0是BC边的中点，一束光线自P0发出射到AC上的点P1后，依次反射到AB、BC上的点P2和P3（反射角等于入射角），且1＜BP3＜，求P1C长度的取值范围．
解：反射角等于入射角,∴∠P0P1C＝∠P2P1A＝∠P2P3B.又∵∠C＝∠A＝∠B＝60°,
∵∴△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，∴,
设P1C＝x,P2A＝y,则P1A＝2－x,P2B＝2－y.∴.∴
∴x＝又∵1＜BP3＜,∴1＜x＜，即P1C长的取值范围是: 1＜P1C＜
七、（托勒米定理）如图，已知在四边形ABCD中，∠1＝∠2，求证：ABCD＋ADBC＝ACBD．
解：如图,作∠BAE＝∠DAC,∵∠ABE＝∠DCA,∴△ABE∽△ACD,得,即AB·DC＝AC·BE①
∵∠ADE＝∠ACB,∠DAE＝∠CAB,∴△ADE∽△ACB,得,即AD·BC＝AC·DE②,
①＋②得AB·CD＋AD·BC＝AC·BD
第二部分【综合运用】
八、已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D．
(1)如图1，∠D＝ 度；(2)如图2，若CF＝kCA，求的值．
解：(1)45°;
(2)图2所示,延长BC至G,使得CG＝AC,连接AG,DC过D分别作DH⊥AE于H;
DM⊥BC延长线于M;DN⊥AC延长线于N;∴△ACG是等腰直角三角形.
∴∠G＝∠7＝45°,AG＝AC,
∵AD平分∠CAB;BD平分∠CBE,∴DH＝ DN ,DH＝DM,∴DM＝ DM，∴CD平分∠MCN,∴∠5＝∠6＝45°＝∠G
∵∠2＝＝90°－∠1，∴∠GAF＝∠3＋∠7＝＋45°＝90°－∠1，∴∠GAF＝∠2,
∴△GAF∽△CBD.∴
即
九、如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q．
(1)若点P与A，B两点不重合，求的值；
(2)当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．
解:(1)∵∠DPQ＝∠DBQ＝90°,∴D、P、B、Q四点在以DQ为直径的圆上.∴∠DQP＝∠DBP.
∴Rt△DPQ∽Rt△DAB.∴.∵DA＝3,AB＝EC＝5,∴
(2)线段DQ的中点所经过的路径(线段)就是△BDQ的中位线MN.点P运动至AC中点时,AP＝4，
∴在 Rt△ADP中,根据勾股定理得:DP＝5.由得PQ＝.
∴在Rt△DPQ中,根据勾股定理得:DQ＝.又在 Rt△ADP中,根据勾股定理得:DB＝
∵MN是△BDQ的中位线,∴DN＝DQ＝, DM＝DB＝
∴在 Rt△DMN中,根据勾股定理得:MN＝，∴线段DQ的中点所经过的路径(线段)长为.
十、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝3，BC＝4，P位BC上的一个动点，过D作DP的垂线DQ，过B作BC的垂线BQ、DQ、BQ交于点Q，当P点运动时，探求的值．
证明：∵CD⊥AB, ∴∠ADC＝∠CDB＝90°,∴∠CDP＋∠PDB＝90°,
∵PD⊥DQ, ∴∠PDQ＝90°, ∴∠BDQ＋∠PDB＝90°, ∴∠CDP＝∠PDB.
同理：∠DCP＝DBQ. ∴△CDP∽△BDQ.∴.
同理：∴△ACD∽△CBD. ∴,∴，∵AC＝3，BC＝4,∴
11、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）以AB为直角边向形外作Rt△ABD，并且与Rt△ABC相似，若AC＝4，BC＝3，求△ABD的周长．
（2）如图2，设正方形MDHN、DEFG、EPQR的周长分别为C1、C2、C3，求证：C1＋C3＝C2；
（3）如图3，作CD⊥AB，DE⊥AC，垂足分别为D、E两点，设△ADE、△BCD、△ABC的周长分别为C1、C2、C3，求的最大值．（可改成面积比）
解:(1)20
(2)设正方形MDHN、DEFG、EPQR的边长分别为a,b,c.由题意可知：NH＝a,GH＝b－a,RQ＝c,FR＝b－c，
由Rt△NHG∽Rt△FRQ. ∴.即.∴ac＝b2－ab－bc＋ac.∴b2＝ab＋bc.∴b＝a＋c.
∴4b＝4a＋4c.∴C1＋C3＝C2；
（3）利用相似三角形周长的比等于相似比，得＝＋＝＋
方法一：设BC＝1,DB＝x，由射影定理得AB＝，∴AD＝－x，
∴＝＋＝＋＝＋x＋1＝，∴的最大值是.
12、如图，在面积为48的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点M、F、E分别在线段CD、CA、AD上，点N、G、H分别在线段DC、CB、BD上，且四边形DMFE、DNGH都为矩形．
（1）当F、M、N、G共线，且四边形EFGH为正方形时，若AB＝12，求正方形的边长；
（2）当F、M、N、G不共线，且四边形DMFE和DNGH都是正方形时，试判断两正方形的边长DM、DN与CD有何等量关系？并证明你的结论；
解：(1) (2)设正方形EFGH的边长是x,△ABC是直角三角形,∠A＝90°, Rt△ABC的面积为48,AB＝12,
由三角形面积公式得:AB×CD＝＝48.解得CD＝8.
∵四边形EFGH是正方形，∴EF＝ EH＝HG＝FG＝MD＝x, ∵FG∥AB, ∴△FCG∽△ACB
∴,∴,∴.
(2)设正方形FMDE、NGHD、的边长分别为a,b,设CD＝c.由题意可知：FM＝a,CM＝c－a,NG＝b,CN＝c－b，
由Rt△CFM∽Rt△GCN. ∴.即.∴ab＝c2－ac－bc＋ab.∴c2＝ac＋bc.∴c＝a＋b.
13、如图，正方形ABCD，E为AB上的一点，BF⊥CE于点F．
(1)过点F作DF的垂线交BC于点G，求证：BE＝BG；
(2)G为BC上一点，BE＝BG，求证：DF⊥FG．
(1)证明：∵∠DFG＝∠BFC＝90°,∴∠BFC－∠CFG＝∠DFG－∠CFG, 即∠BFG＝∠CFD.
∵∠DCG＝∠DFG＝90°, ∴∠FDC＋∠FGC＝360°－∠DCG－∠DFG＝180°,
∵∠BGF＋∠CGF＝180°, ∴∠BGF＝∠CDF, ∴△BGF∽△CDF.∴
∵∠DFG＝∠BFC＝90°, ∠EBF＝∠BCF, ∴△BFE∽△CFB. ∴,
∵BC＝CD∴BE＝BG
(2)∵BE＝BG, ,∵∠BGF＝∠CDF, ∴△BFG∽△CDF. ∴∠BPG＝∠CDF,
∴∠BFG＝∠CDF, ∴∠BFG＋∠CFG＝∠CDF＋∠CFG,即∵∠BFC＝∠DFG＝90°, ∴DF⊥FG．
14、如图，已知正方形ABCD，点E是边AB 上一动点，点F在AB边或其延长线上，点G在边AD上，EF＝nCD，DG＝nAE，连接ED，FG，交点为H．
（1）如图1，当n＝1时：①求∠EHF的度数；②求的值；
（2）如图2，当，请判断当点E在AB山运动时，的值是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出其值；
（3）如图2，请用含n的式子表示：的值为___________．
答案：（1）①∠EHF＝45°；②连GC，则ED⊥GC，则△GDC≌△BFC，∴△GFC是等腰Rt△，∴＝＝
（2）过F作FM∥ED,交DC于M，∴EF＝AD，∴△EAD∽△GDM（SAS），∴＝＝2，
设GM＝t，则ED＝2t，∴FG＝t，∴＝
（3）过F作FM∥ED,交DC于M，设AE＝x，GD＝nx，CD＝y，EF＝ny，∴△AED∽△DGM，
∴＝＝＝，∴GM＝nDE,设DE＝t，GM＝nt，∴FG＝＝t，
∴＝＝
补充专题二：认识基本图——交叉A形、羊角三角形、双蝶形的基本结论及相互转化
如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB与点E，BD、CE交于点H．
1．求证：AE·AB＝AD·AC；
证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB ∠A＝∠A∴△ABD∽△ACE∴AE·AB＝AD·AC；
2． 求证：DA·DC＝DH·DB；
证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB,八字导角，∠ABD＝∠HCD,△ABD∽△HCD,∴DA·DC＝DH·DB；
3． 求证：EA·EB＝EH·EC；
证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB,八字导角，∠ABD＝∠HCD,△AEC∽△HEB,∴DA·DC＝DH·DB；
4． 求证：HE·HC＝HB·HD；
证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB,八字导角，∠ABD＝∠HCD,△HDC∽△HEB, HE·HC＝HB·HD；
5． 求证：BE·BA＝BH·BD（或CD·CA＝CH·CE）；
证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB ∠A＝∠A∴△ABD∽△HBE∴BE·BA＝BH·BD；
6． 连接AH，求证：AH⊥BC（求证：三角形的三条高线必交于一点）；
证明：连接AH并延长交BC于点F∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB，则B、C、D、E四点共圆，A、E、H、D四点共圆，∠DAH＝∠DEH＝∠CBD, ∠ACB＋∠DAH ＝∠ACB＋∠DEH＝∠ACB＋∠CBD＝90°，∠AFC＝90°∴AH⊥BC
7． 如图，M、N分别为BH、CH上的两点，BM＝BE，CN＝CD，求证：MN∥BC；
证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB,八字导角，∠ABD＝∠HCD,△HDC∽△HEB,∴
∵BM＝BE，CN＝CD ∴∴∴△HMN∽△HBC，∴ MN∥BC；
8．如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB与点E，BD、CE交于点H．
求证：BH·BD＋CH·CE＝BC2；
证明：连接AH并延长交BC于Q,由6题结论有AQ⊥BC
cos∠DBC＝,cos∠BCE＝
∴＋＝＋＝＋
＝＋＝，∴BH·BD＋CH·CE＝
9． 求证：BE·BA＋CD·CA＝BC2；
证明：连接AH并延长交BC于Q,由6题结论有AQ⊥BC
cos∠EBC＝,cos∠BCD＝
∴＋＝＋＝＋＝
∴BE·BA＋CD·CA＝；
10． 连接DE，求证：∠ADE＝∠ABC；
证明：∵∠ABD＝∠ACE，∴sin∠ABD＝sin∠ACE，∴ ，∴
∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ABD＝∠ACE
11． 连接DE，求证：∠BDE＝∠BCE；
证明：∵∠BEH＝∠CDH，∠EHB＝∠DHC，∴△EHB∽△DHC，∴，∴
又∵∠BEH＝∠CDH，∴△EHD∽△BHC，∴∠BDE＝∠BCE
12． 若∠A＝60°，求的值；
由10题结论有△ADE∽△ABC ∴cos60°＝
13． 连接AH并延长交BC于点F，连接DF、EF，求证：∠AFD＝∠AFE；
由10题结论有∠CFD＝∠BAC,∠BFE＝∠BAC，∴∠CFD＝∠BFE
14． 若△DEF∽△BCA，试判断△ABC的边或角满足什么条件？证明你的结论；
由10题结论有△DCF∽△BCA，∵△DEF∽△BCA，∴△DCF∽△DEF
∴DC＝DE,CF＝EF，∴D为AC中点，F为AC中点，∴AF垂直平分BC，BD垂直平分AC
∴AB＝AC＝BC，∴△ABC为等边三角形
15． 延长ED交BC的延长线于点G，求证：GD·GE＝GB·GC．
证明：由10题结论有∠AED＝∠ACB，∵∠BEG＋∠AED＝180°，∠ACB＋∠DCG＝180°
∴∠BEG＝∠DCG，又∵∠G＝∠G，∴△GCD∽△GEB，∴，∴GD·GE＝GB·GC
补充专题三：认识基本图——“子母三角形”
一、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°, M为BC的中点，ME⊥BC分别交AC、BA的延长线于D、E两点，求证：MA2＝MD．ME．
答案：∵∠BAC＝90°，M为BC中点，AM＝BC＝MC，∠C＝∠MAC，ME⊥BC，∠BAC＝90°，∠E＝∠C，∠E＝∠MAC，∠AME＝∠AMD，∴△ADM∽△MAE，∴MA2＝MD．ME．
二、如图，在等腰△ABC中，AD⊥BC，P为AD上任一点，过点C作AB的平行线交BP的延长线于点E，BE交直线AC于点F，求证：PB2＝PF·PE．
答案：连PC，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝CD，AD垂直平分BC，BP＝PC，易证：△PCF∽△PEC，∴PC2＝PF·PE，又PC＝PB，∴PB2＝PF·PE．
三、如图，在正方形ABCD中，P为BC边上任意一点，直线AP分别交直线BD、CD于E、F两点，求证：EA2＝EF·EP．
答案：∵正方形ABCD，∴AB∥CD，∴△AED∽△PEB，△ABE∽△PDE，∴，，∴，∴EA2＝EF·EP
四、如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交直线BC于点E，求证：ED2＝EB·EC．
答案：连AE，∵AD的中垂线交直线BC于点E，∴AE＝DE，∠ADE＝∠DAE，∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠ABE＝∠CAE，又∠AEC＝∠AEB，∴△ACE∽△BAE，∴EA2＝EB·EC，又EA＝ED，∴ED2＝EB·EC．
五、如图，梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，∠1＝∠2，AD＝2OD，求证：BC＝3AD．
答案：∵∠1＝∠2，∠ADO＝∠ADO，∴△AOD∽△BAD，∴AD2＝OD·BD，又∵AD＝2OD，∴BD＝4OD，∴BO＝3OD，又AD∥BC，∴＝，即BC＝3AD.
六、如图，O为矩形ABCD对角线的交点，过点O作BD的垂线交BA的延长线于点E，连结OE交AD于点F，求证：∠OCF＝∠OEC．
答案：∵矩形ABCD，∴OA＝OB＝OC，∠OAB＝∠OBA，∠OAB＋∠OAD＝90°，又EO⊥OB，∠BEO＋∠ABO＝90°，∠BEO＝∠OAD，又∵∠AOE＝∠AOF，△AOF∽△EOA，OA2＝OE·OF，又OA＝OC，即OC2＝OE·OF，∴△OCF∽△OEC，∴∠OCF＝∠OEC.
七、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，DE交BC于点F，∠ADE的平分线交AC于点G，连结BG、FG，求证：∠1＝∠2．
答案：∵矩形ABCD，DE⊥AC，∴△ACD∽△DFC，∴，∵AD＝BC，∴CD2＝CF·BC，又易证：CD＝GC，∴GC2＝CF·BC，∴△CFG∽△CGB，∴∠1＝∠2．
八、如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：BC2＝2AC·CD．
答案：作AH⊥BC于点H，∴HC＝BH＝BC，易证：△BCD∽△ACH，∴BC·CH＝AC·CD，∴BC2＝AC·CD，BC2＝2AC·CD
九、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上任一点，CD⊥AB于点D，E为AB上一点，AC＝AE，F为CD上一点，且DE＝DF，延长AF交⊙O于点P，求∠APE的度数．
答案：连接EF，PC，易证：△ACF∽△APC，∴AC2＝AF·AP，又∵AC＝AE，∴AE2＝AF·AP，∠FAE＝∠PAB，∴△EAF∽△PAE，∴∠APE＝∠AEF，∵ED＝DF，∠EDF＝90°，∴∠DEF＝45°，∴∠APE＝45°.
十、如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．
（1）求证：BA2－BD2＝BD·CD．
（2）求证：＝；
（3）若∠CAD＝90°, AD＝3，AC＝4，求AB的长．
（4）若∠CAD＝90°, AC＝2AD，BD＝4，求△ACD的面积．
答案：(1)∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠ABD，∴△ABD∽△CBA，∴AB2＝BD·BC，AB2－BD2＝BD(BC－BD)＝BD·CD.
(2)由(1)知△ABD∽△CBA，∴，∴，，∴＝
(3)∵AD＝3，AC＝4，，，∴，，∴BD＝AB，BC＝AB，∴BC－BD＝AB，由勾股定理得CD＝5，即5＝AB，解得：AB＝.
(4)不妨设AD＝x，则AC＝2x，由△ABD∽△CBA，∴，∴，∴AB＝8，BC＝16，CD＝12，又勾股定理得AD2＋AC2＝DC2，即5x2＝144，解得：x2＝.△ACD的面积为×x×2x＝x2＝.
补充专题四： 认识基本图——“射影定理图”
一、如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD⊥AB，求证：① ；②．
答案：①∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△BCD∽△CAD，∴，∴
②面积法知：AC·BC＝AB·CD，由勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2，∴
二、如图，E为正方形ABCD边CD的中点，F为BC上一点，BF＝3CF，EG⊥AF于点G，求证： ．
答案：连接AE，EF，∵点E为CD中点，∴DE＝EC，∵BF＝3CF，∴，∠D＝∠C＝90°，∴△ADE∽△ECF，∴∠AED＝∠EFC，又∵∠EFC＋∠FEC＝90°，∴∠AED＋∠FEC＝90°，∴∠AEF＝90°，又∵EG⊥AF于点G，∴△AEG∽△EFG，∴.
三、如图，矩形ABCD，E 为AD 的中点，CE⊥BD 于点F，FG∥BC 交BE 于点G．
（1）求证：；
（2）求的值．
提示：∵CF2＝DF.FB；又∵BG＝CF；∴BG2＝DF.FB
四、如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，D 为BC 的中点，CE⊥AD 于点E，求证：∠DBE＝∠DAB．
提示：∵CD2＝DE.DA；∴BD2＝DE.DA；∴△DBE∽DAB；∴∠DBE＝∠DAB
五、如图，Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，P 为DA 延长线上的任一点，过点B 作BE⊥PC 于点E，BE交直线 AD于点Q，求证： ．
提示：DA2＝BD.CD；又∵△BDQ∽△PDC;∴;∴BD.DC＝PD.DQ；∴
六、如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，P 为边AD 延长线上的任一点，过点C 作CE⊥BP 于
点E，连结AE，求证： ．
提示：易证A，B，E，C四点共圆，∴∠ACB＝∠AEB，又∵∠BAP＝ACB；
∴∠BAP＝∠AEB；∴△ABP∽△EBA;∴
七、如图，直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90°，E 为AB 的中点，DE⊥CE．
求证：（1） ；（2） ．
提示：（1）△ADE∽△BEC，∴AE.BE＝AD.BC；，∴
（2）∵△ADE∽△BEC；，，∴
八、如图，在△ABC 中，现给出四个论断：①∠BAC＝90°；②AD⊥BC；③AF⊥CE；④∠DFC＝∠ABC．
若以其中三个作为条件，第四个作为结论可以构成四个命题：
Ⅰ：①＋②＋③④；Ⅱ：①＋②＋④③；Ⅲ：①＋③＋④②；Ⅳ：②＋③＋④①．
请分别说明这四个命题是否正确？
提示：Ⅰ：AC2＝CF.CE＝CD.BC;∴，；△DCF∽△ECB；∴∠DFC＝∠ABC．
Ⅱ：∵∠DFC＝∠ABC;∴△DCF∽△ECB;∴，∴AC2＝CF.CE＝CD.BC；∴△ACF∽△EAC;
∠FAC＝∠AEC，∴AF⊥CE
Ⅲ：∵∠DFC＝∠ABC;∴△DCF∽△ECB;∴，∴AC2＝CF.CE＝CD.BC;∴△ACD∽△BCA;
∠ABC＝∠DAC，∴AD⊥BC
Ⅳ：同理可得。
九、如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D，过点D 任作直线l ，M、N 为直线l 上的两点，且BM＝BN＝BA，连结MC、NC，求证：∠MCD＝∠NCD．
提示：△ABD∽△CBA；∴AB2＝BD.BC；∵BM＝BN＝BA∴AB2＝BM2＝BN2＝BD.BC
∴△MBD∽△CBM；△NBD∽△CBN；∴∠MCD＝∠NMB；∠NCD＝∠BNM；
又∵∠NMB＝∠BNM；∴∠MCD＝∠NCD．
十、如图，△ABC 中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．
（1）求证：；
提示：AD2＝AE.AB；AD2＝AF.AC；∴AE.AB＝AF.AC
（2）如图，延长EF 交直线BC 于点H．
①求证：；
②若BD＝5，CD＝2，请直接写出CH 的长度为__________________．
提示：①A，E，D，F四点共圆；∠AFE＝∠ADE＝∠B，∴∠B＝∠AFE＝∠HFC；
∴△HFC∽HBE；∴
②同理△HFD∽△HDE；∴DH2＝FH.EH；设CH＝x,∴（x＋2）2＝x.（x＋7）；
11、将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠：
第①次：翻折纸片，使A 与DC 边的中点M 重合，折痕为EF；
第②次：翻折纸片，使C 落在ME 上，点C 的对应点为H，折痕为MG；
第③次：翻折纸片，使B 落在ME 上，点B 的对应点恰与H 重合，折痕为GE．
根据上述过程，求长方形纸片的长宽之比．
提示：设BE＝HE＝x，MH＝MC＝y；∴由射影定理知：HG＝CG＝BG＝；AE＝ME＝x＋y；∴AB＝2x＋y；
∴DM＝2x＝CM＝y；∴y＝2x；又∵BC＝2HG＝2；∴。
补充专题五： “圆的证明与计算一”
课前预备
一、射影定理图及相关结论、计算
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
相关结论：
（1）△ACD∽△ABCAC2＝AD AB； （2）△BCD∽△BACBC2＝BD BA；
（3）△DAC∽△DCBDC2＝DA DB；（4）由（1）、（2）可得：＝．
提示：略
相关计算：
1．若AC＝3，BC＝4，求AB、CD、AD、BD；
2．若AD＝4，BD＝6，求AC、BC、CD；
3．若AC＝15，BD＝16，求AD、CD、BC、AB；
答案：1. AB＝5;CD＝;AD＝；BD＝;
2. AC＝２、BC＝２、CD＝；
3. AD＝9;CD＝12;BC＝20;AB＝25。
4．如图，若＝，设AD＝x，则CD＝ ，BD＝ ，AC＝ ，BC＝ ，AB＝ ．
答案：2x 4x x 2x 5x
二、切线、割线与子母三角形相似
如图，PA为⊙O的切线，求证：△PAB∽△PCA（PA2＝PB PC）
答案：∵PA为⊙O的切线，∴∠PAC＝∠PBA，又∵∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA
∴，∴PA2＝PB PC
三、切线长定理
如图，PA、PB为⊙O的两条切线，连接AB交OP于点H．则有：（1）PA＝PB；（2）AB⊥OP；（3）AH＝BH；
（4）OP平分∠APB；（5）射影定理图：Rt△OAP，AH⊥OP．
四、平行A形相似及比例转化
如图，DE//BC，则有：
（1）＝ ，＝ ，＝ ；
（2）△ADE∽△ABC，则有：＝ ＝ ．
答案：（1） （2）
【知识要点】
一、基本图形一：双切线模型（切线长定理）
如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，以BC上一点O为圆心OC为半径作⊙O切斜边AB于点D．
基本构造（辅助线）：连结AO、DE、CD．
转化核心：射影定理图（Rt△ACO，CF⊥AO）
转化技巧：（1）平行A形相似比例转化（中位线OF＝DE）；
（2）△BDE∽△BCD（子母三角形相似）＝tan∠FCO．
【新知讲授】
例一、（2011年武汉市中考）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OC＝1，BC＝2，求S△BPE．
答案：（1）证明：连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴∠PAO＝90°，
∵OA＝OB，OP⊥AB于C，∴BC＝CA，PB＝PA，∴△PAO≌△PBO，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴PB为⊙O的切线；
（2）解：连接AD，∵BD为直径，∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°
∴AD∥OP，∴△ADE∽△POE，∴，由AD∥OC得AD＝2OC
∵OC＝1，∴AD＝2，由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4，OP＝5，
∴．可设EA＝x，EP＝5，则PA＝3，∵PA＝PB，
∴PB＝3，∴sin∠E．
例二、（2010年武汉市中考）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点D．若⊙O的半径为3，PC＝4，求弦CD的长．
答案：（1）证明：连接OC，作OE⊥PB于E点．∵⊙O与PA相切于点C，∴OC⊥PA．
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OE⊥PB，∴OE＝OC．∴直线PB与⊙O相切；
（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．∵OC＝3，PC＝4，∴PO＝5，PD＝8．
∵⊙O与PA相切于点C，∴∠PCF＝∠D．又∵∠CPF＝∠DPC，∴△PCF∽△PDC，
∴CF：CD＝PC：PD＝4：8＝1：2．∵DF是直径，∴∠DCF＝90°．
设CF＝x，则DC＝2x．则x2＋（2x）2＝62，解得x．则DC＝2x．
例三、（武汉市2012年五月调考）如图，AB为⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，E为⊙O的半圆弧上一动点（不与A、B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB＝CE．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若＝，求的值．
答案：（1）证明：连接OE．∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB．∵BC＝EC，
∴∠CBE＝∠CEB，∴∠OBC＝∠OEC．∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC＝∠OBC＝90°；
∵OE为半径，∴CD为⊙O的切线；
（2）延长BE交AM于点G，连接AE，过点D作DT⊥BC于点T．
∵DA、DC、CB为⊙O的切线，∴DA＝DE，CB＝CE．在Rt△ABC中，
∵＝，令AB＝2x，则BCx．∴CE＝BCx；令AD＝DE＝a，
则在Rt△DTC中，CT＝CB﹣ADx﹣a，DC＝CE＋DEx＋a，DT＝AB＝2x，
∵DT2＝DC2﹣CT2，∴（2x）2＝（x＋a）2﹣（x﹣a）2．解之得，xa；
∵AB为直径，∴∠AEG＝90°．∵AD＝ED，∴AD＝ED＝DG＝a．∴AG＝2a；
∵AD、BC为⊙O的切线，AB为直径，∴AG∥BC． 所以△AHG∽△CHB．
∴．∴＝1．
例四、（2016年黑龙江绥化市）如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，BD＝3，求弦AE的长．
答案：（1）证明：连接OE，∵CD与圆O相切，∴OE⊥CD，∴∠CEO＝90°，
∵BE∥OC，∴∠AOC＝∠OBE，∠COE＝∠OEB，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠AOC＝∠COE，在△AOC和△EOC中，，
∴△AOC≌△EOC（SAS），∴∠CAO＝∠CEO＝90°，则AC与圆O相切；
（2）在Rt△DEO中，BD＝OB，∴BEOD＝OB＝4，∵OB＝OE，
∴△BOE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，∵AB为圆O的直径，∴∠AEB＝90°，
∴AE＝BE tan60°＝4．
例五、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，过CD两点作⊙O，交AC于点E，OB∥DE．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）设OB交⊙O于点F，延长EF交BC于点G，若BO＝3DE，求的值．
答案：（1）连接OD，∵OB∥DE，∴∠BOC＝∠DEO，∠BOD＝∠ODE，又∵OD＝OE
∴∠ODE＝∠OED，∴∠COB＝∠BOD，易得△COB≌△BDO，∴∠ODB＝∠OCB＝90°
∴AD是⊙的切线
（2）如图：
由BO＝3DE得，AO＝3AE，
例六、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是BC上一点，以点O圆心，OC为半径的圆交BC于点D，恰好与AB相切于点E．
（1）求证：AO是∠BAC的平分线；
（2）若BD＝1，BE＝3，求AC的长．
解：（1）∵∠OCA＝90°，OC为⊙O的半径，
∴AC为⊙O的切线，又AB与⊙O相切，E为切点，
∴AE＝AC，AO平分∠BAC；
（2）∵BE为⊙O的切线，BC为⊙O的割线，
∴BE2＝BD BC＝BD（BD＋DC），又BD＝1cm，BE＝3cm，
∴32＝1＋DC，即DC＝8cm，
∴OE＝OD＝4cm，
连接OE，由BE为⊙O的切线，得到OE⊥EB，
在直角三角形BEO中，OE＝4cm，OB＝BD＋OD＝1＋4＝5cm，
∴sinB＝＝，BE＝＝3cm，
在直角三角形ABC中，设AE＝AC＝xcm，则AB＝AE＋EB＝（x＋3）cm，
BC＝BD＋DC＝9cm，
根据勾股定理得：AB2＝AC2＋BC2，即（x＋3）2＝x2＋92，
解得：x＝12，
则AC＝12cm．
例七、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交斜边AB于点D，E为BC上一点，BE＝DE，连结OB交DE于点F．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，BC＝8，求的值．
答案:由题意可得，(1)连结OD，CD，∵AC为直径，
∴∠CDB＝90°，即△CDB为直角三角形，
而DE＝BE，∴DE＝BE＝EC，∵∠COD＝2∠A，∠CED＝2∠ABC，∴∠COD＋∠CED＝2∠A＋2∠ABC＝180°，，∵∠ACB＝90°∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线；
(2)连OE，∵OC＝3，CE＝4，AC＝6，BC＝8∴OE＝5，AB＝10，由射影定理可得∴DB＝6.4∵OE为△CBA的中位线，
∴OE∥AB，∴．
【题型训练】
1．如图1，以△ABC的边AC为直径作⊙O交AB于点D，过D作⊙O的切线交BC于点E，且E为BC的中点，AE交OD于M．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若，求的值.
答案：（1）连CD，∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CDB＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝CE，∴∠CDE＝∠DCE，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠CDE＋∠ODC ＝∠DCE＋∠OCD，∴∠ODE＝∠OCE，∵过D作⊙O的切线交BC于点E，∴∠ODE＝90°，∴∠ODE＝∠OCE＝90°，∴BC为⊙O的切线；
（2）连OE，设AC＝2a，则BC＝3a，AB＝a，∵OE＝AB＝a，由△ACD∽△ABC，∴AC2＝ADAB，
∴AD＝a，∴.
2．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90 ，点D是以AB为直径的⊙O上一点，直线CD与AB的延长线交于点E，且CD＝AB．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接AD交BC于F点，求的值．
答案：（1）连OD，∵OD＝OA，CD＝AB．∴∠ODC＝∠OAC＝90°，∴CD是⊙O的切线；
（2）连BD，CO，设AO＝x，则AC＝2x，∴CO＝x，∴HO＝x，CH＝x，∴BD＝2HO＝x，∴，∴，∴.
3．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）连接OC交DE于点F，若⊙O的半径为6，，求△ABC的面积．
答案：（1）连BD，∵DE＝BE，OD＝OB，∴易证∠ODE＝∠OBE＝90°，∴直线DE是⊙O的切线；
（2）连OE，∴OE∥AC，OE＝AC，∴，∴，∵△ABD∽△ACB，∴AB2＝ADAC，设AD＝3x，∴36＝24x2，∴x＝，∴AC＝4，由射影相似BD2＝ADCD，∴BD＝3，∴S△ABC＝6.
4．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，连接AO、BO、AB，延长BO与⊙O交于点C，与切线PA交于点Q．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为12，OQ＝15，求AB的长．
答案：（1）∵PA＝PB，OA＝OB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴PB是⊙O的切线；
（2）设PB＝PA＝x，∵AQ＝＝9，∴tan∠Q＝，又QB＝15＋12＝27，∴PB＝36，∴PO＝12，∴AB＝2××3＝.
5．如图，AB为⊙O的直径，BC⊥AB，过A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CO并延长交⊙O于E、F两点，连接DE．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若AD＝，CD＝4，求弦DE的长.
答案：（1）连OD，证△DOC≌△BOC，∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴CD为⊙O的切线；
（2）连BD，交EC于H，OH＝AD＝，又射影相似得BC2＝CHCO，∴16＝CH（CH＋OH），∴CH＝，∴DH＝，DO＝EO＝3，∴EF＝3＋＝，∴DE＝＝.
6．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝8，BE＝6，求△ABD的面积.
答案：（1）连OD，∵OD＝OB，∴∠CBD＝∠ODB，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB，∵∠ADB＝90°，∴∠CDA＋∠ADO＝∠ODB＋∠ADO＝90°，∴CD是⊙O的切线；
（2）∵BC＝8，BE＝6，∴CE＝10，∴CD＝10－6＝4，又△CDA∽△CBD，∴CD2＝CACB，∴CA＝2，∴AB＝6，,∴AD＝，BD＝，∴S△ABD＝.
7．如图，ABC中，∠ACB＝90 ，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，AE切⊙O于点E，连接CE分别交AO、AB于D、F两点，连接BE．
（1）求证：△ACO∽△CEB；
（2）若BF＝2，求AE的长.
答案：（1）AD⊥CE，∴易证∠CAO＝∠BCE，∠ACO＝∠CEB＝90°，∴△ACO∽△CEB；
（2）设CO＝x，AC＝2x，∴DO＝x，AD＝x，∴BE＝x，由射影相似得CD2＝ADDO，∴CD＝DE＝x，∴，∵BF＝2，∴AF＝4，又DF＝DE＝x，AF2＝DF2＋AD2，∴x＝，∴AE＝DE＝3.
补充专题六： “圆的证明与计算二”
【知识要点】
二、基本图形二：过直径的端点作圆的切线的垂线（圆心在斜边上且与直角边相切）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90 ，以斜边AB上的一点O为圆心，OA为半径作⊙O，且⊙O与直角边BC相切于点D，分别交AB、AC于E、F两点．
基本构造：矩形转化＋核以勾股
辅助线（构造矩形）：连接OD、EF交于点H．
基本结论：
（1）矩形CDHF
（2）EH∥DB平行A型相似（△OEH∽△OBD）；
（3）EF∥BC平行A型相似（△OEH∽ABC）；
图中核心点构成的所有Rt△都相似，最关键的核心或△OEH∽△OBD，△OEH∽△ABC；
基本思维：（1）构造矩形，转化到核心Rt△OHE，进行勾股定理计算；
（2）注意EH搭桥进行双勾股：；
（3）注意：EH∥BD的平行A型，EF∥BC的平行A型．
【新知讲授】
例一、（2016武汉四调）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接CE，若CE＝6，AC＝8，求
（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，又∵CD⊥AD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠ACO，
∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB；
（2）解：
∵∠CAD＝∠CAO ∴CE＝BC＝6，∵AB为直径 ∴∠ACB＝90°，∴
在Rt△ACB中，AB＝10,AC＝8，∴BC＝6，∵△ACB∽△ADC，∴AC:AB＝8:10＝4:5
∵S△ABC＝24，∴S△ADC＝15.36
例二、（2016年武汉中考）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分DAB；
（2）连接BE交AC于点F，若AD＝4，AC＝5，求的值
（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，又∵CD⊥AD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠ACO，
∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB；
（2）解：连接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H．
∵AB是直径，∴∠AEB＝∠DEH＝∠D＝∠DCH＝90°，∴四边形DEHC是矩形，∴∠EHC＝90°即OC⊥EB，
∴DC＝EH＝HB，DE＝HC，∵cos∠CAD＝＝，设AD＝4a，AC＝5a，则DC＝EH＝HB＝3a，
∵cos∠CAB＝＝∴AB＝，BC＝，在RT△CHB中，，
∴DE＝CH＝，∵EF∥CD，∴
例三、（2008武汉中考）如图，AB是O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
（1）求证：DE是⊙O切线；
（2）若，求的值．
解：（1）证明：连接OD，得∠ODA＝∠OAD＝∠DAC，∴OD∥AE，又AE⊥DE
∴DE⊥OD，又OD为半径，∴DE是的⊙O切线
（2）过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH＝∠CAB，cos∠DOH＝cos∠CAB＝，设OD＝5x，
则AB＝10x，OH＝3x，DH＝4x，∴AH＝8x，AD2＝80x2，由△AED∽△ADB，
得AD2＝AE AB＝AE 10x，∴AE＝8x，又由△AEF∽△DOF，得AF：DF＝AE：OD＝，∴
例四、（2016辽宁大连市）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AB＝6，AD＝，求EF的长．
（1）证明：连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠EAD．∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD．
∴∠ODA＝∠EAD．∴OD∥AE．∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，∴EF与⊙O相切．
（2）连接BD，作DG⊥AB于G，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝6，AD＝∴，∵，
∴DG＝，∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB，∴DE＝DG＝，∴
∵OD∥AE，∴△ODF∽△AEF，∴，即
∴，∴
例五（2016年湖北鄂州市）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点E，交 AB于点F，交BC于点G．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）当BC＝8，AC＝12时，求线段BG的长．
解：（1）证明：连接OM．∵AC＝AB，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，CE＝BE＝BC＝4，∵OB＝OM，
∴∠OBM＝∠OMB，∵BM平分∠ABC，∴∠OBM＝∠CBM，∴∠OMB＝∠CBM，∴OM∥BC，
又∵AE⊥BC，∴AE⊥OM，∴AE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，∵OM∥BE，∴△OMA∽△BEA∴，∵AC＝AB＝12，
即，解得R＝3，∴⊙O的半径为3，∵OM∥BE，∴AM：EM＝AO：BO，
∵BE＝4，AB＝12，∴，即，解得：EM＝
由（2）可知圆的半径为3，
过点O作OH⊥BG于点H，则BG＝2BH，∵∠OME＝∠MEH＝∠EHO＝90°，
∴四边形OMEH是矩形，∴HE＝OM＝3，∴BH＝1，∴BG＝2BH＝2．故答案为：3，2．
例六、(2016年广西南宁市)如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC＝CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若，AE＝4，求△BDE的面积．
证明：如图1，连接OC，AC，CG，
∵AC＝CG，∴，∴∠ABC＝∠CBG，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OCB＝∠CBG，
∴OC∥BG，∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；
例七、(2016年湖北咸宁市)如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）点E为的中点，若AD＝，AC＝8，求CE的长．
（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＝∠DAC，即AC平分∠DAB；
（2）连接BC，OE，过点A作AF⊥EC于点F，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ADC，∵∠DAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴，即，
解得：AB＝10，∴，∵点E为的中点，∴∠AOE＝90°，
∴OE＝OA＝AB＝5，∴AE＝ ＝
∵∠AEF＝∠B（同弧所对圆周角相等），∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△ACB∽△AFE，
∴，∴∴AF＝，EF＝，
∵∠ACF＝∠AOE＝45°，∴△ACF是等腰直角三角形，∴CF＝AF＝，∴CE＝CF＋EF＝．
题型练习：
1．（2016年湖北十堰市）如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E，AD交⊙O于点F．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若DF＝3，BE＝5，求DE的长；
（3）如图2，连接OD交AC于点G，若，求的值．
(1)证明：连接OC，∵CD为切线，∴∠OCE＝90°，又∵AD⊥ED，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠OCE，
∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠OCA，又∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠BAC，∴AC平分∠DAB
2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F两点．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EF＝8，EC＝6，求⊙O的半径．
答案：
(1)连接OD交AB于点G. ∵D是的中点，OD为半径，∴AG＝ BG.
∵AO＝OC，∴OG是△ABC的中位线.∴OG∥BC，即OD∥CE.
又∵CE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线.
(2)在Rt△CEF中，CE＝6，EF＝8，∴CF＝10.
设半径OC＝OD＝r，则OF＝10－r，∵OD∥CE，∴△FOD∽△FCE，
∴＝，∴＝，解得r＝.即⊙O的半径为.
3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
（1）求证：DC＝BC；
（2）若AB＝5，AC＝4，求AD的长．
答案：
(1)连接OC. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°.
∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠OCE＝90°，∴OC∥AE.∴∠OCA＝∠CAD.
∴∠CAD＝∠BAC.∴＝，∴DC＝BC.
(2)在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，∴CD＝3.
易证△ACE∽△ABC，∴＝＝，∴＝＝，∴EC＝2.4，AE ＝3.2.
在Rt△CDE中，DE＝＝1.8，AD＝AE－DE＝1.4.
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB上一点O为圆心OB为半径作⊙O，⊙O切AC于点E交AB于点D，BC交⊙O于点F．
（1）求证：△BCE∽△BED；
（2）若CE＝3，AE＝5，求△ADE的面积；
（3）如图2，连结AF交BE于点G，若CE＝3，AE＝5，求的值．
答案：
(1)连接OE，则OE⊥AC，∴OE∥BC，∴∠CBE＝∠OEB.
∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠CBE＝∠OBE，又∠C＝∠BED＝90°，∴△BCE∽△BED；
(2)∵OE∥BC，∴＝＝，
∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，∴AE2＝AD·AB，
设OB＝OE＝OD＝3a，则OA＝5a，AD＝2a，∴52＝2a·8a，解得a＝，∴AD＝，OE＝.
作EH⊥AB于点H，则EH＝3，∴S△ADE＝·AD·EH＝.
(3)连OE、DF交于点M.由(2)得，AB＝10，则BC＝6，DF＝6，BF＝4.5，OM＝，EM＝.
∵OD∥AC，∴△EMG∽△BFG，∴＝＝.
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于E、F两点，若AC＝6，AB＝10，连接BE、AD交于点G，求的值．
答案：
在Rt△ABC中，∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8.
连接OD、EF交于点M，则△OBD∽△ABC，∴＝，设OA＝OD＝x，则＝，解得x＝，∴DB＝5，CD＝3，EF＝6，AE＝4.5，OM＝，DM＝.
∵OD∥AC，∴△DMG∽△AEG，∴＝＝.
6．如图，P为⊙O的直径BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥直径AB于点D，E为上一点，且，延长BE交PC于点F．
（1）求证：△BCD≌ΔBCF；
（2）若AD＝4，CD＝8，求 S△BCE．
答案：
(1)连接OC，则OC⊥PF，∵，∴∠ABC＝∠EBC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠ECB，∴OC∥BC，∴∠F＝90°，又∵BC＝BC，∴△BCD≌ΔBCF；
(2)连接AC，则△ACD∽△CBD，∴CD2＝AD·BD，∴DB＝16，∴BF＝16.易证△ACD≌△ECF，∴CF＝CD＝8，EF＝AD＝4，∴BE＝12，∴S△BCE＝ ·BE·CF＝48.
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O是AB上一点，⊙O过A、D两点， 分别交AC、AB于E、F两点，连接EF交AD于点P．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若，求的值．
答案：
(1)连接OD，易证OD∥AC，∴OD⊥BC，∴BC与⊙O相切；
(2)过点F作AC的平行线交AD的延长线于点M，证明角平分线定理，可得＝＝.
第六讲 相似的综合运用（1）
例一、如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．
（1）若BK＝3KC，求的值；
（2）连接BE，若BE平分∠ABC．
①当AE＝AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系 请写出你的结论并予以证明；
②再探究：当AE＝AD（n＞2）时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系 请写出你的结论并予以证明．
答案：
(1) ；
(2)延长DC、BE交于点M，则△ABE≌△DME，∴AB＝DM.
∵∠ABM＝∠CBM＝∠M，∴CM＝CB，∴AB＝BC＋CD.
(3) 延长DC、BE交于点M，则△ABE∽△DME，∴＝.
∵∠ABM＝∠CBM＝∠M，∴CM＝CB，∴＝，∴AB＝(BC＋CD).
例二、在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC：AB＝1：2，EF⊥BC，求证：EF＝CD．
（2）如图2，AC：AB＝1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．
答案：
(1)易证△ACD≌△BEF，∴EF＝CD；
(2)如图，作EM⊥AB角AD的延长线于点M，则△GEM∽△FEB，∴＝.
在Rt△AEM中，ME＝AE，∵AE＝BE，ME＝BE，∴＝＝.
例三、已知：在等腰△ABC中，AB＝AC，AD∥BC，CD⊥AC，连接BD交AC于点P．
（1）如图1，若AB＝5，BC＝6，求；
（2）如图2，过点C作CH⊥AB于点H，求证：CE＝HE．
（3）①若，则的值为 ．
②若，则的值为 ．
答案：
(1)如图，作AE⊥BC于点E，则BE＝CE＝3，AE＝4.
∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠CAD，∴cos∠ACE＝cos∠CAD，
∴＝，即＝，∴AD＝，∴ ＝＝.
(2)如图，过H作HM∥AD交BD于点M，∴△BHM∽△BAD，
∴＝，∵AB＝AC，∴＝.
易证△BCH∽△ADC，＝，∴HM＝BC，∴△BCE≌△MEH，∴CE＝EH；
(3)①；②.
例四、如图1，△ABC、△DCE是两个全等的等腰三角形，B、C、E在同一直线上，连BD交AC于点M．
(1)求证：BM＝DM；
(2)若BE＝BD，求的值；
(3)如图2，已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，B、C、E、G在同一直线上，连接BF，分别交AC、DC、DE与点P、Q、R．
①求证；PQ＝RQ；
②若BF＝BG，则的值为．(请直接写出你的答案，不需要过程)
答案：
⑴证△ABM≌△CDM；
⑵由⑴得AM＝CM，∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠E，∴∠BMC＝∠BDE＝∠E＝∠ABC，∴△ABC∽△BMC，∴BC2＝CMCA，BC2＝CM2CM，∴CM:BC＝1:，∴AB:BC＝2:＝.
⑶①连DF，证△BCQ≌△FDQ，得DQ＝CQ，再证△DQR≌△CQP；
②∵PC∥GF，∴PC:FG＝BC:BG，∴PC＝FG＝AB，证△BCP∽△ACB，∴BC2＝CPCA，BC2＝CP3CP，∴CP：BC＝1：，∴AB：BC＝3CP：BC＝3：＝.
例五、如图，正方形ABCD的边长为a，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN＝45°，连接MC、NC、MN．
(1)①求证：△ABM∽△NDA；
②直接写出你的答案：BM·DN＝(用含a的代数式表示)；
(2)求∠MCN的度数；
(3)猜想线段BM、DN和线段MN之间有何确定的数量关系 写出你的结论并证明．
答案：
(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵BM，DN分别平分正方形的两个外角，∴∠CBM＝∠CDN＝45°，
∴∠ABM＝∠ADN＝135°，∵∠MAN＝45°，∴∠BMA＝∠NAD，
∴△ABM∽△NDA，∴BM:AD＝AB：ND，∴BM DN＝a2．
(2)由(1)△ABM∽△NDA可得BM：DA＝AB：ND．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，DA＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°．
∴BM：BC＝DC：ND．
∵BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，∴∠CBM＝∠NDC＝45°．
∴△BCM∽△DNC．∴∠BCM＝∠DNC．
∴∠MCN＝360°－∠BCD－∠BCM－∠DCN＝270°－(∠DNC＋∠DCN)＝270°－(180°－∠CDN)＝135°．
(3)线段BM，DN和MN之间的等量关系是BM2＋DN2＝MN2．
证明：如图，将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF，则△ABF≌△ADN．
∴∠1＝∠3，AF＝AN，BF＝DN，∠AFB＝∠AND．
∴∠MAF＝∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝∠BAD－∠MAN＝45°．∴∠MAF＝∠MAN．
又∵AM＝AM，∴△AMF≌△AMN．∴MF＝MN．
可得∠MBF＝(∠AFB＋∠1)＋45°＝(∠AND＋∠3)＋45°＝90°．
∴在Rt△BMF中，BM2＋BF2＝FM2．∴BM2＋DN2＝MN2．
例六、如图1，在矩形ABCD中，E为CD的中点，过点E作FE⊥BE交AD于点F．
(1)若CD＝4，BC＝3，求AF的长；
(2)求证：EF平分∠DFB；
(3)如图2，在BC上截取CG，使AF＝2CG，求证：BF＝2BG．
(4)如图3，G为BC边上一点，若四边形BFEG为等腰梯形，求的值；
(5)如图4，过点E作EG∥BF交BC于点G，若，求的值．
答案：
⑴证△BCE∽△EDF，∴BC：DE＝CE：DF，∴3:2＝2:DF，∴DF＝，∴AF＝.
⑵设BC＝a，CE＝DE＝b，由勾股定理得DF＝，EF＝，BE＝，∴DE：DF＝BE:EF＝a:b，∴△DEF∽△EBF，∴∠DFE＝∠BFE.
⑶设BC＝a，AB＝2CE＝2DE＝2b，AF＝2CG，∴△ABF∽△CEG，∴BF＝2EG，EG∥BF；延长BC与FE的延长线交于点H，得△DEF≌△CEH，∴BF＝BH，E为FH的中点，由EG∥BF，∴BH＝2BG，∴BF＝2BG.
⑷△ABF∽△CEG，∴CG：AF＝1：2，∴BF＝2BG，过E作EH∥BC交BF于H，∴BG＝EH，∴BH＝HF＝EF，∴∠EBF＝30°＝∠DEF，设BH＝HF＝EF＝BG＝x，∴DF＝x，DE＝EC＝x，∴CD＝x，又∵BG＝EG，∴在Rt△CEG，CG＝x，∴AD:AB＝x:x＝:2.
⑸∵EG∥BF，∴△ABF∽△CEG，∴AF＝2CG，又∵BF＝2BG，设BG＝3a，CG＝a，∴BF＝6a，AF＝2a，∴AB＝4a，∴AD：AB＝4a:4a＝1:.
第七讲相似的综合运用(2)
例一、阅读材料：
(1)操作发现：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF＝DF，你同意吗？说明理由．
(2)问题解决：①保持(1)中的条件不变，若AB＝4，BC＝6，则FG＝______，＝______；
②保持(1)中的条件不变，若DC＝nDF，则的值为________；
(3)类比探究：保持(1)中的条件不变，延长EG交BC于点H，若BH＝2CH，求的值．
答案：
(1)连接EF，
根据翻折不变性得∠EGF＝∠D＝90°，EG＝AE＝ED，EF＝EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF＝DF；
(2)①连EF，易得△EFG≌△EFD，∴DF＝GF，在Rt△BCF中，设DF＝GF＝x，∴BF2＝BC2＋CF2，∴(4＋x)2＝62＋(4－x)2，x＝.
②由(1)知，GF＝DF，设DF＝x，BC＝y，则有GF＝x，AD＝y
∵DC＝nDF，∴BF＝BG＋GF＝(n＋1)x
在Rt△BCF中，BC2＋CF2＝BF2，即y2＋[(n－1)x]2＝[(n＋1)x]2，
∴y＝2x，∴AD:AB＝y:nx＝2:n.
(3)延长EH，DC相交于M，∵BH＝2CH，AE＝DE，设BH＝2CH＝4a，AE＝DE＝3a，AB＝CD＝BG＝b，∵DE∥CH，∴△MCH∽△MDE，∴CH：DE＝MC：MD，∴2a:3a＝MC：MD，MC：MD＝2:3，∴MC＝2b，易得△BGH∽△MCH，∴BG：MC＝BH：MH，∴b:2b＝4a:，∴15a2＝b2，b＝a，∴AD:AB＝6a:b＝6a:a＝6:.
例二、已知点A(3，4)，点B为直线x＝－1上的动点，设B(－1，y)．
(1)如图1，若∠AOB＝90°，求y的值；
(2)如图2，若有AO＝AB，则y的值为____________；
(3)如图3，若在x轴上有一点C(x，0)且－1＜x＜3，BC⊥AC，垂足为点C，求y的最大值．
答案：
(1)过A作AC⊥x轴，直线x＝－1与x轴的交点为D，则△AOC∽△OBD，∴AC：DO＝CO：BD，∴y＝0.5;
(2)以点A为圆心，以A
教学内容：相似三角形
第一讲：图形的相似与比例线段
第二讲：平行与比例、相似（1）
第三讲：平行与比例、相似（2）
第四讲：相似的性质与判定（1）
补充专题一：与定线上的动点有关的定形运动问题探究
第五讲：相似的性质与判定（2）
补充专题二：认识基本图——交叉A形、羊角三角形、双蝶形的基本结论及相互转化
补充专题三：认识基本图——“子母三角形”
补充专题四：认识基本图——“射影定理图’’
补充专题五：“圆的证明与计算一”
补充专题六：“圆的证明与计算二”
第六讲：相似的综合运用（1）
第七讲：相似的综合运用（2）
《相似三角形》学习中你要注意的积累
一、相似的基本图：
（一）平行A形 （二）平行X形 （三）平行双A形 （四）平行双X形
A型 X型 双A型 双X型
（五）“羊角三角形” （六）“交叉A形” （七）双蝶形（四点共圆形）
已知D、E分别为AB、AC上的点，BE、CD交于点0
（1）如图，若∠B＝∠1，则△ADE∽△ ；（“交叉A形”）
（2）如图，若∠B＝∠C，则△ABE∽△ ；（“羊角三角形”）△DBO∽△ ；（“蝶形相似”）
“羊角三角形”、“交叉A形”、“双蝶形”三个基本图之间的相互转化
（3）图中，若∠ABC＝∠1，连接BE、CD，求证：∠ABE＝∠ACD； ∠EDC＝∠EBC；
（4）图中，若∠ABE＝∠ACD，连接DE、BC，求证：∠ADE＝∠ACB； ∠EDC＝∠EBC
（5）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAC＝∠BDC，求证∠DAC＝∠DBC．
（八）子母三角形
1．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，求证：BA2＝BD·BC；
2．如图，在△ABC中，D为BC上一点，BA2＝BD·BC，求证：∠BAD＝∠C；
3．在图中，分别在某边或边的延长线上取一点，构造子母三角形相似．
(备用图)
（九）射影定理图：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则有：
（1）三个重要的平方等积：①＝ ADAB；②＝ BD·BA：③＝ AD·BD；
（2）一个重要的平方比例（计算）：﹒
（十）四点共圆形（共斜边的双直角）
通过证明四点共圆，可灵活转化多直角几何图形中的锐角
二、与相似有关的构造
（一）特殊结论的构造
1．形如“ad＝ bc”等积式的证明：
（1）由“等积式”的基本图，寻找相似三角形；
（2）转化为比例式：①共线比找平行
②非共线比找相似
2．形如“a＝b”的证明：选择同一条线段m或相等的两条线段，转化证明“”；
3．形如“a＋b＝kc”的证明：转化证明“”；
4．形如“”的证明：转化证明“”；
5．形如“ ”的证明：（1）转化证明“，”
（2）转化证明“，”从而证明“”；
6．形如“ab＋ cd＝ ef”的证明：在f上取一点得f＝x＋y，从而转化证明“ab＝ex，cd＝ey”；
（二）平行线的构造一一“共线比”的构造
1．证明类：（1）公共点在端点构造平行A形：如图1中的构造
（公共点A，B、C两点互作平行线）；
（2）公共点在中间构造平行X形：如图2中的构造
（公共点B，A、C两点互作平行线）；
2．计算类：上、下、全比值可以相互转化，排除没有条件的交点，另两点互作平行线．
（1）如图3，若，则 ， ．
（2）如图3，若，则 ， ．
三、边、角相似的构造
挨着对应边找等角，确定两个三角形，固定一个三角形，改造第二个三角形（等角）
第一讲 图形的相似与比例线段
【知识要点】
一、四条线段成比例：a∶b＝c∶d（），其中a、d叫做比例的外项，b、c叫做比例的内项，可以转化为ad＝bc．特别地，若a∶b＝b∶c，那么b2＝ac，此时b叫做a、c的比例中项；
二、（1）所有的边对应成比例，所有的角对应相等的两个多边形叫做相似多边形；
（2）相似多边形所有的边对应成比例，所有的角对应相等；
三、相似比：对应边的比值．
（1）注意相似比的相对性：△ABC∽△DEE，它们的相似比为＝k，而△DEF∽△ABC，它们的相似比为；
（2）相似比k＝1的两个三角形全等：全等三角形一定相似，但相似三角形不一定全等．
第一部分【能力提高】
1．如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中的△ABD与△ACD的相似比是 ，△DBA与△ABC的相似比是 ，△ABC与△DAC的相似比是 ．
第1 题图 第2 题图
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝3，AC＝4，则图中的△ABD与△CAD的相似比是 ，△DBA与△ABC的相似比是 ，△ABC与△DAC的相似比是 ．
3．下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的直角三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的等边三角形都相似；⑤所有的平行四边形都相似；⑥所有的矩形都相似；⑦所有的菱形都相似；⑧所有的正方形都相似．其中正确的有 ．（只填写序号）
4．△ABC∽△DEF，其中∠B＝60°，∠F＝70°，则∠A＝ ．
5．己知，则 · ＝ · ；若PA·QC＝PB·QD，则 ＝ ．
6．如图所示，每个大正方形均由边长为1的九个小正方形组成，则下列左图四个三角形（阴影部分）中能与△ABC相似的是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，己知四边形ABCD∽四边形EFGH，请直接写出：
（1）α＝ ，β＝ ；
（2）EH的长度x＝ ；
（3）四边形EFGH与四边形ABCD相似的相似比为 ．
第二部分【综合运用】
8．如图，有一个格点三角形（顶点是格点的三角形），请在图中画出三个不同的格点三角形与之相似（且与原三角形不同），并直接写出新三角形与原三角形相似的相似比（对应边的比值）．
相似比：
答案：如下图
9．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上的点D，折痕为MN．已知AB＝6，BC＝4，若△ABC∽△DNC．
（1）求证：DM∥BC；
（2）求BN的长度．
答案：（1）∵△ABC∽△DNC，∴∠B＝∠DNC，∴AB∥DN，∴∠BMN＝∠MND，由折叠易得DM∥BC；
（2）易证BN＝BM＝MD＝x，∴,∴，∴x＝2.4，即BN＝2.4
10．（1）“黄金分割比”是把一条线段分割为两部分，使其中较短一部分与较长部分之比等于较长部分与全长之比．由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割比，其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618．这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．
如图，P为线段AB上一点（AP＜BP），且＝k，求k的值；
答案：设AB＝1，AP＝x，则BP＝1－x，∵，∴，解得x＝（舍负值），∴k＝
（2）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D为AC上一点，且△ABC∽△BDC，求的值；
答案：
（3）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，D为BC上一点，且△ABC∽△DBA，求；
答案：
（4）将一张矩形纸片ABCD（AD＞AB）沿AD、BC边的中点EF对折，如果得到的两个矩形ABFE、矩形CDEF都和原来的矩形ABCD相似，求的值；
答案：
（5）将一张矩形纸片ABCD（AD＞AB）裁去一个正方形ABFE后，如果剩下的矩形CDEF和原来的矩形ABCD相似，求的值．
答案：
（6）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，D为AC上一点，且△ABC∽△BDC，求的值；
答案：．
11．如图1，在矩形MNPQ中，点E、F、G、H分别在NP、PQ、QM、MN上，当∠1＝∠2＝∠3＝∠4时，我们称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．已知矩形ABCD和它的反射四边形EFGH的四个顶点均为边长为1的正方形网格的格点，请解决下列问题：
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
答案：∵∠1＋∠2＋∠GHE＝180°，∠3＋∠4＋∠GHE＝180°，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠GHE＝∠GFE．∵四边形MNPQ是矩形，∴∠Q＝∠M＝∠N＝∠P＝90°．∴∠1＋∠QGF＝∠2＋∠PEF＝∠3＋∠MGH＝∠4＋∠HEN＝90°．∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠QGF＝∠PEF＝∠MGH＝∠HEN．同理可证∠HGF＝∠HEF．∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）已知AB＝5，BC＝10，请结合图2求满足条件的反射四边形EFGH共有几个 并在图3中作出矩形ABCD的所有反射四边形（E、F、G、H四点都在格点上）；
答案：
（3）如图4，已知AB＝8，BC＝12，请在图4中直接作出矩形ABCD的所有反射四边形（E、F、G、H四点都在格点上）．
答案：
第二讲 平行与比例、相似（1）
知识要点：
一、平行线分线段成比例：
＝ （＝）、＝ （＝）、＝ （＝）；
二、平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；
注意：（1）平行比例；
（2）平行相似比例（有平行线段参与的比例，必须先写相似，再得对应边成比例）；
三、与平行（共线比）相关的相似基本图：平行A形、平行X形、平行双A形、平行双X形．
引例：如上图“双A型”、“双X型”中：若DE∥BC，求证：＝．
答案：∵DE∥BC，∴，∴.
第一部分【能力提高】
1、如图，AB∥CD∥EF．
（1）图中相似三角形有几对？请分别写出来；
（2）已知AC＝3，CE＝5，CD＝2．
①＝ ；② ＝ ；③ ＝ ；④ ＝ ；
⑤AB的长为 ；EF的长为 ．
答案：（1）3对；△ABE∽△CDE；△ABD∽△FED；△ACD∽△AEF；
（2）①；②；③；④；⑤；；
2、如图，□ABCD中，G是DC延长线上一点，连结AG交BD、DF于E、F两点，求证：AE2＝EFEG．
答案：∵□ABCD，∴AB∥CD,AD∥BC，∴，，∴，∴AE2＝EFEG．
3、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是DC中点，直线BE交AC于点F，交AD的延长线于点G，求证：EF·BG＝BF·EG．
答案：答案：∵AB∥CD，∴∠GDE＝∠GAB，∠GED＝∠GBA，∠CEF＝∠ABF，∠ECF＝∠BAF．
∴△CEF∽△ABF，△DGE∽△AGB．∴EF：BF＝EC：AB，EG：BG＝DE：AB．
∵DE＝EC，∴EF：BF＝EG：BG．∴EF BG＝BF EG．
4、如图，□ABCD中，E为AD上一点，EF∥AC交CD于点F，延长BF、AD交于点G，求证：AD2＝AEAG．
答案：答案：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，AB＝CD，
∵EF∥AC，∴AE：AD＝CF；CD，∵AB∥CD，∴CH：AH＝CF：AB，
∵AB＝CD，∴AE：AD＝CH：AH，∵AD∥BC，∴BC：AG＝CH：AH，
∴AE：AD＝BC：AG，∵AD＝BC，∴AE：AD＝AD：AG，∴AD2＝AE AG．
5、如图，在□ABCD中，直线DE分别交AC、AB的延长线于F、G两点，EF·GD＝DF·GE，求证：E为BC的中点．
答案：∵BC∥AD,∴,,∵EF·GD＝DF·GE,∴BE＝EC
6、如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，以直角边AB、AC为边分别向形外作正方形ABDE和正方形ACFG，CD、AB交于点M，BF、AC交于点N，求证：AM＝AN．
答案：∵AB∥DE,∴,∵AC∥FG,∴,∴AM＝BN
第二部分【综合运用】
7、如图，在△ABC中，BC＝2AB，BD平分∠ABC，DE∥BC，DF∥AB，直线EF、AC交于点G．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）求证：E为FG的中点．
答案：(1)∵BD平分∠ABC，DE∥BC，DF∥AB，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四边形BEDF为菱形
（2）∵DF∥AB，∴，∴，∵DE∥BC，∴，∴E为FG的中点．
8、如图，△ABC中，AB＝AC，BD∥AC，CE∥AB，过点A的直线交BD于点D，交CE于点E，延长CD交AB于点N，延长EB交CA于点M，（1）求证：△ABD∽△ECA．（2）求证：AM＝BN．
答案：(1) 答案：（1）∵BD∥AC，CE∥AB，∴∠CAE＝∠BDA，∠CEA＝∠BAD，
∴△ABD∽△ECA；
(2)∵BD∥AC，∴△NBD∽△NAC，∴ ，∵△ABD∽△ECA，
∴；∵AB∥CE，∴△ABM∽△CEM，∴，∴，
∴，∴，∴AM＝NB．
9、如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E，求证：＋＝．
答案：∵BD平分∠ABC，DE∥BC，∴，∴，∴＋＝．
10、如图，在△ABC中，M为BC的中点，P为CM上任一点，过点P作PE∥AM，PE分别交AC、BA的延长线于D、E两点，求证：PD＋PE＝2AM．
答案：∵PE∥AM，∴,，∴PD＋PE＝2AM
11、如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，BH＝6，CH＝3．平行于BC的动直线l分别交AB、AC于D、E两点，CD交AH于点F，EF交BC于点P，求HP的长度．
解：AH与l的交点即为Q，则，∴，又∵，∴PH＝1.5
12、如图，在△ABC中，D为AB上一点，DE∥BC交AC于点E，过A作BC的平行线分别交CD的延长线、BE的延长线于M、N两点．
（1）求证：AM＝AN；
（2）若DE＝a，BC＝b，求MN的长度（用含a、b的式子表示）．
答案：（1）∵DE∥BC，∴，∴AM＝AN
（2）∵，∴，∴，∴
13、如图，△ABC中，D为BC上一点，过D作DE∥AB交AC于点E，过E作EF∥AD交BC于点F．
（1）求证：CD2＝CFCB；
（2）若CF＝4，BD＝5，求DF的长度．
答案：（1）∵DE∥AB，EF∥AD，∴，∴CD2＝CFCB
（2）设DF＝x，则由（1）可得，，解得
14、如图，正方形ABCD中，AB＝5，P为BD上的一动点，PQ∥BC，AP、AQ分别交BC于M、N两点．
（1）求线段MN的长度；
（2）若＝，求PQ的长度．
答案：（1）∵，∴MN＝BC＝5
（2）∵＝，∴，∴，∴
15、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于点O，过O作EF∥AB分别交AD、BC于E、F两点．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：＋＝；
（3）若AB＝12，CD＝9，求EF的长．
答案：（1）∵AB∥CD，∴DO：DB＝CO：AC，又∵FO：AB＝OC：AC，EO：AB＝DO：DB，
∴EO：AB＝FO：AB，∴O是EF的中点，∴OE＝OF；
（2）∵AB∥CD∥EF，∴△BFO∽△BCD，且△DOE∽△DBA，
∴FO：CD＝BO：BD，且OE：AB＝DO：AB，两式相加，可得，
又∵OE＝OF＝ EF，∴＋＝．
（3）∵，∴
16、（1）如图，在△ABC中，DE∥BC，CD、BE交于点F，直线AF分别交DE、BC于P、Q两点，
求证：Q为BC的中点．
答案：如图，设BQ＝x，CQ＝y，DP＝m，PE＝n，
∵DE∥BC，∴＝＝，＝＝，
∴＝＝，∴x2＝y2，∴x＝y，即Q为BC的中点
（2）如图，△ABC中，EF∥BC，D为BC上一点，BF交AD于点P，延长EP交BC于点G．
①求证：DB2＝DGDC；
②若BC＝3BD，求的值．
答案：①∵EF∥BC，∴＝＝，∴DB2＝DGDC；
②∵BC＝3BD，∴＝＝＝2，∴BD＝BC，∴DG＝BD＝BC，
∴BG＝BD＋DG＝BC＋BC＝BC，∴＝
17、如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上一点，BP＝nCP，BD⊥AP于点D，CE⊥AP于点E．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）若n＝2时，求证：D为AE的中点；
（3）请用n的代数式表示的值．
答案：（1）略；
（2）∵＝＝2，BD＝AE，AD＝CE，∴AE＝2AD，∴D为AE的中点；
（3）∵＝＝n，BD＝AE，AD＝CE，∴AE＝nAD，∴＝
18、如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且连接AE＝EF＝FD．连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H．
（1）求EG：BG的值；
（2）求证：AG＝OG；
（3）设AG＝a，GH＝b，HC＝c，求a：b：c的值．
答案：（1）＝＝；
（2）∵＝＝；∴AC＝4AG，又AO＝AC，∴AO＝2AG，∴AG＝OG
（3）∵＝，＝＝，∴AG＝AC，AH＝AC，HC＝AC，
∴GH＝AH－AG＝AC－AC＝AC，
∴a∶b∶c＝AC∶AC∶AC＝5∶3∶12
19、如图，□ABCD中，E为AB上一点，EF∥BD交AD于点F，连接CM、CF分别交BD于M、N两点．
（1）求证：BM＝DN；
（2）若AB＝nAE，求的值．（用n的式子表示）
答案：
（1）分别延长CB、CD交EF于G、H，则△GBE≌△FDH，∴GE＝FH，
∵＝＝＝，∴BM＝DN
（2）＝＝，∴＝＝
20、如图，在□ABCD中，M为AD上的一个动点，过点M作MN∥AB，直线AB、CM交于点P，直线BM、CD交于点Q．
（1）求证：；
答案：∵＝，＝，∴＋＝＋＝＝1
（2）若AB＝1，求APDQ的值；
答案：∵＝＝，∴APDQ＝CDAB＝1
（3）若AB＝1，求的值．
答案：∵＝，＝，∴＋＝＋＝＝1，
∴＋＝＝1．
第三讲 平行与比例、相似（2）
知识要点：
一、平行线分线段成比例（平行≥比例）；
二、平行于三角形—边的直线得截得的三角形与原三角形相似（平行相似比例）；
三、共线比的平行构造：
（1）公共点在端点构造平行A型；
（2）公共点在中间构造平行X型．
第一部分【能力提高】
1、角平分线定理（构造平行线证明“共线比”）
（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，求证：＝；
证明：作CE∥AB交AD于E，则∠E＝∠BAD＝∠CAE，∴AC＝CE，
又由AB∥CE可得＝，∴＝．
（2）如图2，AD为△ABC的外角平分线，求证：＝．
证明：作CE∥AB交AD于E，则∠AEC＝∠PAD＝∠CAE，∴AC＝CE，
又由AB∥CE可得＝，∴＝．
2、（梅涅劳斯定理）如图，任意一条直线分别交△ABC的三边所在的直线于D、E、F三点，求证：··＝1．
答案：过C作CG∥DE交AB于G.则∴··＝1．
3.（塞瓦定理）如图，己知O为△ABC内任意一点，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F三点，
求证：··＝1．
答案：∵＝＝,由合比性质得＝＝；
同理：＝；＝；∴＝＝1
4、如图，P为△ABC内任意一点，AP、BP、CP分别交对边于D、E、F三点，求证：．
答案:∵S△PBC＋S△PBA＋S△PAC＝S△ABC ∴ ∴
5、如图，在△ABC中，AB＝AC， D是AB延长线上一点，E是AC上一点，连接DE与BC相交于点F，求证：DF：FE＝DB：CE．
答案：过E作EG∥BC交AB于G,易证BG＝EC,∴DF：FE＝DB:BG ∴DF：FE＝DB：CE．
6、如图，D、E分别为AB、AC上一点，BD＝CE，直线DE、BC交于点F，求证：＝．
答案：过E作EG∥AB交BC于G,∴DF：FE＝DB:EG ∵BD＝CE ∴DF：FE＝EC：GE．
由∵EC：GE＝AC:AB ∴
7、如图，在△ABC中，D为BC延长线上的一点， BC＝CD，E为AC的中点，直线DE交AB于点F，求的值．
答案：过E作EG∥BC交AB于G,∵AE＝CE ∴BC＝2EG∵BC＝CD，∴BD＝4EG
由∵EF： FD＝EG: BD ∴DF＝4EF,∴
8、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为边AC的中点，延长ED并交AB延长线于点F，求证： ＝．
答案：易证△BDF∽△DAF,∴,易证△BDA∽△ADC, ∴∴
第二部分【综合运用】
9、己知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，BA＝BD，E为AC的中点，AD、BE相交于点F，求证：AB·AF＝BC· DF．
答案：过A作AG∥BC交BE延长线于G,∵易证△BDF∽△GAF,∴,易证△BCE≌△GAE,
∴AG＝BC,又∵BA＝BD，∴∴AB·AF＝BC· DF．
10、如图，△ABC中，M为BC的中点，P为AM上任一点，延长CP交AB于点Q，求证：＝．
答案：过M作MN∥QC交AB于N,∵易证△APQ∽△AMN,∴,∵M为BC的中点，
∴BQ＝2BN＝NQ∴
11、如图，在△ABC中，BC＝6，E、F分别是AB、AC的中点，点P在射线EF上，连接BP交CE于D点，∠CBP的平分线交CE于点Q，设BP＝y，PE＝x．当CQ＝CE（n为不小于2的常数）时，求y与x之间的函数关系式．
答案：延长BQD交EF于K,∵EK∥BC，∵BQ是∠CBP的平分线，易证PB＝PK, 当CQ＝CE, ∴△CBQ∽△EKQ,
∴∴EK＝(n－1) BC＝6（n－1）, ∵BP＝y，PE＝x∴PK＋EP＝6(n－1) ∴y＝6(n－1)－x
12、如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠ABC，求证：．
答案：过D作DE∥AB交AC于E,∵AD平分∠ABC，∠BAC＝120°，∵易证△ADE为等边三角形，AE＝DE＝AD ∵DE∥AB∴△CED∽△CAB,∴∴∴
13、如图，在△ABC中，M、N分别为AB、AC的中点，P为MN上一点，BP延长交AC于点D，设，，求y与x的函数关系式．
答案：过A作AQ∥BC交BP延长线于E,∵设PN＝1,∵ ∴MP＝x ∵M、N分别为AB、AC的中点，
∴BC∥MN ∥AQ∴△AQD∽△NPD,∴∴AQ＝y，∴△AQB∽△MPB,∴AQ＝2MP
∴y＝2x
14、如图，△ABC中，M为AC的中点，E为AB上一点，AB＝nAE，延长EM交直线BC于点D．
(1)若n＝4，求的值；
(2)若C为BD的中点，求n的值；
(3)请用n的代数式表示的值．
答案：过点C作CF∥AB交DE于F, ∵M为AC的中点, ∴AE＝CF.
(1)∵AB＝4AE, ∴BE＝3AE, 即, , ∴, ∴.
(2)n＝3
(3) ∵AB＝nAE, 即BE＝(n－1)AE, 即, , ∴, ∴.
15、如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，CD＝nBD，E为AD的中点，延长BE交AC于点F．
(1)当n＝2时，求的值；
(2)若CF＝2AF，求证：AD⊥BC；
(3)请求出的值．（用n的代数式表示）
答案：过点D作DG∥AC交BF于G, ∵E为AD的中点, ∴DG＝AF.
(1)∵CD＝2BD，即BC＝3BD, , ∴, 即, .
(2)∵CF＝2AF，即, , ∴BD＝DC, ∴AD⊥BC.
(3) CD＝nBD，即BC＝(n＋1)BD, , ∴, 即, .
16、如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，P为DE上一点，延长BP交AC于点N，延长CP交AB于点M，求证：．
答案：过点A作KL∥BC交CM延长线于K,BN延长线于K, 则KL＝BC.
∵, , 两式相加得, , ∴
17、如图，△ABC中，M为BC的中点，N为AM的中点，P为AB上的一个动点，延长PN交AC于点Q，当P
点运动时，求的值．
答案：过点A作AK∥BC交PQ延长线于K, QP与CB交于L, ∵AN＝NM, ∴AK＝LM.
∵, , ∴,
又LB＋CL＝LB＋(LM＋CM)＝(LB＋CM)＋LM＝(LB＋BM)＋LM＝LM＋LM＝2LM, ∴.
18、已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，M为OD上一点，过点M的直线分别交AD、CD于P、Q两
点，与BA、BC的延长线交于E、F两点．
(1)如图1，若M为OD的中点，EF∥AC，求证：PE＋QF＝2PQ．
图1
答案：∵OM＝MD, ∴AP＝PD, CQ＝QD, ∴PE＝PQ＝QF, 即PE＋QF＝2PQ ．
(2)如图2，若M为OD的中点，EF与AC不平行时,(1)中的结论是否仍然成立？说明你的理由；
图2
答案：过点O作OK∥EF交EF于K.
∵, , ∴.
又O为AC中点, ∴AP＋CF＝2OQ, 而M为OD中点, ∴OQ＝PD, ∴, 即.
∴PE＋QF＝2PQ, (1)中的结论是成立.
(3)如图3，若BM＝nDM，EF与AC不平行时，请写出：的值为 _______ ．(请用含n的式子表示你的结论并证明)．
图3
答案： n－1.
19、类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值．
(1)【尝试探究】在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 _______ ，CG和EH的数量关系是 ________ ，的值是 _________ ．
图1
答案： AB＝3EH, CG＝2EH, .
(2)【类比延伸】如图2，在原题条件下，若（m＞0），求的值．（用含m的代数式表示）
图2
答案：
过点E作EH∥AB交BG于点H，
∵， ∴， 又AB＝CD, EH＝CG, ∴ .
(3)【拓展迁移】如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的延长线上一点，BE和AC相交于点F，若，＝b，则的值是 ___________ ．（用含a和b的代数式表示）
图3
答案： ab.
过点E作EH∥AB交CA延长线于点H.
∵， ∵， ＝b, 即＝b, ∴.
第四讲 相似三角形的性质与判定（1）
知识要点：
一、三边对应成比例的两个三角形相似（类比全等的“SSS ”公理）；
二、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（类比全等的“SAS ”公理）；
三、利用相似比例逆用证明两直线平行或垂直．
第一部分【能力提高】
一、如图，在□ABCD 中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，∠AFE＝∠B．
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝8，AD＝，AF＝，求AE的长．
答案：
(1)∵∠ADF＝∠CED, 又∠AFE＝∠B, ∴∠AFD＝∠C, ∴△ADF∽△DEC.
(2) 由(1)△ADF∽△DEC, ∴, 即, DE＝12, 由勾股定理.
二、如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．
(1)求证:；
(2)若AD＝4，AB＝6，求AF的长度．
答案：(1) ∵△ADC∽△ACB, ∴, ∴.
(2) 连CE, ∵∠1＝∠2, 又∠ACB＝90°, E为AB中点, ∴∠2＝∠3, ∠1＝∠3, AD∥CE.
由(1) , ∴.
又, 即, , 即.
三、如图，Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AC＝nAB，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．
（1）求证：△ABE∽△CAF；
（2）若n＝2 时，求的值；
（3）当n＝ 时，E为AF的中点．
(1)证明：∵D为BC边的中点，∠BAC＝90°，∴AD＝BD＝CD,∴∠CAD＝∠ACD,
∵∠BAD＋∠CAD＝90°＝∠ABE＋∠BAE，∴∠CAD＝∠ABE，∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∴△ABE∽△CAF .
(2)∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵∠BDE＝∠CDF，
∴△BDE≌△CDF，∴BE＝CF，由（1）△ABE∽△CAF，
∴＝＝＝,∴AF＝2BE＝2CF，CF＝2AE，∴AF＝4AE，∴＝.
(3)由（1）知AE＝nBE＝nCF＝n2AE，若E为AF的中点，∴AF＝2AE，即n2＝2,∴n＝
四、【共底角顶点的两个等腰必有相似】
如图，等腰△ABC和等腰△DEC中，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝α．
（1）求证：△CAD∽△CBE（）；
（2）延长BE、AD交于点P，求∠APB的度数（用α的式子表示）．
（1）证明：∵AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC，∴∠ACB＝∠DCE，＝ ，∴∠ACD＝∠BCE，∴△CAD∽△CBE.
（2）解：由（1）知△CAD∽△CBE，∴∠CAD＝∠CBE，∴∠ABE＋∠CAD＝∠ABC＝，∴∠APB＝180°－－＝90°－
五、如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，以AE为腰作等腰Rt△AEF，连接AC、CF．
（1）求证：AC⊥CF；（2）求的值．
（1）证明：过F作FG⊥BC交BC延长线于点G，∵△AEF为等腰直角三角形，∴△ABE≌△EGF，
∴BE＝FG＝CG，∴∠FCG＝45°，∴∠ACF＝90°，∴AC⊥CF.
（2）由（1）知FG＝BE＝ CG，∴＝
六、如图，已知在等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 中，∠ACB＝∠AED＝90°，连接 CD，P、M、N 分别为CD、BC、DE 的中点，求的值和∠MPN 的度数．
解：连接BD，CE，则△ABD∽△ACE，∴＝＝,∵P，M，N分别为CD，BC，DE的中点，
∴PMAD，PNCE，∴＝＝，
延长DC交AE于G点，则∠NPC＝∠ECG＝∠CED＋∠EDC
又∠MPC＝∠BDC＝∠BDA＋∠CDA，∠BDA＝∠AEC，∴∠MPN＝135°.
七、如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，G为线段EF上的一个动点，以G为顶点、BG为腰作等腰Rt△GBH，连结DH．
（1）求证：DH＝BH；
（2）若AB＝4，当G点从E点运动到F点时，请直接写出动点H的运动路径长为 ．
答案：（1）连AG、BD.∵∠ABD＝∠HBG＝45°，∴∠GBA＝∠HBD,又，∴△BHD∽△BGA，
易证△BGA是等腰△，∴△BHD也是等腰△，∴DH＝BH
方法二：NH＝MH＝a＋b，BN＝DM＝a＋b－2a，∴△HBN≌△HDM，∴DH＝BH
（2）三垂直得△GBE≌△，∴＝4
八、（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，将图（1）中的正方形AEGH绕点 A 旋转一定角度，如图（2），求 HD∶GC∶EB 的值；
解：由旋转△ADH≌△ABE，∴DH＝EB，
连接AC，AG，则△ADH∽△ACG，∴＝＝，∴HD：GC：EB＝1：：1.
（2）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB＝HA：AE＝ m：n，求HD：GC：EB的值．
解：由△ADH∽△ABE得DA：AB＝DH：BE＝m：连接AC，AG，则△ADH∽△ACG，∴＝＝，∴HD：GC：EB＝m：：n.
第二部分【综合运用】
九、如图，在△ABC的内部任取一点O，连接AO、BO、CO，D为OA上任一点，过D点作DE∥AB，DF∥AC，求证：EF∥BC．
证明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴＝＝，∴EF∥BC
十、如图，在△ABC中，D为BC上一点，过D作DE∥AB交AC于点E，F为CD上一点，且CD2＝CF·CB，
求证：EF∥AD．
证明：∵DE∥AB，∴＝，∵CD2＝CF·CB，∴＝，∴＝，∴EF∥AD
11、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M为AB的中点，BD、AM交于点E，AC、DM交于点F．
（1）求证：EF∥AD；
（2）若 AD＝6，BC＝8，求 EF 的长．
（1）证明：∵AD∥BC，M为AB的中点，∴＝＝＝，∴EF∥AD
（2）由（1）知＝＝＝，∴＝＝＝，∴EF＝
12、如图，在△ABC中，P为边BC上的任一点，PD∥AB，PE∥AC，BD、PE交于点M，CE、PD交于点 N，求证：MN∥BC．
证明：∵PD∥AB，PE∥AC，∴＝＝＝，∴MN∥BC
13、已知、、分别为三边的中点．
（1）如图1，与交于点，求证：为的中点；
（2）如图2，为的中点，延长、交于点，求证：；
（3）如图3，若不是的中点，（2）中的结论是否仍然成立？写出你的结论并证明．
解：（1）如图1，连接DF，EF，∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，∴DF，EF都是△ABC 的中位线，
∴DF∥AE，EF∥AD，四边形ADFE是平行四边形，∴DE与AF互相平分，∴M为DE的中点；
（2）证明：如图2，延长EF交BQ于G，由（1）可得EF是△ABC 的中位线，，
又是的中点，，，，，
又∵BD＝AD，∴PF＝GF，在△CPF和△BGF中，，，
，；
（3）CP∥BQ仍成立．
证明：如图3，延长EF交BQ于G，由（1）可得，EF是△ABC 的中位线，∴EF∥AB，即PG∥AB，
，又∵AD＝BD，∴PF＝GF，在和中，，
∴△CPF≌△BGF(SAS)，∴∠PCF＝∠GBF，∴CP∥BQ．
14、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD丄AD于点D，CE丄AD于点E，直线BE、CD交于点P，求证：AP丄AD
证明：∵BD丄AD，CE丄AD，得EC∥BD，得，注意到△ABD∽△ACE，
所以，∴，所以AP∥BD，易得AP丄AD．
15、如图，AE是△ARC的外角∠CAG的平分线，过B、C两点作BD丄AE于点D, CE丄AE于点E．连结BE，CD交于点F，连结AF，求证：∠BAF＝∠CAF．
证明：∵AE是△ARC的外角∠CAG的平分线，∴∠GAE＝∠EAC＝∠DAB，又∵RD丄AE，CE丄AE，
∴∠BDE＝∠DEC，∴△ADB∽△AEC，BD∥EC，．
16、如图，是中边的中点，是上任意一点，连接、并延长交、于、，求证：．
答案： 过O作NF∥BC交AB于N，交AC于F．∵NO∥BM，OF∥MC，
∴NO：MB＝AO：AM，OF：MC＝AO：AM，∵MB＝MC，∴NO＝OF．
∵NO∥BC，OF∥BC，∴NO：BC＝EO：EC，OF：BC＝DO：BD，
∴EO：EC＝DO：BD，∴DE∥BC．
17、如图，在△ABC中，M、N分别为AB、AC边上的两点，MN//BC，D、E分别为CA、BA延长线上的两点，BD//EN，求证：DM//CE．
证明：∵BD//EN，∴① ，又∵MN//BC，∴②，①×②得，∴DM//CE．
18、如图，在等腰△ABC和等腰△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，B、C、E、F在同一条直线上，A、D在直线BF的同侧，连结BD交AC于点M，连结AF交DE于点 N．
（1）求证：MN//BF；
（2）若BC＝6，CE＝2， EF＝4，求线段MN的长度．
证明：（1）∵AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，∴∠ABC＝∠DEF，∴AB∥DN，∴，
同理，，∴HN×HB＝MH×FH，∴，∴MN//BF；
（2）由DE∥AB，MN∥BF，得，解得MN＝4．
补充专题一：与定线上的动点有关的定形轨迹问题探究
一、定直线上的动点与定点构成的定形
方法一：线段形路径——解析法
方法二：线段形路径——还原起点全等或相似构造法
例一、A点的坐标为（0，4），动点P从O点出发沿轴正半轴运动，直到运动到（4，0）时运动停止．
（1）如图，以P为直角顶点，在第一象限内作等腰RtAPQ，则点Q的运动路径长为 ；
（2）如图，在（1）的条件下，等腰Rt△APQ的外心M的运动路径长为 ．
解：（1）作点D（4，0），∴△AOD是等腰直角三角形，∴△AOD∽△ADQ，∴，∠OAD＝∠PAQ，
∴∠OAP＝∠DAQ，∴△AOP∽△ADO，∴∠ADO＝90°，∴∠EDF＝45°，∴Q的运动路径为DE＝4．
（2）外心M为AQ的中点，所以外心M运动的路径为△ADE的中位线，且平行于DE，所以外心M运动的路径长为2．
例二、A点的坐标为（0，4），动点P从O点出发沿x轴正半轴运动，直到运动到（4，0）时运动停止．
（1）如图，以P为直角顶点，在第一象限内作等边△APQ，则点Q的运动路径长为 ；
（2）如图，在（1）的条件下，等边△APQ的外心M的运动路径长为 ．
解：为（1）如图所示，D（4，0），作等边△AOD和△ADE，所以点Q的运动路径为EF的长度．
易证△AFE≌△AOD，所以点Q运动的路径长EF＝4．
（2）如图所示，MM′就是点M运动的路径．易证△AFE≌△AOD，所以∠AEF＝∠ADO＝45°，
注意∠AOE＝60°＋45°＝∠FAE＋60°，所以∠EAF＝45°，∴△AFE是等腰直角三角形，
∴∠AFE＝90°，∴∠OFG＝30°，又∠FOD＝30°，∴∠FOG＝∠OFG＝30°，∴OG＝GF，
所以AG⊥OK，由等边三角形外心可得，所以MM′∥HK，所以∠AHK＝90°，
注意到∠OAG＝∠KAE＝30°，∴∠GAK＝45°，
所以△AMM′为等腰直角三角形，所以MM′＝．
例三、如图，A点的坐标为（0，4），动点P从0点出发沿x轴正半轴运动，直到运动到（4，0）时运动停止．以P为直角顶点，在第一象限内作Rt△AP0，且AP＝2PQ，则点Q的运动路径长为 ．
解：作G（4，0），作△AGE，使∠AGE＝90°，AG＝2GE，易知△APE∽△AGE，
作F（2，0），连结AF．则EF为点Q运动路径．易知△APE∽△AGE∽△AOF，
易证△APG∽△AQE，得∠AGO＝∠AEF＝45°，
注意到∠OAF＝∠GAQ，∠OAP＝45°，则∠FAQ＝45°，
所以△AEF为等腰直角三角形，∠AFQ＝45°，所以EF＝AF＝2．
二、定圆上的动点与定点构成的定形
连接动点与圆心，以定点、圆心按相同的顺序构造定形，通过全等或相似转化到与圆半径的关系．
例四、如图，O为AB上一点，OA＝2，OB＝6，以O为圆心，OA为半径作⊙O,点P是⊙O上的一个动点，连接BP，以BP为斜边作等腰Rt△BPQ，使∠BQB＝90°，其中B、P、Q三点为顺时针顺序，连接AQ，当P点在⊙O上旋转一周时，动点Q的路径长为 ，则AQ的取值范围是 ．
解：如图所示，作等腰直角△OTB，则△OTB∽△BPQ，易证△OPB∽△BTQ，
所以，∴TQ＝．所以动点Q的路径长为2．
当AQ过圆心时，如图所示，过TE⊥AQ取得最值：－≤AQ≤＋．
例五、如图，扇形的圆心角∠AOB＝120°，OA＝，P为扇形弧上的一个动点，将线段PA绕P点顺时针旋转120°，得到线段PQ，当动点P在上从A点运动到B点的过程中，动点Q的运动路径长为 ．
解：连接AB，易证△AOB∽△APQ，∴易得△AOP∽△ABQ，∴，所以BQ＝3，
∴点Q的运动路径是以B为圆心，3为半径，120°为圆心角一段圆弧．∴点Q的运动路径长为：．
例六、如图，扇形的圆心角∠AOB＝120°，OA＝，P为扇形弧上的一个动点，以P为直角顶点AP为腰作等腰Rt△APQ，其中A、P、Q三点为逆时针顺序，当动点P在上从A点运动到B点的过程中，动点Q的运动路径长为 ．
解：如图所示，过O作OT⊥AO，交于点T，连接AT，则△AOT是等腰直角三角形，∴△AOT∽△APQ，
易证：△AOP∽△ATQ，∴，∴QT＝2，所以点Q运动和路径为．
三、两动点在定线上定长滑动（定形）
1．定长线段滑动（定弦、定角半径一定的动圆运动的相对性）
2．两动点定速度滑动
例七、如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的边长为定长16，A、B两点分别在y轴正半轴、x轴正半轴上滑动，则线段OC的最大值 ．
解：取AB的中点D，连接OD、CD，如图所示．∵△AOB为直角三角形，D为AB的中点，
∴OD＝AB＝8，∵△ABC是边长为16的正三角形，D为AB的中点，∴CD＝AB＝8．
在△OCD中，OC＜OD＋CD．当点O、C、D三点共线时，OC＝OD＋CD最大，此时OC＝8＋8．
故答案为：8＋8．
例八、如图，∠MON＝60°，等边△ABC为的边长定长6，A、B两点分别在射线OM、射线ON上滑动，则线段OC的最大值 ．
解：作△AOB的外接圆，圆心为D，连接OD、CD．当O、D、C三点共线时，OC的值最大．
应∵∠AOB＝60°，∴∠ADB＝120°．∴∠DAB＝∠DBA＝30°．
∵AD＝BD、AC＝BC，DC＝DC，∴△ADC≌△BDC，∴∠ADC＝∠BDC，∠DAC＝∠DBC,又∵∠ADB＝120°，∠ACB＝60°，∴∠DAC＝90°，CD⊥AB，∵AB＝6，∴AD＝BD＝OD＝2，在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，AD＝2，∴CD＝4．
∴OC的最大值为2＋4＝6．
例九、如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB＝6，∠BAC＝30°，A、B两点分别在y轴正半轴、x轴正半轴上滑动，则线段OC的最大值 ．
解：当D为AB的中点，当O，D及C共线时，OC最大，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴设BC＝x，则AC＝2x，∴AB＝x＝6，∴x＝2，∴CD＝
∴OC的最大值为．
四、两动点在定线上定速滑动（定形）
例十、如图1，在直角坐标系中，A点的坐标为（0，6），B（0，0），以B为直角顶点AB为直角边在第一象限内作等等腰Rt△ABC，当点A以1单位／秒速度从（0，6）向原点运动，同时B点以1单位/秒速度从（0，0）沿x轴正半轴方向运动，在运动过程中等腰Rt△ABC的形状不变，若OC＝10，则运动的时间为 ．
解：过C作CD⊥x轴，垂足为D，容易证明△AOB≌△BDC，∴OB＝CD，AO＝BD． 设运动时间为t，则OB＝CD＝t，OA＝BD＝6－t，
在Rt△COD中，t2＋62＝102，∴t＝8．
例11、如图，在直角坐标系中，A点的坐标为（0，6），B（0，0），以B为直角顶点AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，当点A以1单位／秒速度从（0，6）向原点运动，同时B点以2单位／秒速度从（0，0）沿x轴正半轴方向运动，在运动过程中等腰Rt△ABC的形状不变，当A点从（0，6）运动到（0，0）时，C点运动的路径长为 ．
解： 过C作CD⊥x轴，垂足为D，容易证明△AOB≌△BDC，∴AO＝BD，OB＝CD．设点A运动的时间为t秒，则OA＝CD＝6－t,OB＝CD＝2t,∴C（6＋t,2t）,当t＝0时，C的坐标为（6,0），当t＝6时，C的坐标为（12,12），所以C点运动的路径长为．
第五讲 相似三角形的性质与判定（2）
知识要点：
一、两角对应相等的两个三角形相似；
二、与“共线积”相关的相似基本图：
交叉A形、羊角三角形、双蝶形（四点共圆形）、射影定理图、子母三角形；
三、“交叉A形”、“羊角三角形”、“双蝶形”三个基本图之间的相互转化．
基本图：
一、“羊角三角形”、“交叉A形”：
己知D、E分别为AB、AC上的点，BE、CD交于点O．
（1）如图1，若∠B＝∠1，则△ADE∽△ ；（“交叉A形”）
（2）如图2，若∠B＝∠C，则△ABE∽△ ；（“羊角三角形”）△DBO∽△ ；（“蝶形相似”）
“羊角三角形”、“交叉A形”、“双蝶形”三个基本图之间的相互转化
（3）图1中，若∠ABC＝∠1，连接BE、CD，求证：∠ABE＝∠ACD；∠EDC＝∠EBC；
（4）图2中，若∠ABE＝∠ACD，连接DE、BC，求证：∠ADE＝∠ACB；∠EDC＝∠EBC．
二、双蝶形（具有四点共圆转角的特性，但要通过两次相似转化）：
如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAC＝∠BDC，求证：∠DAC＝∠DBC．
三、射影定理图：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
则有：①△ACD∽△ABCAC2＝AD·AB；
②△BCD∽△BACBC2＝BD·BA；
③△ACD∽△CBDCD2＝AD·BD．
四、子母三角形：
1．在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，求证：BA2＝BD·BC；
2．在△ABC中，D为BC上一点，BA2＝ BDBC，求证：∠BAD＝∠C．
第一部分【能力提高】
一、如图，△ABC，E为AB上一点，AE＝AC，过A作AD⊥CE交BC于点D，垂足为M，过B作BN⊥AD于点N，求证：△ABN∽△ACM．
证明：∵AE＝AC，AD⊥CE，∴∠BAN＝∠CAM．又∵BN⊥AD，AD⊥CE，∴∠BNA＝∠CMA．∴△ABN∽△ACM
二、如图，在等边△ABC中，P为BC边上的任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点，求证：BP·CP＝BM·CN．
证明：连接MP、NP,∵MN垂直平分AP，∴MA＝MP，NA＝NP，∴∠MPN＝∠BAC＝60°，又∵∠MPC＝∠MPN＋∠NPC＝∠B＋∠BMP，∠B＝∠MPN＝60°，∴∠BMP＝∠NPC，∵∠B＝∠C＝60°，∴△BMP∽△CPN，∴BM:PC＝BP:CN，∴BP·CP＝BM·CN．
三、如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
(1)△CAF与△CGA相似吗？说说你的理由；
(2)求∠1＋∠2的度数．
解:(1)相似.
理由:设正方形的边长为a,AC＝.
∵,.∴.∵∠ACF＝∠ACF,∴△ACF~△GCA.
(2)∵△ACF~△GCA,∴∠1＝∠CAF，∵∠CAF＋∠2＝45°,∴∠1＋∠2＝45°.
四、如图，等边△ABC，D为CB延长线上的一点，E为BC延长线上的一点，∠DAE＝120°．
(1)求证：DA2＝DB·DE；
(2)若BD＝8，CE＝2，求等边△ABC的边长．
解:(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∴∠DBA＋∠D＝60°.
∵∠DAE＝120°,∴∠D＋∠E＝60°, ∴∠DAB＝∠E.
∴△ADB∽△EDA. ∴,∴DA2＝DB·DE；
(2)∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC＝∠ACB＝60°, ∴∠DBA＝∠ECA＝120°.
∵∠DAE＝120°,∴∠D＋∠E＝60°,又:∠D＋∠DAB＝60°,∴∠DAB＝∠E.
∴△ADB∽△EAC. ∴,∵BD＝8，CE＝2，又∵AB＝AC,∴AB＝AC＝4.
∴等边△ABC的边长.
五、如图，正方形DEFG内接于Rt△ABC．
(1)求证：EF2＝BECF；
(2)若AB＝4，AC＝3，求正方形DEFG的边长．
解: (1)∵△ABC为直角三角形,∴∠ABC＋∠ACB＝90°.
又∵四边形DEFG是正方形,∴∠DEB＝∠GFC＝90°.∴∠B＋∠BDE＝90°. ∴∠BDE＝∠C.
∴△BDE∽△GCF. ∴,∴GF·DE＝BE·CF；∵四边形DEFG是正方形,∴DE＝EF＝HF；
∴EF2＝BE·CF；
(2)设正方形DEFG的边长是x,△ABC是直角三角形,∠A＝90°,AB＝4,AC＝3∴由勾股定理得:BC＝5,
过A作AM⊥BC,交BC于M,交DG于N,如图①由三角形面积公式得:AB×AC＝BC×AM.
∵AB＝4, AC＝3, BC＝ 5，∴AM＝2.4
∵四边形DEFG是正方形，∴DG＝ GF＝ EF＝ DE＝ MN＝x, ∵DG∥BC, ∴△ADG∽△ABC
∴,∴,∴
六、如图，已知边长为2的等边△ABC中，P0是BC边的中点，一束光线自P0发出射到AC上的点P1后，依次反射到AB、BC上的点P2和P3（反射角等于入射角），且1＜BP3＜，求P1C长度的取值范围．
解：反射角等于入射角,∴∠P0P1C＝∠P2P1A＝∠P2P3B.又∵∠C＝∠A＝∠B＝60°,
∵∴△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，∴,
设P1C＝x,P2A＝y,则P1A＝2－x,P2B＝2－y.∴.∴
∴x＝又∵1＜BP3＜,∴1＜x＜，即P1C长的取值范围是: 1＜P1C＜
七、（托勒米定理）如图，已知在四边形ABCD中，∠1＝∠2，求证：ABCD＋ADBC＝ACBD．
解：如图,作∠BAE＝∠DAC,∵∠ABE＝∠DCA,∴△ABE∽△ACD,得,即AB·DC＝AC·BE①
∵∠ADE＝∠ACB,∠DAE＝∠CAB,∴△ADE∽△ACB,得,即AD·BC＝AC·DE②,
①＋②得AB·CD＋AD·BC＝AC·BD
第二部分【综合运用】
八、已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D．
(1)如图1，∠D＝ 度；(2)如图2，若CF＝kCA，求的值．
解：(1)45°;
(2)图2所示,延长BC至G,使得CG＝AC,连接AG,DC过D分别作DH⊥AE于H;
DM⊥BC延长线于M;DN⊥AC延长线于N;∴△ACG是等腰直角三角形.
∴∠G＝∠7＝45°,AG＝AC,
∵AD平分∠CAB;BD平分∠CBE,∴DH＝ DN ,DH＝DM,∴DM＝ DM，∴CD平分∠MCN,∴∠5＝∠6＝45°＝∠G
∵∠2＝＝90°－∠1，∴∠GAF＝∠3＋∠7＝＋45°＝90°－∠1，∴∠GAF＝∠2,
∴△GAF∽△CBD.∴
即
九、如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q．
(1)若点P与A，B两点不重合，求的值；
(2)当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．
解:(1)∵∠DPQ＝∠DBQ＝90°,∴D、P、B、Q四点在以DQ为直径的圆上.∴∠DQP＝∠DBP.
∴Rt△DPQ∽Rt△DAB.∴.∵DA＝3,AB＝EC＝5,∴
(2)线段DQ的中点所经过的路径(线段)就是△BDQ的中位线MN.点P运动至AC中点时,AP＝4，
∴在 Rt△ADP中,根据勾股定理得:DP＝5.由得PQ＝.
∴在Rt△DPQ中,根据勾股定理得:DQ＝.又在 Rt△ADP中,根据勾股定理得:DB＝
∵MN是△BDQ的中位线,∴DN＝DQ＝, DM＝DB＝
∴在 Rt△DMN中,根据勾股定理得:MN＝，∴线段DQ的中点所经过的路径(线段)长为.
十、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝3，BC＝4，P位BC上的一个动点，过D作DP的垂线DQ，过B作BC的垂线BQ、DQ、BQ交于点Q，当P点运动时，探求的值．
证明：∵CD⊥AB, ∴∠ADC＝∠CDB＝90°,∴∠CDP＋∠PDB＝90°,
∵PD⊥DQ, ∴∠PDQ＝90°, ∴∠BDQ＋∠PDB＝90°, ∴∠CDP＝∠PDB.
同理：∠DCP＝DBQ. ∴△CDP∽△BDQ.∴.
同理：∴△ACD∽△CBD. ∴,∴，∵AC＝3，BC＝4,∴
11、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）以AB为直角边向形外作Rt△ABD，并且与Rt△ABC相似，若AC＝4，BC＝3，求△ABD的周长．
（2）如图2，设正方形MDHN、DEFG、EPQR的周长分别为C1、C2、C3，求证：C1＋C3＝C2；
（3）如图3，作CD⊥AB，DE⊥AC，垂足分别为D、E两点，设△ADE、△BCD、△ABC的周长分别为C1、C2、C3，求的最大值．（可改成面积比）
解:(1)20
(2)设正方形MDHN、DEFG、EPQR的边长分别为a,b,c.由题意可知：NH＝a,GH＝b－a,RQ＝c,FR＝b－c，
由Rt△NHG∽Rt△FRQ. ∴.即.∴ac＝b2－ab－bc＋ac.∴b2＝ab＋bc.∴b＝a＋c.
∴4b＝4a＋4c.∴C1＋C3＝C2；
（3）利用相似三角形周长的比等于相似比，得＝＋＝＋
方法一：设BC＝1,DB＝x，由射影定理得AB＝，∴AD＝－x，
∴＝＋＝＋＝＋x＋1＝，∴的最大值是.
12、如图，在面积为48的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点M、F、E分别在线段CD、CA、AD上，点N、G、H分别在线段DC、CB、BD上，且四边形DMFE、DNGH都为矩形．
（1）当F、M、N、G共线，且四边形EFGH为正方形时，若AB＝12，求正方形的边长；
（2）当F、M、N、G不共线，且四边形DMFE和DNGH都是正方形时，试判断两正方形的边长DM、DN与CD有何等量关系？并证明你的结论；
解：(1) (2)设正方形EFGH的边长是x,△ABC是直角三角形,∠A＝90°, Rt△ABC的面积为48,AB＝12,
由三角形面积公式得:AB×CD＝＝48.解得CD＝8.
∵四边形EFGH是正方形，∴EF＝ EH＝HG＝FG＝MD＝x, ∵FG∥AB, ∴△FCG∽△ACB
∴,∴,∴.
(2)设正方形FMDE、NGHD、的边长分别为a,b,设CD＝c.由题意可知：FM＝a,CM＝c－a,NG＝b,CN＝c－b，
由Rt△CFM∽Rt△GCN. ∴.即.∴ab＝c2－ac－bc＋ab.∴c2＝ac＋bc.∴c＝a＋b.
13、如图，正方形ABCD，E为AB上的一点，BF⊥CE于点F．
(1)过点F作DF的垂线交BC于点G，求证：BE＝BG；
(2)G为BC上一点，BE＝BG，求证：DF⊥FG．
(1)证明：∵∠DFG＝∠BFC＝90°,∴∠BFC－∠CFG＝∠DFG－∠CFG, 即∠BFG＝∠CFD.
∵∠DCG＝∠DFG＝90°, ∴∠FDC＋∠FGC＝360°－∠DCG－∠DFG＝180°,
∵∠BGF＋∠CGF＝180°, ∴∠BGF＝∠CDF, ∴△BGF∽△CDF.∴
∵∠DFG＝∠BFC＝90°, ∠EBF＝∠BCF, ∴△BFE∽△CFB. ∴,
∵BC＝CD∴BE＝BG
(2)∵BE＝BG, ,∵∠BGF＝∠CDF, ∴△BFG∽△CDF. ∴∠BPG＝∠CDF,
∴∠BFG＝∠CDF, ∴∠BFG＋∠CFG＝∠CDF＋∠CFG,即∵∠BFC＝∠DFG＝90°, ∴DF⊥FG．
14、如图，已知正方形ABCD，点E是边AB 上一动点，点F在AB边或其延长线上，点G在边AD上，EF＝nCD，DG＝nAE，连接ED，FG，交点为H．
（1）如图1，当n＝1时：①求∠EHF的度数；②求的值；
（2）如图2，当，请判断当点E在AB山运动时，的值是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出其值；
（3）如图2，请用含n的式子表示：的值为___________．
答案：（1）①∠EHF＝45°；②连GC，则ED⊥GC，则△GDC≌△BFC，∴△GFC是等腰Rt△，∴＝＝
（2）过F作FM∥ED,交DC于M，∴EF＝AD，∴△EAD∽△GDM（SAS），∴＝＝2，
设GM＝t，则ED＝2t，∴FG＝t，∴＝
（3）过F作FM∥ED,交DC于M，设AE＝x，GD＝nx，CD＝y，EF＝ny，∴△AED∽△DGM，
∴＝＝＝，∴GM＝nDE,设DE＝t，GM＝nt，∴FG＝＝t，
∴＝＝
补充专题二：认识基本图——交叉A形、羊角三角形、双蝶形的基本结论及相互转化
如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB与点E，BD、CE交于点H．
1．求证：AE·AB＝AD·AC；
证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB ∠A＝∠A∴△ABD∽△ACE∴AE·AB＝AD·AC；
2． 求证：DA·DC＝DH·DB；
证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB,八字导角，∠ABD＝∠HCD,△ABD∽△HCD,∴DA·DC＝DH·DB；
3． 求证：EA·EB＝EH·EC；
证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB,八字导角，∠ABD＝∠HCD,△AEC∽△HEB,∴DA·DC＝DH·DB；
4． 求证：HE·HC＝HB·HD；
证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB,八字导角，∠ABD＝∠HCD,△HDC∽△HEB, HE·HC＝HB·HD；
5． 求证：BE·BA＝BH·BD（或CD·CA＝CH·CE）；
证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB ∠A＝∠A∴△ABD∽△HBE∴BE·BA＝BH·BD；
6． 连接AH，求证：AH⊥BC（求证：三角形的三条高线必交于一点）；
证明：连接AH并延长交BC于点F∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB，则B、C、D、E四点共圆，A、E、H、D四点共圆，∠DAH＝∠DEH＝∠CBD, ∠ACB＋∠DAH ＝∠ACB＋∠DEH＝∠ACB＋∠CBD＝90°，∠AFC＝90°∴AH⊥BC
7． 如图，M、N分别为BH、CH上的两点，BM＝BE，CN＝CD，求证：MN∥BC；
证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB,八字导角，∠ABD＝∠HCD,△HDC∽△HEB,∴
∵BM＝BE，CN＝CD ∴∴∴△HMN∽△HBC，∴ MN∥BC；
8．如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB与点E，BD、CE交于点H．
求证：BH·BD＋CH·CE＝BC2；
证明：连接AH并延长交BC于Q,由6题结论有AQ⊥BC
cos∠DBC＝,cos∠BCE＝
∴＋＝＋＝＋
＝＋＝，∴BH·BD＋CH·CE＝
9． 求证：BE·BA＋CD·CA＝BC2；
证明：连接AH并延长交BC于Q,由6题结论有AQ⊥BC
cos∠EBC＝,cos∠BCD＝
∴＋＝＋＝＋＝
∴BE·BA＋CD·CA＝；
10． 连接DE，求证：∠ADE＝∠ABC；
证明：∵∠ABD＝∠ACE，∴sin∠ABD＝sin∠ACE，∴ ，∴
∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ABD＝∠ACE
11． 连接DE，求证：∠BDE＝∠BCE；
证明：∵∠BEH＝∠CDH，∠EHB＝∠DHC，∴△EHB∽△DHC，∴，∴
又∵∠BEH＝∠CDH，∴△EHD∽△BHC，∴∠BDE＝∠BCE
12． 若∠A＝60°，求的值；
由10题结论有△ADE∽△ABC ∴cos60°＝
13． 连接AH并延长交BC于点F，连接DF、EF，求证：∠AFD＝∠AFE；
由10题结论有∠CFD＝∠BAC,∠BFE＝∠BAC，∴∠CFD＝∠BFE
14． 若△DEF∽△BCA，试判断△ABC的边或角满足什么条件？证明你的结论；
由10题结论有△DCF∽△BCA，∵△DEF∽△BCA，∴△DCF∽△DEF
∴DC＝DE,CF＝EF，∴D为AC中点，F为AC中点，∴AF垂直平分BC，BD垂直平分AC
∴AB＝AC＝BC，∴△ABC为等边三角形
15． 延长ED交BC的延长线于点G，求证：GD·GE＝GB·GC．
证明：由10题结论有∠AED＝∠ACB，∵∠BEG＋∠AED＝180°，∠ACB＋∠DCG＝180°
∴∠BEG＝∠DCG，又∵∠G＝∠G，∴△GCD∽△GEB，∴，∴GD·GE＝GB·GC
补充专题三：认识基本图——“子母三角形”
一、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°, M为BC的中点，ME⊥BC分别交AC、BA的延长线于D、E两点，求证：MA2＝MD．ME．
答案：∵∠BAC＝90°，M为BC中点，AM＝BC＝MC，∠C＝∠MAC，ME⊥BC，∠BAC＝90°，∠E＝∠C，∠E＝∠MAC，∠AME＝∠AMD，∴△ADM∽△MAE，∴MA2＝MD．ME．
二、如图，在等腰△ABC中，AD⊥BC，P为AD上任一点，过点C作AB的平行线交BP的延长线于点E，BE交直线AC于点F，求证：PB2＝PF·PE．
答案：连PC，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝CD，AD垂直平分BC，BP＝PC，易证：△PCF∽△PEC，∴PC2＝PF·PE，又PC＝PB，∴PB2＝PF·PE．
三、如图，在正方形ABCD中，P为BC边上任意一点，直线AP分别交直线BD、CD于E、F两点，求证：EA2＝EF·EP．
答案：∵正方形ABCD，∴AB∥CD，∴△AED∽△PEB，△ABE∽△PDE，∴，，∴，∴EA2＝EF·EP
四、如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交直线BC于点E，求证：ED2＝EB·EC．
答案：连AE，∵AD的中垂线交直线BC于点E，∴AE＝DE，∠ADE＝∠DAE，∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠ABE＝∠CAE，又∠AEC＝∠AEB，∴△ACE∽△BAE，∴EA2＝EB·EC，又EA＝ED，∴ED2＝EB·EC．
五、如图，梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，∠1＝∠2，AD＝2OD，求证：BC＝3AD．
答案：∵∠1＝∠2，∠ADO＝∠ADO，∴△AOD∽△BAD，∴AD2＝OD·BD，又∵AD＝2OD，∴BD＝4OD，∴BO＝3OD，又AD∥BC，∴＝，即BC＝3AD.
六、如图，O为矩形ABCD对角线的交点，过点O作BD的垂线交BA的延长线于点E，连结OE交AD于点F，求证：∠OCF＝∠OEC．
答案：∵矩形ABCD，∴OA＝OB＝OC，∠OAB＝∠OBA，∠OAB＋∠OAD＝90°，又EO⊥OB，∠BEO＋∠ABO＝90°，∠BEO＝∠OAD，又∵∠AOE＝∠AOF，△AOF∽△EOA，OA2＝OE·OF，又OA＝OC，即OC2＝OE·OF，∴△OCF∽△OEC，∴∠OCF＝∠OEC.
七、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，DE交BC于点F，∠ADE的平分线交AC于点G，连结BG、FG，求证：∠1＝∠2．
答案：∵矩形ABCD，DE⊥AC，∴△ACD∽△DFC，∴，∵AD＝BC，∴CD2＝CF·BC，又易证：CD＝GC，∴GC2＝CF·BC，∴△CFG∽△CGB，∴∠1＝∠2．
八、如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：BC2＝2AC·CD．
答案：作AH⊥BC于点H，∴HC＝BH＝BC，易证：△BCD∽△ACH，∴BC·CH＝AC·CD，∴BC2＝AC·CD，BC2＝2AC·CD
九、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上任一点，CD⊥AB于点D，E为AB上一点，AC＝AE，F为CD上一点，且DE＝DF，延长AF交⊙O于点P，求∠APE的度数．
答案：连接EF，PC，易证：△ACF∽△APC，∴AC2＝AF·AP，又∵AC＝AE，∴AE2＝AF·AP，∠FAE＝∠PAB，∴△EAF∽△PAE，∴∠APE＝∠AEF，∵ED＝DF，∠EDF＝90°，∴∠DEF＝45°，∴∠APE＝45°.
十、如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．
（1）求证：BA2－BD2＝BD·CD．
（2）求证：＝；
（3）若∠CAD＝90°, AD＝3，AC＝4，求AB的长．
（4）若∠CAD＝90°, AC＝2AD，BD＝4，求△ACD的面积．
答案：(1)∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠ABD，∴△ABD∽△CBA，∴AB2＝BD·BC，AB2－BD2＝BD(BC－BD)＝BD·CD.
(2)由(1)知△ABD∽△CBA，∴，∴，，∴＝
(3)∵AD＝3，AC＝4，，，∴，，∴BD＝AB，BC＝AB，∴BC－BD＝AB，由勾股定理得CD＝5，即5＝AB，解得：AB＝.
(4)不妨设AD＝x，则AC＝2x，由△ABD∽△CBA，∴，∴，∴AB＝8，BC＝16，CD＝12，又勾股定理得AD2＋AC2＝DC2，即5x2＝144，解得：x2＝.△ACD的面积为×x×2x＝x2＝.
补充专题四： 认识基本图——“射影定理图”
一、如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD⊥AB，求证：① ；②．
答案：①∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△BCD∽△CAD，∴，∴
②面积法知：AC·BC＝AB·CD，由勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2，∴
二、如图，E为正方形ABCD边CD的中点，F为BC上一点，BF＝3CF，EG⊥AF于点G，求证： ．
答案：连接AE，EF，∵点E为CD中点，∴DE＝EC，∵BF＝3CF，∴，∠D＝∠C＝90°，∴△ADE∽△ECF，∴∠AED＝∠EFC，又∵∠EFC＋∠FEC＝90°，∴∠AED＋∠FEC＝90°，∴∠AEF＝90°，又∵EG⊥AF于点G，∴△AEG∽△EFG，∴.
三、如图，矩形ABCD，E 为AD 的中点，CE⊥BD 于点F，FG∥BC 交BE 于点G．
（1）求证：；
（2）求的值．
提示：∵CF2＝DF.FB；又∵BG＝CF；∴BG2＝DF.FB
四、如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，D 为BC 的中点，CE⊥AD 于点E，求证：∠DBE＝∠DAB．
提示：∵CD2＝DE.DA；∴BD2＝DE.DA；∴△DBE∽DAB；∴∠DBE＝∠DAB
五、如图，Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，P 为DA 延长线上的任一点，过点B 作BE⊥PC 于点E，BE交直线 AD于点Q，求证： ．
提示：DA2＝BD.CD；又∵△BDQ∽△PDC;∴;∴BD.DC＝PD.DQ；∴
六、如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，P 为边AD 延长线上的任一点，过点C 作CE⊥BP 于
点E，连结AE，求证： ．
提示：易证A，B，E，C四点共圆，∴∠ACB＝∠AEB，又∵∠BAP＝ACB；
∴∠BAP＝∠AEB；∴△ABP∽△EBA;∴
七、如图，直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90°，E 为AB 的中点，DE⊥CE．
求证：（1） ；（2） ．
提示：（1）△ADE∽△BEC，∴AE.BE＝AD.BC；，∴
（2）∵△ADE∽△BEC；，，∴
八、如图，在△ABC 中，现给出四个论断：①∠BAC＝90°；②AD⊥BC；③AF⊥CE；④∠DFC＝∠ABC．
若以其中三个作为条件，第四个作为结论可以构成四个命题：
Ⅰ：①＋②＋③④；Ⅱ：①＋②＋④③；Ⅲ：①＋③＋④②；Ⅳ：②＋③＋④①．
请分别说明这四个命题是否正确？
提示：Ⅰ：AC2＝CF.CE＝CD.BC;∴，；△DCF∽△ECB；∴∠DFC＝∠ABC．
Ⅱ：∵∠DFC＝∠ABC;∴△DCF∽△ECB;∴，∴AC2＝CF.CE＝CD.BC；∴△ACF∽△EAC;
∠FAC＝∠AEC，∴AF⊥CE
Ⅲ：∵∠DFC＝∠ABC;∴△DCF∽△ECB;∴，∴AC2＝CF.CE＝CD.BC;∴△ACD∽△BCA;
∠ABC＝∠DAC，∴AD⊥BC
Ⅳ：同理可得。
九、如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D，过点D 任作直线l ，M、N 为直线l 上的两点，且BM＝BN＝BA，连结MC、NC，求证：∠MCD＝∠NCD．
提示：△ABD∽△CBA；∴AB2＝BD.BC；∵BM＝BN＝BA∴AB2＝BM2＝BN2＝BD.BC
∴△MBD∽△CBM；△NBD∽△CBN；∴∠MCD＝∠NMB；∠NCD＝∠BNM；
又∵∠NMB＝∠BNM；∴∠MCD＝∠NCD．
十、如图，△ABC 中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．
（1）求证：；
提示：AD2＝AE.AB；AD2＝AF.AC；∴AE.AB＝AF.AC
（2）如图，延长EF 交直线BC 于点H．
①求证：；
②若BD＝5，CD＝2，请直接写出CH 的长度为__________________．
提示：①A，E，D，F四点共圆；∠AFE＝∠ADE＝∠B，∴∠B＝∠AFE＝∠HFC；
∴△HFC∽HBE；∴
②同理△HFD∽△HDE；∴DH2＝FH.EH；设CH＝x,∴（x＋2）2＝x.（x＋7）；
11、将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠：
第①次：翻折纸片，使A 与DC 边的中点M 重合，折痕为EF；
第②次：翻折纸片，使C 落在ME 上，点C 的对应点为H，折痕为MG；
第③次：翻折纸片，使B 落在ME 上，点B 的对应点恰与H 重合，折痕为GE．
根据上述过程，求长方形纸片的长宽之比．
提示：设BE＝HE＝x，MH＝MC＝y；∴由射影定理知：HG＝CG＝BG＝；AE＝ME＝x＋y；∴AB＝2x＋y；
∴DM＝2x＝CM＝y；∴y＝2x；又∵BC＝2HG＝2；∴。
补充专题五： “圆的证明与计算一”
课前预备
一、射影定理图及相关结论、计算
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
相关结论：
（1）△ACD∽△ABCAC2＝AD AB； （2）△BCD∽△BACBC2＝BD BA；
（3）△DAC∽△DCBDC2＝DA DB；（4）由（1）、（2）可得：＝．
提示：略
相关计算：
1．若AC＝3，BC＝4，求AB、CD、AD、BD；
2．若AD＝4，BD＝6，求AC、BC、CD；
3．若AC＝15，BD＝16，求AD、CD、BC、AB；
答案：1. AB＝5;CD＝;AD＝；BD＝;
2. AC＝２、BC＝２、CD＝；
3. AD＝9;CD＝12;BC＝20;AB＝25。
4．如图，若＝，设AD＝x，则CD＝ ，BD＝ ，AC＝ ，BC＝ ，AB＝ ．
答案：2x 4x x 2x 5x
二、切线、割线与子母三角形相似
如图，PA为⊙O的切线，求证：△PAB∽△PCA（PA2＝PB PC）
答案：∵PA为⊙O的切线，∴∠PAC＝∠PBA，又∵∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA
∴，∴PA2＝PB PC
三、切线长定理
如图，PA、PB为⊙O的两条切线，连接AB交OP于点H．则有：（1）PA＝PB；（2）AB⊥OP；（3）AH＝BH；
（4）OP平分∠APB；（5）射影定理图：Rt△OAP，AH⊥OP．
四、平行A形相似及比例转化
如图，DE//BC，则有：
（1）＝ ，＝ ，＝ ；
（2）△ADE∽△ABC，则有：＝ ＝ ．
答案：（1） （2）
【知识要点】
一、基本图形一：双切线模型（切线长定理）
如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，以BC上一点O为圆心OC为半径作⊙O切斜边AB于点D．
基本构造（辅助线）：连结AO、DE、CD．
转化核心：射影定理图（Rt△ACO，CF⊥AO）
转化技巧：（1）平行A形相似比例转化（中位线OF＝DE）；
（2）△BDE∽△BCD（子母三角形相似）＝tan∠FCO．
【新知讲授】
例一、（2011年武汉市中考）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OC＝1，BC＝2，求S△BPE．
答案：（1）证明：连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴∠PAO＝90°，
∵OA＝OB，OP⊥AB于C，∴BC＝CA，PB＝PA，∴△PAO≌△PBO，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴PB为⊙O的切线；
（2）解：连接AD，∵BD为直径，∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°
∴AD∥OP，∴△ADE∽△POE，∴，由AD∥OC得AD＝2OC
∵OC＝1，∴AD＝2，由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4，OP＝5，
∴．可设EA＝x，EP＝5，则PA＝3，∵PA＝PB，
∴PB＝3，∴sin∠E．
例二、（2010年武汉市中考）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点D．若⊙O的半径为3，PC＝4，求弦CD的长．
答案：（1）证明：连接OC，作OE⊥PB于E点．∵⊙O与PA相切于点C，∴OC⊥PA．
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OE⊥PB，∴OE＝OC．∴直线PB与⊙O相切；
（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．∵OC＝3，PC＝4，∴PO＝5，PD＝8．
∵⊙O与PA相切于点C，∴∠PCF＝∠D．又∵∠CPF＝∠DPC，∴△PCF∽△PDC，
∴CF：CD＝PC：PD＝4：8＝1：2．∵DF是直径，∴∠DCF＝90°．
设CF＝x，则DC＝2x．则x2＋（2x）2＝62，解得x．则DC＝2x．
例三、（武汉市2012年五月调考）如图，AB为⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，E为⊙O的半圆弧上一动点（不与A、B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB＝CE．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若＝，求的值．
答案：（1）证明：连接OE．∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB．∵BC＝EC，
∴∠CBE＝∠CEB，∴∠OBC＝∠OEC．∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC＝∠OBC＝90°；
∵OE为半径，∴CD为⊙O的切线；
（2）延长BE交AM于点G，连接AE，过点D作DT⊥BC于点T．
∵DA、DC、CB为⊙O的切线，∴DA＝DE，CB＝CE．在Rt△ABC中，
∵＝，令AB＝2x，则BCx．∴CE＝BCx；令AD＝DE＝a，
则在Rt△DTC中，CT＝CB﹣ADx﹣a，DC＝CE＋DEx＋a，DT＝AB＝2x，
∵DT2＝DC2﹣CT2，∴（2x）2＝（x＋a）2﹣（x﹣a）2．解之得，xa；
∵AB为直径，∴∠AEG＝90°．∵AD＝ED，∴AD＝ED＝DG＝a．∴AG＝2a；
∵AD、BC为⊙O的切线，AB为直径，∴AG∥BC． 所以△AHG∽△CHB．
∴．∴＝1．
例四、（2016年黑龙江绥化市）如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，BD＝3，求弦AE的长．
答案：（1）证明：连接OE，∵CD与圆O相切，∴OE⊥CD，∴∠CEO＝90°，
∵BE∥OC，∴∠AOC＝∠OBE，∠COE＝∠OEB，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠AOC＝∠COE，在△AOC和△EOC中，，
∴△AOC≌△EOC（SAS），∴∠CAO＝∠CEO＝90°，则AC与圆O相切；
（2）在Rt△DEO中，BD＝OB，∴BEOD＝OB＝4，∵OB＝OE，
∴△BOE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，∵AB为圆O的直径，∴∠AEB＝90°，
∴AE＝BE tan60°＝4．
例五、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，过CD两点作⊙O，交AC于点E，OB∥DE．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）设OB交⊙O于点F，延长EF交BC于点G，若BO＝3DE，求的值．
答案：（1）连接OD，∵OB∥DE，∴∠BOC＝∠DEO，∠BOD＝∠ODE，又∵OD＝OE
∴∠ODE＝∠OED，∴∠COB＝∠BOD，易得△COB≌△BDO，∴∠ODB＝∠OCB＝90°
∴AD是⊙的切线
（2）如图：
由BO＝3DE得，AO＝3AE，
例六、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是BC上一点，以点O圆心，OC为半径的圆交BC于点D，恰好与AB相切于点E．
（1）求证：AO是∠BAC的平分线；
（2）若BD＝1，BE＝3，求AC的长．
解：（1）∵∠OCA＝90°，OC为⊙O的半径，
∴AC为⊙O的切线，又AB与⊙O相切，E为切点，
∴AE＝AC，AO平分∠BAC；
（2）∵BE为⊙O的切线，BC为⊙O的割线，
∴BE2＝BD BC＝BD（BD＋DC），又BD＝1cm，BE＝3cm，
∴32＝1＋DC，即DC＝8cm，
∴OE＝OD＝4cm，
连接OE，由BE为⊙O的切线，得到OE⊥EB，
在直角三角形BEO中，OE＝4cm，OB＝BD＋OD＝1＋4＝5cm，
∴sinB＝＝，BE＝＝3cm，
在直角三角形ABC中，设AE＝AC＝xcm，则AB＝AE＋EB＝（x＋3）cm，
BC＝BD＋DC＝9cm，
根据勾股定理得：AB2＝AC2＋BC2，即（x＋3）2＝x2＋92，
解得：x＝12，
则AC＝12cm．
例七、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交斜边AB于点D，E为BC上一点，BE＝DE，连结OB交DE于点F．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，BC＝8，求的值．
答案:由题意可得，(1)连结OD，CD，∵AC为直径，
∴∠CDB＝90°，即△CDB为直角三角形，
而DE＝BE，∴DE＝BE＝EC，∵∠COD＝2∠A，∠CED＝2∠ABC，∴∠COD＋∠CED＝2∠A＋2∠ABC＝180°，，∵∠ACB＝90°∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线；
(2)连OE，∵OC＝3，CE＝4，AC＝6，BC＝8∴OE＝5，AB＝10，由射影定理可得∴DB＝6.4∵OE为△CBA的中位线，
∴OE∥AB，∴．
【题型训练】
1．如图1，以△ABC的边AC为直径作⊙O交AB于点D，过D作⊙O的切线交BC于点E，且E为BC的中点，AE交OD于M．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若，求的值.
答案：（1）连CD，∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CDB＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝CE，∴∠CDE＝∠DCE，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠CDE＋∠ODC ＝∠DCE＋∠OCD，∴∠ODE＝∠OCE，∵过D作⊙O的切线交BC于点E，∴∠ODE＝90°，∴∠ODE＝∠OCE＝90°，∴BC为⊙O的切线；
（2）连OE，设AC＝2a，则BC＝3a，AB＝a，∵OE＝AB＝a，由△ACD∽△ABC，∴AC2＝ADAB，
∴AD＝a，∴.
2．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90 ，点D是以AB为直径的⊙O上一点，直线CD与AB的延长线交于点E，且CD＝AB．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接AD交BC于F点，求的值．
答案：（1）连OD，∵OD＝OA，CD＝AB．∴∠ODC＝∠OAC＝90°，∴CD是⊙O的切线；
（2）连BD，CO，设AO＝x，则AC＝2x，∴CO＝x，∴HO＝x，CH＝x，∴BD＝2HO＝x，∴，∴，∴.
3．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）连接OC交DE于点F，若⊙O的半径为6，，求△ABC的面积．
答案：（1）连BD，∵DE＝BE，OD＝OB，∴易证∠ODE＝∠OBE＝90°，∴直线DE是⊙O的切线；
（2）连OE，∴OE∥AC，OE＝AC，∴，∴，∵△ABD∽△ACB，∴AB2＝ADAC，设AD＝3x，∴36＝24x2，∴x＝，∴AC＝4，由射影相似BD2＝ADCD，∴BD＝3，∴S△ABC＝6.
4．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，连接AO、BO、AB，延长BO与⊙O交于点C，与切线PA交于点Q．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为12，OQ＝15，求AB的长．
答案：（1）∵PA＝PB，OA＝OB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴PB是⊙O的切线；
（2）设PB＝PA＝x，∵AQ＝＝9，∴tan∠Q＝，又QB＝15＋12＝27，∴PB＝36，∴PO＝12，∴AB＝2××3＝.
5．如图，AB为⊙O的直径，BC⊥AB，过A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CO并延长交⊙O于E、F两点，连接DE．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若AD＝，CD＝4，求弦DE的长.
答案：（1）连OD，证△DOC≌△BOC，∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴CD为⊙O的切线；
（2）连BD，交EC于H，OH＝AD＝，又射影相似得BC2＝CHCO，∴16＝CH（CH＋OH），∴CH＝，∴DH＝，DO＝EO＝3，∴EF＝3＋＝，∴DE＝＝.
6．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝8，BE＝6，求△ABD的面积.
答案：（1）连OD，∵OD＝OB，∴∠CBD＝∠ODB，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB，∵∠ADB＝90°，∴∠CDA＋∠ADO＝∠ODB＋∠ADO＝90°，∴CD是⊙O的切线；
（2）∵BC＝8，BE＝6，∴CE＝10，∴CD＝10－6＝4，又△CDA∽△CBD，∴CD2＝CACB，∴CA＝2，∴AB＝6，,∴AD＝，BD＝，∴S△ABD＝.
7．如图，ABC中，∠ACB＝90 ，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，AE切⊙O于点E，连接CE分别交AO、AB于D、F两点，连接BE．
（1）求证：△ACO∽△CEB；
（2）若BF＝2，求AE的长.
答案：（1）AD⊥CE，∴易证∠CAO＝∠BCE，∠ACO＝∠CEB＝90°，∴△ACO∽△CEB；
（2）设CO＝x，AC＝2x，∴DO＝x，AD＝x，∴BE＝x，由射影相似得CD2＝ADDO，∴CD＝DE＝x，∴，∵BF＝2，∴AF＝4，又DF＝DE＝x，AF2＝DF2＋AD2，∴x＝，∴AE＝DE＝3.
补充专题六： “圆的证明与计算二”
【知识要点】
二、基本图形二：过直径的端点作圆的切线的垂线（圆心在斜边上且与直角边相切）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90 ，以斜边AB上的一点O为圆心，OA为半径作⊙O，且⊙O与直角边BC相切于点D，分别交AB、AC于E、F两点．
基本构造：矩形转化＋核以勾股
辅助线（构造矩形）：连接OD、EF交于点H．
基本结论：
（1）矩形CDHF
（2）EH∥DB平行A型相似（△OEH∽△OBD）；
（3）EF∥BC平行A型相似（△OEH∽ABC）；
图中核心点构成的所有Rt△都相似，最关键的核心或△OEH∽△OBD，△OEH∽△ABC；
基本思维：（1）构造矩形，转化到核心Rt△OHE，进行勾股定理计算；
（2）注意EH搭桥进行双勾股：；
（3）注意：EH∥BD的平行A型，EF∥BC的平行A型．
【新知讲授】
例一、（2016武汉四调）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接CE，若CE＝6，AC＝8，求
（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，又∵CD⊥AD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠ACO，
∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB；
（2）解：
∵∠CAD＝∠CAO ∴CE＝BC＝6，∵AB为直径 ∴∠ACB＝90°，∴
在Rt△ACB中，AB＝10,AC＝8，∴BC＝6，∵△ACB∽△ADC，∴AC:AB＝8:10＝4:5
∵S△ABC＝24，∴S△ADC＝15.36
例二、（2016年武汉中考）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分DAB；
（2）连接BE交AC于点F，若AD＝4，AC＝5，求的值
（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，又∵CD⊥AD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠ACO，
∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB；
（2）解：连接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H．
∵AB是直径，∴∠AEB＝∠DEH＝∠D＝∠DCH＝90°，∴四边形DEHC是矩形，∴∠EHC＝90°即OC⊥EB，
∴DC＝EH＝HB，DE＝HC，∵cos∠CAD＝＝，设AD＝4a，AC＝5a，则DC＝EH＝HB＝3a，
∵cos∠CAB＝＝∴AB＝，BC＝，在RT△CHB中，，
∴DE＝CH＝，∵EF∥CD，∴
例三、（2008武汉中考）如图，AB是O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
（1）求证：DE是⊙O切线；
（2）若，求的值．
解：（1）证明：连接OD，得∠ODA＝∠OAD＝∠DAC，∴OD∥AE，又AE⊥DE
∴DE⊥OD，又OD为半径，∴DE是的⊙O切线
（2）过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH＝∠CAB，cos∠DOH＝cos∠CAB＝，设OD＝5x，
则AB＝10x，OH＝3x，DH＝4x，∴AH＝8x，AD2＝80x2，由△AED∽△ADB，
得AD2＝AE AB＝AE 10x，∴AE＝8x，又由△AEF∽△DOF，得AF：DF＝AE：OD＝，∴
例四、（2016辽宁大连市）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AB＝6，AD＝，求EF的长．
（1）证明：连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠EAD．∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD．
∴∠ODA＝∠EAD．∴OD∥AE．∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，∴EF与⊙O相切．
（2）连接BD，作DG⊥AB于G，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝6，AD＝∴，∵，
∴DG＝，∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB，∴DE＝DG＝，∴
∵OD∥AE，∴△ODF∽△AEF，∴，即
∴，∴
例五（2016年湖北鄂州市）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点E，交 AB于点F，交BC于点G．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）当BC＝8，AC＝12时，求线段BG的长．
解：（1）证明：连接OM．∵AC＝AB，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，CE＝BE＝BC＝4，∵OB＝OM，
∴∠OBM＝∠OMB，∵BM平分∠ABC，∴∠OBM＝∠CBM，∴∠OMB＝∠CBM，∴OM∥BC，
又∵AE⊥BC，∴AE⊥OM，∴AE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，∵OM∥BE，∴△OMA∽△BEA∴，∵AC＝AB＝12，
即，解得R＝3，∴⊙O的半径为3，∵OM∥BE，∴AM：EM＝AO：BO，
∵BE＝4，AB＝12，∴，即，解得：EM＝
由（2）可知圆的半径为3，
过点O作OH⊥BG于点H，则BG＝2BH，∵∠OME＝∠MEH＝∠EHO＝90°，
∴四边形OMEH是矩形，∴HE＝OM＝3，∴BH＝1，∴BG＝2BH＝2．故答案为：3，2．
例六、(2016年广西南宁市)如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC＝CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若，AE＝4，求△BDE的面积．
证明：如图1，连接OC，AC，CG，
∵AC＝CG，∴，∴∠ABC＝∠CBG，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OCB＝∠CBG，
∴OC∥BG，∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；
例七、(2016年湖北咸宁市)如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）点E为的中点，若AD＝，AC＝8，求CE的长．
（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＝∠DAC，即AC平分∠DAB；
（2）连接BC，OE，过点A作AF⊥EC于点F，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ADC，∵∠DAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴，即，
解得：AB＝10，∴，∵点E为的中点，∴∠AOE＝90°，
∴OE＝OA＝AB＝5，∴AE＝ ＝
∵∠AEF＝∠B（同弧所对圆周角相等），∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△ACB∽△AFE，
∴，∴∴AF＝，EF＝，
∵∠ACF＝∠AOE＝45°，∴△ACF是等腰直角三角形，∴CF＝AF＝，∴CE＝CF＋EF＝．
题型练习：
1．（2016年湖北十堰市）如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E，AD交⊙O于点F．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若DF＝3，BE＝5，求DE的长；
（3）如图2，连接OD交AC于点G，若，求的值．
(1)证明：连接OC，∵CD为切线，∴∠OCE＝90°，又∵AD⊥ED，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠OCE，
∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠OCA，又∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠BAC，∴AC平分∠DAB
2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F两点．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EF＝8，EC＝6，求⊙O的半径．
答案：
(1)连接OD交AB于点G. ∵D是的中点，OD为半径，∴AG＝ BG.
∵AO＝OC，∴OG是△ABC的中位线.∴OG∥BC，即OD∥CE.
又∵CE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线.
(2)在Rt△CEF中，CE＝6，EF＝8，∴CF＝10.
设半径OC＝OD＝r，则OF＝10－r，∵OD∥CE，∴△FOD∽△FCE，
∴＝，∴＝，解得r＝.即⊙O的半径为.
3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
（1）求证：DC＝BC；
（2）若AB＝5，AC＝4，求AD的长．
答案：
(1)连接OC. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°.
∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠OCE＝90°，∴OC∥AE.∴∠OCA＝∠CAD.
∴∠CAD＝∠BAC.∴＝，∴DC＝BC.
(2)在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，∴CD＝3.
易证△ACE∽△ABC，∴＝＝，∴＝＝，∴EC＝2.4，AE ＝3.2.
在Rt△CDE中，DE＝＝1.8，AD＝AE－DE＝1.4.
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB上一点O为圆心OB为半径作⊙O，⊙O切AC于点E交AB于点D，BC交⊙O于点F．
（1）求证：△BCE∽△BED；
（2）若CE＝3，AE＝5，求△ADE的面积；
（3）如图2，连结AF交BE于点G，若CE＝3，AE＝5，求的值．
答案：
(1)连接OE，则OE⊥AC，∴OE∥BC，∴∠CBE＝∠OEB.
∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠CBE＝∠OBE，又∠C＝∠BED＝90°，∴△BCE∽△BED；
(2)∵OE∥BC，∴＝＝，
∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，∴AE2＝AD·AB，
设OB＝OE＝OD＝3a，则OA＝5a，AD＝2a，∴52＝2a·8a，解得a＝，∴AD＝，OE＝.
作EH⊥AB于点H，则EH＝3，∴S△ADE＝·AD·EH＝.
(3)连OE、DF交于点M.由(2)得，AB＝10，则BC＝6，DF＝6，BF＝4.5，OM＝，EM＝.
∵OD∥AC，∴△EMG∽△BFG，∴＝＝.
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于E、F两点，若AC＝6，AB＝10，连接BE、AD交于点G，求的值．
答案：
在Rt△ABC中，∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8.
连接OD、EF交于点M，则△OBD∽△ABC，∴＝，设OA＝OD＝x，则＝，解得x＝，∴DB＝5，CD＝3，EF＝6，AE＝4.5，OM＝，DM＝.
∵OD∥AC，∴△DMG∽△AEG，∴＝＝.
6．如图，P为⊙O的直径BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥直径AB于点D，E为上一点，且，延长BE交PC于点F．
（1）求证：△BCD≌ΔBCF；
（2）若AD＝4，CD＝8，求 S△BCE．
答案：
(1)连接OC，则OC⊥PF，∵，∴∠ABC＝∠EBC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠ECB，∴OC∥BC，∴∠F＝90°，又∵BC＝BC，∴△BCD≌ΔBCF；
(2)连接AC，则△ACD∽△CBD，∴CD2＝AD·BD，∴DB＝16，∴BF＝16.易证△ACD≌△ECF，∴CF＝CD＝8，EF＝AD＝4，∴BE＝12，∴S△BCE＝ ·BE·CF＝48.
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O是AB上一点，⊙O过A、D两点， 分别交AC、AB于E、F两点，连接EF交AD于点P．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若，求的值．
答案：
(1)连接OD，易证OD∥AC，∴OD⊥BC，∴BC与⊙O相切；
(2)过点F作AC的平行线交AD的延长线于点M，证明角平分线定理，可得＝＝.
第六讲 相似的综合运用（1）
例一、如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．
（1）若BK＝3KC，求的值；
（2）连接BE，若BE平分∠ABC．
①当AE＝AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系 请写出你的结论并予以证明；
②再探究：当AE＝AD（n＞2）时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系 请写出你的结论并予以证明．
答案：
(1) ；
(2)延长DC、BE交于点M，则△ABE≌△DME，∴AB＝DM.
∵∠ABM＝∠CBM＝∠M，∴CM＝CB，∴AB＝BC＋CD.
(3) 延长DC、BE交于点M，则△ABE∽△DME，∴＝.
∵∠ABM＝∠CBM＝∠M，∴CM＝CB，∴＝，∴AB＝(BC＋CD).
例二、在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC：AB＝1：2，EF⊥BC，求证：EF＝CD．
（2）如图2，AC：AB＝1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．
答案：
(1)易证△ACD≌△BEF，∴EF＝CD；
(2)如图，作EM⊥AB角AD的延长线于点M，则△GEM∽△FEB，∴＝.
在Rt△AEM中，ME＝AE，∵AE＝BE，ME＝BE，∴＝＝.
例三、已知：在等腰△ABC中，AB＝AC，AD∥BC，CD⊥AC，连接BD交AC于点P．
（1）如图1，若AB＝5，BC＝6，求；
（2）如图2，过点C作CH⊥AB于点H，求证：CE＝HE．
（3）①若，则的值为 ．
②若，则的值为 ．
答案：
(1)如图，作AE⊥BC于点E，则BE＝CE＝3，AE＝4.
∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠CAD，∴cos∠ACE＝cos∠CAD，
∴＝，即＝，∴AD＝，∴ ＝＝.
(2)如图，过H作HM∥AD交BD于点M，∴△BHM∽△BAD，
∴＝，∵AB＝AC，∴＝.
易证△BCH∽△ADC，＝，∴HM＝BC，∴△BCE≌△MEH，∴CE＝EH；
(3)①；②.
例四、如图1，△ABC、△DCE是两个全等的等腰三角形，B、C、E在同一直线上，连BD交AC于点M．
(1)求证：BM＝DM；
(2)若BE＝BD，求的值；
(3)如图2，已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，B、C、E、G在同一直线上，连接BF，分别交AC、DC、DE与点P、Q、R．
①求证；PQ＝RQ；
②若BF＝BG，则的值为．(请直接写出你的答案，不需要过程)
答案：
⑴证△ABM≌△CDM；
⑵由⑴得AM＝CM，∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠E，∴∠BMC＝∠BDE＝∠E＝∠ABC，∴△ABC∽△BMC，∴BC2＝CMCA，BC2＝CM2CM，∴CM:BC＝1:，∴AB:BC＝2:＝.
⑶①连DF，证△BCQ≌△FDQ，得DQ＝CQ，再证△DQR≌△CQP；
②∵PC∥GF，∴PC:FG＝BC:BG，∴PC＝FG＝AB，证△BCP∽△ACB，∴BC2＝CPCA，BC2＝CP3CP，∴CP：BC＝1：，∴AB：BC＝3CP：BC＝3：＝.
例五、如图，正方形ABCD的边长为a，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN＝45°，连接MC、NC、MN．
(1)①求证：△ABM∽△NDA；
②直接写出你的答案：BM·DN＝(用含a的代数式表示)；
(2)求∠MCN的度数；
(3)猜想线段BM、DN和线段MN之间有何确定的数量关系 写出你的结论并证明．
答案：
(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵BM，DN分别平分正方形的两个外角，∴∠CBM＝∠CDN＝45°，
∴∠ABM＝∠ADN＝135°，∵∠MAN＝45°，∴∠BMA＝∠NAD，
∴△ABM∽△NDA，∴BM:AD＝AB：ND，∴BM DN＝a2．
(2)由(1)△ABM∽△NDA可得BM：DA＝AB：ND．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，DA＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°．
∴BM：BC＝DC：ND．
∵BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，∴∠CBM＝∠NDC＝45°．
∴△BCM∽△DNC．∴∠BCM＝∠DNC．
∴∠MCN＝360°－∠BCD－∠BCM－∠DCN＝270°－(∠DNC＋∠DCN)＝270°－(180°－∠CDN)＝135°．
(3)线段BM，DN和MN之间的等量关系是BM2＋DN2＝MN2．
证明：如图，将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF，则△ABF≌△ADN．
∴∠1＝∠3，AF＝AN，BF＝DN，∠AFB＝∠AND．
∴∠MAF＝∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝∠BAD－∠MAN＝45°．∴∠MAF＝∠MAN．
又∵AM＝AM，∴△AMF≌△AMN．∴MF＝MN．
可得∠MBF＝(∠AFB＋∠1)＋45°＝(∠AND＋∠3)＋45°＝90°．
∴在Rt△BMF中，BM2＋BF2＝FM2．∴BM2＋DN2＝MN2．
例六、如图1，在矩形ABCD中，E为CD的中点，过点E作FE⊥BE交AD于点F．
(1)若CD＝4，BC＝3，求AF的长；
(2)求证：EF平分∠DFB；
(3)如图2，在BC上截取CG，使AF＝2CG，求证：BF＝2BG．
(4)如图3，G为BC边上一点，若四边形BFEG为等腰梯形，求的值；
(5)如图4，过点E作EG∥BF交BC于点G，若，求的值．
答案：
⑴证△BCE∽△EDF，∴BC：DE＝CE：DF，∴3:2＝2:DF，∴DF＝，∴AF＝.
⑵设BC＝a，CE＝DE＝b，由勾股定理得DF＝，EF＝，BE＝，∴DE：DF＝BE:EF＝a:b，∴△DEF∽△EBF，∴∠DFE＝∠BFE.
⑶设BC＝a，AB＝2CE＝2DE＝2b，AF＝2CG，∴△ABF∽△CEG，∴BF＝2EG，EG∥BF；延长BC与FE的延长线交于点H，得△DEF≌△CEH，∴BF＝BH，E为FH的中点，由EG∥BF，∴BH＝2BG，∴BF＝2BG.
⑷△ABF∽△CEG，∴CG：AF＝1：2，∴BF＝2BG，过E作EH∥BC交BF于H，∴BG＝EH，∴BH＝HF＝EF，∴∠EBF＝30°＝∠DEF，设BH＝HF＝EF＝BG＝x，∴DF＝x，DE＝EC＝x，∴CD＝x，又∵BG＝EG，∴在Rt△CEG，CG＝x，∴AD:AB＝x:x＝:2.
⑸∵EG∥BF，∴△ABF∽△CEG，∴AF＝2CG，又∵BF＝2BG，设BG＝3a，CG＝a，∴BF＝6a，AF＝2a，∴AB＝4a，∴AD：AB＝4a:4a＝1:.
第七讲相似的综合运用(2)
例一、阅读材料：
(1)操作发现：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF＝DF，你同意吗？说明理由．
(2)问题解决：①保持(1)中的条件不变，若AB＝4，BC＝6，则FG＝______，＝______；
②保持(1)中的条件不变，若DC＝nDF，则的值为________；
(3)类比探究：保持(1)中的条件不变，延长EG交BC于点H，若BH＝2CH，求的值．
答案：
(1)连接EF，
根据翻折不变性得∠EGF＝∠D＝90°，EG＝AE＝ED，EF＝EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF＝DF；
(2)①连EF，易得△EFG≌△EFD，∴DF＝GF，在Rt△BCF中，设DF＝GF＝x，∴BF2＝BC2＋CF2，∴(4＋x)2＝62＋(4－x)2，x＝.
②由(1)知，GF＝DF，设DF＝x，BC＝y，则有GF＝x，AD＝y
∵DC＝nDF，∴BF＝BG＋GF＝(n＋1)x
在Rt△BCF中，BC2＋CF2＝BF2，即y2＋[(n－1)x]2＝[(n＋1)x]2，
∴y＝2x，∴AD:AB＝y:nx＝2:n.
(3)延长EH，DC相交于M，∵BH＝2CH，AE＝DE，设BH＝2CH＝4a，AE＝DE＝3a，AB＝CD＝BG＝b，∵DE∥CH，∴△MCH∽△MDE，∴CH：DE＝MC：MD，∴2a:3a＝MC：MD，MC：MD＝2:3，∴MC＝2b，易得△BGH∽△MCH，∴BG：MC＝BH：MH，∴b:2b＝4a:，∴15a2＝b2，b＝a，∴AD:AB＝6a:b＝6a:a＝6:.
例二、已知点A(3，4)，点B为直线x＝－1上的动点，设B(－1，y)．
(1)如图1，若∠AOB＝90°，求y的值；
(2)如图2，若有AO＝AB，则y的值为____________；
(3)如图3，若在x轴上有一点C(x，0)且－1＜x＜3，BC⊥AC，垂足为点C，求y的最大值．
答案：
(1)过A作AC⊥x轴，直线x＝－1与x轴的交点为D，则△AOC∽△OBD，∴AC：DO＝CO：BD，∴y＝0.5;
(2)以点A为圆心，以A