17.1.3 勾股定理的几何应用 课件（共32页）

(共32张PPT)
17.1 勾股定理
人教版八下数学
第3课时 勾股定理的几何应用
精品同步教学课件
课件栏目及使用说明：本课件适用于常规同步教学课堂，面向基础水平的学生使用。课件包括以下环节：
新知引入
典例分析
自主学习
随堂练习
拓展提高
课堂小结
备选习题
-1 0 1 2 3
问题1 你能在数轴上画出表示 的点吗？ 呢？
用同样的方法作 呢？
用勾股定理在数轴上表示数
1
问题引入
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理
数，你能在数轴 上画出表示 的点吗？
如果能画出长为 的线段，就能在数轴上画出表示
的点.容易知道，长为 的线段是两条直角边的长都
为1的直角三角形的斜边.长为 的线段能是直角边的长
为正整数的直角三角形的斜边吗？
问题引入
0
1
2
3
4
步骤：
l
A
B
C
1.在数轴上找到点A,使OA=3;
2.作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交
于C点，则点C即为表示 的点.
O
也可以使OA=2，AB=3，同样可以求出C点.
自主学习

自主学习
“数学海螺”
类似地，利用勾股定理可以作出长为 线段.
1
1
自主学习
例 1
如图1，已知线段AB的长为a，请作出长为 a
的段．(保留作图痕迹，不写作法)
利用 a＝ 可以作出．
如图2，先作出与已知线段AB垂直，
且与已知线段的端点A相交的直线l，
在直线l上以A为端点截取长为2a的线
段AC，连接BC，则线段BC即为所求．
如图2，BC就是所求作的线段．
图1
图2
导引：
解：
典例分析
总 结
这类问题要作的线段一般是直角三角形的斜
边，根据勾股定理由要作的线段确定两直角边的
长是解题的关键．
自主学习
1．
在数轴上做出表示 的点.
如图所示．作法：
(1)在数轴上找出表示4的点A，则OA＝4；
(2)过A作直线l垂直于OA；
(3)在直线l上取点B，使AB＝1；
(4)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴的交点C即为表示 的点．
解：
课堂练习
2．
如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于(　　)
A．－4和－3之间
B．3和4之间
C．－5和－4之间
D．4和5之间
A
课堂练习
勾股定在几何问题中的应用
2
例2
如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10. 求BC的长．
典例分析
思路：题中没有直角三角形，可以通过作高构建直角三角形；过点 A作AD⊥BC于D，图中会出现两个直角三角形——Rt△ACD和Rt△ABD，这两个直角三角形有一条公共边AD，借助这条公共边，可建立起直角三角形之间的联系．
典例分析
解：如图，过点A作AD⊥BC于D.
∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝ AC＝5.
在Rt△ACD中，
AD
在Rt△ABD中，
BD
∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.
典例分析
总 结
利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：
作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然
后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的
方法解决问题．
1．
如图，等边三角形的边长是6.求：
(1)高AD的长；
由题意可知，在Rt△ADB中，
AB＝6，BD＝ BC＝3，∠ADB＝90°.
由勾股定理，
得AD＝
解：
课堂练习
(2)这个三角形的面积.
S△ABC＝ BC·AD＝ ×6×3
＝
解：
课堂练习
勾股定理的几何应用
1．勾股定理与三角形三边平方关系的综合应用：
单一应用：先由三角形三边平方关系得出直角三角形后，
再求这个直角三角形的角度和面积：
综合应用：先用勾股定理求出三角形的边长，再由三角形
平方关系确定三角形的形状，进而解决其他问题；
逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和不等于
最大边长的平方，那么这个三角形就不是直角三角形.
2．应用勾股定理解题的方法：
(1)添线应用，即题中无直角三角形，可以通过作垂线，构
造直角三角形，应用勾股定理求解；
(2)借助方程应用，即题中虽有直角三角形，但已知线段的
长不完全是直角三角形的边长，可通过设未知数，构建
方程，解答计算问题；
(3)建模应用，即将实际问题建立直角三角形模型，通过勾
股定理解决实际问题．
1.在数轴上作出表示 的点．
解：∵
∴ 是以4，2为直角边长的直角三角形的斜边
长.在数轴上表示如图所示.
备选习题
在△ABC中，∠C=90°，AB=c．
(1) 如果∠A=30°，求BC，AC；
2.
解：(1) ∵AB=c，∠C=90°，∠A=30°，
∴
由勾股定理，得
备选习题
(2) 如果∠A=45°，求BC，AC．
(2) ∵AB=c，∠C=90°，∠A=45°，
∴ ∠B=45°.∴ AC=BC.
设AC=BC=x，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2=c2.
∴2x2=c2.∴x=
∴AC=BC=
备选习题
在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1，BC=2.8.求：
(1) △ABC的面积；
(2) 斜边AB；
3.
解：
(2) 由勾股定理，得
备选习题
(3) 高CD．
备选习题
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=2. 求斜边AB的长．
4.
解：在Rt△ABC中，∵∠A=30°，
由勾股定理，得AB2=BC2+AC2.
备选习题
有5个边长为1的正方形，排列形式如图. 请把它们分割后拼接成一个大正方形.
5.
解：因为5个边长为1的正方形的面积和是5，所以拼成的大正方形的边长应为 .所以原图的分割与拼接如图所示.
备选习题
如图，分别以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆．求证：所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和(图中阴影部分)等于Rt△ACD的面积．
6.
解：由题意得
备选习题
又根据勾股定理，得AC2＋CD2=AD2，
∴S半圆AEC＋S半圆CFD=S半圆ACD，
S阴影=S△ACD＋S半圆AEC＋S半圆CFD－S半圆ACD，
即S阴影=S△ACD．
备选习题
如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上.
求证：AE2＋AD2=2AC2.(提示：连接BD)
7
证明：如图，连接BD．
∵△ECD和△ACB都为等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°．
∴∠ECA=∠DCB．
备选习题
又∵CE=CD，CA=CB，
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD，∠CDB=∠E=45°．
又∠EDC=45°，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ADB中，AD2＋DB2=AB2，易得AD2＋AE2=AC2＋CB2，
即AE2＋AD2=2AC2．
备选习题
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