17.2.1 勾股定理的逆定理 课件（共29页）

(共29张PPT)
17.2 勾股定理的逆定理
人教版八下数学
第1课时 勾股定理的逆定理
精品同步教学课件
课件栏目及使用说明：本课件适用于常规同步教学课堂，面向基础水平的学生使用。课件包括以下环节：
新知引入
典例分析
自主学习
随堂练习
拓展提高
课堂小结
备选习题
B
C
A
问题1 勾股定理的内容是什么
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
b
c
a
问题2 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
c=5
c=6.5
c=8.5
勾股定理的逆定理
1
问题引入
你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
思考 以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？
自主学习
讲授新课
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
自主学习
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵32+42=52，∴满足.
a2+b2=c2
自主学习
问题3 据此你有什么猜想呢
由上面几个例子，我们猜想：
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
自主学习
△ABC≌ △ A′B′C′ 　　
？
∠C是直角　　　
△ABC是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
　已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
　求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
证一证:
自主学习
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
自主学习
勾股定理的逆定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形.
a2 + b2 = c2
互逆定理
自主学习
特别提醒
勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据，在判定时不能说“在直角三角形中”“直角边”“斜边”，因为还没有确定是直角三角形.
a2+b2=c2只是一种表现形式，满足a2=b2+c2或b2=a2+c2的也是直角三角形，只是这时a或b为斜边长.
自主学习
例1
判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a=15，b=8，c=17；
(2)a=13，b=14，c =15.
典例分析
分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直
角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最
大边长的平方.
解：(1)因为 152+82=225+64=289,172 = 289，所以152 +82 =172 ，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
(2)因为132+142=169+196=365，152=225，所以132+142≠
152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.
典例分析
【变式题1】若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，试判断△ABC的形状.
解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
典例分析
拓展提高： 若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.
即 (a－3) + (b－4) + (c－5) =0.
∴ a=3, b=4, c=5，
即 a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
典例分析
逆命题、逆定理
2
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这
两个命题称为互逆命题，如果把其中一个叫做
原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
自主学习
2．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那
么它也是一个定理，称其为原定理的逆定理，
这两个定理称为互逆定理．
特别警示
判断一个命题是真命题需要证明，而判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可.
自主学习
例 2
判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：
(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(2)如果a＞b，那么a2＞b2；
(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；
(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.
典例分析
解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有
一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．
(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a2＞b2，那么a
＞b.逆命题是假命题．
(3)原命题是真命题．逆命题为：如果两个数的和为
零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．
(4)原命题是假命题．逆命题为：如果a＞0，b＜0，
那么ab＜0.逆命题是真命题．
典例分析
总 结
写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，
然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆
命题．判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判
断一个命题是假命题只需要举出一个反例就可以了．
典例分析
1．
说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角
的平分线上.
课堂练习
(1)逆命题：内错角相等，两条直线平行．逆命题成立．
(2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这
两个实数相等．逆命题不成立．
(3)逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等．
逆命题不成立．
(4)逆命题：角的平分线上的点到角两边的距离相等．
逆命题成立．
解：
课堂练习
总 结
判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：
(1)利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角
形的内角和定理判断；
(2)利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，
一般通过计算得出三边的数量关系(即a2＋b2＝c2)来判
断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方．
自主学习
勾股定理的逆定理
逆定理
三角形两直角边分
别为a，b，斜边为
c，那么a2＋b2＝c2
定理
直角三角形！
1.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a=7，b=24，c=25； (2) a= ，b=4，c=5；
(3) a= ，b=1，c= ； (4) a=40，b=50，c=60.
解： (1) a2+b2=625=c2，是直角三角形.
(2) b2+c2=41=a2，是直角三角形.
(3) b2+c2= =a2，是直角三角形.
(4) 不是直角三角形.
备选习题
2.下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？
(1) 同旁内角互补，两直线平行；
(2) 如果两个角是直角，那么它们相等；
解： (1) 两直线平行，同旁内角互补.成立.
(2) 如果两个角相等，那么这两个角是直角.不成立.
备选习题
(3) 全等三角形的对应边相等；
(4) 如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
(3) 三条边对应相等的三角形全等.成立.
(4) 如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.
不成立.
备选习题
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