7.5多边形的内角和与外角和（基础练习卷）
一、选择题
1.已知一个多边形的内角和为，则这个多边形是
A. 九边形 B. 八边形 C. 七边形 D. 六边形
2.一个多边形从一个顶点最多能引出三条对角线，这个多边形是
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
3.若多边形的边数增加，则它的外角和
A. 增加 B. 增加 C. 不变 D. 无法确定
4.一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的倍，则这个正多边形的边数是
A. 八 B. 九 C. 十 D. 十二
5.已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数为
A. B. C. D.
6.如图，点、、、、在同一平面内连接、、、、，若，则
A. B. C. D.
第6题 第7题 第10题
7.如图，在四边形中，，点在边上，，则一定有
A. B.
C. D.
8.四边形的内角和与外角和的数量关系，正确的是
A. 内角和比外角和大 B. 外角和比内角和大
C. 内角和比外角和大 D. 内角和与外角和相等
9.把一个正方形截去一个角后得到的多边形是
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 以上都有可能
10.如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是
A. B. C. D.
二、填空题
11.若一个多边形的每个外角均为，则这个多边形的边数为__________．
12.过边形的一个顶点，能把边形分成________个三角形．
13.一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，则这个多边形的边数是______．
14.若多边形的每一个外角都是其相邻内角的 ，这个多边形是____ 边形．
15.在中，若，则此三角形是________三角形．用“锐角”、“直角”、“钝角”中某一个词语填空
16.如图，小明从点出发前进，向右转，再前进，又向右转，，这样一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了______
第16题 第17题 第18题
17.如图，五边形中，，则的度数为______．
18.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则______度．
19.在中，，则___．
20.如图，在中，，点是和角平分线的交点，则______．
解答题
21.在四边形中，，比大，是的倍，求A、B、的度数．
22.在中，，是边上的高线，，求的度数．
23.已知边形的内角和．
甲同学说，能取而乙同学说，也能取甲、乙两人的说法对吗为什么
若边形变为边形，发现内角和增加了，用列方程的方法确定的值．
24.如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点，，，求和的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的内角和有关知识，熟记内角和公式并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
边形的内角和是，如果已知多边形内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】
解：设这个多边形的边数为，
根据边形的内角和公式，得
，
解得．
这个多边形的边数是．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的对角线公式，熟记从每一个顶点处可以作的对角线的条数为是解题的关键，
可根据边形从一个顶点引出的对角线与边的关系，列方程求解．
【解答】
解：设多边形有条边，
则，解得．
故多边形的边数为．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．任意多边形的外角和都是度，依此可得答案．
【解答】
解：多边形的边数增加，它的外角和还是，
故选C．
4.【答案】
【解析】解：设多边形的一个外角为，则它的一个内角为，
，
这个正边形的边数为：，
故选：．
根据正多边形的内角和外角的关系，求出外角的度数，再根据外角和为可求出正多边形的边数．
考查多边形的内角和、外角和的性质，掌握内角和外角的关系是正确解答的前提．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的外角和定理，属于基础题．
利用多边形的外角和是，正多边形的每个外角都是，即可求出答案．
【解答】
解：，
所以这个正多边形是正十边形．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：连接，
，
，
，
故选：．
连接，根据三角形内角和求出，再利用四边形内角和减去和的和，即可得到结果．
本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．
7.【答案】
【解析】设．
在中，．
在四边形中，，
所以．
8.【答案】
【解析】解：四边形的内角和与外角和相等，都等于，故本选项表述错误；
B.四边形的内角和与外角和相等，都等于，故本选项表述错误；
C.六四边形的内角和与外角和相等，都等于，故本选项表述错误；
D.四边形的内角和与外角和相等，都等于，故本选项表述正确．
故选：．
直接利用多边形内角和定理分别分析得出答案．
此题主要考查了命题与定理以及多边形内角与外角，正确把握相关定理是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：如图所示：
故选D．
10.【答案】
【解析】解：如图所示：
由题意得：，
根据外角性质得：，，
，
．
故选：．
由题意得到，再利用外角性质得出，即可求解．
本题考查三角形外角性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
一个多边形的外角和为，而每个外角为，进而求出外角的个数，即为多边形的边数．
本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是是解决问题的关键．
12.【答案】答案
【解析】
【分析】
本题考查多边形的对角线，是容易题 多边形有条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形。可根据边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：，可分成个三角形直接判断．
【解答】
解：从边形的一个顶点作对角线，把这个边形分成三角形的个数是．
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：设这个多边形的边数为，依题意，得：
，
解得．
故答案为：．
边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解．
本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．
14.【答案】八
【解析】
【分析】
此题主要考查了多边形内角与外角有关知识，根据每个外角都等于相邻内角的，并且外角与相邻的内角互补，就可求出外角的度数；根据外角度数就可求得边数．
【解答】
解：设外角是度，则相邻的内角是度，
根据题意得：，
解得．
则多边形的边数是：．
故答案为八．
15.【答案】直角
【解析】
【分析】
本题主要考查直角三角形的判定、三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理以及熟练进行等量代换是解题的关键．
根据三角形内角和定理得出等式，结合已知条件，进行等量代换即可得出结论．
【解答】
解：，
，
又，
，
，
为直角三角形．
故答案为：直角．
16.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了多边形的外角和定理．此题难度不大，注意理解题意，掌握多边形的外角和等于是解此题的关键．
根据题意易得小明第一次回到出发点需要向右转：次，继而求得答案．
【解答】
解：根据题意可得：小明第一次回到出发点需要向右转：次，
一共走了：．
故答案为．
17.【答案】
【解析】解：过点作，交于点，
，
，
，，，
，
故答案为．
首先过点作，交于点，由，可证得，然后由两直线平行，同旁内角互补，证得，，，继而证得结论．
此题考查了平行线的性质．此题比较适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
18.【答案】
【解析】解：正六边形的每个内角的度数为：，
所以，
故答案为：．
由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出的度数．
本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．
19.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形内角和定理．设为，然后根据三角形内角和为的等量关系求解即可．
此类题关键是利用题目给出的等量关系列方程解答即可．
【解答】
解：设为．
．
，，．
故填．
20.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查学生对角平分线定义，三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键．由点是和角平分线的交点可推出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数．
【解答】
解：点是和角平分线的交点，
，，
，
，
，
故答案为．
21.【答案】解：设，则，．
由四边形的内角和定理，得，
解得．
所以，，
【解析】见答案
22.【答案】解：如图，为边上的高，
，
，
，
，
，
如图，为边上的高，
，
，
，
，
，
综上所述：的度数为：或．
故答案为：或．
【解析】首先画出图形，根据三角形高的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余可得的度数，然后再根据三角形内角和定理可得的度数．
此题主要考查了三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和为．
23.【答案】解甲同学的说法对，乙同学的说法不对
因为，，
所以甲同学的说法对，乙同学的说法不对
依题意，有，
解得，
所以的值是．
【解析】见答案
24.【答案】解：是的角平分线，，
，
是的高，
，
，
，
；
．
【解析】根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可求出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得．
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
第2页，共2页
第1页，共1页7.5多边形的内角和与外角和（培优卷）
一、选择题
1.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成个三角形，则此多边形的边数为
A. B. C. D.
2.将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是
A. B. C. D.
3.如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则的度数是
A. B. C. D.
第3题 第4题
4.如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为
A. B. C. D.
5.将一张长方形纸片按如图所示操作：将沿向内折叠，使点落在点处，将沿向内继续折叠，使点落在点处，折痕与边交于点若，则的大小是
A. B. C. D.
6.在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为
A. B. C. D. 或
7.具备下列条件的中，不是直角三角形的是
A. B.
C. ：：：： D.
8.如图，，且和，则
A. B.C. D. 不能确定，具体由三角形的形状确定
9.把边长相等的正六边形和正五边形的边重合，按照如图所示
第9题 第10题
10.如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点，且，则
A. B. C. D.
二、填空题
11.如图，的度数是
第11题 第12 题 第13 题
12.如图，正五边形中，对角线与相交于点， 度
13.如图，连接正十边形的对角线与交于点，则
14.四边形的四个内角中，直角最多有____个，钝角最多有_____个，锐角最多有___个．
15.一个正多边形每个外角都等于则它共有______ 条对角线．
16.一个多边形除一个内角外，其余各内角之和为，则这个内角为____________
17.如图，用若干个完全相同的正五边形可以拼成一个环状，如图是前个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是___________________________．
三、解答题
18.（1）如图，试研究其中、与、之间的数量关系；
如果我们把、称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
用你发现的结论解决下列问题：
如图，、分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数．
19.在中，．
如图，的平分线相交于点，则____；
如图的外角，的平分线相交于点，则____；
探究
探究一：如图，的内角的平分线与其外角的平分线相交于点，设，求的度数．用的代数式表示
探究二：已知：四边形的内角的平分线所在直线与其外角的平分线所在直线相交于点，，．
如图，若，则__________用、的代数式表示；
如图，若，则___________用、的代数式表示．
20.【概念学习】在平面中，我们把大于且小于的角称为优角．如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组．
若、互为组角，且，则_____
【理解应用】习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形．
如图，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】如图，已知四边形中，延长、交于点，延长、交于，、的平分线交于点，．
写出图中一对互组的角_____两个平角除外；
直接运用中的结论，试说明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得：，
即这个多边形是九边形。
故选：。
根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得的值。
本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求。
2.【答案】
【解析】解：设将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形的边数分别为、．
这两个多边形的内角和之和为．
整除这两个多边形的内角和之和．
，，，不整除，
这两个多边形的内角和之和不可能是．
故选：．
根据多边形的内角和公式解决此题．
本题主要考查多边形的内角和公式，熟练掌握多边形的内角和公式是解决本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：由折叠的性质得：，
根据外角性质得：，，
则，
则．
故选：．
由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
此题考查了翻折变换折叠问题以及三角形外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：如图，连接，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
沿折叠，
，，
，，
，
故选：．
连接，先求出，再证明即可解决问题．
本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对应边相等，对应角相等即可解题．
由折叠前后对应角相等且可先求出，进一步求出，再由折叠可求出，最后在中由三角形内角和定理即可求解．
【解答】
解：折叠，且，
，
，
折叠，
，
在中，．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：分两种情况：
如图，当时，
，
；
如图，当时，
，，
，
，
综上，的度数为或，
故选：．
当为直角三角形时，存在两种情况：或，根据三角形的内角和定理可得结论．
本题考查了三角形的内角和定理，分情况讨论是解决本题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握三角形的内角和定理是解决此题的关键由直角三角形内角和为求得三角形的每一个角的度数，再判断其形状即可．
【解答】
解： ，，，解得，是直角三角形，本选项错误；
B. 设，，，，，解得，，本选项错误；
C. 设，，，，，解得，，本选项错误；
D. ，而，，解得，，没有的角，本题选项正确．
故选D．
8.【答案】
【解析】解：在中，，
，，
，
、分别是、的角平分线，
平分，
而，
．
故选：．
首先在中，求出和的和，再利用和，求出和的和，中点就是三角形三条内角的平分线的交点，由此求得结论即可．
此题考查三角形的内角和，角平分线的性质，以及三角形中三条内角的平分线交于一点等知识点．
9.【答案】
【解析】
【分析】
考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形内角和定理：且为整数．
先根据多边形的内角和公式分别求得正六边形和正五边形的每一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式求得的度数，进而利用邻补角定义得到．
【解答】
解：，
，
．
故选D．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是”是解题的关键．
利用四边形内角和是可以求得然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得，所以根据的内角和定理求得的度数即可．
【解答】
解：如图，，，
．
又的角平分线与的外角平分线相交于点，
，
．
故选：．
11.【答案】
【解析】连接，则，
所以的度数等于五边形的内角和．
12.【答案】
【解析】解：五边形是正五边形，
．
，，
同理，
．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了多边形内角与外角，关键是求得，的度数．根据正十边形的性质和五边形、六边形内角和可求，的度数，再根据三角形外角的性质即可求解．
【解答】
解：正十边形的一个内角为，
，
，
则．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：四边形的内角和为，直角，，
四边形的四个内角中，直角最多有个；
假设四边形的四个内角中，钝角有个，那么这四个内角的和大于，与四边形的内角和定理矛盾，所以四边形的四个内角中，钝角不能有个，即钝角最多有个；
假设四边形的四个内角中，锐角有个，那么这四个内角的和小于，与四边形的内角和定理矛盾，所以四边形的四个内角中，锐角不能有个，即锐角最多有个．
根据四边形的内角和定理及直角、钝角、锐角的定义，结合反证法求解．
本题主要考查了四边形的内角和定理及反证法．
15.【答案】
【解析】解：正多边形的边数，
正十边形的对角线条数为．
故答案为．
先利用正多边形的外角和为可确定正多边形的边数，然后根据边形有条对角线进行计算．
本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：且为整数；多边形的外角和等于度．从边形的一个顶点出发引出条对角线，共有条对角线．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查多边形内角和，不等式组的应用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于，并且小于度．设这个内角度数为，边数为，利用内角和公式列出相应等式，根据，列出不等式组，根据边数为整数求解即可．
【解答】
解：设这个内角度数为，边数为，
则，
，
，
解得：
为正整数，
，
这个内角度数为．
故答案为．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的内角与外角：多边形内角和定理：且为整数；外角和为设要完全拼成一个圆环需要的正五边形为个，则围成的多边形为正边形，利用正五边形的内角计算出正边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到，再解方程求出即可．
【解答】
解：设要完全拼成一个圆环需要的正五边形为个，
所以，
解得，
所以要完全拼成一个圆环还需要的正五边形的个数为．
故答案为．
18.【答案】解：、、、是四边形的四个内角，
，
，
，，
，
；
答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；
解：，
，
、分别是、的平分线，
，，
，
．
【解析】根据四边形的内角和等于用表示出，再根据平角的定义用表示出，即可得解；
从外角的定义考虑解答；
根据的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．
本题考查了多边形的内角和公式，平角的定义，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
19.【答案】解：；
；
探究
探究一：和分别是和的角平分线，
，，
又，
，
，
，
；
探究二：；
．
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的内角和公式，三角形的内角和是，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．
求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和为求出即可；
根据三角形的内角和为以及角平分线的定义表示出与，然后再根据三角形的内角和列式整理即可得解；
探究
探究一：根据提供的信息表示出、，利用整理即可得到的度数．
探究二：根据四边形的内角和定理表示出，再表示出，然后根据角平分线的定义可得，，根据，然后整理即可得解；
同的思路求解即可．
【解答】
解：，
，
、分别是和的平分线，
，，
，
在中，；
故答案为；
，
，，
，
、分别是两个外角和的平分线，
，，
，
；
故答案为；
探究一：见答案；
探究二：由四边形内角和为得，，
，
、分别是和的平分线，
，，
，
，
，，
．
故答案为；
同可求，．
20.【答案】；
钝角理由如下：
如图，
在四边形中，优角，
又优角钝角，
钝角；
优角与钝角；
、的平分线交于点，
，．
令，．
在镖形中，有，
在镖形中，有，
，
，
．
【解析】
【分析】
根据互为组角的定义可知，代入数据计算即可；
根据四边形内角和定理可得优角，根据周角的定义可得优角钝角，再利用等式的性质得出钝角；
根据互为组角的定义及周角的定义，结合图形可知优角与钝角是一对互组的角；
先由、的平分线交于点，得出，令，由中的结论可知在镖形中，有，在镖形中，有，于是根据等式的性质得出，而，那么，即．
本题考查了多边形内角与外角，四边形内角和定理，角平分线定义，垂直的定义，等式的性质，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解互为组角的定义以及得出中的关系是解题的关键．
【解答】
解：、互为组角，且，
；
见答案；
见答案。
第2页，共2页
第1页，共1页
