2021-2022学年高二上学期数学 人教B版（2019）必修第四册空中直线、平面的平行 讲义 （学生版）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学 人教B版（2019）必修第四册空中直线、平面的平行 讲义 （学生版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-03 21:25:18 | ||
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文档简介
空间中直线、平面的平行
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1. 已知是两条异面直线,那么与的位置关系__________.
2. 判断正误
（1）两个不重合的平面只能把空间分成四个部分
（2）两个平面有一个公共点,就说相交于点,记作
（3）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
（4）如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合
3. 如图所示,在正方体中,分别是的中点．
求证：（1）四点共面；
（2）三线共点．
【知识点：空间中直线、平面的平行关系】
一、空间中平行
定义 图形 判定定理 性质定理 符号语言
线线平行 同一平面内无公共点的两条直线平行 平面几何、立体几何中有关的判定定理 空间中平行于同一直线的两直线平行
线面平行 若直线和平面无公共点,则称直线和平面平行 平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线和该直线平行 判定 性质
面面平行 若两个平面无公共点,则称这两个平面平行 一个平面内的两条相交直线与另一平面平行,则这两个平面平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 判定性质
二、两平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理1 如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 且
性质定理2 如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线,那么另一个平面也垂直于这条直线 且
三、线线平行、线面平行、面面平行间的关系
由于三者之间相互沟通、相互联系,因此立体几何问题的解决往往可以一题多解（证）.
【典型例题】
考点一：空间中直线与平面的平行
题型一：直接法
例1. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面底面ABCD,E为侧棱PD上一点．求证：平面
求证：平面ABE；
【答案】
题型二：平四法
例2. 如图1,在△中,,分别为,的中点,为的中点,,．将△沿折起到△的位置,使得平面平面,为的中点,如图2．
求证：平面；
例3. 如图所示,在四棱锥中,,,是的中点.
求证：平面.
例2（20年大兴高三期末）如图，在四棱锥C﹣ABEF中，平面ABEF⊥平面ABC，△ABC是边长2的等边三角形，AB∥EF，∠ABE＝90°，BE＝EF＝1，点M为BC的中点．
求证：EM∥平面ACF；
】
练2-1（20年门头沟一模）在四棱锥的底面中，，是的中点，且，求证：；
题型三：中位线法
例1（20年海淀高三期末）如图，在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，，分别为, 的中点.
求证：平面；
练1（20年适应性测试）如图,在四棱锥中,,,,底面为正方形,分别为的中点.
（Ⅰ）求证:平面;
练2. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，E是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
练1-1 (20年西城高三期末)如图，在三棱柱中，平面，为正三角形，侧面是边长为2的正方形，为的中点.
（I）求证：平面；
练3. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面,，，.
求证：直线平面PNC；
题型四：构造面面平行法
例3（2020北京十一学校高一下期末）如图，四棱锥中，，,分别为线段的中点，与交于点，是线段上的一点，求证：平面
练习3-1（2020北京101中学高一下期末）如图，三棱柱中，分别为中点，求证：平面
练习3-2（2016-2017房山高三理二模17）如图,正方形与梯形所在的平面互相垂直,已知,,
.
（Ⅰ）求证:平面;
考点二：空间中平面与平面的平行
例1. 如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，，是线段上的一点且平面.
求证：平面平面；
练1.（10-11海淀二模）
已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点.求证：平面平面；
练1. 如图,在多面体中,底面是边长为的正方形,四边形是矩形,平面平面,,和分别是和的中点.
求证:平面平面
例1.(2013-2014北大附检测)如图，为所在平面外一点，分别为的重心．求证：平面平面
考点三：空间中直线与直线的平行
例1. 如图所示,在四棱锥中,平面, ,是的中点.
求证：
例2. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为线段的中点. 底面，点是棱的中点，平面与棱相交于点.
求证：；
练1. 如图，正方形 的边长为2，分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点.
求证：
练1. 如图,在四棱锥中,已知底面为平行四边形,点为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）设平面平面,点在上,求证：为的中点．
练2. 四棱锥，，平面,设平面平面，求证：；
【小试牛刀】
1. 如图，在正方体中，E为的中点．
求证：平面；
2. 如图,在正方体中,是棱的中点.
证明:平面;
3. 如图,在三棱柱中,侧面⊥底面,,,分别为棱的中点.
（1）求三棱柱的体积;
（2）在直线上是否存在一点,使得平面 若存在,求出的长,若不存在,说明理由.
【巩固练习】
如图,在四棱锥中,侧面是等边三角形,且平面平面,为的中点,
求证：平面;
2. 如图,在三棱柱中,底面,,点是的中点.
求证:平面.
3.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,侧面底面,,,分别为的中点,点在线段上.
求证：平面
4. 如图，在四棱锥中，底面是正方形.点是棱的中点，平面与棱交于点.
求证：∥；
5. 如图,在四棱锥中,,,,,,.
若为的中点,求证:平面
【课后拾遗】
20
21
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1. 已知是两条异面直线,那么与的位置关系__________.
2. 判断正误
（1）两个不重合的平面只能把空间分成四个部分
（2）两个平面有一个公共点,就说相交于点,记作
（3）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
（4）如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合
3. 如图所示,在正方体中,分别是的中点．
求证：（1）四点共面；
（2）三线共点．
【知识点：空间中直线、平面的平行关系】
一、空间中平行
定义 图形 判定定理 性质定理 符号语言
线线平行 同一平面内无公共点的两条直线平行 平面几何、立体几何中有关的判定定理 空间中平行于同一直线的两直线平行
线面平行 若直线和平面无公共点,则称直线和平面平行 平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线和该直线平行 判定 性质
面面平行 若两个平面无公共点,则称这两个平面平行 一个平面内的两条相交直线与另一平面平行,则这两个平面平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 判定性质
二、两平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理1 如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 且
性质定理2 如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线,那么另一个平面也垂直于这条直线 且
三、线线平行、线面平行、面面平行间的关系
由于三者之间相互沟通、相互联系,因此立体几何问题的解决往往可以一题多解（证）.
【典型例题】
考点一：空间中直线与平面的平行
题型一：直接法
例1. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面底面ABCD,E为侧棱PD上一点．求证：平面
求证：平面ABE；
【答案】
题型二：平四法
例2. 如图1,在△中,,分别为,的中点,为的中点,,．将△沿折起到△的位置,使得平面平面,为的中点,如图2．
求证：平面；
例3. 如图所示,在四棱锥中,,,是的中点.
求证：平面.
例2（20年大兴高三期末）如图，在四棱锥C﹣ABEF中，平面ABEF⊥平面ABC，△ABC是边长2的等边三角形，AB∥EF，∠ABE＝90°，BE＝EF＝1，点M为BC的中点．
求证：EM∥平面ACF；
】
练2-1（20年门头沟一模）在四棱锥的底面中，，是的中点，且，求证：；
题型三：中位线法
例1（20年海淀高三期末）如图，在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，，分别为, 的中点.
求证：平面；
练1（20年适应性测试）如图,在四棱锥中,,,,底面为正方形,分别为的中点.
（Ⅰ）求证:平面;
练2. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，E是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
练1-1 (20年西城高三期末)如图，在三棱柱中，平面，为正三角形，侧面是边长为2的正方形，为的中点.
（I）求证：平面；
练3. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面,，，.
求证：直线平面PNC；
题型四：构造面面平行法
例3（2020北京十一学校高一下期末）如图，四棱锥中，，,分别为线段的中点，与交于点，是线段上的一点，求证：平面
练习3-1（2020北京101中学高一下期末）如图，三棱柱中，分别为中点，求证：平面
练习3-2（2016-2017房山高三理二模17）如图,正方形与梯形所在的平面互相垂直,已知,,
.
（Ⅰ）求证:平面;
考点二：空间中平面与平面的平行
例1. 如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，，是线段上的一点且平面.
求证：平面平面；
练1.（10-11海淀二模）
已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点.求证：平面平面；
练1. 如图,在多面体中,底面是边长为的正方形,四边形是矩形,平面平面,,和分别是和的中点.
求证:平面平面
例1.(2013-2014北大附检测)如图，为所在平面外一点，分别为的重心．求证：平面平面
考点三：空间中直线与直线的平行
例1. 如图所示,在四棱锥中,平面, ,是的中点.
求证：
例2. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为线段的中点. 底面，点是棱的中点，平面与棱相交于点.
求证：；
练1. 如图，正方形 的边长为2，分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点.
求证：
练1. 如图,在四棱锥中,已知底面为平行四边形,点为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）设平面平面,点在上,求证：为的中点．
练2. 四棱锥，，平面,设平面平面，求证：；
【小试牛刀】
1. 如图，在正方体中，E为的中点．
求证：平面；
2. 如图,在正方体中,是棱的中点.
证明:平面;
3. 如图,在三棱柱中,侧面⊥底面,,,分别为棱的中点.
（1）求三棱柱的体积;
（2）在直线上是否存在一点,使得平面 若存在,求出的长,若不存在,说明理由.
【巩固练习】
如图,在四棱锥中,侧面是等边三角形,且平面平面,为的中点,
求证：平面;
2. 如图,在三棱柱中,底面,,点是的中点.
求证:平面.
3.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,侧面底面,,,分别为的中点,点在线段上.
求证：平面
4. 如图，在四棱锥中，底面是正方形.点是棱的中点，平面与棱交于点.
求证：∥；
5. 如图,在四棱锥中,,,,,,.
若为的中点,求证:平面
【课后拾遗】
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