沪科版七年级下册数学 8.3 .1完全平方公式与平方差公式 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
第8章
整式乘法与因式分解
8.3 完全平方公式与平方差公式
第1课时
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点;
（重点）
2.会运用公式进行运算；(难点)
平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2
2.公式的结构特点：
左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差.
1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？
复习巩固
情境引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米.形成四块实验田，以种植不同的新品种
(如图).用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行
比较.你发现了什么？
a
a
b
b
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
一
完全平方公式的认识
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
（3） （p－1)2=(p－1)(p－1)= .
p2－2p+1
（4） （m－2)2=(m－2)(m－2)= .
m2－4m+4
根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？
(a＋b)2= .
a2+2ab+b2
(a－b)2= .
a2－2ab+b2
知识要点
完全平方公式
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫作完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，
积的 2倍放中间”
公式特征：
1.积为二次三项式；
2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
你能根据图1和图2中的面积解释完全平方公式吗
b
a
a
b
b
a
b
a
图 1
图2
想一想:
几何解释:
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
a2
ab b(a b)
=a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
几何解释:
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
差的完全平方公式：
典例精析
例1 运用完全平方公式计算：
解: (2x－3)2=
=4x2
(1)(2x－3)2；
( a－ b )2 =a2 － 2ab + b2
(2x)2
－2 (2x) 3
+32
－ 12x
+ 9；
(a + b)2= a2 + 2 ab + b2
y2
(2) ( y+ )2.
=y2
+ y
+
+ ( )2
+ 2 y
解：( y+ )2 =
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗
(a-b)2与(b-a)2相等吗
(a-b)2与a2-b2相等吗
为什么
(-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2
(a-b)2=a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，
(a-b)2=a2-b2.
(a+b－5)2.
解：原式= [(a+b)－5]2
= (a+b)2－10(a+b)+52
= a2+2ab+b2－10a－10b+25
方法总结：把其中两项看成一个整体，再运用
完全平方公式计算.
例2 运用乘法公式计算:
例3 如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平
方式，求m的值．
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2
＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，
∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，
∴m＋1＝±60，
∴m＝59或－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
完全平方公式的运用
二
思考：怎样计算1022,992更简便呢？
(1) 1022；
解：原式= (100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2) 992.
解：原式= (100 –1)2
=10000 -200+1
=9801.
例4 已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，(a－b)2
的值．
解：因为a＋b＝7，
所以(a+b)2＝49.
所以a2＋b2＝(a+b)2-2ab=49-2×10＝29.
(a－b)2＝a2＋b2-2ab＝29-2×10＝9.
要熟记完全平方公式哦！
当堂练习
1．在等号右边的括号内填上适当的项：
（1）a+b－c=a+（ ）
（2）a－b+c=a－（ ）
（3）a－b－c=a－（ ）
（4）a+b+c=a－（ ）
b-c
b-c
b+c
-b-c
能否用去括号法则检查添括号是否正确
2.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当
怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x －y)2 =x2 －y2
(3) (－x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
×
×
×
×
x2+2xy +y2
x2－2xy +y2
x2 －2xy +y2
4x2+4xy +y2
(1) (6a+5b)2；
=36a2+60ab+25b2；
(2) (4x－3y)2 ；
=16x2－24xy+9y2；
(3) (2m－1)2 ；
=4m2－4m+1；
(4)(－2m－1)2 .
=4m2+4m+1.
3.运用完全平方公式计算:
4.若a+b=5,ab=－6, 求a2+b2,a2－ab+b2.
5.已知x2+y2=8,x+y=4,求x－y.
解：a2+b2=（a+b)2－2ab=52-2×(－6)=37；
a2－ab+b2=a2+b2－ab=37－(－6)=43.
解：∵x+y=4, ∴(x+y)2=16,即x2+y2+2xy=16①;
∵x2+y2=8②;
由①－②得2xy=8 ，
②－③得x2+y2－2xy=0.即(x－y)2=0，故x－y=0.
解题时常用结论：
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.
课堂小结
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算
的式子，需要先添括号变形
3.弄清完全平方公式和平方差
公式的不同点（从公式结构
特点及结果两方面）