福建省福州市福州第十六中学2020-2021学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2020九上·陆丰月考）下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0；② ；③ ；④ ．其中是一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故不符合题意；
② 不是整式方程，即不是一元二次方程，故不符合题意；
③ 是一元二次方程，故符合题意；
④ 不是一元二次方程，故不符合题意．
共1个符合题意
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可．
2．（2020·成华模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意；
B．矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项符合题意；
C．正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
D．等腰直角三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断可得．
3．（2019九下·武冈期中）下列说法错误的是（ ）
A．必然事件的概率为1
B．数据1、2、2、3的平均数是2
C．连续掷一枚硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上
D．如果某种活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖
【答案】D
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】A．概率值反映了事件发生的机会的大小，必然事件是一定发生的事件，所以概率为1，本项不符合题意；
B．数据1、2、2、3的平均数是（1+2+2+3）÷4=2，本项不符合题意；
C．掷硬币属于随机事件，可能正面向上，也可能反面向上.所以无论第几次掷，都有可能正面向上，故本项不符合题意；
D．某种游戏活动的中奖率为40%，属于随机事件，可能中奖，也可能不中奖，故本说法符合题意.
【分析】必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然事件，概率为1.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件为随机事件.概率：某事件在一次观测或实验中出现的可能性的大小或机会. 平均数：所有数据之和再除以数据的个数.
4．（2021九下·福州开学考）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，
∴∠BAO＝90°，OA＝3
∴BO 5，
∴BD＝2BO＝10，
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的性质可得BO＝DO，AO＝CO=3，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BO=5，从而得出BD＝2BO＝10.
5．（2021九下·福州开学考）如图是某几何体的三视图及相关数据，则下面判断正确的是（ ）
A．a＞c B．b＞c C．a2+4b2＝c2 D．a2＋b2＝c2
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意可知该几何体是圆锥，根据勾股定理得，a2＋b2＝c2
故答案为：D.
【分析】判断出该几何体是圆锥，根据勾股定理即得结论.
6．（2021九下·福州开学考）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
由网格可得AB=BC= ，AC= ，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故答案为：B.
【分析】连接BC，利用勾股定理及逆定理可得出△ABC为等腰直角三角形，即得∠BAC=45°，求出∠BAC的正切值即可.
7．（2020九上·龙岩期末）若弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为13，AB=10，CD=24，则AB，CD之间的距离为（ ）
A．7 B．17 C．5或12 D．7或17
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥AB交AB于E点，过O作OF⊥CD交CD于F点，连接OA、OC，如图所示：
∵半径r=13，弦AB∥CD，且AB=24，CD=10
∴OA=OC=13，AE=EB=12，CF=FD=5，E、F、O在一条直线上
∴EF为AB、CD之间的距离
在Rt△OEA中，由勾股定理可得：
OE2=OA2-AE2
∴OE= =5
在Rt△OFC中，由勾股定理可得：
OF2=OC2-CF2
∴OF= =12
∴EF=OE+OF=17
AB与CD的距离为17；
②当AB、CD在圆心同侧时；
同①可得：OE=5，OF=12；
则AB与CD的距离为：OF-OE=7；
故答案为：17或7．
【分析】过O作OE⊥AB交AB于E点，过O作OF⊥CD交CD于F点，连接OA、OC，由题意可得：OA=OC=13，AE=EB=12，CF=FD=5，E、F、O在一条直线上，EF为AB、CD之间的距离，再分别解Rt△OEA、Rt△OFC，即可得OE、OF的长，然后分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．
8．（2021·顺城模拟）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于A（m，6），B（3，n）两点，与坐标轴分别交于M，N两点．则△AOB的面积为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】∵一次函数 与反比例函数 的图象交于A（m，6），B（3，n）两点，
∴6m=6，3n=6，
解得m=1，n=2，
∴A（1,6），B（3,2），
将A、B的坐标代入一次函数 中，得
，解得 ，
∴直线MN的解析式为y=-2x+8，
令x=0，则y=8，故M（0,8），
令y=0，则-2x+8=0，得x=4，故N（4,0），
∴OM=8，ON=4，
∴
=
=
=8，
故答案为：C.
【分析】先求出点A、B的坐标，求出直线MN的解析式，得到点M、N的坐标，再利用 求出答案.
9．（2021九下·福州开学考）如图，已知 中， ，点D、E分别在边AC、AB上，若AD=DC，AE=CB+BE，则线段DE的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作 ，
， ， ，
， ， ，
，
，
，
， ，
，
∽ ，
，
， ，
根据勾股定理： ，
故答案为：B.
【分析】过点E作 ，利用直角三角形及平行线的性质可求出，， ，从而求出，，BE=1，由平行线可证 ∽ ，利用相似三角形对应边成比可求出DF、EF的长，利用勾股定理求出DE即可.
10．（2021九下·福州开学考）方程 （k是实数）有两个实根 、 ，且 ， ，那么k的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．无解
【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设f(x)= ，抛物线开口向上，画出f(x)的大致图形，可以得到f(0)= >0，解得k>2或k<-1；f(1)=7-k-13 <0，解得-20，解得k<0或k>3，可利用穿针引线法求得他们的公共部分得到 或 ，故答案为：C.
【分析】设f(x)= ，可得抛物线开口向上， 由于方程 的两个实数根在 ， ，根据函数图象可得f(0)>0，f(1) <0，f(2) >0，求出不等式解集的公共部分即可.
二、填空题
11．（2021九下·福州开学考）已知方程x2﹣3x﹣k＝0有一根是2，则k的值是 .
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x﹣k＝0得4﹣6﹣k＝0，
解得k＝﹣2.
故答案为﹣2.
【分析】把x＝2代入方程x2﹣3x﹣k＝0中，即可求解.
12．（2021九下·福州开学考）一个正方体的骰子六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，则扔一次骰子朝上的数字满足不等式 的概率是 .
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵扔一次由6种可能，但小于等于4的有4种情况，
∴概率 ，
故答案为： .
【分析】利用小于等于4的数的个数除以总数字的个数，即得结论.
13．（2020九上·厦门期末）在平面直角坐标系中， 为原点，点 在第一象限， ， ， ，把 绕点 顺时针旋转60°得到 ，点 ， 的对应点分别为 ， ，则 的值为 ．
【答案】1
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】如图，过点A作 于点D，
， ，
，
，
把 绕点 顺时针旋转60°得到 ，
点恰巧落在直线AD上，
在 中，
，
由勾股定理得，
故答案为：1．
【分析】如图，过点A作 于点D，利用30°角的正切值求出AD的长，继而可得再由旋转的性质求出，，在 中。利用勾股定理求出MD的长，继而求出结论.
14．（2021九下·福州开学考）如图，将一张矩形纸片 沿对角线 进行折叠，点C落在点 处，若 ，则重叠部分（阴影部分）的面积是 （平方单位）.
【答案】10
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设AE＝x，ED＝8 x，
由折叠，得∠C′BD＝∠CBD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝BE＝8 x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2＋AB2＝BE2，
∴x2＋42＝（8 x）2，
解得x＝3，
∴S△EBD＝S△ABD S△ABE＝ ×AB×AD ×AB×AE＝ ×4×8 ×4×3＝10.
故答案为：10.
【分析】设AE＝x，ED＝8 x，由折叠得∠C′BD＝∠CBD，由AD∥BC可得∠EDB＝∠CBD，即得∠EDB＝∠EBD，由等角对等边即得ED＝BE＝8 x，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2＋AB2＝BE2，据此建立关于x方程，求解即得AE的长，根据S△EBD＝S△ABD S△ABE即可求解.
15．（2021九下·福州开学考）已知点 为反比例函数图象上不同的两点，A坐标为 ，过点A作 轴于点C，过点B作 轴于点D，连结 ，若 ，则点B坐标为 .
【答案】（ ），（4，1），（2，2）
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：根据题意，设反比例函数为 ，
∵点A（1，4）在反比例函数图象上，则 ，
∴反比例例函数的解析式为： ；
设点B为：（ ， ），
过点A作 轴于点C，过点B作 轴于点D，连结 ，如图：
∴点D为（0， ），点C为（1，0），
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴点B坐标为：（ ），（4，1），（2，2）；
故答案为：（ ），（4，1），（2，2）；
【分析】先求出反比例例函数的解析式为 ，可设点B为（ ， ），过点A作 轴于点C，过点B作 轴于点D，连结 ，可得点D为（0， ），点C为（1，0），由 可建立关于x方程，求解即得结论.
16．（2021九下·福州开学考）如图，在矩形 中， ， ，E为 边上一动点，F、G为 边上两个动点，且 ，则线段 的长度最大值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作出△EFG的外接圆 ，过点O作OH⊥FG于点H，
∵∠FEG＝45°，
∴∠FOG＝2∠FEG＝90°，
又∵OG＝OF，OH⊥FG，
∴FG＝2HG＝2OH，∠OFG＝∠OGF＝45°，
∵在Rt△OHG中，∠OGF＝45°，
∴HG＝ OG，
∴当 的半径最大时，FG的长度取得最大值，
如下图，当 经过点B、D时，即点E、G分别与点B、D重合时，FG的长度取得最大值，
设OH＝HD＝HF＝x，则OD＝OB＝ x，
在矩形PCDH中，PC＝DH＝x，PH＝CD＝1，
∴BP＝BC－PC＝ －x，OP＝PH－OH＝1－x，
在Rt△BOP中，BP2+OP2＝BO2，
∴ ，
解得， ，
∴FD＝2x＝ ，
故答案为： .
【分析】作出△EFG的外接圆 ，过点O作OH⊥FG于点H，由垂径定理可得FG＝2HG＝2OH，∠OFG＝∠OGF＝45°，再求出△OHG为等腰直角三角形，可得HG＝OG，当 的半径最大时，GH最大，即FG的长度取得最大值.当 经过点B、D时，即点E、G分别与点B、D重合时，FG的长度取得最大值，求出此时DH的长即得结论.
三、解答题
17．（2021·滨海模拟）计算： .
【答案】解：原式
.
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】第一项根据负整数指数幂的法则进行计算，第二项代入特殊锐角三角函数值，第三项根据零指数幂的法则计算，第四项根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
18．（2021九下·福州开学考）在平行四边形ABCD中，E、F分别在DC、AB上，且DE＝BF.求证：四边形AFCE是平行四边形.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
∵DE = BF，
∴AF=CE.
∵在四边形AFCE中，AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，由DE = BF可得AF=CE，由AF∥CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即证.
19．（2021九下·福州开学考）如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A，B的供水路线进行优化改造，供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A，B之间的距离为300( +1)米，求供水站M分别到小区A，B的距离.(结果可保留根号)
【答案】解：如下图：过点M作MN⊥AB于N，
设MN=x米.在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，∴MA=2MN=2x，AN= MN= x.在Rt△BMN中，∵∠BNM=90°，∠MBN=45°，∴BN=MN=x，MB= MN= x.∵AN+BN=AB，∴ x+x=300（ +l），解得：x=300，∴MA=2x=600，MB= x=300 .故供水站M到小区A的距离是600米，到小区B的距离是300 米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】 过点M作MN⊥AB于N，设MN=x米，利用含30°角的直角三角形的性质可得MA=2MN
=2x，AN= x，由题意知△BNM为等腰直角三角形，可得BN=MN=x，MB= MN= x，根据AN+BN=AB列出方程，求解即可.
20．（2021九下·福州开学考）如图，在平面直角坐标系 中的第一象限内，反比例函数图象过点 和另一动点 .
（1）求此函数表达式；
（2）如果 ，写出x的取值范围；
（3）直线 与坐标轴交于点P，如果 ，直接写出点P的坐标.
【答案】（1）解：设反比例函数表达式为 ，
∵此函数过 ，∴ ，解得 ，
∴此函数表达式是 .
（2）解：∵点B在反比例函数 的第一象限的图象上，∴ ，且 ，
∵ ，∴ .
（3）点 的坐标为(0，3)或(6，0)
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：(3)
当点B在点A左边时，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，如图1所示.
∵ ， ，∴ 为 的中位线，
∴ ，∴点B的坐标为 ，
∴ ，∴ ，
∴点 ；
当点B在点A的右边时，过点A作 轴于点E，过点B作 于点F，则 为 的中位线，如图2所示.
∴ ，∴点 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴点 .
综上所述：点P的坐标为(0，3)或(6，0).
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）由（1）知，可得 ，根据y＞0且x＞0，列出不等式求出解集即可；
（3）分两种情况：①当点B在点A左边时，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，如图1所示，②当点B在点A的右边时，过点A作 轴于点E，过点B作 于点F，据此分别求解即可.
21．（2021九下·福州开学考）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证：EG2= GF AF；
（3）若AB=4，BC=5，求GF的长.
【答案】（1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF＝∠DFG.
∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，
∴∠DGF＝∠DFG.
∴GD＝DF.
∴DG＝GE＝DF＝EF，
∴四边形EFDG为菱形.
（2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O.
∵由（1）四边形EFDG为菱形.
∴GF⊥DE，OG＝OF＝ GF.
∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA，
∴△DOF∽△ADF.
∴ ，即DF2＝FO AF.
∵FO＝ GF，DF＝EG，
∴EG2＝ GF AF.
（3）解：作GH⊥CD于H，如图2所示：
则CH＝EG，由（1）得：AE＝AD，
在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝AD＝5，
∴BE＝ ＝3，
∴EC＝2.
设GF＝x，菱形边长为y，则
由（2）得：y2＝ x×AF①，
在Rt△ADF中，AF2 ＝25+y2 ②
在Rt△ECF中，y2 ＝4+（4﹣y）2③
解得：y＝ ，
代入②得：AF＝ ，再代入①得： .
即GF＝ .
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 求出DG＝GE＝DF＝EF， 根据菱形的判定即证；
（2）如图1所示：连接DE，交AF于点O. 由菱形的性质可得GF⊥DE，OG＝OF＝ GF， 证明△DOF∽△ADF，利用相似三角形对应边成比例可得DF2＝FO AF，据此即可求解；
（3）作GH⊥CD于H，可得CH＝EG，由（1）得AE＝AD=5，利用勾股定理求出BE=3，再得EC=2，设GF＝x，菱形边长为y ，由（2）得y2＝ x×AF①，在Rt△ADF中，AF2 ＝25+y2 ②，在Rt△ECF中，y2 ＝4+（4﹣y）2③，据此即可求解.
22．（2021九下·福州开学考）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关.为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下：
x（℃) 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35
天数 6 10 11 3
y（瓶） 270 330 360 420
以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率.
（1）试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率；
（2）根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍.问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？
【答案】（1）解：依题意可知，
今年六月份每月售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于 瓶的概率为 ；
（2）解：根据题意可知：
该超市当天售出一瓶酸奶可获利2元，降级处理一瓶亏2元，
设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为n瓶，平均每天的利润为w元，则：
当 时，
，
当 时，
，
当 时，
，
当 时，
，
当 时，与 时比较，
六月增订的部分，亏本售出的比正常售出的多，
所以其每天的平均利润比 时平均每天利润少.
综上所述： 时，W的值达到最大.
即今年六月份这种酸奶一年的进货量为 瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大.
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）利用表格中不高于360瓶的的天数之和，除以六月份总天数即得结论；
（2）由于该超市当天售出一瓶酸奶可获利2元，降级处理一瓶亏2元，设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为n瓶，平均每天的利润为w元，分别求出n=100、200、300、400时W的值，当 时，与 时比较，可得六月增订的部分，亏本售出的比正常售出的多，所以其每天的平均利润比 时平均每天利润少，据此即得结论.
23．（2021九下·福州开学考）如图，四边形 是正方形， 是等边三角形，M为对角线 （不含B点）上任意一点，将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 、 、 .设点N的坐标为 .
（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段 上，点 ， .且 （ ），则点D的坐标为 ，点C的坐标为 ；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是 ；
（2）若正方形的边长为2，求 的长，以及 的最小值. (提示：连结 ： ， )
【答案】（1）（1，0）；（0，-1）；
（2）解：如图所示，连接 ，过E作 ，交 的延长线于H，
由旋转可得， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴
∵ 是等边三角形
∴
∴
∴ ≌ （ ）
∴
∴
∴当E，N，M，C在同一直线上时， 的最小值是 的长，
又∵ ，
∴
∴ 中，
∴
∴
∴ 中，
∴ 的最小值为
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）如图1，以直线 为x轴，直线 为y轴，建立平面直角坐标系，
∵四边形 是正方形
∴
∵点 ，
∴ ，
过N作 于h
∴
∵将 绕点B逆时针旋转 得到 ，
∴
∴
∵
∴点N纵坐标n的取值范围是
故答案为： ， ，
【分析】（1）如图1，以直线 为x轴，直线 为y轴，建立平面直角坐标系，由正方形的性质可得，由点 ， 可得 ， 过N作 于H，由旋转的性质可得，可求出，由可得；
（2） 如图所示，连接 ，过E作 ，交 的延长线于H，当E，N，M，C在同一直线上时， 的最小值是 的长， 求出此时CE的长即可.
24．（2021九下·福州开学考）已知： 内接于 ，D为劣弧 的中点， .
（1）如图1，当 为 的直径时，求证： ；
（2）如图2，当 不是 的直径，且 时，求证： ；
（3）如图3在（2）的条件下， ， ，求 长.
【答案】（1）证明：如图1，
∵ 为 的直径，
∴∠BAC=90°，
∵ ，
∴∠AEF=90°，
∴∠ABD+∠AFB=∠AFB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
∵D为劣弧 的中点，
∴∠ABC=2∠ABD=2∠CAE，
∵∠ABC+∠C=90°，
∴ ；
（2）证明：如图，延长AE交BC于点G，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠GEB=90°，
∵点D是为劣弧 的中点，
∴∠ABE=∠GBE，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△GBE（ASA），
∴AB=GB，AE=GE，∠BAE=∠BGE，
∴AG=2AE，
∵ ，
∴∠BGE=2∠C，
∵∠BGE=∠C+∠CAG，
∴∠C=∠CAG，
∴CG=AG=2AE，
∵BC=BG+CG，
∴ ；
（3）解：如图，延长AE到G，过点D作DH⊥BC，连接DC，OD，
由（2）知，AG=CG，点D为弧AC的中点，
∴点O、G、D三点共线，
∵∠ABE=∠DBH，∠AEB=∠DHB=90°，
∴△ABE∽△DBH，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵DG平分∠AGC，
∴GE=GH，
设 ，则 ，
∴ ，
在Rt△BEG中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
易证△AFB∽DFC，
∴ ，
∴ .
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由圆周角定理及垂直的定义可得∠BAC=∠AEF=90°，利用余角的性质可求出 ∠ABD=∠CAE， 根据弧、弦、圆周角的关系可得∠ABC=2∠ABD=2∠CAE，由∠ABC+∠C=90°即得 ；
（2） 延长AE交BC于点G，由垂直的定义可得∠AEB=∠GEB=90°，根据弧、弦、圆周角的关系可得 ∠ABE=∠GBE， 从而证明△ABE≌△GBE（ASA）， 可得AB=GB，AE=GE，∠BAE=∠BGE， 从而求出 ∠BGE=∠BGE=2∠C， 结合三角形外角的性质可求出∠C=∠CAG， 可得CG=AG=2AE， 利用 BC=BG+CG即可求解；
（3）如图，延长AE到G，过点D作DH⊥BC，连接DC，OD， 证明 △ABE∽△DBH利用相似三角形的性质求出BH=16，DH=2AE， 由角平分线的性质可得GE=GH，在Rt△BEG中，由可求出BG=10，即得AB=BG=10，从而得出，，利用勾股定理求出CD，利用正切函数的定义可得，从而求出BF=BE+EF=11，再证明 △AFB∽DFC， 根据相似三角形对应边成比例即可求解.
25．（2021九下·福州开学考）已知抛物线y＝ax2+2x﹣ （a≠0）与y轴交于点A，与x轴的一个交点为B.
（1）①请直接写出点A的坐标 ；
②当抛物线的对称轴为直线x＝﹣4时，请直接写出a＝ ；
（2）若点B为（3，0），当m2+2m+3≤x≤m2+2m+5，且am＜0时，抛物线最低点的纵坐标为﹣ ，求m的值；
（3）已知点C（﹣5，﹣3）和点D（5，1），若抛物线与线段CD有两个不同的交点，求a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）解：∵点B为（3，0），
∴9a+6﹣ ＝0，
∴a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为： ，
∴对称轴为x＝﹣2，
∵am＜0，
∴m＞0，
∴m2+2m+3＞3＞﹣2，
∵当m2+2m+3≤x≤m2+2m+5时，y随x的增大而减小，
∵当m2+2m+3≤x≤m2+2m+5，且am＜0时，抛物线最低点的纵坐标为﹣ ，
∴ ，
整理得（m2+2m+5）2﹣4（m2+2m+5）﹣12＝0，
解得，m2+2m+5＝6，或m2+2m+5＝﹣2（△＜0，无解），
∴ ，
∵m＞0，
∴ ；
（3）解：设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵点C（﹣5，﹣3）和点D（5，1），
∴ ，
∴ ，
∴CD的解析式为 ，
∵y＝ax2+2x﹣ （a≠0）
∴对称轴为 ，
①当a＞0时， ，则抛物线的顶点在y轴左侧，
∵抛物线与线段CD有两个不同的交点，
∴ ，
∴ ；
②当a＜0时， ，则抛物线的顶点在y轴左侧，
∵抛物线与线段CD有两个不同的交点，
∴ ，
∴a＜﹣3，
综上， 或a＜﹣3.
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）①令x＝0，得 ，
∴ ，
故答案为： ；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣4，
∴ ，
∴a＝ ，
故答案为： ；
【分析】（1）①求出当x=0时的y值，即得点A坐标；②利用对称轴公式即可求解；
（2）将B坐标代入解析式中求出a值，可得解析式为，从而求出对称轴为x＝﹣2，m＞0， 可得m2+2m+3＞3＞﹣2， 从而得出当x=m2+2m+5时 ，y为最小值=﹣ ，据此可得关于m方程，求出m值即可；
（3） 先求出直线CD的解析式为 ， 再求出抛物线的对称轴为 ， 然后分两种情况①当a＞0时， ，则抛物线的顶点在y轴左侧，②当a＜0时， ，则抛物线的顶点在y轴左侧，据此分别解答即可.
1 / 1福建省福州市福州第十六中学2020-2021学年九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2020九上·陆丰月考）下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0；② ；③ ；④ ．其中是一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2020·成华模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
3．（2019九下·武冈期中）下列说法错误的是（ ）
A．必然事件的概率为1
B．数据1、2、2、3的平均数是2
C．连续掷一枚硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上
D．如果某种活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖
4．（2021九下·福州开学考）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．（2021九下·福州开学考）如图是某几何体的三视图及相关数据，则下面判断正确的是（ ）
A．a＞c B．b＞c C．a2+4b2＝c2 D．a2＋b2＝c2
6．（2021九下·福州开学考）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
7．（2020九上·龙岩期末）若弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为13，AB=10，CD=24，则AB，CD之间的距离为（ ）
A．7 B．17 C．5或12 D．7或17
8．（2021·顺城模拟）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于A（m，6），B（3，n）两点，与坐标轴分别交于M，N两点．则△AOB的面积为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
9．（2021九下·福州开学考）如图，已知 中， ，点D、E分别在边AC、AB上，若AD=DC，AE=CB+BE，则线段DE的长为（ ）
A． B． C． D．2
10．（2021九下·福州开学考）方程 （k是实数）有两个实根 、 ，且 ， ，那么k的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．无解
二、填空题
11．（2021九下·福州开学考）已知方程x2﹣3x﹣k＝0有一根是2，则k的值是 .
12．（2021九下·福州开学考）一个正方体的骰子六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，则扔一次骰子朝上的数字满足不等式 的概率是 .
13．（2020九上·厦门期末）在平面直角坐标系中， 为原点，点 在第一象限， ， ， ，把 绕点 顺时针旋转60°得到 ，点 ， 的对应点分别为 ， ，则 的值为 ．
14．（2021九下·福州开学考）如图，将一张矩形纸片 沿对角线 进行折叠，点C落在点 处，若 ，则重叠部分（阴影部分）的面积是 （平方单位）.
15．（2021九下·福州开学考）已知点 为反比例函数图象上不同的两点，A坐标为 ，过点A作 轴于点C，过点B作 轴于点D，连结 ，若 ，则点B坐标为 .
16．（2021九下·福州开学考）如图，在矩形 中， ， ，E为 边上一动点，F、G为 边上两个动点，且 ，则线段 的长度最大值为 .
三、解答题
17．（2021·滨海模拟）计算： .
18．（2021九下·福州开学考）在平行四边形ABCD中，E、F分别在DC、AB上，且DE＝BF.求证：四边形AFCE是平行四边形.
19．（2021九下·福州开学考）如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A，B的供水路线进行优化改造，供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A，B之间的距离为300( +1)米，求供水站M分别到小区A，B的距离.(结果可保留根号)
20．（2021九下·福州开学考）如图，在平面直角坐标系 中的第一象限内，反比例函数图象过点 和另一动点 .
（1）求此函数表达式；
（2）如果 ，写出x的取值范围；
（3）直线 与坐标轴交于点P，如果 ，直接写出点P的坐标.
21．（2021九下·福州开学考）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证：EG2= GF AF；
（3）若AB=4，BC=5，求GF的长.
22．（2021九下·福州开学考）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关.为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下：
x（℃) 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35
天数 6 10 11 3
y（瓶） 270 330 360 420
以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率.
（1）试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率；
（2）根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍.问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？
23．（2021九下·福州开学考）如图，四边形 是正方形， 是等边三角形，M为对角线 （不含B点）上任意一点，将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 、 、 .设点N的坐标为 .
（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段 上，点 ， .且 （ ），则点D的坐标为 ，点C的坐标为 ；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是 ；
（2）若正方形的边长为2，求 的长，以及 的最小值. (提示：连结 ： ， )
24．（2021九下·福州开学考）已知： 内接于 ，D为劣弧 的中点， .
（1）如图1，当 为 的直径时，求证： ；
（2）如图2，当 不是 的直径，且 时，求证： ；
（3）如图3在（2）的条件下， ， ，求 长.
25．（2021九下·福州开学考）已知抛物线y＝ax2+2x﹣ （a≠0）与y轴交于点A，与x轴的一个交点为B.
（1）①请直接写出点A的坐标 ；
②当抛物线的对称轴为直线x＝﹣4时，请直接写出a＝ ；
（2）若点B为（3，0），当m2+2m+3≤x≤m2+2m+5，且am＜0时，抛物线最低点的纵坐标为﹣ ，求m的值；
（3）已知点C（﹣5，﹣3）和点D（5，1），若抛物线与线段CD有两个不同的交点，求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故不符合题意；
② 不是整式方程，即不是一元二次方程，故不符合题意；
③ 是一元二次方程，故符合题意；
④ 不是一元二次方程，故不符合题意．
共1个符合题意
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可．
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意；
B．矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项符合题意；
C．正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
D．等腰直角三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断可得．
3．【答案】D
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】A．概率值反映了事件发生的机会的大小，必然事件是一定发生的事件，所以概率为1，本项不符合题意；
B．数据1、2、2、3的平均数是（1+2+2+3）÷4=2，本项不符合题意；
C．掷硬币属于随机事件，可能正面向上，也可能反面向上.所以无论第几次掷，都有可能正面向上，故本项不符合题意；
D．某种游戏活动的中奖率为40%，属于随机事件，可能中奖，也可能不中奖，故本说法符合题意.
【分析】必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然事件，概率为1.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件为随机事件.概率：某事件在一次观测或实验中出现的可能性的大小或机会. 平均数：所有数据之和再除以数据的个数.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，
∴∠BAO＝90°，OA＝3
∴BO 5，
∴BD＝2BO＝10，
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的性质可得BO＝DO，AO＝CO=3，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BO=5，从而得出BD＝2BO＝10.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意可知该几何体是圆锥，根据勾股定理得，a2＋b2＝c2
故答案为：D.
【分析】判断出该几何体是圆锥，根据勾股定理即得结论.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
由网格可得AB=BC= ，AC= ，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故答案为：B.
【分析】连接BC，利用勾股定理及逆定理可得出△ABC为等腰直角三角形，即得∠BAC=45°，求出∠BAC的正切值即可.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥AB交AB于E点，过O作OF⊥CD交CD于F点，连接OA、OC，如图所示：
∵半径r=13，弦AB∥CD，且AB=24，CD=10
∴OA=OC=13，AE=EB=12，CF=FD=5，E、F、O在一条直线上
∴EF为AB、CD之间的距离
在Rt△OEA中，由勾股定理可得：
OE2=OA2-AE2
∴OE= =5
在Rt△OFC中，由勾股定理可得：
OF2=OC2-CF2
∴OF= =12
∴EF=OE+OF=17
AB与CD的距离为17；
②当AB、CD在圆心同侧时；
同①可得：OE=5，OF=12；
则AB与CD的距离为：OF-OE=7；
故答案为：17或7．
【分析】过O作OE⊥AB交AB于E点，过O作OF⊥CD交CD于F点，连接OA、OC，由题意可得：OA=OC=13，AE=EB=12，CF=FD=5，E、F、O在一条直线上，EF为AB、CD之间的距离，再分别解Rt△OEA、Rt△OFC，即可得OE、OF的长，然后分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】∵一次函数 与反比例函数 的图象交于A（m，6），B（3，n）两点，
∴6m=6，3n=6，
解得m=1，n=2，
∴A（1,6），B（3,2），
将A、B的坐标代入一次函数 中，得
，解得 ，
∴直线MN的解析式为y=-2x+8，
令x=0，则y=8，故M（0,8），
令y=0，则-2x+8=0，得x=4，故N（4,0），
∴OM=8，ON=4，
∴
=
=
=8，
故答案为：C.
【分析】先求出点A、B的坐标，求出直线MN的解析式，得到点M、N的坐标，再利用 求出答案.
9．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作 ，
， ， ，
， ， ，
，
，
，
， ，
，
∽ ，
，
， ，
根据勾股定理： ，
故答案为：B.
【分析】过点E作 ，利用直角三角形及平行线的性质可求出，， ，从而求出，，BE=1，由平行线可证 ∽ ，利用相似三角形对应边成比可求出DF、EF的长，利用勾股定理求出DE即可.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设f(x)= ，抛物线开口向上，画出f(x)的大致图形，可以得到f(0)= >0，解得k>2或k<-1；f(1)=7-k-13 <0，解得-20，解得k<0或k>3，可利用穿针引线法求得他们的公共部分得到 或 ，故答案为：C.
【分析】设f(x)= ，可得抛物线开口向上， 由于方程 的两个实数根在 ， ，根据函数图象可得f(0)>0，f(1) <0，f(2) >0，求出不等式解集的公共部分即可.
11．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x﹣k＝0得4﹣6﹣k＝0，
解得k＝﹣2.
故答案为﹣2.
【分析】把x＝2代入方程x2﹣3x﹣k＝0中，即可求解.
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵扔一次由6种可能，但小于等于4的有4种情况，
∴概率 ，
故答案为： .
【分析】利用小于等于4的数的个数除以总数字的个数，即得结论.
13．【答案】1
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】如图，过点A作 于点D，
， ，
，
，
把 绕点 顺时针旋转60°得到 ，
点恰巧落在直线AD上，
在 中，
，
由勾股定理得，
故答案为：1．
【分析】如图，过点A作 于点D，利用30°角的正切值求出AD的长，继而可得再由旋转的性质求出，，在 中。利用勾股定理求出MD的长，继而求出结论.
14．【答案】10
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设AE＝x，ED＝8 x，
由折叠，得∠C′BD＝∠CBD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝BE＝8 x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2＋AB2＝BE2，
∴x2＋42＝（8 x）2，
解得x＝3，
∴S△EBD＝S△ABD S△ABE＝ ×AB×AD ×AB×AE＝ ×4×8 ×4×3＝10.
故答案为：10.
【分析】设AE＝x，ED＝8 x，由折叠得∠C′BD＝∠CBD，由AD∥BC可得∠EDB＝∠CBD，即得∠EDB＝∠EBD，由等角对等边即得ED＝BE＝8 x，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2＋AB2＝BE2，据此建立关于x方程，求解即得AE的长，根据S△EBD＝S△ABD S△ABE即可求解.
15．【答案】（ ），（4，1），（2，2）
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：根据题意，设反比例函数为 ，
∵点A（1，4）在反比例函数图象上，则 ，
∴反比例例函数的解析式为： ；
设点B为：（ ， ），
过点A作 轴于点C，过点B作 轴于点D，连结 ，如图：
∴点D为（0， ），点C为（1，0），
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴点B坐标为：（ ），（4，1），（2，2）；
故答案为：（ ），（4，1），（2，2）；
【分析】先求出反比例例函数的解析式为 ，可设点B为（ ， ），过点A作 轴于点C，过点B作 轴于点D，连结 ，可得点D为（0， ），点C为（1，0），由 可建立关于x方程，求解即得结论.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作出△EFG的外接圆 ，过点O作OH⊥FG于点H，
∵∠FEG＝45°，
∴∠FOG＝2∠FEG＝90°，
又∵OG＝OF，OH⊥FG，
∴FG＝2HG＝2OH，∠OFG＝∠OGF＝45°，
∵在Rt△OHG中，∠OGF＝45°，
∴HG＝ OG，
∴当 的半径最大时，FG的长度取得最大值，
如下图，当 经过点B、D时，即点E、G分别与点B、D重合时，FG的长度取得最大值，
设OH＝HD＝HF＝x，则OD＝OB＝ x，
在矩形PCDH中，PC＝DH＝x，PH＝CD＝1，
∴BP＝BC－PC＝ －x，OP＝PH－OH＝1－x，
在Rt△BOP中，BP2+OP2＝BO2，
∴ ，
解得， ，
∴FD＝2x＝ ，
故答案为： .
【分析】作出△EFG的外接圆 ，过点O作OH⊥FG于点H，由垂径定理可得FG＝2HG＝2OH，∠OFG＝∠OGF＝45°，再求出△OHG为等腰直角三角形，可得HG＝OG，当 的半径最大时，GH最大，即FG的长度取得最大值.当 经过点B、D时，即点E、G分别与点B、D重合时，FG的长度取得最大值，求出此时DH的长即得结论.
17．【答案】解：原式
.
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】第一项根据负整数指数幂的法则进行计算，第二项代入特殊锐角三角函数值，第三项根据零指数幂的法则计算，第四项根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
∵DE = BF，
∴AF=CE.
∵在四边形AFCE中，AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，由DE = BF可得AF=CE，由AF∥CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即证.
19．【答案】解：如下图：过点M作MN⊥AB于N，
设MN=x米.在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，∴MA=2MN=2x，AN= MN= x.在Rt△BMN中，∵∠BNM=90°，∠MBN=45°，∴BN=MN=x，MB= MN= x.∵AN+BN=AB，∴ x+x=300（ +l），解得：x=300，∴MA=2x=600，MB= x=300 .故供水站M到小区A的距离是600米，到小区B的距离是300 米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】 过点M作MN⊥AB于N，设MN=x米，利用含30°角的直角三角形的性质可得MA=2MN
=2x，AN= x，由题意知△BNM为等腰直角三角形，可得BN=MN=x，MB= MN= x，根据AN+BN=AB列出方程，求解即可.
20．【答案】（1）解：设反比例函数表达式为 ，
∵此函数过 ，∴ ，解得 ，
∴此函数表达式是 .
（2）解：∵点B在反比例函数 的第一象限的图象上，∴ ，且 ，
∵ ，∴ .
（3）点 的坐标为(0，3)或(6，0)
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：(3)
当点B在点A左边时，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，如图1所示.
∵ ， ，∴ 为 的中位线，
∴ ，∴点B的坐标为 ，
∴ ，∴ ，
∴点 ；
当点B在点A的右边时，过点A作 轴于点E，过点B作 于点F，则 为 的中位线，如图2所示.
∴ ，∴点 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴点 .
综上所述：点P的坐标为(0，3)或(6，0).
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）由（1）知，可得 ，根据y＞0且x＞0，列出不等式求出解集即可；
（3）分两种情况：①当点B在点A左边时，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，如图1所示，②当点B在点A的右边时，过点A作 轴于点E，过点B作 于点F，据此分别求解即可.
21．【答案】（1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF＝∠DFG.
∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，
∴∠DGF＝∠DFG.
∴GD＝DF.
∴DG＝GE＝DF＝EF，
∴四边形EFDG为菱形.
（2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O.
∵由（1）四边形EFDG为菱形.
∴GF⊥DE，OG＝OF＝ GF.
∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA，
∴△DOF∽△ADF.
∴ ，即DF2＝FO AF.
∵FO＝ GF，DF＝EG，
∴EG2＝ GF AF.
（3）解：作GH⊥CD于H，如图2所示：
则CH＝EG，由（1）得：AE＝AD，
在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝AD＝5，
∴BE＝ ＝3，
∴EC＝2.
设GF＝x，菱形边长为y，则
由（2）得：y2＝ x×AF①，
在Rt△ADF中，AF2 ＝25+y2 ②
在Rt△ECF中，y2 ＝4+（4﹣y）2③
解得：y＝ ，
代入②得：AF＝ ，再代入①得： .
即GF＝ .
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 求出DG＝GE＝DF＝EF， 根据菱形的判定即证；
（2）如图1所示：连接DE，交AF于点O. 由菱形的性质可得GF⊥DE，OG＝OF＝ GF， 证明△DOF∽△ADF，利用相似三角形对应边成比例可得DF2＝FO AF，据此即可求解；
（3）作GH⊥CD于H，可得CH＝EG，由（1）得AE＝AD=5，利用勾股定理求出BE=3，再得EC=2，设GF＝x，菱形边长为y ，由（2）得y2＝ x×AF①，在Rt△ADF中，AF2 ＝25+y2 ②，在Rt△ECF中，y2 ＝4+（4﹣y）2③，据此即可求解.
22．【答案】（1）解：依题意可知，
今年六月份每月售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于 瓶的概率为 ；
（2）解：根据题意可知：
该超市当天售出一瓶酸奶可获利2元，降级处理一瓶亏2元，
设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为n瓶，平均每天的利润为w元，则：
当 时，
，
当 时，
，
当 时，
，
当 时，
，
当 时，与 时比较，
六月增订的部分，亏本售出的比正常售出的多，
所以其每天的平均利润比 时平均每天利润少.
综上所述： 时，W的值达到最大.
即今年六月份这种酸奶一年的进货量为 瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大.
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）利用表格中不高于360瓶的的天数之和，除以六月份总天数即得结论；
（2）由于该超市当天售出一瓶酸奶可获利2元，降级处理一瓶亏2元，设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为n瓶，平均每天的利润为w元，分别求出n=100、200、300、400时W的值，当 时，与 时比较，可得六月增订的部分，亏本售出的比正常售出的多，所以其每天的平均利润比 时平均每天利润少，据此即得结论.
23．【答案】（1）（1，0）；（0，-1）；
（2）解：如图所示，连接 ，过E作 ，交 的延长线于H，
由旋转可得， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴
∵ 是等边三角形
∴
∴
∴ ≌ （ ）
∴
∴
∴当E，N，M，C在同一直线上时， 的最小值是 的长，
又∵ ，
∴
∴ 中，
∴
∴
∴ 中，
∴ 的最小值为
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）如图1，以直线 为x轴，直线 为y轴，建立平面直角坐标系，
∵四边形 是正方形
∴
∵点 ，
∴ ，
过N作 于h
∴
∵将 绕点B逆时针旋转 得到 ，
∴
∴
∵
∴点N纵坐标n的取值范围是
故答案为： ， ，
【分析】（1）如图1，以直线 为x轴，直线 为y轴，建立平面直角坐标系，由正方形的性质可得，由点 ， 可得 ， 过N作 于H，由旋转的性质可得，可求出，由可得；
（2） 如图所示，连接 ，过E作 ，交 的延长线于H，当E，N，M，C在同一直线上时， 的最小值是 的长， 求出此时CE的长即可.
24．【答案】（1）证明：如图1，
∵ 为 的直径，
∴∠BAC=90°，
∵ ，
∴∠AEF=90°，
∴∠ABD+∠AFB=∠AFB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
∵D为劣弧 的中点，
∴∠ABC=2∠ABD=2∠CAE，
∵∠ABC+∠C=90°，
∴ ；
（2）证明：如图，延长AE交BC于点G，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠GEB=90°，
∵点D是为劣弧 的中点，
∴∠ABE=∠GBE，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△GBE（ASA），
∴AB=GB，AE=GE，∠BAE=∠BGE，
∴AG=2AE，
∵ ，
∴∠BGE=2∠C，
∵∠BGE=∠C+∠CAG，
∴∠C=∠CAG，
∴CG=AG=2AE，
∵BC=BG+CG，
∴ ；
（3）解：如图，延长AE到G，过点D作DH⊥BC，连接DC，OD，
由（2）知，AG=CG，点D为弧AC的中点，
∴点O、G、D三点共线，
∵∠ABE=∠DBH，∠AEB=∠DHB=90°，
∴△ABE∽△DBH，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵DG平分∠AGC，
∴GE=GH，
设 ，则 ，
∴ ，
在Rt△BEG中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
易证△AFB∽DFC，
∴ ，
∴ .
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由圆周角定理及垂直的定义可得∠BAC=∠AEF=90°，利用余角的性质可求出 ∠ABD=∠CAE， 根据弧、弦、圆周角的关系可得∠ABC=2∠ABD=2∠CAE，由∠ABC+∠C=90°即得 ；
（2） 延长AE交BC于点G，由垂直的定义可得∠AEB=∠GEB=90°，根据弧、弦、圆周角的关系可得 ∠ABE=∠GBE， 从而证明△ABE≌△GBE（ASA）， 可得AB=GB，AE=GE，∠BAE=∠BGE， 从而求出 ∠BGE=∠BGE=2∠C， 结合三角形外角的性质可求出∠C=∠CAG， 可得CG=AG=2AE， 利用 BC=BG+CG即可求解；
（3）如图，延长AE到G，过点D作DH⊥BC，连接DC，OD， 证明 △ABE∽△DBH利用相似三角形的性质求出BH=16，DH=2AE， 由角平分线的性质可得GE=GH，在Rt△BEG中，由可求出BG=10，即得AB=BG=10，从而得出，，利用勾股定理求出CD，利用正切函数的定义可得，从而求出BF=BE+EF=11，再证明 △AFB∽DFC， 根据相似三角形对应边成比例即可求解.
25．【答案】（1）；
（2）解：∵点B为（3，0），
∴9a+6﹣ ＝0，
∴a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为： ，
∴对称轴为x＝﹣2，
∵am＜0，
∴m＞0，
∴m2+2m+3＞3＞﹣2，
∵当m2+2m+3≤x≤m2+2m+5时，y随x的增大而减小，
∵当m2+2m+3≤x≤m2+2m+5，且am＜0时，抛物线最低点的纵坐标为﹣ ，
∴ ，
整理得（m2+2m+5）2﹣4（m2+2m+5）﹣12＝0，
解得，m2+2m+5＝6，或m2+2m+5＝﹣2（△＜0，无解），
∴ ，
∵m＞0，
∴ ；
（3）解：设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵点C（﹣5，﹣3）和点D（5，1），
∴ ，
∴ ，
∴CD的解析式为 ，
∵y＝ax2+2x﹣ （a≠0）
∴对称轴为 ，
①当a＞0时， ，则抛物线的顶点在y轴左侧，
∵抛物线与线段CD有两个不同的交点，
∴ ，
∴ ；
②当a＜0时， ，则抛物线的顶点在y轴左侧，
∵抛物线与线段CD有两个不同的交点，
∴ ，
∴a＜﹣3，
综上， 或a＜﹣3.
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）①令x＝0，得 ，
∴ ，
故答案为： ；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣4，
∴ ，
∴a＝ ，
故答案为： ；
【分析】（1）①求出当x=0时的y值，即得点A坐标；②利用对称轴公式即可求解；
（2）将B坐标代入解析式中求出a值，可得解析式为，从而求出对称轴为x＝﹣2，m＞0， 可得m2+2m+3＞3＞﹣2， 从而得出当x=m2+2m+5时 ，y为最小值=﹣ ，据此可得关于m方程，求出m值即可；
（3） 先求出直线CD的解析式为 ， 再求出抛物线的对称轴为 ， 然后分两种情况①当a＞0时， ，则抛物线的顶点在y轴左侧，②当a＜0时， ，则抛物线的顶点在y轴左侧，据此分别解答即可.
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