湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校2020-2021学年九年级下学期数学入学考试试卷
一、单选题
1．（2020七上·道外期末）在实数 ，0， ， ， ， 中，无理数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】根据无理数的定义可知， 是无理数， ，故其为有理数，
故答案为：C．
【分析】 无理数，也称为无限不循环小数。根据无理数的定义进行判断求解即可。
2．（2018·枣庄）下列计算，正确的是（ ）
A．a5+a5=a10 B．a3÷a﹣1=a2
C．a 2a2=2a4 D．（﹣a2）3=﹣a6
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、a5+a5=2a5，A不符合题意；
B、a3÷a﹣1=a3﹣（﹣1）=a4，B不符合题意；
C、a 2a2=2a3，C不符合题意；
D、（﹣a2）3=﹣a6，D符合题意，
故答案为：D．
【分析】同底数幂相除，底数不变指数相减；合并同类项法则，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变；单项式乘以单项式，系数的积作积的系数，相同字母相乘，底数不变，指数相加，积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，利用法则即可一一判断。
3．（2021九下·岳麓开学考）如图所示，在数轴上表示实数 的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵4＜8＜9，
∴2＜ ＜3，
∴点N表示
故答案为：B.
【分析】根据被开方数大，算术平方根就大，据此解答即可.
4．（2017·天门）北京时间5月27日，蛟龙号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟作业区开展了本航段第3次下潜，最大下潜深度突破6500米，数6500用科学记数法表示为（ ）
A．65×102 B．6.5×102 C．6.5×103 D．6.5×104
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数6500用科学记数法表示为6.5×103．
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
5．（2019八上·莲湖期中）已知关于x的一次函数y＝（2﹣m）x+2的图象如图所示，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞0 D．m＜0
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】由图可知：2﹣m＞0，
∴m＜2.
故答案为：B.
【分析】根据一次函数的增减性即可列出不等式，解不等式即可.
6．（2021九下·岳麓开学考）分式方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解，
则分式方程的解为 ，
故答案为：B.
【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
7．（2020·西藏）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则有（n-2）×180°=360°×4，
所有n=10.
故答案为：C.
【分析】利用多边形的内角和公式得该多边形的内角度数为（n-2）×180°，而任何多边形的外角和都为360°，从而利用“ 多边形的内角和是外角和的4倍 ”列方程即可解决问题.
8．（2021九下·岳麓开学考）由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：从主视图上可以看出左面有两层，右面有一层；
从左视图上看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层，
从俯视图上看，底面有3个小正方体，因此共有4个小正方体组成，
故答案为：A.
【分析】求出各选项中的三视图，然后与题干中的三视图进行对照即可.
9．（2021八上·岫岩期中）一副学生用的三角板如图放置，则∠AOD的度数为（ ）
A．75° B．100° C．105° D．120°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题可得，∠ACB=45°，∠DBC=30°，
∴△BCO中，∠BOC=180°–45°–30°=105°，
∴∠AOD=∠BOC=105°，
故答案为：C．
【分析】根据图形可得：∠ACB=45°，∠DBC=30°，再利用三角形的内角和可得∠BOC=180°–45°–30°=105°，最后利用对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC=105°。
10．（2017·青海）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（2，2）
C．（﹣2，2） D．（2，﹣2）
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，﹣2），即（2，﹣2），
则点B关于x轴的对称点B′的坐标是（2，2），
故选：B．
【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．
11．（2021九下·岳麓开学考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=30°，∴OH= OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH= ，
∴CD=2CH=2 .
故答案为：C.
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，由垂径定理可得HC=HD，易求OA=OC=4，OP=2，利用含30°角的直角三角形的性质可得OH= OP=1，在Rt△OHC中利用勾股定理求出CH的长，利用CD=2CH即可求解.
12．（2021九下·岳麓开学考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴的正半轴交于点C.下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0；④3a+c＜0，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵由抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，即ab＞0.
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
∴①正确；
②如图，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，
∴②正确；
③对称轴为x＝﹣ ＞﹣1，即 ＜1，
∵a＜0，
∴b＞2a，即2a﹣b＜0，
∴③错误；
④当x＝1时，y＝a+b+c＝0，
又∵b＞2a，
∴a+b+c＝0＞a+2a+c＝3a+c，即3a+c＜0.
∴④正确.
综上所述，正确的结论有①②④共3个，
故答案为：C.
【分析】由抛物线的开口向下可得a＜0，由图象知对称轴位于y轴的左侧，且x＝﹣ ＞﹣1，可求出b＜0，b＞2a，由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，据此判断①③；由图象知当x＝﹣2时，函数值y＝4a﹣2b+c＞0，据此判断②；由图象知当x＝1时，y＝a+b+c＝0，由b＞2a可得a+b+c＝0＞a+2a+c，据此判断④.
二、填空题
13．（2021九下·岳麓开学考）因式分解：3a2－12a＋12＝ .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=
=
故答案为： .
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.
14．（2021九下·岳麓开学考）如图，已知点P（1，2）在反比例函数 的图象上，观察图象可知，当x＞1时，y的取值范围是 .
【答案】0＜y＜2
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：反比例函数图象在同一象限内，y随x增大而减小，当x＞1时，y＜2；再由反比例函数图象的性质可知，y＞0，故y的取值范围是0＜y＜2.
故答案为0＜y＜2.
【分析】由图象可知当x＞1时，函数图象位于0—2之间，据此即得结论.
15．（2021九下·岳麓开学考）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sinB的值为
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：延长BC至D，使BD=4个小正方形的边长，连接AD
由图可知：AD=4个小正方形的边长，且∠ADB=90°
∴△ADB是等腰直角三角形
∴∠B=45°
∴sinB=
故答案为： .
【分析】延长BC至D，使BD=4个小正方形的边长，连接AD，可得△ADB是等腰直角三角形，从而得出∠B=45°，利用特殊三角函数值即得.
16．（2021九下·岳麓开学考）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的弧EF上任意一点，连接BP，CP，则 BP+CP的最小值是 .
【答案】2
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在AB上取一点T，使得AT＝2，连接PT，PA，CT，
∵PA＝4.AT＝2，AB＝8，
∴PA2＝AT AB，
∴ ，
∵∠PAT＝∠PAB，
∴△PAT∽△BAP，
∴ ，
∴PT＝ PB，
∴ PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，
在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝2，AC＝8，
∴ ，
∴ PB+PC≥2 ，
∴ PB+PC的最小值为2 ，
故答案为：2 .
【分析】在AB上取一点T，使得AT＝2，连接PT，PA，CT，证明△PAT∽△BAP，利用相似三角形的性质可得PT＝ PB，即得 PB+CP＝CP+PT，在Rt△ACT中，利用勾股定理求出CT=，由于PC+PT≥TC，可得 PB+PC≥2 ，从而求出其最小值.
三、解答题
17．（2021九下·岳麓开学考）计算：| ﹣2|+sin60°﹣ +2-2
【答案】解：原式＝2﹣ + ﹣3 +
＝﹣ + .
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据绝对值、特殊角三角形函数值、二次根式的性质、负整数指数幂进行计算即可.
18．（2019七下·句容期中）先化简，再求值：4（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x＝﹣1．
【答案】解：原式＝4（x2－2x＋1）－（4x2－9）
＝4x2－8x＋4－4x2＋9
＝－8x＋13
当x＝－1时，原式＝21
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据整式的混合运算法则将所给的整式化简后，再代入求值即可.
19．（2021九下·岳麓开学考）求关于x的不等式组 的所有整数解之和.
【答案】解： ，
解不等式①得，x＜3，
解不等式②得，x≥1，
所以，不等式组的解集是1≤x＜3，
所以，不等式组的整数解有1、2，
它们的和为1+2＝3.
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先求出不等式组的解集，再求出其整数解，最后相加即可.
20．（2021九下·岳麓开学考）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类杜团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表：
社团名称 A.酵素制作社团 B.回收材料小制作社团 C.垃圾分类社团 D.环保义工社团 E.绿植养护社团
人数 10 15 5 10 5
（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是 ；
（2）根据以上信息，补全扇形图（图1）和条形图（图2）；
（3）该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率.
【答案】（1）10
（2）解：没有选择的占1﹣10%﹣30%﹣20%﹣10%﹣20%=10%，
条形图的高度和E相同；如图所示：
（3）解：1400×20%=280（名）
答：估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团有280名；
（4）解：酵素制作社团、绿植养护社团分别用A、B表示：树状图如图所示，
共有4种可能，两人同时选择绿植养护社团只有一种情形，
∴这两名同学同时选择绿植养护社团的概率= .
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）这5个数从小到大排列：5，5，10，10，15，故中位数为10，
故答案为10.
【分析】（1）将这5个数从小到大排列，正中间位置的数即为中位数；
（2）由统计图中各部分百分比之和等于1，求出没选择的百分比，由于和E的百分比相等，可知没选择条形图的高度和E相同 ，据此补图即可；
（3）利用样本中环保义工社团 的百分比乘以全校总人数，即得结论；
（4） 利用树状图列举出共有4种等可能，其中两人同时选择绿植养护社团只有一种情形，然后利用概率公式计算即可.
21．（2020·北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．
（2）解：∵点E为AD的中点，AD=10，
∴AE=
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中， ．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE= AB=5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
故答案为：OE=5，BG=2．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE= AB= AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．
22．（2021九下·岳麓开学考）大英县某商场准备购进A、B两种类型的便携式风扇到嘉家超市出售.已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元.
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）商场准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，商场准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元.根据以上信息，商场共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？
【答案】（1）解：设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，
依题意，得： ，
解得： .
即A型风扇进货的单价是10元，B型风扇进货的单价是16元；
（2）解：设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，
依题意，得：
解得：71 ≤m≤75，
又∵m为正整数，
∴m可以取72、73、74、75，
∴共有4种进货方案，
方案1：购进A型风扇72台，B型风扇28台；
方案2：购进A型风扇73台，B型风扇27台；
方案3：购进A型风扇74台，B型风扇26台；
方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台.
∵B型风扇进货的单价大于A型风扇进货的单价，
∴方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，
最低费用为75×10+25×16＝1150元.
所以商场共有4种进货方案，方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，最低费用为1150元.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，根据“2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”列出方程组，解之即可；
（2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，根据“购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元”列出不等式组，求出其整数解即可.
23．（2021九下·岳麓开学考）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB PA.
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是 的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长.
【答案】（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵PC2＝PB PA，即 ＝ ，
∵∠P＝∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴∠PCB＝∠PAC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，如图2所示：
∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB PA，
∴PA＝ ＝ ＝40，
∴AB＝PA﹣PB＝30，
∵△PBC∽△PCA，
∴ ＝ ＝2，
设BC＝x，则AC＝2x，
在Rt△ABC中， ，即x2+（2x）2＝302，
解得：x＝6 ，即BC＝6 ，
∵点D是 的中点，AB为⊙O的直径，
∴∠AOD＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠AEF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠DFO＝∠ABC，
∴△DOF∽△ACB，
∴ ＝ ＝ ，
∴OF＝ OD＝ ，即AF＝ ，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ACB
∴ ＝ ＝ ，
∴EF＝ BC＝ .
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，证明△PBC∽△PCA可得∠PCB＝∠PAC，由AB为⊙O的直径可得∠ACB＝90°，从而得出∠A+∠ABC＝90°，由OC＝OB可得∠OBC＝∠OCB，从而得出∠PCO=∠PCB+∠OCB＝90°，根据切线的判定定理即证；
（2）连接OD，由PC2＝PB PA求出PA=40，AB＝PA﹣PB＝30， 根据相似三角形的性质可得 ＝ ＝2，设BC＝x，则AC＝2x，在Rt△ABC中利用勾股定理建立关于x方程，从而得出BC的长. 证明△DOF∽△ACB，利用相似三角形的性质求出OF，即得AF，再证△DOF∽△ACB，利用相似三角形的性质即可求出EF.
24．（2021九下·岳麓开学考）已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“麓点”，例如：y＝3x﹣2上存在“麓点”P（1，1）.
（1）直线 （填写直线解析式）上的每一个点都是“麓点”；双曲线y＝ 上的“麓点”是 ；
（2）若抛物线y＝﹣ x2+（ a+1）x﹣ a2﹣a+1上有“麓点”，且“麓点”为A（x1，y1）和B（x2，y2），求W＝x12+x22的最小值；
（3）若函数y＝ x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1的图象上存在唯一的一个“麓点”，且当﹣2≤n≤1时，m的最小值为k，求k的值.
【答案】（1）y＝x；（1，1）或（﹣1，﹣1）
（2）解：由题意得：y＝x，即：y＝﹣ x2+（ a+1）x﹣ a2﹣a+1＝x，
整理得：﹣ x2+ ax﹣ a2﹣a+1＝0，
∵△＝（ a）2﹣4×（﹣ ）（﹣ a2﹣a+1）＝﹣2a+2≥0，
解得：a≤1，
由根与系数关系得：x1+x2＝ ，x1x2＝ a2+2a﹣2，
∴W＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝ （a﹣ ）2﹣ ，
∵ ＞0，
故函数W有最小值，
当a＝1时，函数取得最小值为y＝ （a﹣ ）2﹣ ＝ .
（3）解：∵函数y＝ x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1的图象上存在“麓点”，则 x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1＝x，
整理得： x2+（n﹣k）x+m+k﹣1＝0，
由函数图象上存在唯一的一个“麓点”可知：△＝（n﹣k）2﹣（m+k﹣1）＝0，
∴m＝（n﹣k）2﹣（k﹣1），
①当﹣2≤n＝k≤1时，n＝k时，m取得最小值，
即：﹣（k﹣1）＝k，
解得：k＝ .
②当n＝k≤﹣2时，n＝﹣2，m取得最小值，
即：（﹣2﹣k）2﹣（k﹣1）＝k，
解得：无解.
③当n＝k≥1时，n＝1，m取得最小值，
即：（1﹣k）2﹣（k﹣1）＝k，
解得：k＝2± （舍去负值）
故：k的值为： 或2+ .
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；一次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意得：y＝x时，图象经过点P（t，t），
y＝ ＝x，解得：x＝±1，
故答案为：y＝x，（1，1）或（﹣1，﹣1）.
【分析】（1） 根据“麓点” 的定义分别求解即可；
（2）由“麓点” 的定义可得y＝x，即得y＝﹣ x2+（ a+1）x﹣ a2﹣a+1＝x ，由于关于x方程中△≥0，据此求出a≤1，由根与系数关系得x1+x2＝ ，x1x2＝ a2+2a﹣2，由于W＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝ ，然后代入，利用二次函数的性质求出其最小值即可；
（3）同（2）可得x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1＝x，整理得： x2+（n﹣k）x+m+k﹣1＝0，由图象上存在唯一的一个“麓点”可知△＝0，求出m＝（n﹣k）2﹣（k﹣1）， 分三段考虑：①当﹣2≤n＝k≤1时，n＝k时，m取得最小值，②当n＝k≤﹣2时，n＝﹣2，m取得最小值，③当n＝k≥1时，n＝1，m取得最小值，据此分别求解即可.
25．（2021九下·岳麓开学考）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于 两点，其中 ， .该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.
（1）求 的值及该抛物线的解析式；
（2）如图2.若点P为线段 上的一动点(不与 重合).分别以 、 为斜边，在直线 的同侧作等腰直角△ 和等腰直角△ ，连接 ，试确定△ 面积最大时P点的坐标.
（3）如图3.连接 、 ，在线段 上是否存在点Q，使得以 为顶点的三角形与△ 相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，∴A（1，0），B（4，3）.
∵y=﹣x2+bx+c经过点A与点B，∴ ，解得： ，则二次函数解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（2）解：如图2，△APM与△DPN都为等腰直角三角形，∴∠APM=∠DPN=45°，∴∠MPN=90°，∴△MPN为直角三角形，令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5，∴D（5，0），即DP=5﹣1=4，设AP=m，则有DP=4﹣m，∴PM= m，PN= （4﹣m），∴S△MPN= PM PN= × m× （4﹣m）=﹣ m2﹣m=﹣ （m﹣2）2+1，∴当m=2，即AP=2时，S△MPN最大，此时OP=3，即P（3，0）；
（3）解：存在，易得直线CD解析式为y=x﹣5，设Q（x，x﹣5），由题意得：∠BAD=∠ADC=45°，分两种情况讨论：
①当△ABD∽△DAQ时， = ，即 = ，解得：AQ= ，由两点间的距离公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2= ，解得：x= ，此时Q（ ，﹣ ）；
②当△ABD∽△DQA时， =1，即AQ= ，∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，解得：x=2，此时Q（2，﹣3）.
综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（ ，﹣ ）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的性质；等腰直角三角形；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1） 把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得m=1，n=3，即得A、B坐标，然后将A、B坐标代入抛物线解析式中，求出b、c的值即可；
（2）先求出D（5，0），可得DA=4，设AP=m，则有DP=4﹣m，根据等腰直角三角形求出PM= m，PN= （4﹣m），由于S△MPN= PM PN= × m× （4﹣m）=﹣ m2﹣m ，根据二次函数的性质求出解即可；
（3） 由于 ∠BAD=∠ADC=45°，分两种情况①当△ABD∽△DAQ时，②当△ABD∽△DQA时，利用相似三角形的性质分别求解即可.
1 / 1湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校2020-2021学年九年级下学期数学入学考试试卷
一、单选题
1．（2020七上·道外期末）在实数 ，0， ， ， ， 中，无理数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2018·枣庄）下列计算，正确的是（ ）
A．a5+a5=a10 B．a3÷a﹣1=a2
C．a 2a2=2a4 D．（﹣a2）3=﹣a6
3．（2021九下·岳麓开学考）如图所示，在数轴上表示实数 的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
4．（2017·天门）北京时间5月27日，蛟龙号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟作业区开展了本航段第3次下潜，最大下潜深度突破6500米，数6500用科学记数法表示为（ ）
A．65×102 B．6.5×102 C．6.5×103 D．6.5×104
5．（2019八上·莲湖期中）已知关于x的一次函数y＝（2﹣m）x+2的图象如图所示，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞0 D．m＜0
6．（2021九下·岳麓开学考）分式方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·西藏）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（2021九下·岳麓开学考）由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021八上·岫岩期中）一副学生用的三角板如图放置，则∠AOD的度数为（ ）
A．75° B．100° C．105° D．120°
10．（2017·青海）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（2，2）
C．（﹣2，2） D．（2，﹣2）
11．（2021九下·岳麓开学考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
12．（2021九下·岳麓开学考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴的正半轴交于点C.下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0；④3a+c＜0，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．（2021九下·岳麓开学考）因式分解：3a2－12a＋12＝ .
14．（2021九下·岳麓开学考）如图，已知点P（1，2）在反比例函数 的图象上，观察图象可知，当x＞1时，y的取值范围是 .
15．（2021九下·岳麓开学考）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sinB的值为
16．（2021九下·岳麓开学考）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的弧EF上任意一点，连接BP，CP，则 BP+CP的最小值是 .
三、解答题
17．（2021九下·岳麓开学考）计算：| ﹣2|+sin60°﹣ +2-2
18．（2019七下·句容期中）先化简，再求值：4（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x＝﹣1．
19．（2021九下·岳麓开学考）求关于x的不等式组 的所有整数解之和.
20．（2021九下·岳麓开学考）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类杜团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表：
社团名称 A.酵素制作社团 B.回收材料小制作社团 C.垃圾分类社团 D.环保义工社团 E.绿植养护社团
人数 10 15 5 10 5
（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是 ；
（2）根据以上信息，补全扇形图（图1）和条形图（图2）；
（3）该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率.
21．（2020·北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．
22．（2021九下·岳麓开学考）大英县某商场准备购进A、B两种类型的便携式风扇到嘉家超市出售.已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元.
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）商场准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，商场准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元.根据以上信息，商场共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？
23．（2021九下·岳麓开学考）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB PA.
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是 的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长.
24．（2021九下·岳麓开学考）已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“麓点”，例如：y＝3x﹣2上存在“麓点”P（1，1）.
（1）直线 （填写直线解析式）上的每一个点都是“麓点”；双曲线y＝ 上的“麓点”是 ；
（2）若抛物线y＝﹣ x2+（ a+1）x﹣ a2﹣a+1上有“麓点”，且“麓点”为A（x1，y1）和B（x2，y2），求W＝x12+x22的最小值；
（3）若函数y＝ x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1的图象上存在唯一的一个“麓点”，且当﹣2≤n≤1时，m的最小值为k，求k的值.
25．（2021九下·岳麓开学考）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于 两点，其中 ， .该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.
（1）求 的值及该抛物线的解析式；
（2）如图2.若点P为线段 上的一动点(不与 重合).分别以 、 为斜边，在直线 的同侧作等腰直角△ 和等腰直角△ ，连接 ，试确定△ 面积最大时P点的坐标.
（3）如图3.连接 、 ，在线段 上是否存在点Q，使得以 为顶点的三角形与△ 相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】根据无理数的定义可知， 是无理数， ，故其为有理数，
故答案为：C．
【分析】 无理数，也称为无限不循环小数。根据无理数的定义进行判断求解即可。
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、a5+a5=2a5，A不符合题意；
B、a3÷a﹣1=a3﹣（﹣1）=a4，B不符合题意；
C、a 2a2=2a3，C不符合题意；
D、（﹣a2）3=﹣a6，D符合题意，
故答案为：D．
【分析】同底数幂相除，底数不变指数相减；合并同类项法则，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变；单项式乘以单项式，系数的积作积的系数，相同字母相乘，底数不变，指数相加，积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，利用法则即可一一判断。
3．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵4＜8＜9，
∴2＜ ＜3，
∴点N表示
故答案为：B.
【分析】根据被开方数大，算术平方根就大，据此解答即可.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数6500用科学记数法表示为6.5×103．
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
5．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】由图可知：2﹣m＞0，
∴m＜2.
故答案为：B.
【分析】根据一次函数的增减性即可列出不等式，解不等式即可.
6．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解，
则分式方程的解为 ，
故答案为：B.
【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
7．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则有（n-2）×180°=360°×4，
所有n=10.
故答案为：C.
【分析】利用多边形的内角和公式得该多边形的内角度数为（n-2）×180°，而任何多边形的外角和都为360°，从而利用“ 多边形的内角和是外角和的4倍 ”列方程即可解决问题.
8．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：从主视图上可以看出左面有两层，右面有一层；
从左视图上看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层，
从俯视图上看，底面有3个小正方体，因此共有4个小正方体组成，
故答案为：A.
【分析】求出各选项中的三视图，然后与题干中的三视图进行对照即可.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题可得，∠ACB=45°，∠DBC=30°，
∴△BCO中，∠BOC=180°–45°–30°=105°，
∴∠AOD=∠BOC=105°，
故答案为：C．
【分析】根据图形可得：∠ACB=45°，∠DBC=30°，再利用三角形的内角和可得∠BOC=180°–45°–30°=105°，最后利用对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC=105°。
10．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，﹣2），即（2，﹣2），
则点B关于x轴的对称点B′的坐标是（2，2），
故选：B．
【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．
11．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=30°，∴OH= OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH= ，
∴CD=2CH=2 .
故答案为：C.
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，由垂径定理可得HC=HD，易求OA=OC=4，OP=2，利用含30°角的直角三角形的性质可得OH= OP=1，在Rt△OHC中利用勾股定理求出CH的长，利用CD=2CH即可求解.
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵由抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，即ab＞0.
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
∴①正确；
②如图，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，
∴②正确；
③对称轴为x＝﹣ ＞﹣1，即 ＜1，
∵a＜0，
∴b＞2a，即2a﹣b＜0，
∴③错误；
④当x＝1时，y＝a+b+c＝0，
又∵b＞2a，
∴a+b+c＝0＞a+2a+c＝3a+c，即3a+c＜0.
∴④正确.
综上所述，正确的结论有①②④共3个，
故答案为：C.
【分析】由抛物线的开口向下可得a＜0，由图象知对称轴位于y轴的左侧，且x＝﹣ ＞﹣1，可求出b＜0，b＞2a，由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，据此判断①③；由图象知当x＝﹣2时，函数值y＝4a﹣2b+c＞0，据此判断②；由图象知当x＝1时，y＝a+b+c＝0，由b＞2a可得a+b+c＝0＞a+2a+c，据此判断④.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=
=
故答案为： .
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.
14．【答案】0＜y＜2
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：反比例函数图象在同一象限内，y随x增大而减小，当x＞1时，y＜2；再由反比例函数图象的性质可知，y＞0，故y的取值范围是0＜y＜2.
故答案为0＜y＜2.
【分析】由图象可知当x＞1时，函数图象位于0—2之间，据此即得结论.
15．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：延长BC至D，使BD=4个小正方形的边长，连接AD
由图可知：AD=4个小正方形的边长，且∠ADB=90°
∴△ADB是等腰直角三角形
∴∠B=45°
∴sinB=
故答案为： .
【分析】延长BC至D，使BD=4个小正方形的边长，连接AD，可得△ADB是等腰直角三角形，从而得出∠B=45°，利用特殊三角函数值即得.
16．【答案】2
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在AB上取一点T，使得AT＝2，连接PT，PA，CT，
∵PA＝4.AT＝2，AB＝8，
∴PA2＝AT AB，
∴ ，
∵∠PAT＝∠PAB，
∴△PAT∽△BAP，
∴ ，
∴PT＝ PB，
∴ PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，
在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝2，AC＝8，
∴ ，
∴ PB+PC≥2 ，
∴ PB+PC的最小值为2 ，
故答案为：2 .
【分析】在AB上取一点T，使得AT＝2，连接PT，PA，CT，证明△PAT∽△BAP，利用相似三角形的性质可得PT＝ PB，即得 PB+CP＝CP+PT，在Rt△ACT中，利用勾股定理求出CT=，由于PC+PT≥TC，可得 PB+PC≥2 ，从而求出其最小值.
17．【答案】解：原式＝2﹣ + ﹣3 +
＝﹣ + .
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据绝对值、特殊角三角形函数值、二次根式的性质、负整数指数幂进行计算即可.
18．【答案】解：原式＝4（x2－2x＋1）－（4x2－9）
＝4x2－8x＋4－4x2＋9
＝－8x＋13
当x＝－1时，原式＝21
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据整式的混合运算法则将所给的整式化简后，再代入求值即可.
19．【答案】解： ，
解不等式①得，x＜3，
解不等式②得，x≥1，
所以，不等式组的解集是1≤x＜3，
所以，不等式组的整数解有1、2，
它们的和为1+2＝3.
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先求出不等式组的解集，再求出其整数解，最后相加即可.
20．【答案】（1）10
（2）解：没有选择的占1﹣10%﹣30%﹣20%﹣10%﹣20%=10%，
条形图的高度和E相同；如图所示：
（3）解：1400×20%=280（名）
答：估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团有280名；
（4）解：酵素制作社团、绿植养护社团分别用A、B表示：树状图如图所示，
共有4种可能，两人同时选择绿植养护社团只有一种情形，
∴这两名同学同时选择绿植养护社团的概率= .
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）这5个数从小到大排列：5，5，10，10，15，故中位数为10，
故答案为10.
【分析】（1）将这5个数从小到大排列，正中间位置的数即为中位数；
（2）由统计图中各部分百分比之和等于1，求出没选择的百分比，由于和E的百分比相等，可知没选择条形图的高度和E相同 ，据此补图即可；
（3）利用样本中环保义工社团 的百分比乘以全校总人数，即得结论；
（4） 利用树状图列举出共有4种等可能，其中两人同时选择绿植养护社团只有一种情形，然后利用概率公式计算即可.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．
（2）解：∵点E为AD的中点，AD=10，
∴AE=
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中， ．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE= AB=5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
故答案为：OE=5，BG=2．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE= AB= AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．
22．【答案】（1）解：设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，
依题意，得： ，
解得： .
即A型风扇进货的单价是10元，B型风扇进货的单价是16元；
（2）解：设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，
依题意，得：
解得：71 ≤m≤75，
又∵m为正整数，
∴m可以取72、73、74、75，
∴共有4种进货方案，
方案1：购进A型风扇72台，B型风扇28台；
方案2：购进A型风扇73台，B型风扇27台；
方案3：购进A型风扇74台，B型风扇26台；
方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台.
∵B型风扇进货的单价大于A型风扇进货的单价，
∴方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，
最低费用为75×10+25×16＝1150元.
所以商场共有4种进货方案，方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，最低费用为1150元.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，根据“2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”列出方程组，解之即可；
（2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，根据“购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元”列出不等式组，求出其整数解即可.
23．【答案】（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵PC2＝PB PA，即 ＝ ，
∵∠P＝∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴∠PCB＝∠PAC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，如图2所示：
∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB PA，
∴PA＝ ＝ ＝40，
∴AB＝PA﹣PB＝30，
∵△PBC∽△PCA，
∴ ＝ ＝2，
设BC＝x，则AC＝2x，
在Rt△ABC中， ，即x2+（2x）2＝302，
解得：x＝6 ，即BC＝6 ，
∵点D是 的中点，AB为⊙O的直径，
∴∠AOD＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠AEF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠DFO＝∠ABC，
∴△DOF∽△ACB，
∴ ＝ ＝ ，
∴OF＝ OD＝ ，即AF＝ ，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ACB
∴ ＝ ＝ ，
∴EF＝ BC＝ .
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，证明△PBC∽△PCA可得∠PCB＝∠PAC，由AB为⊙O的直径可得∠ACB＝90°，从而得出∠A+∠ABC＝90°，由OC＝OB可得∠OBC＝∠OCB，从而得出∠PCO=∠PCB+∠OCB＝90°，根据切线的判定定理即证；
（2）连接OD，由PC2＝PB PA求出PA=40，AB＝PA﹣PB＝30， 根据相似三角形的性质可得 ＝ ＝2，设BC＝x，则AC＝2x，在Rt△ABC中利用勾股定理建立关于x方程，从而得出BC的长. 证明△DOF∽△ACB，利用相似三角形的性质求出OF，即得AF，再证△DOF∽△ACB，利用相似三角形的性质即可求出EF.
24．【答案】（1）y＝x；（1，1）或（﹣1，﹣1）
（2）解：由题意得：y＝x，即：y＝﹣ x2+（ a+1）x﹣ a2﹣a+1＝x，
整理得：﹣ x2+ ax﹣ a2﹣a+1＝0，
∵△＝（ a）2﹣4×（﹣ ）（﹣ a2﹣a+1）＝﹣2a+2≥0，
解得：a≤1，
由根与系数关系得：x1+x2＝ ，x1x2＝ a2+2a﹣2，
∴W＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝ （a﹣ ）2﹣ ，
∵ ＞0，
故函数W有最小值，
当a＝1时，函数取得最小值为y＝ （a﹣ ）2﹣ ＝ .
（3）解：∵函数y＝ x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1的图象上存在“麓点”，则 x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1＝x，
整理得： x2+（n﹣k）x+m+k﹣1＝0，
由函数图象上存在唯一的一个“麓点”可知：△＝（n﹣k）2﹣（m+k﹣1）＝0，
∴m＝（n﹣k）2﹣（k﹣1），
①当﹣2≤n＝k≤1时，n＝k时，m取得最小值，
即：﹣（k﹣1）＝k，
解得：k＝ .
②当n＝k≤﹣2时，n＝﹣2，m取得最小值，
即：（﹣2﹣k）2﹣（k﹣1）＝k，
解得：无解.
③当n＝k≥1时，n＝1，m取得最小值，
即：（1﹣k）2﹣（k﹣1）＝k，
解得：k＝2± （舍去负值）
故：k的值为： 或2+ .
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；一次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意得：y＝x时，图象经过点P（t，t），
y＝ ＝x，解得：x＝±1，
故答案为：y＝x，（1，1）或（﹣1，﹣1）.
【分析】（1） 根据“麓点” 的定义分别求解即可；
（2）由“麓点” 的定义可得y＝x，即得y＝﹣ x2+（ a+1）x﹣ a2﹣a+1＝x ，由于关于x方程中△≥0，据此求出a≤1，由根与系数关系得x1+x2＝ ，x1x2＝ a2+2a﹣2，由于W＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝ ，然后代入，利用二次函数的性质求出其最小值即可；
（3）同（2）可得x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1＝x，整理得： x2+（n﹣k）x+m+k﹣1＝0，由图象上存在唯一的一个“麓点”可知△＝0，求出m＝（n﹣k）2﹣（k﹣1）， 分三段考虑：①当﹣2≤n＝k≤1时，n＝k时，m取得最小值，②当n＝k≤﹣2时，n＝﹣2，m取得最小值，③当n＝k≥1时，n＝1，m取得最小值，据此分别求解即可.
25．【答案】（1）解：把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，∴A（1，0），B（4，3）.
∵y=﹣x2+bx+c经过点A与点B，∴ ，解得： ，则二次函数解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（2）解：如图2，△APM与△DPN都为等腰直角三角形，∴∠APM=∠DPN=45°，∴∠MPN=90°，∴△MPN为直角三角形，令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5，∴D（5，0），即DP=5﹣1=4，设AP=m，则有DP=4﹣m，∴PM= m，PN= （4﹣m），∴S△MPN= PM PN= × m× （4﹣m）=﹣ m2﹣m=﹣ （m﹣2）2+1，∴当m=2，即AP=2时，S△MPN最大，此时OP=3，即P（3，0）；
（3）解：存在，易得直线CD解析式为y=x﹣5，设Q（x，x﹣5），由题意得：∠BAD=∠ADC=45°，分两种情况讨论：
①当△ABD∽△DAQ时， = ，即 = ，解得：AQ= ，由两点间的距离公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2= ，解得：x= ，此时Q（ ，﹣ ）；
②当△ABD∽△DQA时， =1，即AQ= ，∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，解得：x=2，此时Q（2，﹣3）.
综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（ ，﹣ ）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的性质；等腰直角三角形；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1） 把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得m=1，n=3，即得A、B坐标，然后将A、B坐标代入抛物线解析式中，求出b、c的值即可；
（2）先求出D（5，0），可得DA=4，设AP=m，则有DP=4﹣m，根据等腰直角三角形求出PM= m，PN= （4﹣m），由于S△MPN= PM PN= × m× （4﹣m）=﹣ m2﹣m ，根据二次函数的性质求出解即可；
（3） 由于 ∠BAD=∠ADC=45°，分两种情况①当△ABD∽△DAQ时，②当△ABD∽△DQA时，利用相似三角形的性质分别求解即可.
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