高中数学北师大版（2019）必修第一册第五章函数应用培优专练5word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第五章函数应用培优专练5
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知函数若关于的方程有6个根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知x∈R，符号表示不超过x的最大整数，若函数(x≠0)有且仅有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，设函数，若对任意的实数，都有在区间上至少存在两个零点，则（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
4．设，函数，若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知函数，，则方程的解的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知函数与零点完全相同，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数，则（ ）
A．对任意的，函数都有零点.
B．当时，对，都有成立.
C．当时，方程有4个不同的实数根.
D．当时，方程有2个不同的实数根.
8．已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知函数，若方程恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围________.
10．已知函数，若当方程有四个不等实根 ，（）时，不等式恒成立，则实数的最小值为___________.
11．已知，关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的最大值是____．
12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F.设M是抛物线上的动点，则的最大值为________.
四、解答题
13．设，函数．
（1）若，判断并证明函数的单调性；
（2）若，函数在区间上的取值范围是，求的范围．
14．（1）定义在R上的奇函数，当时，.另一个函数的定义域为，，值域为，其中，，.在，上，.求，.
（2），，二次函数在上与轴有两个不同的交点，求的取值范围.
15．已知函数，．
（1）当时，求函数的值域；
（2）若关于的方程有两个不等根，求的值；
（3）已知存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有个不等根，，，求出实数的取值范围．
16．已知，函数．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）设函数，讨论函数的零点个数．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【分析】
作出函数的图象,令，则原方程可化为在上有2个不相等的实根，再数形结合得解.
【详解】
作出函数的图象如图所示．令，则可化为，要使关于的方程有6个根，数形结合知需方程在上有2个不相等的实根，，不妨设，，则解得，故的取值范围为，
故选B．
【点睛】
形如的函数的零点问题与函数图象结合较为紧密，处理问题的基础和关键是作出，的图象．若已知零点个数求参数的范围，通常的做法是令，先估计关于的方程的解的个数，再根据的图象特点，观察直线与图象的交点个数，进而确定参数的范围．
2．B
【分析】
首先将函数的零点问题转化为图像交点问题，接着分析函数的图像，最后根据数形结合进行解题.
【详解】
解：由得=a，
设g(x)=，
则当0当1≤x<2，[x]=1，此时，此时，
当2≤x<3，[x]=2，此时g(x)=，此时，
当3≤x<4，[x]=3，此时，此时，
当4≤x<5，[x]=4，此时，此时，
当5≤x<6，[x]=5，此时，此时，
当6≤x<7，[x]=6，此时，此时，
同理可得的解析式，作出函数g(x)的大致图象，
要使f(x)=﹣a有且仅有4个零点，
即函数g(x)=a有且仅有4个零点，
则由图象可知或，
故选：B.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
3．B
【分析】
首先分别求出每一段的零点，再对进行分类讨论，根据已知建立不等式组，进而求得结果.
【详解】
，
若，则或，
若，则；
①当时，与一定是函数的零点，满足题意；
②当时，可能的零点是与，
因为至少存在两个零点，
所以，
而，所以.
故选：B.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
4．C
【分析】
分，两种情况讨论，当时，且时，有4个零点；，有5个零点；，有6个零点；当时，即，有两个零点；当时，即，有1个零点；当时，有一个零点，综合两种情况，即可求解．
【详解】
在区间内恰有6个零点
又二次函数最多有两个零点，
当时，至少有四个根，
，
令，即，
，
又，
，即，
①当时，，有4个零点，即，
，有5个零点，即，
，有6个零点，即，
②当时，，
，解得，
当时，△，无零点，
当时，△，有1个零点，
当时，（a），
的对称轴，即（a）在对称轴的左边，
当时，即，有两个零点，
当时，即，有1个零点，
综合①②可得，若函数在区间内恰有6个零点，则需满足：
或或，
解得．
故选：C．
【点睛】
本题考查了余弦函数和二次函数，分类讨论解题是关键，且本题综合性强，属于难题
5．B
【分析】
先分析的函数性质，然后作出的图象，根据图象的交点数判断方程的解的个数.
【详解】
当时，是增函数，且，
是上的减函数，经过点和，
又因为当时，，所以在、、……上的图象与上的图象相同，
在同一平面直角坐标系下作出的图象如图所示：
由图象可知，的图象共有个交点，所以方程的解的个数是，
故选：B.
【点睛】
思路点睛：求解方程根的数目问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：
（1）确定方程根的个数；
（2）求参数范围；
（3）求不等式解集；
（4）研究函数性质.
6．C
【分析】
分类讨论的零点情况，特别地当有两个零点时，利用韦达定理结合零点定义，求得参数，再根据单调性以及零点存在定理，确定零点的分布区间，据此再求的范围，则问题得解.
【详解】
对，当时，只有一个零点.
当时，令，可得，而此零点不满足定义域，故舍去；
当时，令，可得，同理此零点不满足定义域，故舍去；
对，当或时，有两个零点，不妨设为
显然，
又定义域为，
故要满足题意，则两零点为正数且不为1，故.
又是的零点，故可得：
，
对上述两式相加，即可得：
，
整理可得：，
故可得.
此时：，
因为在区间都是单调递增函数，
故也是单调增函数.
且当时，；当时，；
故的一个零点在区间上；
又，
故的另一个零点在区间上；
则的零点分布亦要满足上述两个区间.
即可得：
，
解得，故
故选：.
【点睛】
本题考查零点存在定理的应用，涉及函数单调性的判断，以及函数零点所在区间的求解，属综合困难题.
7．AC
【分析】
讨论的取值范围即可判断函数零点个数，可判断A；当时，由指数函数与二次函数的单调性可判断B；当时，令，由得或，结合图象可判断C；当时，方程，则，结合图象可判断D．
【详解】
当时，；当时，；
所以当时，函数只有个零点，当时，函数只有个零点，
时，函数只有个零点，故A正确；
当时，由指数函数与二次函数的单调性知，函数为单调递增函数，故B错；
当时，令，由得或，作出函数的图象
如图所示，当时，方程有两个解；方程有两个解；
所以方程有4个不同的实数根，故C正确；
当时，方程，则，如图所示，有1个不同的交点，
则故D错误．
故选：AC
8．AD
【分析】
令，则，再令，可得，作出函数与图象观察其交点的横坐标，即得的值，然后再在同一坐标系中作出函数和的图象观察其交点的横坐标，即可得函数的零点个数.
【详解】
令，则，令，即，所以，
所以的解，即为函数与图象交点的横坐标，由图可知：
当时，
方程的解为，，即，，
在同一坐标系中作出函数和，的图象，
由图可知函数和，有4个交点，所以函数有4个零点.
当时，
方程的解为，即，
在同一坐标系中作出函数和的图象，
由图可知函数和有1个交点，所以函数有1个零点.
故选：AD
【点睛】
方法点睛：形如型的嵌套函数，为常数，令①，②，通过换元解套后，将复合函数零点问题转化为两个简单方程解的个数问题，先由方程②解出的值或范围，在代入方程①，数形结合即可求解.
9．
【分析】
先作出函数的图象，设，则恰有5个不同的实数根，根据函数图象，分 ，， ， ， ， ， ，讨论求解.
【详解】
作出函数的图象如图所示：
设，则恰有5个不同的实数根，
当时，无解，不符合题意，
当时，有唯一解，，此时，，解得有一解，不符合题意，
当时，有三解，，此时，无解，有三解，无解，共三解，不符合题意，
当时，有两解，，此时，有三解，无解，共三解，不符合题意，
当时，有两解，，此时，有三解，有一解，共四解，不符合题意，
当时，有两解，，此时，有三解，有两解，共五解，不符合题意，
当时，有唯一解，，此时，有两解，不符合题意，
当时，无解，不符合题意.
综上：实数a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查函数与方程，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.
10．
【分析】
根据分段函数性质画出的图象，结合题设，应用数形结合及对数函数的性质可得，，，，再应用参变分离有恒成立，构造，利用换元法结合基本不等式求最值，即可求的最小值.
【详解】
当时，，
∴，如下图示：
∴ 对应A、B、C、D的横坐标，
由，故，则，，
∴，，，
由分离参数得：，
设，
令，则，，则，再令（）
则，
∴（当且仅当时取“=”），
∴，即，
∴，即实数的最小值为.
故答案为：.
11．8
【分析】
先作出函数图像，再根据 a,b的正负性，结合函数图象讨论求解.
【详解】
作出的函数图象如图所示：
（1）若，则，
当时，无解；
当时，，
由图象可知不可能只有一个整数解；
当时，，
若只有一个整数解，由图象可知此整数解必为．
又（3），（4），故而，
即．
（2）若，由可得．
，
由图象可知有两个整数解，，
至少含有两个整数解，不符合题意．
综上，的最大值为8．
故答案为：8．
【点睛】
关键点睛：根据的正负性，结合函数图象，运用分类讨论思想和数形结合思想进行求解是解题的关键.
12．
【分析】
设,设到准线的距离等于,由抛物线的定义得,化简为，令,利用方程有解即可解得的最大值.
【详解】
因为焦点,设,则,设到准线的距离等于,
则由抛物线的定义得 ,令,则,
当时,;
当时, 有解的充要条件为:,
即,
,此时.
故答案为: .
【点睛】
本题考查抛物线的定义及性质,考查学生的转化与划归的能力,难度较难.
13．
（1）函数是增函数，证明见解析；
（2）.
【分析】
（1）根据，函数为R上的单调递增函数，然后根据单调性的定义进行证明；
（2）根据题意及指数函数的单调性可得，分，讨论，结合函数在相应区间的单调性，应用一元二次方程，不等式组求的范围.
（1）
当时，因为，所以，
所以函数的定义域为，
结论：函数是增函数．
证明：设对任意的，，且，则
，
因为，所以，即．
又因为，，，
所以,
所以，即证．
（2）
因为，所以，从而．
又由知，，所以，
因为，所以或．
①当时，由（1）知，函数是增函数．
因为函数在区间上的取值范围是，
所以，即，
从而关于的方程有两个互异实根．
令，则，所以方程有两个互异正根，
所以从而．
②当时，函数在区间，上均单调递减,
若，则，于是，这与矛盾，故舍去；
若，则，
于是即，
所以，两式相减并整理得，，
又，故，从而．
因为，所以．
综上，的范围是．
【点睛】
关键点点睛：
（1）根据函数单调性的定义证明函数的单调性；
（2）由给定区间及其值域，结合函数的单调性，构造方程将问题转化为二次函数根的分布及有解问题求范围.
14．（1）或；（2）.
【分析】
（1）先求出的解析式并作出图象，根据题意得到，进而可知的图象在第一或第三象限内，然后分和两大类分别求出函数的最值，进而解得a,b；
（2）求出并结合根与系数的关系，然后通过基本不等式求得答案.
【详解】
（1）容易求出奇函数的解析式为：函数的定义域为，值域为，其中，这表明，则，也就是说的图象在第一或第三象限内.
根据的图象可知，函数的图象如所示曲线的一部分：
由图中看出，当时，考虑以下三种情况：，,.
如果，,那么.但是时，，
这与的值域的右端点大于1矛盾.若，由图看出是减函数，可见，考虑到的条件，解之得：.
当时，考虑以下三种情况：，,，
若或，则.但是时，，
若，由图可知是减函数，可见，考虑到的条件，
情况下通过值域条件得出.
综上：或.
（2）设二次函数的零点为，且，
则，，
，
而不成立，所以.
15．（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）将函数化简再根据单调性即可得函数的值域；
（2）根据的解析式，将代入化简，即可得到的值.
（3）令，，，根据得出的取值范围，由题意可得关于的方程在区间有两解，且有两个不等根，只有一个根，列出不等式组得出的范围.
【详解】
（1）在区间上严格减，
而，，故函数的值域为．
（2）因为在单调递减，在单调递增，
，则有，即
故，所以
（3）令，由（1）知
令，因为在单调减，在单调递增，
且，，
则当时，方程有两个不等根，由（2）知，且两根之积为1；
当时，方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1.
令，由二次函数与的图象特征，原题目等价于：
对任意，关于的方程在区间上总有2个不等根，
且有两个不等根，只有一个根，
则必有或且，
当时，结合二次函数的图象，
则有，解之得，
当且，则，此时无解.
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查的是利用函数的单调性求函数值域，以及对数函数方程的零点以及复合函数零点的求法，解题的关键是确定方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，考查学生的分析问题解决问题的能力，是难题.
16．
（1）a的取值范围为
（2）见详解
【分析】
（1）根据单调性直接解对数不等式即可；
（2）将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，去掉对数符号转化为内层函数在x轴上方的交点个数问题，然后求出交点讨论即可.
（1）
，，即
所以a的取值范围为.
（2）
函数有几个零点有几个根
函数与有几个交点函数与有几个交点函数与在x轴上方有几个交点.
1）当时，易得交点坐标，满足题意，故函数此时有一个零点；
2）当时，解方程组得，满足题意，故函数此时有一个零点；
3）当且时，解方程组得，
若且且时，且，故函数此时有两个零点；
若时，，，故函数此时有一个零点；
若时，，，故函数此时无零点.
答案第1页，共2页
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