高中数学北师大版（2019）必修第一册第五章函数应用培优专练4word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第五章函数应用培优专练4
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知函数若方程有3个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数若函数恰有8个零点，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知函数与零点完全相同，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知x∈R，符号表示不超过x的最大整数，若函数(x≠0)有且仅有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数（a>0，且a≠1）在区间（﹣∞，+∞）上为单调函数，若函数y=|f（x）|﹣x﹣2有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知定义在上的函数，满足，且，，当时，(为常数)，关于的方程(且)有且只有3个不同的根，则（ ）
A．函数的周期 B．在单调递减
C．的图象关于直线对称 D．实数的取值范围是
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知下列命题：
①函数在上单调递减，在上单调递增；
②若函数在上有两个零点，则的取值范围是；
③当时，函数的最大值为0；
④函数在上单调递减；
上述命题正确的是_________（填序号）．
10．对于定义域为的函数，满足存在区间，使在上的值域为，求实数的取值范围______.
11．已知，函数在区间上有两个不同零点，则的取值范围是________.
12．若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围有___________.
四、解答题
13．已知.
（1）设，，若函数存在零点，求a的取值范围；
（2）若是偶函数，设，若函数与的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围.
14．已知.
（1）若，试用表示；
（2）若，函数只有一个零点，求实数的取值范围；
（3）若存在正实数、（），使得成立，其中为正整数，求的值.
15．已知函数的图象过点，且满足．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的最小值；
（3）若满足，则称为函数的不动点．函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值．
16．1.“国庆节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；
优惠2：在优惠1之后，每满400元再减40元．
例如，一次购买商品的价格为140元，则实际支付额为元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为880元，则实际支付额为元．
（1）小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；
（2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件．小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．D
【分析】
当时求出直线与曲线相切时得.再分别讨论，
方程解的个数得解.
【详解】
当直线与曲线相切时，
设切点为，则切线斜率，
所以，即，解得.
又当时，.所以：
（1）当时，（）有1个实数根，此时有1个实数根，不满足题意；
（2）当时，（）有2个实数根，此时有1个实数根，满足题意；
（3）当时，（）无实数根，此时最多有2个实数根，不满足题意.
综上得，
故选:D
【点睛】
本题考查函数与方程,讨论根的个数求解参数范围问题，属于基础题.
2．B
【分析】
先作出两函数的图像，由图像可知当时，与有1个交点，所以只要当时，与有两个交点即可，结合图像可得的图象在上有两交点，则在上没有交点，即直线与在有两交点，且的图象在上没有交点，即在有两个解，且在上没有解，然后利用方程根的分布进行求解即可
【详解】
如图当时，与有1个交点.
要使有3个零点，则当时，
与有两个交点即可，
若，，两函数没有交点，所以，
画出图象，如下图所示，
根据图象的图象在内至多有一个交点.
当的图象在上有两交点，则在上没有交点.
即直线与在有两交点，且的图象在上没有交点.
即在有两个解，且在上没有解.
设，需，且
解得或（舍去），且
所以此时
若在上的图象有1个交点，则在 上的图象有1个交点
即在有1个解，且在上有1个解.
则且，此时无解.
要使在只有两交点，则.
故选：B
【点睛】
此题考查函数与方程，考查由函数的零点个数求参数的取值范围，考查转化思想和计算能力，属于较难题
3．B
【分析】
设，因为有8个零点，所以方程有4个不同的实根，结合的图像可得在内有4个不同的实根，即在内有2个不同的实根，可知，即可求得结果．
【详解】
画出函数的图像如图所示，
设，由，得.
因为有8个零点，所以方程有4个不同的实根，结合的图像可得在内有4个不同的实根.所以方程必有两个不等的实数根，即在内有2个不同的实根，结合图像
由图可知，，故，即的最小值是2.
故选：B
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.
4．C
【分析】
分类讨论的零点情况，特别地当有两个零点时，利用韦达定理结合零点定义，求得参数，再根据单调性以及零点存在定理，确定零点的分布区间，据此再求的范围，则问题得解.
【详解】
对，当时，只有一个零点.
当时，令，可得，而此零点不满足定义域，故舍去；
当时，令，可得，同理此零点不满足定义域，故舍去；
对，当或时，有两个零点，不妨设为
显然，
又定义域为，
故要满足题意，则两零点为正数且不为1，故.
又是的零点，故可得：
，
对上述两式相加，即可得：
，
整理可得：，
故可得.
此时：，
因为在区间都是单调递增函数，
故也是单调增函数.
且当时，；当时，；
故的一个零点在区间上；
又，
故的另一个零点在区间上；
则的零点分布亦要满足上述两个区间.
即可得：
，
解得，故
故选：.
【点睛】
本题考查零点存在定理的应用，涉及函数单调性的判断，以及函数零点所在区间的求解，属综合困难题.
5．B
【分析】
首先将函数的零点问题转化为图像交点问题，接着分析函数的图像，最后根据数形结合进行解题.
【详解】
解：由得=a，
设g(x)=，
则当0当1≤x<2，[x]=1，此时，此时，
当2≤x<3，[x]=2，此时g(x)=，此时，
当3≤x<4，[x]=3，此时，此时，
当4≤x<5，[x]=4，此时，此时，
当5≤x<6，[x]=5，此时，此时，
当6≤x<7，[x]=6，此时，此时，
同理可得的解析式，作出函数g(x)的大致图象，
要使f(x)=﹣a有且仅有4个零点，
即函数g(x)=a有且仅有4个零点，
则由图象可知或，
故选：B.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
6．C
【分析】
首先根据函数f（x）的单调性求得a的大致范围，然后将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题，再作出函数图象，利用数形结合思想求解即可.
【详解】
解：∵函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上为单调函数，且当x>1时，f（x）=（x﹣1）2+4a在（1，+∞）上单调递增，
∴，解得，
又函数y=|f（x）|﹣x﹣2有两个不同的零点等价于|f（x）|=x+2有两个不同的实数根，
∴函数y=|f（x）|的图象与直线y=x+2有两个不同的交点，
作出函数y=|f（x）|与直线y=x+2的图象，
当x≤1时，由1+loga|x﹣2|=0得，易知函数y=|f（x）|与直线y=x+2的图象在（﹣∞，1]上有唯一交点，
则函数y=|f（x）|与直线y=x+2的图象在（1，+∞）上有唯一交点，故4a≤3或（x﹣1）2+4a=x+2，即x2﹣3x+4a﹣1=0有唯一解，
∴或△=9﹣4（4a﹣1）=0，
∴或，
综上，实数a的取值范围为.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查函数的零点问题，解题的关键是将问题转化为函数y=|f（x）|的图象与直线y=x+2有两个不同的交点，然后画出函数图象，根据图象求解即可，考查数形结合的思想，属于较难题
7．AD
【分析】
令，则，再令，可得，作出函数与图象观察其交点的横坐标，即得的值，然后再在同一坐标系中作出函数和的图象观察其交点的横坐标，即可得函数的零点个数.
【详解】
令，则，令，即，所以，
所以的解，即为函数与图象交点的横坐标，由图可知：
当时，
方程的解为，，即，，
在同一坐标系中作出函数和，的图象，
由图可知函数和，有4个交点，所以函数有4个零点.
当时，
方程的解为，即，
在同一坐标系中作出函数和的图象，
由图可知函数和有1个交点，所以函数有1个零点.
故选：AD
【点睛】
方法点睛：形如型的嵌套函数，为常数，令①，②，通过换元解套后，将复合函数零点问题转化为两个简单方程解的个数问题，先由方程②解出的值或范围，在代入方程①，数形结合即可求解.
8．BCD
【分析】
根据函数基本性质，逐项分析判断即可得解.
【详解】
由知，
所以，周期，A错误；
取，得，由得，又，得，
所以当时，是个减函数，；
当时，，，
是个减函数，；
可知在单调递减，B正确；
当时，，，得，
，
所以在区间上，，
又，得，
即的图象关于直线x=1对称，
由周期性可知在上的图象关于直线对称，故C正确；
由题意知与(且)有且只有3个公共点，
考查函数，有极大值点，7，11，…，
极小值点，5，9，…，极大值为2，极小值为，
为减函数时不合题意，所以为增函数，
由得，
由题意知且，
即且，所以，D正确.
故选：BCD
9．①②④
【分析】
根据复合函数的单调性即可判断①；令函数，确定当的图象与直线有两个交点时的取值范围即可判断②；利用基本不等式求得函数的最大值即可判断③；利用辅助角公式和整体对应法判断正弦型函数的单调性即可判断④；
【详解】
①根据复合函数同增异减的性质，令 ，则在上单调递减，在上单调递增，又因为为增函数，可知函数在上单调递减，在上单调递增，故①正确；
②令，则函数在上有两个零点等价于函数的图象与直线有两个交点，作图如下：根据函数的图象可知，故②正确；
③当时，，所以
（当且仅当，即时取等号），所以函数的最大值为，故③不正确．
④，当时，，此时单调递减，故④正确；
故答案为：①②④
【点睛】
本题考查函数相关命题的辨析、复合函数单调性的判断、根据函数的零点求参数的取值范围、正弦型函数单调性的判断和利用基本不等式求最值；考查数形结合思想、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.
10．
【分析】
先判断函数的定义域和单调性，根据函数定义域和值域之间的关系建立方程组，构造函数进行求解即可.
【详解】
解：若满足条件，因为函数在上是增函数，
即，所以a，b为方程的两个实数根，即在时有两个不同的根，
设，则，则方程等价于，在有两个不等的实根，
设，在，作出的图象，如图，
当时，，又，则的最小值为，
要使与有两个不同的交点，则，
故答案为：.
【点睛】
在由方程的根的个数求参数的范围，常常采用分离参数的方法，转化为构造函数，分析函数的单调性、最值，以及所构造的函数的图象，运用数形结合的思想求得参数的范围.
11．
【分析】
设函数的两个不同的零点分别为，且，用表示后利用基本不等式可求的取值范围.
【详解】
设函数在上的两个不同的零点分别为，
则为的两个不同的解，
所以，，
故
，
由基本不等式可得，，
故，因，故等号不可取，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数的零点、二次函数的图象和性质和基本不等式，注意用二次方程的根表示目标代数式，本题属于难题.
12．或
【分析】
函数的零点方程的根，求出方程的两根为，，从而可得或，即或.
【详解】
函数在区间的零点方程在区间的根，所以，解得：，，
因为函数在区间上有且仅有一个零点，
所以或，即或.
【点睛】
本题考查函数的零点与方程根的关系，在求含绝对值方程时，要注意对绝对值内数的正负进行讨论.
13．（1）；（2）或．
【分析】
（1）由题意函数存在零点，即有解，转化为利用函数的单调性求出的范围；
（2）先根据偶函数的性质求出的值，再根据函数与的图象有且只有一个公共点，则方程有且只有一个实根，化简可得方程有且只有一个实根令，则转化才方程有且只有一个正根，讨论，以及与一个正根和一个负根，三种情形，即可求出实数的取值范围．
【详解】
（1）由题意函数存在零点，即有解．
又，
易知在上是减函数，又，，即，
所以，所以的取值范围是．
（2）的定义域为，是偶函数，
，
检验，
，
，
为偶函数，
函数与的图象有且只有一个公共点，
方程只有一解，即方程有且只有一个实根，
令，则方程有且只有一个正根，
①当时，，不合题意，
②当时，若方程有两相等正根，则，且，解得
③若一个正根和一个负根，则，即时，满足题意，
实数的取值范围为或．
【点睛】
关键点点睛：本题考查对数型复合函数的性质，零点问题，属于中档题型，本题的第一个关键点是函数的化简，其中注意，本题多次用到这种变形，第二个关键点是第二问转化方程有且只有一个实根，令，则方程有且只有一个正根，再讨论就比较容易了.
14．（1）；（2）；（3）2或3.
【分析】
（1）利用换底公式得到，化简得解；
（2）方程转化为若，讨论参数 的值得解
（3）利用已知和函数单调性得到， 把等式转化为对取值讨论得解
【详解】
（1），；
（2），
令，（ ）只有一个正根
当时， 满足题意
当时，的对称轴，所以在单增，且，所以满足题意有一个正根.
当时，的对称轴，所以在不单调，若有一个正根.则
综上
（3），
所以
不妨设
当时此时与已知矛盾，舍去
当时此时有正解，满足题意
当时此时有正解，满足题意
当时此时无解。不满足题意
综上得： 或
【点睛】
在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点加以解决.
15．（1）；（2）；（3）6.
【分析】
（1）根据函数的图象过点，得到，再根据，由对称性求得m即可；
（2）根据，，分， ，，讨论求解；
（3）根据不动点的定义得到方程有两个不相等的正实根，，由，求得t的范围，再由，利用基本不等式求解.
【详解】
（1）因为函数的图象过点，
所以
又，
所以，解得，
所以函数的解析式为：．
（2），，
当，即时，函数在上单调递减，
所以，
当，即时，函数在上单调递减，
在单调递增，所以；
当时，函数在上单调递增，
所以．
综上：
（3）因为函数有两个不相等的不动点，，
且，
所以，即方程有两个不相等的正实根，．
所以，即，所以．
，
因为，所以，，
所以
当且仅当，即时，取“=”．
所以，所以的最小值为6．
16．
（1）一次支付好，理由见解析
（2）购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件
【分析】
（1）把分两次支付和一次支付的支付额分别算出来，比较大小，确定哪种支付方式好；（2）当时，不能享受每满400元再减40元的优惠，当时，能享受每满400元再减40元的优惠，所以分两种情况，把每种情况下的关于的解析式表达出来，求出最小值，通过比较，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件.
（1）
分两次支付：支付额为元
一次支付：支付额为元
因为，所以一次支付好
（2）
设购买件，平均价格为元/件.
由于预算不超过500元，最多购买19件，
当时，不能享受每满400元再减40元的优惠
当时，，
当时，，当时，
所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为元/件
当时，能享受每满400元再减40元的优惠
当时，，当，时，=25
当时，，y随着n的增大而增大，所以当，时，=25
综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件
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