高中数学北师大版（2019）必修第一册第五章函数应用培优专练3word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第五章函数应用培优专练3
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．已知，设函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，且对于任意实数关于的方程都有四个不相等的实根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．若不等式对任意的恒成立，则（ ）
A． B．， C．， D．
4．已知函数，则函数的零点个数是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．已知定义在上的函数满足，当时，．若函数恰有6个零点，则（ ）
A．或 B．
C． D．
6．设函数，若对任意给定的，都存在唯一的满足，则正实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．设函数，集合，则下列命题正确的是（ ）
A．当时，
B．当时
C．若，则k的取值范围为
D．若（其中），则
8．已知定义在上的函数，满足，且，，当时，(为常数)，关于的方程(且)有且只有3个不同的根，则（ ）
A．函数的周期 B．在单调递减
C．的图象关于直线对称 D．实数的取值范围是
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
9．记，，，，，若函数的最大值为3，有3个零点，则实数的取值范围是_____.
10．设二次函数，（且）在上至少有一个零点，则的最小值为___________.
11．已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为_______．
12．若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围有___________.
四、解答题
13．已知函数.
（1）判断的奇偶性，并证明在上单调递增；
（2）设函数，求使函数有唯一零点的实数的值；
（3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
14．已知定义域为R的函数是奇函数
（1）求a的值；
（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
（3）设关于x的函数有零点，求实数b的取值范围.
15．已知是二次函数，其两个零点分别为-3、1，且.
（1）求的解析式；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，，的最小值为，若方程有两个不等的根，求的取值范围.
16．已知函数，．
（1）当时，求函数的值域；
（2）若关于的方程有两个不等根，求的值；
（3）已知存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有个不等根，，，求出实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
【分析】
根据分段函数的意义将方程恰有两个互异的实数解，转化为各段上根的个数问题分类推理求解.
【详解】
因关于x的方程恰有两个互异的实数解，则有：
有两个不同的实根且无实根，
或与各有一个实根，
或无实根且有两个不同的实根，
当时，，函数为增函数，
则函数在上最多一个零点，有两个不同的实根不成立，
当函数在上有一个零点时，必有，即，此时，，
因此，当时，函数在上确有一个零点，方程必有一个实根，
当，时，，函数，
而函数对称轴，即在上单调递减，又，即在上必有一个零点，
因此，方程必有一个实根，
于是得当时，与各有一个实根，
若方程无实根，必有，
此时方程有两个不同的实根，函数在上有两个零点，
当且仅当，解得，
于是得当时，有两个不同的实根且无实根，
综上得：当或时，方程恰有两个互异的实数解，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
【点睛】
思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.
2．C
【分析】
采用等价转换的思想，且利用数形结合的方法，结合对称性，可得结果.
【详解】
由方程都有四个不相等的实根
则函数与，图像
有四个交点，
由
即
如图，
所以
故
又
所以
故选：C
【点睛】
本题主要考查函数的对称性，以及考查等价转换，数形结合的数学技巧的应用，属中档题.
3．B
【分析】
先分析特殊点对的要求，再结合函数的趋势，排除掉一些范围，最终确定函数，的零点相同，得到关系式，最终求出答案.
【详解】
对任意恒成立，
当时，不等式等价为，即，
当时，，此时，则，
设，，
若，则，
函数的零点为，则函数在上，此时不满足条件；
若，则，而此时时，不满足条件，故；
函数在上，则上，
而在上的零点为，且在上，
则，上，
要使对任意恒成立，
则函数与的零点相同，即，
，
故选：B
4．A
【分析】
令有，结合函数图象知有两个交点的横坐标为，再由、判断的零点个数即可.
【详解】
令，则，
作出的图象和直线，由图象可得有两个交点，设横坐标为，
∴.
当时，有，即有一解；当时，有三个解，
∴综上，共有4个解，即有4个零点.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：由得，利用函数图象确定交点横坐标，再由分段函数的性质当、时确定的零点个数.
5．D
【分析】
作出和的图象，利用函数的交点个数来判断函数零点的个数，从而确定的范围.
【详解】
函数恰有6个零点等价于和的图象有6个交点，
函数满足，是周期为2的函数，
当时，，可画出的图象，如图，
（1）当时，如图，和左侧有4个交点，右侧2个，
此时应满足，即，解得；
（2）当时，如图，和左侧有2个交点，右侧4个，
此时应满足，即，
，即，
综上，或.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数零点个数转化为函数交点来判断，又综合了函数的周期性，对数的性质，属于较难题.
6．A
【分析】
作出函数的图象，结合 的值域范围或者图象，易知只有的自变量与因变量存在一一 对应的关系时，即只有当时，才会存在一一对应．然后利用一元二次不等式的性质即可得到结论．
【详解】
解：作出函数的图象如图：
由图象知当x＞0时，的值域为R，
当 1≤x≤0，的取值范围为[0，1]，
当x＜ 1时，的取值范围是（ ∞，1），
即由图象知当≤1时，x的值不唯一，
设，
当x＞0时，由得x≥2，
则方程，
等价为，
∵＞0
∴若存在唯一的∈R满足，
则t＞1，即由得x＞2，
即当x＞2时，与x存在一一对应的关系，
则此时必有＞1，
即＞1，
得，
∵ma＋1＞0，
∴不等式等价为2ma 1＞0，
设h（m）＝2ma 1，
∵m＞1，a＞0，
∴只要h（1）≥0即可，
得2a 1≥0，得，
即实数a的取值范围是．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，作出函数的图象，利用数形结合得到当x＞2时，即f（f（x））＞1时与x存在一一对应的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
7．ABD
【分析】
A解一元二次方程直接求解集即可；B由题设易知集合中方程无解即可判断；C、D画出的图象，令根据二次函数的性质及所得的图象判断正误即可.
【详解】
A：时，或，结合解析式：时有或，时有，所以，正确；
B：时，方程无解，则，正确；
由解析式可得其函数图象如下图示：
令，开口向上且对称轴为，
若，则，即，有以下情况：
1、，：
此时，令，则在上有一个零点，
∴，可得，
2、，，由A知：.
综上：，故C错误；
若，由函数的性质及图象知：必有，.
此时，，，
所以，，所以，故D正确.
故选：ABD
【点睛】
关键点点睛：C、D选项中，画出大致图象，结合二次函数的性质判断给定集合对应的的可能取值，再结合图象判断正误.
8．BCD
【分析】
根据函数基本性质，逐项分析判断即可得解.
【详解】
由知，
所以，周期，A错误；
取，得，由得，又，得，
所以当时，是个减函数，；
当时，，，
是个减函数，；
可知在单调递减，B正确；
当时，，，得，
，
所以在区间上，，
又，得，
即的图象关于直线x=1对称，
由周期性可知在上的图象关于直线对称，故C正确；
由题意知与(且)有且只有3个公共点，
考查函数，有极大值点，7，11，…，
极小值点，5，9，…，极大值为2，极小值为，
为减函数时不合题意，所以为增函数，
由得，
由题意知且，
即且，所以，D正确.
故选：BCD
9．
【分析】
将一次函数、二次函数的性质与题意相结合可得，，利用数形结合思想根据有3个零点可得的取值范围，进而可得结果.
【详解】
设,，易知当时，；
当时，.
直线，分别经过点，且这两点关于轴对称，
抛物线关于轴对称且开口向上，
因为函数的最大值为3，故满足，所以.
函数，其图象如图所示，
由函数有3个零点知，方程有三个实数根，
所以实数的取值范围是，故，即实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了函数最值的应用，充分理解新定义以及熟练掌握函数的性质是解题的关键，属于难题.
10．
【分析】
由可得,即变换主元,视为关于的直线方程,则表示原点到点的距离的平方,最小值即为原点到直线的距离的平方,进而利用均值不等式求得的最小值即可.
【详解】
由题,当时,有解,
则可设点在直线上,
则表示原点到点的距离的平方,
的最小值为原点到直线的距离的平方,
所以,
令,
原式,
因为,当且仅当,即时等号成立,不符合题意,
所以当时,最小,此时取得最小值为,
则的最小值为,
故答案为:
【点睛】
本题考查由零点分布求参数范围,考查点到直线距离公式的应用,考查利用均值定理求最值,考查转化思想和运算能力.
11．．
【分析】
由题可求，再利用数形结合即求.
【详解】
∵定义在上的单调函数，对任意都有，
令，则，
在上式中令，则，解得，
故，
由得，即，
在同一坐标系中作出函数和的图像，
可知这两个图像有2个交点，即和，
则方程的解集为．
故答案为：.
12．或
【分析】
函数的零点方程的根，求出方程的两根为，，从而可得或，即或.
【详解】
函数在区间的零点方程在区间的根，所以，解得：，，
因为函数在区间上有且仅有一个零点，
所以或，即或.
【点睛】
本题考查函数的零点与方程根的关系，在求含绝对值方程时，要注意对绝对值内数的正负进行讨论.
13．（1）为偶函数；证明见解析；（2）-1，1，0；（3）.
【分析】
（1）直接由函数奇偶性的定义判断的关系，可判断奇偶性，任取，作差化简判断符号，得出单调性结论；
（2）有唯一零点，即有唯一的解，可化为，由偶函数可知，化简计算可得结果；
（3）设，不等式等价为恒成立，构造函数，只需，求解即可得出结果.
【详解】
解:由题意可知的定义域为，，则，
，
所以，
所以为偶函数；
任取，
则，
因为
当时，
所以
所以，
所以在上单调递增﹒
函数的零点就是方程的解，
因为有唯一零点，
所以方程有唯一的解，
因为函数为偶函数，
所以方程变形为，
因为函数在上的单调递增，
所以，
平方得，，
当时，，
经检验方程有唯一解，
当时，
解得，
综上可知，的值为.
设，则，
所以原命题等价于时，不等式恒成立，
令，
即，
则或
或，
综上可知.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
14．（1）；（2）减函数；证明见解析；（3）.
【分析】
（1）根据奇函数，列方程求出a的值；
（2）先判断出单调性，再利用函数单调性的定义法进行证明，即取值-作差-变形-判断符号-下结论；
（3）由有零点，结合为奇函数列方程，利用整体思想求b的范围.
【详解】
（1）由题设，需，即，
，经验证，为奇函数，
.
（2）减函数，证明：任取，，，
，
，
该函数在定义域R上是减函数.
（3）原函数零点的问题等价于方程，
由为奇函数，知，即方程有解
，
当时函数存在零点.
【点睛】
关键点点睛：
（1）由奇函数的性质求参数；
（2）利用函数单调性的定义证明并判断函数在定义域上单调性；
（3）根据函数的零点以及函数的奇偶性列方程求参数范围.
15．
（1）；
（2）；
（3）.
【分析】
（1）根据题意，设，根据，可求出的值，即可得出的解析式；
（2）将原不等式恒成立转化为任意，成立，即，再利用基本不等式求的最小值，从而得出的取值范围；
（3）根据题意得出，，对称轴，分类讨论求出的最小值，从而得出，再根据方程有两个不等的根，令，即，作出的简图，再结合两函数的交点个数，从而可求出的取值范围.
（1）
解：是二次函数，其两个零点分别为-3、1，且，
可设，
则，解得：，
.
（2）
解：由（1）得，由，得，
所以任意，成立，即，
由基本不等式，得（当且仅当时，等号成立），
所以最小值为6，所以，
实数的取值范围.
（3）
解：由题可知，，，
，，对称轴，
①当，即时，在区间单调递增，
；
②当，即时，在区间单调递减，
；
③当，即时，，
的最小值为，；
由于方程有两个不等的根，
则函数零点即为方程的根
令，即，作出的简图如图所示：
①当时，有唯一解，解得：，有1个零点；
②当时，有两个不同解，，
解得：或，有2个零点；
③当时，，，解得：，有1个零点；
④当时，无解，无零点；
综上：当时，方程有两个不等的根，
即的取值范围为.
16．（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）将函数化简再根据单调性即可得函数的值域；
（2）根据的解析式，将代入化简，即可得到的值.
（3）令，，，根据得出的取值范围，由题意可得关于的方程在区间有两解，且有两个不等根，只有一个根，列出不等式组得出的范围.
【详解】
（1）在区间上严格减，
而，，故函数的值域为．
（2）因为在单调递减，在单调递增，
，则有，即
故，所以
（3）令，由（1）知
令，因为在单调减，在单调递增，
且，，
则当时，方程有两个不等根，由（2）知，且两根之积为1；
当时，方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1.
令，由二次函数与的图象特征，原题目等价于：
对任意，关于的方程在区间上总有2个不等根，
且有两个不等根，只有一个根，
则必有或且，
当时，结合二次函数的图象，
则有，解之得，
当且，则，此时无解.
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查的是利用函数的单调性求函数值域，以及对数函数方程的零点以及复合函数零点的求法，解题的关键是确定方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，考查学生的分析问题解决问题的能力，是难题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页