高中数学北师大版（2019）必修第一册第五章函数应用培优专练2word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第五章函数应用培优专练2
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知函数，若函数存在零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．若不等式对任意的恒成立，则（ ）
A． B．， C．， D．
3．已知函数，函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．对于，定义运算“”：，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．(1,2)
5．已知函数，若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为（ ）
A． B． C． D．无数
6．已知，函数的定义域为，若函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
二、多选题
7．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若没有零点，则
B．若恰有2个零点，则
C．若恰有3个零点，则或
D．若）恰有4个零点，则
8．已知定义域为R的奇函数，当时，下列说法中正确的是（ ）
A．当时，恒有
B．若当时，的最小值为，则m的取值范围为
C．不存在实数k，使函数有5个不相等的零点
D．若关于x的方程所有实数根之和为0，则
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．设（其中为自然对数的底数），，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为________.
10．已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为_______．
11．某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期内，可以用3个该品牌的可乐空罐换1罐可乐.对于此促销活动，有以下三个说法：
①如果购买10罐可乐，那么实际最多可以饮13罐可乐;
②欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐：
③如果购买罐可乐，那么实际最多可饮用可乐的罐数.（其中表示不大于x的最大整数）
则所有正确说法的序号是__________.
12．若平面直角坐标系内两点P，Q满足条件：①，Q都在函数的图象上；②，Q关于原点对称，则称点对是函数的图象上的一个“友好点对”已知函数 （且），若此函数的“友好点对”有且只有一对，则实数a的取值范围是________
四、解答题
13．已知函数（其中，且）的图象关于原点对称.
（1）求，的值；
（2）当时，
①判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；
②关于的方程在区间上有两个不同的解，求实数的取值范围.
14．2021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了全世界22%的人口，目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以上，远高于国际公认的400千克粮食安全线，雅礼中学数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究．根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为①（其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率，y表示t年后的人口数，单位：万人）根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为时的人口数，求得①式人口增长模型．
（1）请求出该小组同学①式的人口增长模型；
（2）根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为y=600t+13600（其中t表示经过的时间，y表示第t年的粮食年产量，单位：万吨）．（）表示从1950年末开始第t年的年人均粮食占有量，单位：吨/人．
①求满足的正整数k的最小值．
②按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由．
参考数据：，，，．
15．已知函数．
（1）根据函数单调性的定义，研究的单调性；
（2）若有唯一零点，求的值．
16．已知，函数．
（1）若，用单调性定义证明函数在上是减函数；
（2）若，求的值域；
（3）若存在，使，求a的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【分析】
若函数存在零点，即有解，转化为函数和图像的交点，结合图像，找到临界值，即可得解.
【详解】
若函数存在零点，
即有解，
转化为函数和图像的交点，
如图所示，
恒过，
过端点与的 直线的斜率，
设与相切与，
则切点处的导数为，
则过切点的直线方程为，
又切线过，则，
所以，得，
此时切线斜率为，
由图可知，若函数存在零点，
则实数的取值范围是或，
故选：B.
【点睛】
本题考查了函数零点问题，考查了转化思想，转化零点为函数图像的交点，关键是求出临界值，在求切线方程时，切入口是设出切点，根据导数的几何意义进行求解，同时考查了直线斜率问题，设及知识点较多，属于较难题.
2．B
【分析】
先分析特殊点对的要求，再结合函数的趋势，排除掉一些范围，最终确定函数，的零点相同，得到关系式，最终求出答案.
【详解】
对任意恒成立，
当时，不等式等价为，即，
当时，，此时，则，
设，，
若，则，
函数的零点为，则函数在上，此时不满足条件；
若，则，而此时时，不满足条件，故；
函数在上，则上，
而在上的零点为，且在上，
则，上，
要使对任意恒成立，
则函数与的零点相同，即，
，
故选：B
3．B
【分析】
先作出两函数的图像，由图像可知当时，与有1个交点，所以只要当时，与有两个交点即可，结合图像可得的图象在上有两交点，则在上没有交点，即直线与在有两交点，且的图象在上没有交点，即在有两个解，且在上没有解，然后利用方程根的分布进行求解即可
【详解】
如图当时，与有1个交点.
要使有3个零点，则当时，
与有两个交点即可，
若，，两函数没有交点，所以，
画出图象，如下图所示，
根据图象的图象在内至多有一个交点.
当的图象在上有两交点，则在上没有交点.
即直线与在有两交点，且的图象在上没有交点.
即在有两个解，且在上没有解.
设，需，且
解得或（舍去），且
所以此时
若在上的图象有1个交点，则在 上的图象有1个交点
即在有1个解，且在上有1个解.
则且，此时无解.
要使在只有两交点，则.
故选：B
【点睛】
此题考查函数与方程，考查由函数的零点个数求参数的取值范围，考查转化思想和计算能力，属于较难题
4．A
【分析】
由题设写出的解析式，，再结合函数图像可知，再求出的范围，即可求得结果.
【详解】
由题设知
化简整理得：，画出函数的图像，如下图
由，当关于的方程恰有三个互不相等的实数根时，t的取值范围是，
设，则是的两个根，关于对称，故，
下面求的范围：，解得：
，，，故
所以
故选：A.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.
5．B
【分析】
分、、三种情况讨论，作出函数的图象，根据已知条件可得出关于实数的等式与不等式，进而可求得实数的取值.
【详解】
当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，关于的方程有且只有一个实根，不合乎题意；
当时，，如下图所示：
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
由题意可得，解得；
若，则，如下图所示：
函数在单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
由题意可得，此时无解.
综上所述，.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
6．A
【分析】
写出的分段函数解析式，利用函数在区间上有两个不同的零点，利用参数分离法转化为有两个零点，即函数的图像与直线有两个交点，数形结合即可得解.
【详解】
令，利用参数分离法得，令
函数在区间上有两个不同的零点，转化为函数的图像与直线在区间上有两个交点，
作出函数的草图，如图所示：
由图可知，的取值范围是：
故选：A
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
7．AC
【分析】
当时，判断不是的零点；当时，由，分离参数得，将问题转化为直线与函数图象的交点个数．作出的图象，运用数形结合的思想逐一判断可得选项.
【详解】
解：当时，，所以不是的零点；
当时，由，即，得，
则的零点个数等于直线与函数图象的交点个数．
当时，，当且仅当，即时取等号，所以当时，，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当，即时取等号，所以当时，，当且仅当时取等号，
作出函数的大致图象（如下图所示），
由图可知：若没有零点，则，故A正确；
若恰有2个零点，则，故B不正确；
若恰有3个零点，则或，故 C正确；
若）恰有4个零点，则，故D不正确，
故选：AC.
8．BC
【分析】
根据函数的奇偶性及时的解析式作出函数的图象，结合图象可判断AB选项，联立与可判断相切时切点横坐标为1，当，时最多一个交点，可判断C，根据函数奇偶性与对称性判断D．
【详解】
当时，且为R上的奇函数，
作函数f（x）的图象如图：
对于A，当时，函数f（x）不是单调递减函数，则f（x1）＞f（x2）不成立，故A不正确；
对于B，令，解得，由图象可知，当时，的最小值为，则，故B正确；
对于C，联立，得，
△＝（k+1）2﹣4＝k2+2k﹣3=0，存在，使得△=0，此时,可知最多有3个不同的交点，
∴不存在实数k，使关于x的方程f（x）＝kx有5个不相等的实数根，故C正确；
对于D，由 可得或，
∵函数f（x）是奇函数，若关于x的两个方程与所有根的和为0，
∴函数的根与根关于原点对称，则，
但x＞0时，方程有2个根，分别为，两根之和为，
若关于x的两个方程与所有根的和为0，
则的根为，此时 ，故D错误.
故选：BC
【点睛】
关键点点睛：利用奇函数的对称性得出函数的图象是解决本题的关键所在，结合函数的单调性，函数值的变换，函数图象的交点，利用数形结合解决问题，属于难题.
9．
【分析】
求函数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，设，若函数恰有4个零点，则等价为函数有两个零点，满足或，利用一元二次函数根的分布进行求解即可．
【详解】
当时，，
由得：，解得，
由得：，解得，
即当时，函数取得极大值，同时也是最大值，（e），
当，，
当，，
作出函数的图象如图，
设，
由图象知，当或，方程有一个根，
当或时，方程有2个根，
当时，方程有3个根，
则，等价为，
当时，，
若函数恰有4个零点，
则等价为函数有两个零点，满足或，
则，
即（1）
解得：，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及．求的导数，研究函数的的单调性和极值是解决本题的关键，属于难题．
10．．
【分析】
由题可求，再利用数形结合即求.
【详解】
∵定义在上的单调函数，对任意都有，
令，则，
在上式中令，则，解得，
故，
由得，即，
在同一坐标系中作出函数和的图像，
可知这两个图像有2个交点，即和，
则方程的解集为．
故答案为：.
11．②③.
【分析】
①罐可乐有个可乐空罐，第一次可换罐可乐还剩个空罐，第二次可换罐可乐还剩个空罐，由此算出最多可饮用的可乐罐数；
②：先分析购买罐可乐的情况，再分析购买罐可乐的情况，由此确定出至少需要购买的可乐罐数；
③：先分析购买到罐可乐分别可饮用多少罐可乐以及剩余空罐数，然后得到规律，再分奇偶罐数对所得到的规律进行整理，由此计算出的结果.
【详解】
①：购买罐可乐时，第一次可换罐还剩个空罐，第二次可换罐还剩个空罐，所以最多可饮用罐可乐，故错误；
②：购买罐时，第一次可换罐可乐，第二次可换罐可乐还剩个空罐，
第三次可换罐可乐还剩个空罐，第四次可换罐可乐还剩个空罐，所以一共可饮用罐；
购买罐时，第一次可换罐可乐还剩个空罐，第二次可换瓶可乐还剩个空罐，
第三次可换罐可乐，第四次可换罐可乐还剩个空罐，所以一共可饮用罐；
所以至少需要购买罐可乐，故正确；
③：购买到罐可乐分别可饮用可乐罐数以及剩余空罐数如下表所示：
购买数 饮用数 剩余空罐数
由表可知如下规律：
（1）当购买的可乐罐数为奇数时，此时剩余空罐数为，当购买的可乐罐数为偶数时，此时剩余的空罐数为；
（2）实际饮用数不是的倍数；
（3）每多买罐可乐，可多饮用罐可乐，
（4）实际饮用的可乐罐数要比购买的可乐罐数的倍少或；
设购买了罐可乐，实际可饮用的可乐罐数为，
所以，即，即，
又因为可看作，即不大于的最大整数，所以成立，故正确；
故答案为：②③.
【点睛】
关键点点睛：解答本题时，一方面需要通过具体购买的可乐罐数去分析实际饮用的可乐罐数，另一方面需要对实际的购买情况进行归纳，由此得到购买的可乐罐数与实际饮用的可乐罐数的关系，从而解决问题.
12．
【分析】
若此函数的“友好点对”有且只有一对，则等价为函数，与，，只有一个交点，作出两个函数的图象如图，然后分和两种情况讨论即可
【详解】
当时，函数关于原点对称的函数为，即，，
若此函数的“友好点对”有且只有一对，
则等价为函数，与，，只有一个交点，作出两个函数的图象如图：
若，则，与，，只有一个交点，满足条件，
当时，，若，
要使两个函数只有一个交点，则满足，即得，
得或，，，综上或，
即实数a的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：此题考查函数与方程的应用，结合函数的对称性，解题的关键是转化为对称函数的相交问题，利用函数图像求解，考查分类讨论思想，有一定的难度
13．（1）或；（2）①在区间上单调递增；②.
【分析】
（1）由图象关于原点对称知：，结合函数解析式可得，即可求参数.
（2）由已知得，①为，的构成的复合函数，由它们在上均单调递增，即知的单调性；②由①整理方程得在区间上有两个不同的解，令，有，结合基本不等式求其最值，进而确定的取值范围.
【详解】
（1）由题意知：，整理得，即，对于定义域内任意都成立，
∴，解得或.
（2）由知：，故
①，由，在上均单调递增，
∴在区间上的单调递增.
②由①知，可得，即在区间上有两个不同的解，令，
∴当且仅当时等号成立，而在上递减，在上递增，且时.
∴.
【点睛】
关键点点睛：
（1）利用函数的对称性，结合解析式列方程求参数值；
（2）根据对数型复合函数的构成判断单调性，应用参变分离、换元思想，将方程转化为在上存在不同的对应相同的值，求参数范围.
14．
（1）
（2）①24 ；②不能；理由见解析
【分析】
（1）由题意得，两边取自然对数化简计算可求得，从而可求得①式的人口增长模型，
（2）①由，可得，化简计算得，从而可求出正整数k的最小值，
②由①当时，，所以当时，最大，计算，从而得，进而可得结论
（1）
由题意可得，则，，
所以，所以，
所以．
（2）
①由，得，所以，
化简得，即，解得，因为k为正整数，所以正整数k的最小值为24，
②由①当时，，所以当时，最大，
，即，
所以按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到400千克．
15．（1）在区间上单调递增，在区间上单调递减；（2）．
【分析】
（1）易知函数的定义域为R，容易证明函数是一个偶函数，∴先探讨函数在上的单调性，再根据偶函数的特征得到函数在上的单调性.
（2）根据题意可以发现函数向左平移一个单位后是偶函数（定义为），现在考虑函数只有一个零点即可，∵函数的图像关于y轴对称，∴唯一的零点必然在x=0处，解得即可.
【详解】
（1）的定义域为，对任意的，有，
所以函数为偶函数.
先考虑在上的单调性：
，且，
有
由，得，，，于是，
即，所以在上单调递增．
又因为是偶函数，所以在上单调递减．
综上所述，在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（2）因为
将的图像向左平移1个单位得到，
对任意的，有，故是偶函数．
要使有唯一零点，即有唯一零点，而的图像关于轴对称，
故，求得．
由（1）可知，当时，在区间上单调递增，在上单调递减，又，故可知有唯一零点0，符合题意，故.
16．（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据单调性的定义，先设自变量并给定大小关系，再根据与的大小关系，即可完成证明；
（2）先化简，然后利用换元法即可求解出的值域；
（3）讨论、、、、时的区间单调性以及值域范围即可判断是否存在，使，从而可得的范围.
【详解】
（1）当时，，
证明：任取且，
所以，
又因为为上增函数，所以，又，
所以，所以，所以，
所以函数在上是减函数；
（2），因为，所以，
令，又因为在上单调递增，所以，
所以，所以，所以的值域为；
（3）由函数解析式知：，则：
1、当时，在上单调减且，在上单调减且，即不可能存在使；
2、当时，在上单调减，且趋于无穷时无限接近0，而在上，若有，即在上，在上，即存在使；
3、当时，在上单调减，且趋于无穷时无限接近0，而在上，若有，若有，所以在上，在上，在上，即存在使；
4、当时，，即在上单调减且，在上单调减且，即不可能存在使；
5、当时，在上单调减且，而在上，若有，若有，则上，在上，在上，即存在使；
∴综上有：.
【点睛】
思路点睛：用定义法证明函数单调性的步骤：
（1）设：设两个自变量，并给定大小关系；
（2）作差：计算；
（3）变形：将的结果化简至容易判断出正负；
（4）判号：根据的化简结果并结合的大小，判断出的正负；
（5）下结论：说明的单调性.
答案第1页，共2页
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