高中数学北师大版（2019）必修第一册第三章指数运算与指数函数培优专练5word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第三章指数运算与指数函数培优专练5
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．央视人民网报道：2019年7月15日，平顶山市文物管理局有关人士表示，郏县北大街古墓群抢救性发掘工作结束，共发现古墓539座，已发掘墓葬93座．该墓地是一处大型古墓群，在已发掘的93座墓葬中，有战国时期墓葬32座、两汉时期墓葬56座、唐墓2座、宋墓3座．生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．检测一墓葬女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断为该墓葬属于时期（辅助数据：）
参考时间轴：
A．战国 B．两汉 C．唐朝 D．宋朝
2．已知函数，在的图像恒在轴上方，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则函数的最大值是（ ）
A．7 B．8 C．21 D．22
4．定义在上的函数满足，当时，，若在上的最小值为23，则
A．4 B．5 C．6 D．7
5．已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论：
①若，则；
②若，则．
其中正确的是（ ）
A．①与②均正确 B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确
6．若不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围是
A．(-∞,0] B．(-∞,] C．[0,＋∞) D．[,＋∞)
二、多选题
7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在R上是增函数 D．的值域是
E.的值域是
8．下列函数对任意的正数，，满足的有
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知，，若满足对于任意，和至少有一个成立，则实数m的取值范围是________．
10．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围为________．
11．定义：如果函数在区间上存在，满足，则称是函数在区间上的一个均值点，已知函数在区间上存在均值点，则实数的取值范围是______.
12．已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是______.
四、解答题
13．已知函数为定义在R上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断函数的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若关于x的不等式有解，求t的取值范围.
14．已知函数的图象经过点，其中且.
（1）求的值；
（2）求在区间上的值域.
15．已知函数为奇函数，其中a为实数．
（1）求实数a的值；
（2）若时，不等式在上恒成立，求实数t的取值范围．
16．已知函数（是常数）.
（1）若，求函数的值域；
（2）若为奇函数，求实数.并证明的图像始终在的图像的下方；
（3）设函数，若对任意，以为边长总可以构成三角形，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【分析】
根据题意得到函数关系式，代入数据计算得到答案.
【详解】
生物体内碳14的含量与死亡年数之间的函数关系式为
，对应朝代为汉
故选
【点睛】
本题考查了函数的应用，意在考查学生的应用能力.
2．D
【分析】
根据题意令，由则，则函数，则问题转化成在上恒成立，化简不等式恒成立，根据基本不等式可求的范围，再根据恒成立思想，可求参数取值范围.
【详解】
令，则，
函数化成
则函数，在图象恒在轴上方，
可转化成在恒成立，
故在恒成立，
则有
且
则，又在恒成立，
则
故的范围
故选：
【点睛】
本题考查换元法转化函数恒成立问题，考查计算能力，有一定难度.
3．B
【分析】
根据题意，得出函数的解析式，并根据函数的性质求出函数的定义域，再利用换元法令，得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质即可得出的最大值，即函数的最大值．
【详解】
由题意得，，
的定义域为
的定义域应满足
即
令，则
则
可知，在上是单调递增的，
即函数的最大值为8．
故选B．
【点睛】
本题主要考查求复合函数的定义域以及利用换元法求函数的最值．
4．B
【分析】
根据，时，，研究其最小值，再考虑当，、，时，相应函数的最小值，总结规律即可得到结论．
【详解】
①当，时，
，
，，
当，时，；
②当，即，时，有，，
，
，，当，时，，
③当，即，，有，，，
，
，
则，即时，取得最小值2；
同理可得当，即，，的最小值为，
当，即，，的最小值为，
当，即，，的最小值为．
故选：．
【点睛】
本题考查函数的最值的求法，注意运用指数函数和二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．
5．A
【分析】
令，得到为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设，结合，利用直线的方程得到，进而得到，可判断①正确；②中，不妨设，得到点，利用直线的方程得到，进而得到，可判定②正确.
【详解】
令函数，
可得函数为单调递增函数，
又由，即，
所以函数为奇函数，图象关于点对称，如图（1）所示，
①中，因为，且，则，
不妨设，
则点，此时直线的方程为，
可得，
则，
可得，
又由，所以，
即，即，所以①正确；
②中，若，不妨设，则，
不妨设，
则点，此时直线的方程为，
可得，
则，
可得，
又由，所以，
即，即，
所以②正确.
故选：A.
【点睛】
方法点拨：令函数，得到函数为递增函数，且为奇函数，求得点和，结合直线和的方程，得出不等式关系式是解答的关键.
6．B
【解析】
由，
得，即
所以，
即对任意的恒成立．
设，，由与都是
上的减函数，则为减函数
故，∴，故选B．
【方法点晴】本题主要考查指数与对数的运算法则以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得 的最大值.
7．BCE
【分析】
计算得出判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，进而判断选项E正确，选项D不正确，即可求得结果.
【详解】
根据题意知，.
∵，
，
，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，
∴是奇函数，B正确；
由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；
，，
，，D错误，E正确.
故选:BCE.
【点睛】
本题考查函数的新定义，考查函数的奇偶性、单调性和值域，研究函数的单调性和值域要注意分离常数，属于较难题.
8．ABD
【分析】
根据四个选项中的函数证明不等式成立或举反例说明不成立(举反例时中让)．
【详解】
A．，
，A正确；
B．，
∴，B正确；
C．时，，C错；
D．，
∴，D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查正弦函数、幂函数、指数函数、对数函数的性质，对于函数的性质，正确的需进行证明，错误的可举一反例说明．
9．
【分析】
作出符合题意的图象,利用数形结合思想,先判断函数的取值范围,再根据和至少有一个成立,列出实数需要满足的不等式即可.
【详解】
由题意作图如下：
由题意可得，对于任意,和至少有一个小0.
因为，所以当时,,当时,
所以对于抛物线的图象开口必向下，且与轴交点的横坐标小于，所以 ，解得.
故答案为:
【点睛】
本题主要考查利用数形结合思想解决指数型函数与二次函数相结合的问题及对函数图象的判断;其中作出符合题意的图象是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.
10．[－1,1]
【解析】
画出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示
由图象可得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．
11．
【分析】
函数在区间上存在均值点，关于x的方程在内有实数根。求出函数的值域，包含元素1即可。
【详解】
∵函数在区间上存在均值点，
∴关于x的方程在内有实数根。
由，，
可得.
要使方程在内有实数根，则，
即。
故答案为：。
【点睛】
本题考查了指数函数和二次函数复合函数的值域问题，将指数函数看成一个整体，通过换元法求得二次函数的值域即可。本题属于中等题。
12．
【分析】
求出函数在区间上的值域为，由题意可知，由，可得出，由题意知，函数在区间上的值域包含，然后对分、、三种情况分类讨论，求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式（组），解出即可.
【详解】
由于函数在上的减函数，则，即，
所以，函数在区间上的值域为.
对于函数，内层函数为，外层函数为.
令，得.
由题意可知，函数在区间上的值域包含.
函数的图象开口向上，对称轴为直线.
（i）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，，即，
此时，函数在区间上的值域为，
由题意可得，解得，此时，；
（ii）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，，即，
此时，函数在区间上的值域为，
由题意可得，解得或，此时；
（iii）当时，函数在区间上单调递减，则，，则函数在区间上的值域为，
由题意可得，解得，此时，.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查指数函数与对数函数的综合问题，根据任意性和存在性将问题转化为两个函数值域的包含关系是解题的关键，在处理二次函数的值域问题时，要分析对称轴与区间的位置关系，考查分类讨论思想、化归与转化思想的应用，属于难题.
13．（1）；（2）在R上单调递增，证明见解析；（3）.
【分析】
（1）根据奇函数的定义得到，利用指数幂的运算化简可求得的值；
（2）先取，然后将通分化简分解因式，并结合指数函数的单调性判定与的大小关系，可证明出在R上的单调性；
（3）利用的奇偶性和单调性将问题转化为有解.根据指数函数的值域求解出的取值范围，从而可求的取值范围.
【详解】
（1）因为为奇函数，所以，所以，
所以且，所以，所以，
所以；
（2）在上单调递增，证明如下：
由条件知，任取，
所以
，
又因为，在R上单调递增，
所以且，
所以，所以，
所以在R上单调递增；
（3）有解即有解，
由的奇偶性可知进一步等价于有解，
由的单调性可知进一步等价于有解，
即关于的不等式有解.
，
因为，所以，，
所以的取值范围是，
所以，所以，
即的取值范围是.
14．（1）（2）
【分析】
（1）根据指数函数定点，求解参数.
（2）根据复合函数单调性，令为内层函数，求解范围，再求值域..
【详解】
解：（1）依题意得，
则，所以，
解得.
（2）因为，所以，
设函数，
易知函数在区间上为增函数.
又因为，，所以.
因为为增函数，
所以，即在区间上的值域为.
【点睛】
本题考查：（1）指数函数定点问题（2）复合函数单调性问题，有一定难度.
15．（1）；（2）.
【分析】
（1）由函数为奇函数，可得，代入整理可得：，所以，即可得解；
（2）若，由（1）知，所以，根据复合函数单调性所以为增函数，又因为为奇函数，由题意可得：，构造函数进行分类讨论即可得解.
【详解】
（1）由函数为奇函数，可得，
代入可得：，
整理可得：，所以，
解得：；
（2）若，由（1）知，
所以，
由为增函数，为增函数且，
又因为为减函数，所以为增函数，
所以为增函数，
又因为为奇函数，
由可得：
，
即在上恒成立，
若，时不成立，故，
令，则，
整理可得：，
令，
若或
需，，
可得或，
若，需，
解得，
综上可得：实数t的取值范围为.
【点睛】
本题考查了分式函数的奇偶性和单调性，考查了转化思想和分类讨论思想，计算量较大，属于较难题.
本题所用方法有：
（1）复合函数的同增异减原理的应用；
（2）利用单调性解不等式，关键是求出函数单调性，误区为直接代入；
（3）构造二次函数求参数范围，主要利用二次函数的性质进行分类讨论.
16．（1）（2）；证明见解析（3）
【分析】
（1）把代入后反解可得，解分式不等式即可；
（2）直接利用奇函数的定义代入即可求解，利用作差法即可证明结论；
（3）由题意可得，结合，利用换元法转化为，，再结合二次函数的性质即可.
【详解】
（1）由题意，（是常数），
当时，此时，即，整理可得，
因，则，即，
解得，
故函数的值域为.
（2）由题意，为奇函数，则，即，
化简得，
∵恒不为零，
∴且，解得，此时，
∴，
即的图像始终在的图像的下方.
（3）由题意，得，，
令，则，其对称轴为，
①当，即时，此时单调递减，
∴，即，
解得或，
∴；
②当，即时，此时先减后增左端点高，
∴即，无解；
③当，即时，此时先减后增右端点高，
∴即，无解；
④当，即时，此时单调递增，
∴即，
解得或，
∴；
综上，.
【点睛】
本题综合考查了函数的奇偶性，二次函数闭区间最值的求解，体现了分类讨论思想及转化思想的应用，还考查了一定的逻辑推理的能力，属于中档题.
答案第1页，共2页
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