高中数学北师大版（2019）必修第一册第三章指数运算与指数函数培优专练3word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第三章指数运算与指数函数培优专练3
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：
①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知函数，在的图像恒在轴上方，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
4．若命题“存在实数，使得关于的不等式有解”为真命题，则实数的范围是
A． B． C． D．
5．央视人民网报道：2019年7月15日，平顶山市文物管理局有关人士表示，郏县北大街古墓群抢救性发掘工作结束，共发现古墓539座，已发掘墓葬93座．该墓地是一处大型古墓群，在已发掘的93座墓葬中，有战国时期墓葬32座、两汉时期墓葬56座、唐墓2座、宋墓3座．生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．检测一墓葬女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断为该墓葬属于时期（辅助数据：）
参考时间轴：
A．战国 B．两汉 C．唐朝 D．宋朝
6．定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
二、多选题
7．［多选题］若关于的方程（且）有解，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．0
8．若实数x，y满足则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
9．已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是______.
10．已知函数和同时满足以下两个条件：
（1）对于任意实数，都有或；
（2）总存在，使成立，则实数的取值范围是 __________．
11．方程的解是__________.
12．若实数满足，则的最大值是____________ .
四、解答题
13．已知函数.
（1）若函数为奇函数，求a的值，并求此时函数的值域；
（2）若存在，使，求实数a的取值范围.
14．已知函数是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数，是否存在实数m使得的最小值为0？若存在，求出m的值， 不存在，请说明理由．
15．已知函数.
（1）当时，求函数在上的值域；
（2）若，函数在上的最大值是，求的取值范围；
（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
16．已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立.
（1）求；
（2）判断在上的单调性，并予以证明；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
【分析】
由题可画函数图象，结合图象可解.
【详解】
当时，，是把向右平移2个单位变成后，再把纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，如图：
∵，故①正确；
由题知函数在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，故当时，函数值域为，故②正确；
当时有无数个实数根，故③错误；
当时，函数的图象与的图象交于点，结合图象，即，故④正确,
故选：C
2．D
【分析】
根据题意令，由则，则函数，则问题转化成在上恒成立，化简不等式恒成立，根据基本不等式可求的范围，再根据恒成立思想，可求参数取值范围.
【详解】
令，则，
函数化成
则函数，在图象恒在轴上方，
可转化成在恒成立，
故在恒成立，
则有
且
则，又在恒成立，
则
故的范围
故选：
【点睛】
本题考查换元法转化函数恒成立问题，考查计算能力，有一定难度.
3．D
【分析】
依题意可得到对任意的、、恒成立，将函数的解析式用分离常数法变形，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论转化为的最小值与的最大值的不等式，进而求出实数的取值范围.
【详解】
由题意可得，对任意的、、恒成立，
.
当时，函数是上的减函数，该函数的值域为，
故，，，此时，.
当时，，则对任意的、、恒成立；
当时，函数是上的增函数，该函数的值域为，
故，，，则.，此时，；
综上所述，实数的取值范围是.
故选D.
【点睛】
本题考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时也考查了分类讨论的思想，属于难题.
4．D
【分析】
由，将参变分离，转化成求关于的函数的最值，求时的最小值.
【详解】
令 ，则
由整理得
令 且 在单调递增，
所以
要使在有解，则需
故选D.
【点睛】
本题关键(1)在于运用参变分离，将转化成关于的函数，避免了二次函数的讨论;(2)考虑到有解时，是求其函数的最大值还是最小值，要仔细分辨清楚，此题属于难度题。
5．B
【分析】
根据题意得到函数关系式，代入数据计算得到答案.
【详解】
生物体内碳14的含量与死亡年数之间的函数关系式为
，对应朝代为汉
故选
【点睛】
本题考查了函数的应用，意在考查学生的应用能力.
6．C
【详解】
当时，.
因为，所以，即.
在直角坐标系内，画出时，的图象（如图所示）.
由于时，的最小值为，所以时，当时，的最小值为，
因此，为使时，恒成立，
需，即，解得或，故选C
【点睛】
解答本题的关键，是弄清在不同区间上，函数解析式之间的关系，由于，说明时函数的图象，是时函数的图象，沿轴向左平移个单位，然后纵坐标缩短到原来的，因此函数的最小值得以确定.本题较好地考查考生的转化与化归思想、数形结合思想、基本运算能力.
7．BC
【分析】
若关于的方程（且）有解，可用换元法，利用分离参数转化方程，配合基本不等式可求出的取值范围，并得到符合范围的选项
【详解】
设，若有解，等价于，即有解，换元整理得方程有解
∵，∴，当且仅当时取等号，
∴所以若要有解，需，
∴即，
∴的取值范围是．
故选：BC
8．ACD
【分析】
构造函数，得出函数都是单调递增函数，结合图象，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，实数满足，可化为，
设，
由初等函数的性质，可得都是单调递增函数，
画出函数的图象，如图所示，
根据图象可知，当时，；当时，，
当时，，所以成立；
当时，，所以B不正确；
当时，可能成立，所以C正确；
当时，此时，所以可能成立，所以是正确的.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查了指数函数的图象与性质，其中解答中结合指数函数的性质，画出两个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.
9．
【分析】
求出函数在区间上的值域为，由题意可知，由，可得出，由题意知，函数在区间上的值域包含，然后对分、、三种情况分类讨论，求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式（组），解出即可.
【详解】
由于函数在上的减函数，则，即，
所以，函数在区间上的值域为.
对于函数，内层函数为，外层函数为.
令，得.
由题意可知，函数在区间上的值域包含.
函数的图象开口向上，对称轴为直线.
（i）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，，即，
此时，函数在区间上的值域为，
由题意可得，解得，此时，；
（ii）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，，即，
此时，函数在区间上的值域为，
由题意可得，解得或，此时；
（iii）当时，函数在区间上单调递减，则，，则函数在区间上的值域为，
由题意可得，解得，此时，.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查指数函数与对数函数的综合问题，根据任意性和存在性将问题转化为两个函数值域的包含关系是解题的关键，在处理二次函数的值域问题时，要分析对称轴与区间的位置关系，考查分类讨论思想、化归与转化思想的应用，属于难题.
10．
【解析】
对于（1），，当时，，又（1）或，在时恒成立，则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与轴交点都在左面，即，可得，即满足条件（1）的实数的取值范围是，又（2）此时恒成立，，在有成立的可能，则只要比中的较小的根大即可，（i）当时，较小的根为不成立；（ii）当时，两个根同为不成立；（iii）当时，较小的根为，只需成立，所以满足条件（2）的实数的取值范围是，综上可得（1）、（2）同时成立时，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、分类讨论思想及函数与方程思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.
11．和
【解析】
【分析】
将最外层的指数幂设未知量，将对数式化成指数式，，再根据对数方程求解．
【详解】
，定义中要求，，
令，
，代入，化简得
解得
时，，
时，，
即方程的解是和
【点睛】
对数式可以直接转化成指数式，而指数式不能直接转化成对数式，需考虑底数取值范围．
复杂一点的对数式与指数式方程可选择选择中间项设未知量，化简方程．
12．
【分析】
由题意结合均值不等式和指数的运算法则利用换元法首先求得的范围，据此即可确定c的最大值.
【详解】
由题意可得：，
由基本不等式可得：，即：，
据此可得：，
结合可得：，
则，由于，故，
即，据此可得的最大值为.
【点睛】
本题主要考查均值不等式求最值的方法，换元法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．（1），；（2）.
【分析】
（1）利用可求，分离常数后可求函数的值域.
（2）由题设可得故在上的取值集合与在的取值集合有交集，考虑它们无公共元素时实数a的取值范围，该范围在实数集上的补集即为所求的取值范围.
【详解】
（1）因为为奇函数，所以，所以，
又当时，，此时，
满足奇函数的定义，故符合.
此时，
又，
故函数的值域为.
（2）.
①当时，，故不成立；
②当即时，
因为存在，使，
故在上的取值集合与在的取值集合有交集，
因为在上为增函数，故在上的取值区间为，
在上的取值区间为，
故在上的取值区间为，
若区间与无公共元素，
则或，也就是或，
故区间与有公共元素时，必有.
综上，.
【点睛】
方法点睛：
（1）含参数的奇函数或偶函数，利用赋值法求出参数值后应加以检验；
（2）多元方程解的存在性问题，一般转化为不同函数在对应范围中的值域的关系，注意合理转化.
14．（1）；（2）存在，
【分析】
（1）利用偶函数的定义建立方程进行求解即可.
（2）求出函数的表达式，利用换元法转化为一元二次函数，利用对称轴与区间的位置关系进行讨论，建立方程关系进行求解判断即可.
【详解】
解：（1）∵是偶函数.
∴，
则，
即，
即，
得，得，
得；
（2）
，
设，则，
则等价为，则对称轴为，
若，即时，
函数的最小值为，得不成立，
若，即时，
函数的最小值为，得不成立，
若时，即时，
函数的最小值为，得
综上存在使得的最小值为0.
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值的求解，利用偶函数的定义以及换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度.
15．（1）（2）（3）
【分析】
（1）用换元法，设，将转化为一元二次函数，然后利用二次函数的性质得出结论。（2）将整理成，根据的范围可得在定义域上的最大值，再由的范围，可得。（3）设，在上恒成立等价于在上恒成立，根据二次函数的性质解不等式，即得。
【详解】
（1） 当时，，设，则有，，那么，函数的对称轴为，故函数在定义域上单调递增，值域为.（2） 由题意得，，，，则当时，取到最大值，即，又，且，，，故取值范围是.（3） 设，所以在上恒成立等价于在上恒成立，这个二次函数开口朝上，在区间上的最大值在端点处取到，即只需即可，代入得，解得故实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查求函数的值域，以及由恒成立求参数，利用了换元法，有一定的综合性。
16．
（1）0
（2）单调递减，证明见解析
（3）
【分析】
（1）令可得；
（2）任取，且，根据定义可得，即可证明；
（3）令，不等式化为恒成立且恒成立.
（1）
令可得，则；
（2）
函数在上是减函数.
证明：任取，且，
由，可知，
则，
，，，
故函数在上是减函数.
（3）
由（2）知函数在上是减函数，
所以有恒成立，
令，则，
由恒成立可得，
因为，当且仅当时等号成立，，
由恒成立可得，则，
综上，实数m的取值范围.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页