高中数学北师大版（2019）必修第一册第三章指数运算与指数函数培优专练2word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第三章指数运算与指数函数培优专练2
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．定义在上的函数满足，当时，，若在上的最小值为23，则
A．4 B．5 C．6 D．7
3．设，，且，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，若对于任意的、、，以、、为长度的线段都可以围成三角形，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．对于给定的正数，定义函数，若对于函数的定义域内的任意实数，恒有，则
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为1 D．的最小值为1
6．已知a，b，c>0且，，，则
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．a>c>b
二、多选题
7．下列函数对任意的正数，，满足的有
A． B． C． D．
8．设，函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______．
10．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是___________
11．已知函数，，，其中表示中最大的数，若对恒成立，则实数的取值范围是_______.
12．对于函数中的任意有如下结论：
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥.
当时，上述结论正确的是______.
四、解答题
13．设，函数.
（1）若，求证：函数是奇函数；
（2）若，判断并证明函数的单调性；
（3）设，，若存在实数m，n（），使得函数在区间[m，n]上的取值范围是，求的取值范围.
14．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且.
（1）求的解析式；
（2）若时，对一切，使得恒成立，求实数的取值范围.
15．设函数（，且）是定义域为R的奇函数.
（1）求t的值；
（2）若，求使不等式对一切恒成立的实数k的取值范围；
（3）若函数的图象过点，是否存在正数m（），使函数在上的最大值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
16．已知函数的定义域为，其中为实数．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）当时，是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．D
【分析】
问题转化为函数的值域是值域的子集，分别求出和的值域，得到关于m的不等式组，解出即可.
【详解】
对任意的，存在，使得，
即在上的值域是在上的值域的子集，
，
当时，，
在上单调递增，的值域为，
又在上单调递减，的值域为：，
，
，方程无解
当时，，在上单调递减，的值域为
的值域为：，
，解得
当时，，显然不满足题意.
综上，实数的取值范围为
故选：D.
【点睛】
关键点睛：解决此题的关键是将所求问题转化为函数的值域是值域的子集.
2．B
【分析】
根据，时，，研究其最小值，再考虑当，、，时，相应函数的最小值，总结规律即可得到结论．
【详解】
①当，时，
，
，，
当，时，；
②当，即，时，有，，
，
，，当，时，，
③当，即，，有，，，
，
，
则，即时，取得最小值2；
同理可得当，即，，的最小值为，
当，即，，的最小值为，
当，即，，的最小值为．
故选：．
【点睛】
本题考查函数的最值的求法，注意运用指数函数和二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．
3．D
【分析】
由条件，且分析出的大小关系，再讨论函数的单调性即可逐一判断作答
【详解】
因，且，则有且，于是得，
函数，则在上递减，在上递增，
当时，有成立，A选项可能成立；
当时，有成立，C选项可能成立；
由知，即取某个数，存在，
使得成立，如图，即B选项可能成立；
对于D，由成立知，必有，由成立知，必有，即出现矛盾，D选项不可能成立，
所以不可能成立的是D.
故选：D
4．C
【分析】
设，可得，设，由对任意的求得，进而可求得函数在区间的值域，由题意可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
令，，则，
令，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，当时，，则，
，则，，
构造函数，其中，由，可得，
由于函数在区间上单调递减，则，可得.
二次函数的对称轴为直线，
则函数在区间上单调递增，
当时，，即.
由于以、、为长度的线段都可以围成三角形，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了参数取值范围的求解，以及构成三角形的条件和利用函数单调性求函数值域，属于难题.
5．B
【分析】
先根据得到与最值的关系，然后利用换元法求解函数的值域，即可确定的取值范围，则的最值可确定.
【详解】
因为，所以由定义知，
因为，所以，则函数的定义域为，
令 ，则 ， ，所以 ，因此 .
故选B.
【点睛】
指数型函数值域的求解方法：利用换元法令，求解出的值域即为的取值范围，根据指数函数的单调性即可求解出的值域.
6．C
【解析】
【分析】
先确定a，b，c范围，再将a，b转化为函数y=2x，y=y=的图象对应交点的横坐标，结合图象确定选项.
【详解】
∵a，b，c>0，且，，，∴01．分别画出函数y=2x，y=，y=的图象，则0【点睛】
本题考查判断大小关系、指对数函数图象，考查数形结合思想解决数学问题的能力.
7．ABD
【分析】
根据四个选项中的函数证明不等式成立或举反例说明不成立(举反例时中让)．
【详解】
A．，
，A正确；
B．，
∴，B正确；
C．时，，C错；
D．，
∴，D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查正弦函数、幂函数、指数函数、对数函数的性质，对于函数的性质，正确的需进行证明，错误的可举一反例说明．
8．BD
【分析】
令，得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为，再根据和三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解.
【详解】
由题意，函数，令，
可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为，
当时，即时，可得，
此时函数在单调递减，在上单调递增，且
可得在递减，在上递增，且；
当时，即时，可得，
此时函数在单调递减，在上单调递增，
由复合函数的单调性，可得在递减，在上递增，且，
此时选项B符合题意；
当当时，即时，此时函数有两个零点，
不妨设另个零点分别为且，
此时函数在单调递减，在上单调递增，
可得在递减，在上递增，且，
则在递减，在上递增，且，
此时选项D符合题意.
综上可得，函数的图象可能是选项BD.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查了根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用.
9．
【分析】
由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（ ∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数在x∈[2，＋∞）时的值域，当x∈（ ∞，2）时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a的取值范围．
【详解】
解：设函数的值域为，函数的值域为，
因为对任意的，都存在唯一的，满足，
则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.
当时，，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
当时，
①当时，，此时，
，解得，
②当时，，
此时在上是减函数，取值范围是，
在上是增函数，取值范围是，
，解得，
综合得.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.
10．
【分析】
题目等价于函数与函数在区间上同增或者同减，分别讨论两个函数同增或同减的情况列出不等式可求解.
【详解】
函数在上单调递减，函数在上单调递增，
若区间为函数的“稳定区间”，
则函数与函数在区间上同增或者同减，
①若两函数在区间上单调递增，
则在区间上恒成立，即，
所以；
②若两函数在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，即，不等式无解；
综上所述：，
故答案为：.
11．
【分析】
在同一坐标系中作出和图象，的图象是由和图象中较大部分构成，当时，，而当时，，故只需即可，利用数形结合即可得出结果．
【详解】
当时，，所以由成立；
当时，，所以只要即可，
如图将的图象向左平移1个单位(如图①)，得到函数的图象，此时有，
若图象再向左平移(如图②)则满足，所以．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查利用数形结合处理恒成立问题，属于中档题．
12．①③⑤⑥
【分析】
由函数解析式代入各个结论检验．①②直接代入变形判断，③分类讨论，按的正负分类，④中时，左边的式子就是③中的式子，由③可得，⑤中作差比较，⑥由负指数幂的定义可得．
【详解】
由于，
所以，①正确；
，②错误；
当时，，当时，，∴，③正确，
在④中若令，则，④错误，
因为，
，⑤正确，
，⑥正确，
故答案为：①③⑤⑥
【点睛】
本题考查指数函数的性质，考查幂的运算法则．问题不难只是内容较多．⑤反映了指数函数的凹凸性，说明指数函数是下凸的函数（凹下去的）．
13．
（1）证明见详解；
（2）定义域上单调递增，证明见详解；
（3）
【分析】
（1）代入解析式，根据函数式知定义域为且，即为奇函数；
（2）利用单调性定义令，判断的符号，即可知大小关系，从而可得结论.
（3）因为，分a＞0，a＜0两种情况讨论函数在区间[m，n]（m＜n）上的取值范围是[k∈R），进而得出结论．
（1）
时，有且定义域为，
∴，
综上有：的定义域关于原点对称且，即为奇函数；
（2）
时，有，即定义域为R，结论为：在R上单调递增.
设对任意两个实数：，则
，而，，
∴，即得证.
（3）
∵，所以或，
∴当时，由（2）知在R上单调递增，结合题意有，
，得，即是的两个不同的实根，
∴令，则在上有两个不同实根，
故，可得，
当时，在上都递减，
若，有，则与矛盾，舍去；
若，有，即有
，即，所以，
两式相减得，又，故，
从而，，
综上所述，的取值范围.
14．（1）；（2）或.
【分析】
（1）用替换后,根据题中奇偶性,利用奇偶性性质得到方程组,即可解得答案;
（2）代入解析式化简后换元，将问题转化成恒成立问题，通过讨论对称轴和区间的关系研究最值解决恒成立问题.
【详解】
解：（1）①，，
分别是定义在上的奇函数和偶函数，
②，由①②可知
（2）当时，，
令，
即，
恒成立，
在恒成立
令
（i）当时，(舍)；
（ii）法一：当时，
或或
解得
法二：由于，所以或解得
(ⅲ)当时，，解得
综上或
【点睛】
解决恒成立问题的常用方法：
①数形结合法：画图像，对关键点限制条件；②分离参数法：转化成参数与函数最值的关系；③构造函数法：转化成函数最值（含参数）的范围.
15．（1），（2），（3）不存在，理由见解析
【分析】
（1）结合函数奇偶性，利用可求；
（2）根据可得，结合奇偶性和单调性把所求解的不等式转化为二次不等式，然后进行求解；
（3）根据函数图象过点可得，利用换元法进行求解.
【详解】
（1）是定义域为R的奇函数，
，
；经检验知符合题意.
（2）由（1）得，
得，又
，
由得，
为奇函数，
，
，为R上的增函数，
对一切恒成立，即对一切恒成立，
故解得.
（3）函数的图象过点，
，假设存在正数m，且符合题意，
由得
，
设则，
，
，记，
∵函数在上的最大值为0，
∴（i）若时，则函数在有最小值为1，
由于对称轴，
，不合题意.
（ii）若时，则函数在上恒成立，且最大值为1，最小值大于0，
①，
而此时，又，
故在无意义，
所以应舍去;
②m无解，
综上所述：故不存在正数m，使函数在上的最大值为0.
【点睛】
本题主要考查函数性质的应用及函数最值问题，综合性较强，复杂函数的最值问题求解，通常利用换元法进行转化，把复杂函数转化为熟知的函数来进行，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.
16．（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，．
【分析】
（Ⅰ）由题意可得对任意都成立，分与讨论即可得出答案.
（Ⅱ）由题意，根据题意可得即可. 令,则,令，．由对称轴与定义域区间的位置关系讨论即可.
【详解】
（Ⅰ）由题意，函数的定义域为，
则不等式对任意都成立．
①当时，显然成立；
②当时，欲使不等式对任意都成立，
则，解得．
综上，实数的取值范围为．
（Ⅱ）当时，．
∴当时，．
令．显然在上递增，则．
∴．
令，．
若存在实数满足对任意，都存在，使得成立，则只需．
①当即时，函数在上单调递增．
则．解得，与矛盾；
②当即时，函数在上单调递减，
在上单调递增．则．
解得；
③当即时，函数在上单调递减．
则．解得，与矛盾．
综上，存在实数满足条件，其取值范围为．
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
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