高中数学北师大版(2019)必修第一册第三章指数运算与指数函数培优专练2word版含答案

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名称 高中数学北师大版(2019)必修第一册第三章指数运算与指数函数培优专练2word版含答案
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文件大小 1.0MB
资源类型 教案
版本资源 北师大版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-02-05 21:01:55

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文档简介

高中数学北师大版(2019)必修第一册第三章指数运算与指数函数培优专练2
第I卷(选择题)
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一、单选题
1.已知函数(),函数().若任意的,存在,使得,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.定义在上的函数满足,当时,,若在上的最小值为23,则
A.4 B.5 C.6 D.7
3.设,,且,则下列关系式中不可能成立的是( )
A. B.
C. D.
4.已知函数,若对于任意的、、,以、、为长度的线段都可以围成三角形,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.对于给定的正数,定义函数,若对于函数的定义域内的任意实数,恒有,则
A.的最大值为 B.的最小值为
C.的最大值为1 D.的最小值为1
6.已知a,b,c>0且,,,则
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.a>c>b
二、多选题
7.下列函数对任意的正数,,满足的有
A. B. C. D.
8.设,函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
第II卷(非选择题)
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三、填空题
9.已知函数,若对任意的,都存在唯一的,满足,则实数的取值范围是______.
10.设函数和,若两函数在区间上的单调性相同,则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”,则实数的取值范围是___________
11.已知函数,,,其中表示中最大的数,若对恒成立,则实数的取值范围是_______.
12.对于函数中的任意有如下结论:
①; ②;
③; ④;
⑤; ⑥.
当时,上述结论正确的是______.
四、解答题
13.设,函数.
(1)若,求证:函数是奇函数;
(2)若,判断并证明函数的单调性;
(3)设,,若存在实数m,n(),使得函数在区间[m,n]上的取值范围是,求的取值范围.
14.已知分别是定义在上的奇函数和偶函数,且.
(1)求的解析式;
(2)若时,对一切,使得恒成立,求实数的取值范围.
15.设函数(,且)是定义域为R的奇函数.
(1)求t的值;
(2)若,求使不等式对一切恒成立的实数k的取值范围;
(3)若函数的图象过点,是否存在正数m(),使函数在上的最大值为0,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
16.已知函数的定义域为,其中为实数.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)当时,是否存在实数满足对任意,都存在,使得成立?若存在,求实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案
1.D
【分析】
问题转化为函数的值域是值域的子集,分别求出和的值域,得到关于m的不等式组,解出即可.
【详解】
对任意的,存在,使得,
即在上的值域是在上的值域的子集,

当时,,
在上单调递增,的值域为,
又在上单调递减,的值域为:,

,方程无解
当时,,在上单调递减,的值域为
的值域为:,
,解得
当时,,显然不满足题意.
综上,实数的取值范围为
故选:D.
【点睛】
关键点睛:解决此题的关键是将所求问题转化为函数的值域是值域的子集.
2.B
【分析】
根据,时,,研究其最小值,再考虑当,、,时,相应函数的最小值,总结规律即可得到结论.
【详解】
①当,时,

,,
当,时,;
②当,即,时,有,,

,,当,时,,
③当,即,,有,,,


则,即时,取得最小值2;
同理可得当,即,,的最小值为,
当,即,,的最小值为,
当,即,,的最小值为.
故选:.
【点睛】
本题考查函数的最值的求法,注意运用指数函数和二次函数的性质,考查学生分析解决问题的能力,有一定的难度.
3.D
【分析】
由条件,且分析出的大小关系,再讨论函数的单调性即可逐一判断作答
【详解】
因,且,则有且,于是得,
函数,则在上递减,在上递增,
当时,有成立,A选项可能成立;
当时,有成立,C选项可能成立;
由知,即取某个数,存在,
使得成立,如图,即B选项可能成立;
对于D,由成立知,必有,由成立知,必有,即出现矛盾,D选项不可能成立,
所以不可能成立的是D.
故选:D
4.C
【分析】
设,可得,设,由对任意的求得,进而可求得函数在区间的值域,由题意可得出关于的不等式,由此可解得实数的取值范围.
【详解】
令,,则,
令,由双勾函数的单调性可知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以,当时,,则,
,则,,
构造函数,其中,由,可得,
由于函数在区间上单调递减,则,可得.
二次函数的对称轴为直线,
则函数在区间上单调递增,
当时,,即.
由于以、、为长度的线段都可以围成三角形,
所以,,解得.
因此,实数的取值范围是.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了参数取值范围的求解,以及构成三角形的条件和利用函数单调性求函数值域,属于难题.
5.B
【分析】
先根据得到与最值的关系,然后利用换元法求解函数的值域,即可确定的取值范围,则的最值可确定.
【详解】
因为,所以由定义知,
因为,所以,则函数的定义域为,
令 ,则 , ,所以 ,因此 .
故选B.
【点睛】
指数型函数值域的求解方法:利用换元法令,求解出的值域即为的取值范围,根据指数函数的单调性即可求解出的值域.
6.C
【解析】
【分析】
先确定a,b,c范围,再将a,b转化为函数y=2x,y=y=的图象对应交点的横坐标,结合图象确定选项.
【详解】
∵a,b,c>0,且,,,∴01.分别画出函数y=2x,y=,y=的图象,则0【点睛】
本题考查判断大小关系、指对数函数图象,考查数形结合思想解决数学问题的能力.
7.ABD
【分析】
根据四个选项中的函数证明不等式成立或举反例说明不成立(举反例时中让).
【详解】
A.,
,A正确;
B.,
∴,B正确;
C.时,,C错;
D.,
∴,D正确.
故选:ABD.
【点睛】
本题考查正弦函数、幂函数、指数函数、对数函数的性质,对于函数的性质,正确的需进行证明,错误的可举一反例说明.
8.BD
【分析】
令,得到抛物线的开口向上,对称轴的方程为,再根据和三种情形分类讨论,结合复合函数的单调性,即可求解.
【详解】
由题意,函数,令,
可得抛物线的开口向上,对称轴的方程为,
当时,即时,可得,
此时函数在单调递减,在上单调递增,且
可得在递减,在上递增,且;
当时,即时,可得,
此时函数在单调递减,在上单调递增,
由复合函数的单调性,可得在递减,在上递增,且,
此时选项B符合题意;
当当时,即时,此时函数有两个零点,
不妨设另个零点分别为且,
此时函数在单调递减,在上单调递增,
可得在递减,在上递增,且,
则在递减,在上递增,且,
此时选项D符合题意.
综上可得,函数的图象可能是选项BD.
故选:BD.
【点睛】
本题主要考查了根据函数的解析式识别函数的图象,其中解答中熟记指数幂的运算性质,二次函数的图象与性质,以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键,着重考查分析问题和解答问题的能力,以及分类讨论思想的应用.
9.
【分析】
由题意可得函数在[2,+∞)时的值域包含于函数在( ∞,2)时的值域,利用基本不等式先求出函数在x∈[2,+∞)时的值域,当x∈( ∞,2)时,对a分情况讨论,分别利用函数的单调性求出值域,从而求出a的取值范围.
【详解】
解:设函数的值域为,函数的值域为,
因为对任意的,都存在唯一的,满足,
则,且中若有元素与中元素对应,则只有一个.
当时,,
因为,当且仅当,即时,等号成立,
所以,
当时,
①当时,,此时,
,解得,
②当时,,
此时在上是减函数,取值范围是,
在上是增函数,取值范围是,
,解得,
综合得.
故答案为:
【点睛】
关键点点睛:本题即有恒成立问题,又有存在性问题,最后可转化为函数值域之间的包含关系问题,最终转化为最值问题,体现了转化与化归的思想.
10.
【分析】
题目等价于函数与函数在区间上同增或者同减,分别讨论两个函数同增或同减的情况列出不等式可求解.
【详解】
函数在上单调递减,函数在上单调递增,
若区间为函数的“稳定区间”,
则函数与函数在区间上同增或者同减,
①若两函数在区间上单调递增,
则在区间上恒成立,即,
所以;
②若两函数在区间上单调递减,
则在区间上恒成立,即,不等式无解;
综上所述:,
故答案为:.
11.
【分析】
在同一坐标系中作出和图象,的图象是由和图象中较大部分构成,当时,,而当时,,故只需即可,利用数形结合即可得出结果.
【详解】
当时,,所以由成立;
当时,,所以只要即可,
如图将的图象向左平移1个单位(如图①),得到函数的图象,此时有,
若图象再向左平移(如图②)则满足,所以.
故答案为:
【点睛】
本题主要考查利用数形结合处理恒成立问题,属于中档题.
12.①③⑤⑥
【分析】
由函数解析式代入各个结论检验.①②直接代入变形判断,③分类讨论,按的正负分类,④中时,左边的式子就是③中的式子,由③可得,⑤中作差比较,⑥由负指数幂的定义可得.
【详解】
由于,
所以,①正确;
,②错误;
当时,,当时,,∴,③正确,
在④中若令,则,④错误,
因为,
,⑤正确,
,⑥正确,
故答案为:①③⑤⑥
【点睛】
本题考查指数函数的性质,考查幂的运算法则.问题不难只是内容较多.⑤反映了指数函数的凹凸性,说明指数函数是下凸的函数(凹下去的).
13.
(1)证明见详解;
(2)定义域上单调递增,证明见详解;
(3)
【分析】
(1)代入解析式,根据函数式知定义域为且,即为奇函数;
(2)利用单调性定义令,判断的符号,即可知大小关系,从而可得结论.
(3)因为,分a>0,a<0两种情况讨论函数在区间[m,n](m<n)上的取值范围是[k∈R),进而得出结论.
(1)
时,有且定义域为,
∴,
综上有:的定义域关于原点对称且,即为奇函数;
(2)
时,有,即定义域为R,结论为:在R上单调递增.
设对任意两个实数:,则
,而,,
∴,即得证.
(3)
∵,所以或,
∴当时,由(2)知在R上单调递增,结合题意有,
,得,即是的两个不同的实根,
∴令,则在上有两个不同实根,
故,可得,
当时,在上都递减,
若,有,则与矛盾,舍去;
若,有,即有
,即,所以,
两式相减得,又,故,
从而,,
综上所述,的取值范围.
14.(1);(2)或.
【分析】
(1)用替换后,根据题中奇偶性,利用奇偶性性质得到方程组,即可解得答案;
(2)代入解析式化简后换元,将问题转化成恒成立问题,通过讨论对称轴和区间的关系研究最值解决恒成立问题.
【详解】
解:(1)①,,
分别是定义在上的奇函数和偶函数,
②,由①②可知
(2)当时,,
令,
即,
恒成立,
在恒成立

(i)当时,(舍);
(ii)法一:当时,
或或
解得
法二:由于,所以或解得
(ⅲ)当时,,解得
综上或
【点睛】
解决恒成立问题的常用方法:
①数形结合法:画图像,对关键点限制条件;②分离参数法:转化成参数与函数最值的关系;③构造函数法:转化成函数最值(含参数)的范围.
15.(1),(2),(3)不存在,理由见解析
【分析】
(1)结合函数奇偶性,利用可求;
(2)根据可得,结合奇偶性和单调性把所求解的不等式转化为二次不等式,然后进行求解;
(3)根据函数图象过点可得,利用换元法进行求解.
【详解】
(1)是定义域为R的奇函数,

;经检验知符合题意.
(2)由(1)得,
得,又

由得,
为奇函数,

,为R上的增函数,
对一切恒成立,即对一切恒成立,
故解得.
(3)函数的图象过点,
,假设存在正数m,且符合题意,
由得

设则,

,记,
∵函数在上的最大值为0,
∴(i)若时,则函数在有最小值为1,
由于对称轴,
,不合题意.
(ii)若时,则函数在上恒成立,且最大值为1,最小值大于0,
①,
而此时,又,
故在无意义,
所以应舍去;
②m无解,
综上所述:故不存在正数m,使函数在上的最大值为0.
【点睛】
本题主要考查函数性质的应用及函数最值问题,综合性较强,复杂函数的最值问题求解,通常利用换元法进行转化,把复杂函数转化为熟知的函数来进行,侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.
16.(Ⅰ);(Ⅱ)存在,.
【分析】
(Ⅰ)由题意可得对任意都成立,分与讨论即可得出答案.
(Ⅱ)由题意,根据题意可得即可. 令,则,令,.由对称轴与定义域区间的位置关系讨论即可.
【详解】
(Ⅰ)由题意,函数的定义域为,
则不等式对任意都成立.
①当时,显然成立;
②当时,欲使不等式对任意都成立,
则,解得.
综上,实数的取值范围为.
(Ⅱ)当时,.
∴当时,.
令.显然在上递增,则.
∴.
令,.
若存在实数满足对任意,都存在,使得成立,则只需.
①当即时,函数在上单调递增.
则.解得,与矛盾;
②当即时,函数在上单调递减,
在上单调递增.则.
解得;
③当即时,函数在上单调递减.
则.解得,与矛盾.
综上,存在实数满足条件,其取值范围为.
【点睛】
结论点睛:本题考查不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:
一般地,已知函数,
(1)若,,总有成立,故;
(2)若,,有成立,故;
(3)若,,有成立,故;
(4)若,,有,则的值域是值域的子集 .
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