高中数学北师大版（2019）必修第一册第三章指数运算与指数函数培优专练1word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第三章指数运算与指数函数培优专练1
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．对于给定的正数，定义函数，若对于函数的定义域内的任意实数，恒有，则
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为1 D．的最小值为1
3．央视人民网报道：2019年7月15日，平顶山市文物管理局有关人士表示，郏县北大街古墓群抢救性发掘工作结束，共发现古墓539座，已发掘墓葬93座．该墓地是一处大型古墓群，在已发掘的93座墓葬中，有战国时期墓葬32座、两汉时期墓葬56座、唐墓2座、宋墓3座．生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．检测一墓葬女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断为该墓葬属于时期（辅助数据：）
参考时间轴：
A．战国 B．两汉 C．唐朝 D．宋朝
4．在平面直角坐标系中，集合设集合中所有点的横坐标之积为，则有（ ）
A． B． C． D．
5．若指数函数f(x)＝ax在[1,2]上的最大值与最小值的差为，则a＝________.
A． B． C． D．或
6．已知函数，则函数的最大值是（ ）
A．7 B．8 C．21 D．22
二、多选题
7．已知函数，，则，满足（ ）
A． B．
C． D．
E.
8．若实数x，y满足则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知定义在R上的奇函数，当时，，且，则满足的实数x的取值范围为______．
10．已知，，若满足对于任意，和至少有一个成立，则实数m的取值范围是________．
11．已知函数，．若，，使得，则实数的最大值为________．
12．若不等式对任意的正整数恒成立（其中，且），则的取值范围是_________________.
四、解答题
13．设函数(且,),是定义在上的奇函数.
(1)求的值;
(2)已知,函数,求的值域;
(3)若,对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
14．已知，．
（1）若函数在为增函数，求实数的值；
（2）若函数为偶函数，对于任意，任意，使得成立，求的取值范围.
15．定义在D上的函数，如果满足；，存在常数，使得成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的一个上界，函数
（1）若，，判断函数在上是否为有界函数，说明理由；
（2）若函数年上是以7为一个上界的有界函数，求实数a的取值范围．
16．已知函数，若对于给定的正整数，在其定义域内存在实数，使得，则称此函数为“保值函数”.
（1）若函数为“保1值函数”，求；
（2）①试判断函数是否是“保值函数”，若是，请求出；若不是，请说明理由；
②试判断函数是否是“保2值函数”，若是，求实数的取值范围；若不是，请说明理由.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【分析】
观察可发现为奇函数，所以将变形为，结合函数单调性解不等式即可
【详解】
令，，所以为奇函数，不等式，等价于，即，因为为奇函数，所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得：
故选：B
【点睛】
题目比较灵活，考察单调性和奇偶性结合的问题，对学生要求比较高，不可直接计算，需要熟悉类型的函数为奇函数，且单调递减，根据这两个性质引导学生对已知不等式进行变形，从而解决问题
2．B
【分析】
先根据得到与最值的关系，然后利用换元法求解函数的值域，即可确定的取值范围，则的最值可确定.
【详解】
因为，所以由定义知，
因为，所以，则函数的定义域为，
令 ，则 ， ，所以 ，因此 .
故选B.
【点睛】
指数型函数值域的求解方法：利用换元法令，求解出的值域即为的取值范围，根据指数函数的单调性即可求解出的值域.
3．B
【分析】
根据题意得到函数关系式，代入数据计算得到答案.
【详解】
生物体内碳14的含量与死亡年数之间的函数关系式为
，对应朝代为汉
故选
【点睛】
本题考查了函数的应用，意在考查学生的应用能力.
4．B
【分析】
利用指数函数与对数函数的图象可知，图象有两交点，设两交点，，根据指数函数、对数函数性质可知，即可得到，进而求出.
【详解】
作出函数与图象：
设与图象交于不同的两点，设为，，不妨设，则，
在R上递减，
，即，
，
即，
故选B
【点睛】
本题主要考查了指数函数，对数函数的图象与性质、对数的运算，数形结合，属于中档题.
5．D
【解析】
【分析】
根据底与1的大小分类讨论最值取法，再根据条件列方程解得a.
【详解】
当a>1时，y＝ax是增函数，∴a2－a＝，∴a＝.
当0因此选D.
【点睛】
本题考查指数函数单调性以及函数最值，考查基本求解能力.
6．B
【分析】
根据题意，得出函数的解析式，并根据函数的性质求出函数的定义域，再利用换元法令，得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质即可得出的最大值，即函数的最大值．
【详解】
由题意得，，
的定义域为
的定义域应满足
即
令，则
则
可知，在上是单调递增的，
即函数的最大值为8．
故选B．
【点睛】
本题主要考查求复合函数的定义域以及利用换元法求函数的最值．
7．ABD
【分析】
依次判断每个选项：奇函数，为偶函数，A正确；根据单调性得到B正确；计算得到C不正确；D正确；E不正确，得到答案.
【详解】
A正确，，，
所以；
B正确，因为函数为增函数，所以；
C不正确，；
D正确，；
E不正确，.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，奇偶性，函数值的计算，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
8．ACD
【分析】
构造函数，得出函数都是单调递增函数，结合图象，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，实数满足，可化为，
设，
由初等函数的性质，可得都是单调递增函数，
画出函数的图象，如图所示，
根据图象可知，当时，；当时，，
当时，，所以成立；
当时，，所以B不正确；
当时，可能成立，所以C正确；
当时，此时，所以可能成立，所以是正确的.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查了指数函数的图象与性质，其中解答中结合指数函数的性质，画出两个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.
9．
【分析】
由题知奇函数在上单调递减，在上单调递减，可作函数示意图，再利用符号法则列出不等式即求.
【详解】
由为定义在R上的奇函数，有，，
又当时，，
∴当时，函数单调递减；当时，函数单调递减．
则可得函数的图象的大概趋势如下图所示：
由可得
或或，
解得或.
故答案为：.
10．
【分析】
作出符合题意的图象,利用数形结合思想,先判断函数的取值范围,再根据和至少有一个成立,列出实数需要满足的不等式即可.
【详解】
由题意作图如下：
由题意可得，对于任意,和至少有一个小0.
因为，所以当时,,当时,
所以对于抛物线的图象开口必向下，且与轴交点的横坐标小于，所以 ，解得.
故答案为:
【点睛】
本题主要考查利用数形结合思想解决指数型函数与二次函数相结合的问题及对函数图象的判断;其中作出符合题意的图象是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.
11．2
【分析】
由题意可知，函数在[3，+∞) 的值域是函数在[3.+∞)上值域的子集，所以分别求两个函数的值域，利用子集关系可求实数a的取值范围.
【详解】
由题意可知，函数在[3，+∞) 的值域是函数在[3.+∞)上值域的子集，
，等号成立的条件是，即x=3 ，成立，
即函数在[3.+∞)的值域是[4.+∞)，
，是增函数，当x∈[3.+∞)时，函数的值域是，
所以，解得: 1所以实数a的最大值是2.
故答案为: 2.
【点睛】
本题考查双变量的函数关系求参数的取值范围，重点考查函数的值域，子集关系，属于较难题.
12．
【分析】
由题意知, 原不等式或,利用对数函数与指数函数的性质得到关于的不等式，求出对任意的正整数都成立的的取值即可.
【详解】
原不等式或，
因为,
所以（1）或（2）.
当时，（2）成立，此时.
当，时，（1）成立，
因为在（1）中，，
令，
则为单调递增函数，
所以要使（1）对，成立，
只需时成立.
又时，.
所以使不等式对任意的正整数恒成立，的取值范围是.
故答案为
【点睛】
本题考查利用对数函数和指数函数的有关性质及分类讨论的思想求解参数范围;分别对两种不同情况进行分析求出其公共范围是求解本题的关键;属于难度较大型试题.
13．(1)1;(2);(3).
【分析】
（1）由奇函数定义性质求得，并检验函数为奇函数；
（2）由求得，换元，求得的取值范围，转化为的二次函数后可求得最值，得值域．
（3）计算出为偶函数,确定其单调性，计算，这样不等式可利用奇偶性与单调性化简为对任意恒成立,平方后利用二次不等式恒成立的知识可得．
【详解】
(1)是定义域为上的奇函数,
,得.
此时,
即是上的奇函数.
(2),
即,
或(舍去),
令,
易知在上为增函数,
,
当时,有最大值;
当时,有最小值,
的值域是.
(3)由
为偶函数,且在单调递增,在单调递减.
又
对任意恒成立,即对任意恒成立,
平方得:对恒成立.
，
解得:
综上可得:的取值范围是.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性，指数函数的性质，用换元法求函数的值域，考查不等式恒成立问题．解题中紧紧抓住所用方法：用换元法化简函数、方程，用奇偶性化自变量为函数的同一单调区间，用单调性化简不等式．
14．（1）；（2）.
【分析】
（1）任取，由，得出，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围；
（2）由偶函数的定义可求得，由题意可得出，由此可得出对于任意成立，利用参变量分离法得出，即可求出实数的取值范围.
【详解】
（1）任取，则
函数在上为增函数，，则，
且，，
，，则，，
因此，实数的取值范围是；
（2）函数为偶函数，则，
即，即对任意的恒成立，
所以，解得，则，
由（1）知，函数在上为增函数，
当时，，
对于任意，任意，使得成立，
对于任意成立，
即（*）对于任意成立，
由对于任意成立，则，
，则，.
（*）式可化为，
即对于任意，成立，即成立，
即对于任意，成立，
因为，所以对于任意成立,
即任意成立，所以，
由得，所以的取值范围为.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，同时考查了与指数、对数最值相关的综合问题，涉及参变量分离思想的应用，考查化归与转化思想的应用，属于难题.
15．（1）是有界函数，理由见解析；（2）.
【分析】
（1）求出，利用指数函数的性质求得，结合有界函数的定义可得答案；
（2）问题转化为对任意恒成立，，对恒成立，换元后利用函数的单调性求出不等式两边函数的最值即可得答案.
【详解】
（1）若，，
，
，即，
存在常数，使得恒成立，
函数在上为有界函数；
（2）由题意，对任意恒成立，
，即，对恒成立，
，对恒成立，
，对恒成立，
令，，对恒成立，
①对恒成立，只需求在上的最小值，
又在上为增函数，，；
②时，恒成立，
只需求在上的 最大值，在任取，且，
，
，，
，
，即，
函数在上为减函数，
，
.
综上可得，即实数a的取值范围是,
【点睛】
新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
16．（1）
（2）①函数不是“保值函数”
②当时函数是“保2值函数”；
当时函数不是“保2值函数”.
【分析】
（1函数为“保1值函数”，列方程即可求解；（2）①由“保值函数”的定义，转化为二次函数是否有解问题，即可进行判断；②由题意可得，再由，解不等式即可进行判断.
【详解】
(1)因为函数为“保1值函数”，所以存在使，
，，.
(2) ①若函数是“保值函数”，则存在实数，使得，，，时，方程无解；时，与不符.
综上，函数不是“保值函数”.
②若函数是否是“保2值函数”，则在其定义域内存在实数，使得，即，即，
可得，化简可得，由，解得，
故当时，函数是“保2值函数”，又，所以当时函数不是“保2值函数”.
【点睛】
本题考查了函数的新定义等综合知识，考查了二次函数有解问题，考查指数非负，求解一元二次不等式问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题.
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