高中数学北师大版（2019）必修第一册第二章函数培优专练5word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第二章函数培优专练5
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知函数，，若对任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．设函数的最大值为5，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．已知函数，若函数有三个零点，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数是上的偶函数，设，，，当任意、时，都有，则（ ）
A． B．
C． D．
5．黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，，，则（ ）注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数.
A．的值域为 B．
C． D．以上选项都不对
6．已知函数满足，若函数与图象的交点为，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）
A．200 B．50 C．-70 D．-100
二、多选题
7．函数，是（ ）
A．最小正周期是
B．区间，上的减函数
C．图象关于点，对称
D．周期函数且图象有无数条对称轴
8．对，表示不超过的最大整数，十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中正确的是（ ）
A．,
B．,
C．函数（）的值域为
D．若, 使得，，，,同时成立，则整数的最大值是5
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知函数若方程有且只有五个根，分别为，，，，（设），则下列命题正确的是_____________（填写所有正确命题的序号）.
①；②存在k使得，，，，成等差数列；
③当时，；④当时，.
10．已知函数和.若对任意的，都有使得，，则实数的取值范围是______.
11．已知函数，若存在非零实数使得，则最小值为______．
12．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，，则______.
四、解答题
13．已知函数.
（1）直接写出在上的单调区间（无需证明）；
（2）求在上的最大值；
（3）设函数的定义域为，若存在区间，满足：，，使得，则称区间为的“区间”.已知（），若是函数的“区间”，求的最大值.
14．设常数，函数
（1）若，求的单调区间；
（2）若为奇函数，且关于的不等式在内有解，求实数的取值范围；
（3）当时，，若任意，存在，且，使，求实数的取值范围．
15．已知二次函数满足，且的最小值为0．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，且在区间上是增函数，求实数的取值范围．
16．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现了更一般结论：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，试根据此结论解答下列问题：
（1）若函数满足对任意的实数m，n，恒有，求的值，并判断此函数图象是否中心对称图形？若是，请求出对称中心坐标；
（2）若（1）中的函数还满足时，，求不等式的解集；
（3）若函数．若与的图象有3个不同的交点，，其中，且，求值．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案
1．D
【分析】
根据二次函数的性质求出在时的值域为，再根据一次为增函数，求出，由题意得值域是值域的子集，从而得到实数a的取值范围.
【详解】
解：∵函数的图象是开口向上的抛物线，且关于直线对称
∴时，的最小值为，最大值为，
可得值域为
又∵，，
∴为单调增函数，值域为
即
∵，，使得，
∴
故选：D.
【点睛】
本题着重考查了函数的值域，属于中档题.解题的关键是将问题转化为值域的包含关系问题.
2．B
【分析】
根据题意，设，利用定义法判断函数的奇偶性，得出是奇函数，结合条件得出的最大值和最小值，从而得出的最小值.
【详解】
解：由题可知，，
设，其定义域为，
又，
即，
由于
，
即，所以是奇函数，
而，
由题可知，函数的最大值为5，
则函数的最大值为：5-3=2，
由于是奇函数，得的最小值为-2，
所以的最小值为：-2+3=1.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用定义法判断函数的奇偶性，以及奇函数性质的应用和函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题.
3．C
【分析】
把函数有三个零点，可得方程有三个根，进而转化为函数和的图象有三个不同的交点，结合函数的图象、斜率公式和判别式，即可求解.
【详解】
由题意，函数有三个零点，即方程有三个根，
函数过定点，
作出函数和的图象，如图所示，
当直线过点和时，此时，
当直线与相切时，
联立方程组，可得，
由，解得，
结合图象可知，若函数和的图象有3个交点，
则实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，其中解答中把函数的零点转化为两个函数的图象的交点的个数，结合图象求解是解答的关键，意在考查转化思想与数形结合思想的应用，属于中档试题.
4．D
【分析】
根据题意可得函数在上为减函数，再判断的大小关系，即可得到答案.
【详解】
当任意、时，都有
函数在上为减函数，
∵是上的偶函数，
∴，，
∵；
∴；
即.
故选：D.
【点睛】
本题考查单调性和奇偶性的定义，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对数运算法则的应用.
5．B
【分析】
设，（，且，为互质的正整数） ，B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，然后对A选项，根据黎曼函数在上的定义分析即可求解；对B、C选项：分①，；②，；③或分析讨论即可．
【详解】
解：设，（，且，为互质的正整数），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，
对A选项：由题意，的值域为，其中是大于等于2的正整数，
故选项A错误；
对B、C选项：
①当，，则，；
②当，，则，＝0；
③当或，则，，
所以选项B正确，选项C、D错误，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数在上的定义去分析.
6．D
【分析】
由题设条件，可得，可得关于点对称，根据对称性，可得解.
【详解】
函数满足
即为
可得关于点对称
函数，即的图象关于点对称，
即若点为交点，则点也为交点，
同理若为交点，则点也为交点，
……
则交点的所有横坐标和纵坐标之和为
故选：D
【点睛】
本题考查了函数对称性的综合应用，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
7．BD
【分析】
根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解.
【详解】
，
则对应的图象如图：
A中由图象知函数的最小正周期为，故错误，
B中函数在上为减函数，故正确，
C中函数关于对称，故错误，
D中函数由无数条对称轴，且周期是，故正确
故正确的是
故选：BD
【点睛】
本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:
①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；
②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
8．ACD
【分析】
由定义得，可判断A；由，得，可判断B；由，得得函数的值域，可判断C；
根据，，，，，
推出不存在同时满足，．而时，存在满足题意，可判断D.
【详解】
由定义，所以 若，，A正确；
，，∴，∴，B错误；
由定义，∴，∴函数的值域是，C正确；
若，使得同时成立，则，，，，，，
因为，若，则不存在同时满足，．只有时，存在满足题意，正确.
故选：ACD．
【点睛】
本题考查取整函数定义，正确理解定义是解题基础．
性质1 对任意x∈R，均有x-1<[x]≤x<[x]+1；
性质2 取整函数(高斯函数)是一个不减函数，即对任意x1，x2∈R，若x1≤x2，则[x1]≤[x2]；
性质3若x，y∈R，则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1；
性质4若n∈N+，x∈R，则[nx]≥n[x]；
性质5若n∈N+，x∈R+，则在区间[1，x]内，恰好有[x/n]个整数是n的倍数；利用性质解决问题．
9．①④
【分析】
设，函数为偶函数得到①正确，原题可化为与在上有且只有两个公共点，根据图像判断②错误③错误，④正确，得到答案.
【详解】
设，则，函数为偶函数，
故，，，所以①正确；
原题可化为与在上有且只有两个公共点，如图，
当时，，，显然，
当时，，，显然，所以②错误；
当时，结合图像可得③错误；
当时，与在处相切，所以，又，所以，所以④正确.
故答案为：①④.
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，设判断奇偶性是解题的关键.
10．
【分析】
根据题意将条件转化为集合之间的包含关系，结合函数图象即可求解.
【详解】
由题意得， ,并且对于值域中的每一个数，都有至少两个不同数和，使得成立.
①当时， 在上单调递减，显然，此种情况不成立.
②当，在上的值域为，由的函数图象可知，只要使得，则解得.
③当时，在上的值域为，由的函数图象可知，要满足即可，得，综上所述，.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查根据集合间的包含关系求参数的取值范围的问题，结合函数图象可更好的理解题意，属于能力提升题.
11．
【分析】
由条件可得，即，令，可得，然后设，则，然后可得，然后利用双勾函数的知识求出右边的最小值即可.
【详解】
因为，
所以
所以可得
令，则，，
设，则
所以，所以
令
，由双勾函数的知识易得在上单调递增
所以
所以
故答案为：
【点睛】
根据式子的特点构造出是解答本题的关键，考查了学生的分析能力与转化能力，属于较难题.
12．
【分析】
根据为奇函数，可得.又是定义域为的偶函数，可得，故，，可得的周期为，故，即得答案.
【详解】
为奇函数，，.
又是定义域为的偶函数，.
即，,
的周期.
,
又，.
故答案为:.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性和周期性，属于较难的题目.
13．（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2）答案见解析；（3）1.
【分析】
（1）根据解析式可直接得出；
（2）讨论的范围根据函数的单调性可求出；
（3）分和两种情况根据“区间”的定义讨论求解.
【详解】
（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（2）由题意知，，
①若，则在上单调递减，所以的最大值为；
②若，则在上单调递减，在上单调递增，
因此此时，所以的最大值为；
③若，则在上单调递减，在上单调递增，
因此此时，所以的最大值为；
综上知：若，则的最大值为；若，则的最大值为；
（3）由（1）（2）知：
①当时，在上的值域为，
在上的值域为，
因为，所以，
满足，，使得，
所以此时是的“区间”；
②当时，在上得到值域为，
在上的值域为，
因为当时，，
所以，使得，
即，，，
所以此时不是的“区间”；
故所求的最大值为1.
【点睛】
关键点睛：正确理解“区间”的定义并根据函数特点讨论的范围是解决本题的关键.
14．
（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）
（3）
【分析】
（1）将函数写成分段函数形式，再判断函数单调性；
（2）根据函数的奇偶性求得，构造，使；
（3）根据由已知可知函数在上的值域与的范围，的取值范围分情况讨论.
（1）
解：，则，故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）
解：由为奇函数，得，即，解得，故函数，又在内有解，即在内有解，设，在上单调递减，故；
（3）
解：在单调递增，故，又函数，函数在和上单调递增，在上单调递减，故或，即或，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
故，无解；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
故，解得：，
综上所述，.
15．（1）；（2）或．
【分析】
（1）利用待定系数法即求；
（2）由题知，结合二次函数的性质分类讨论即求.
【详解】
（1）设二次函数，
∵，∴，
即，
∴，，
∴，
又∵，∴，
∴函数的解析式为．
（2）．
①若时，即，，在上是增函数；
②若，即时，设方程的两个根为，，且，
此时在和上是增函数，令，
(i)若，则，∴．
(ii)若，则，∴．
综上所述，或．
16．
（1），是中心对称图形，其对称中心为
（2）
（3）
【分析】
（1）取，代入求得，取，，代入求得是奇函数，可判断是中心对称图形，进而求得对称中心为；
（2）证明是R上单调递增函数，利用单调性解不等式即可；
（3）证得，的图象都是以为中心的对称图形，可知，再结合，求得，进而得解.
（1）
取，得，所以，
取，，得，于是，
即是奇函数，所以是中心对称图形，其对称中心为．
（2）
若时，，则，
所以是R上单调递增函数，
由得，，解得或
所以不等式的解集为．
（3）
因为，于是．
所以的图象也是以为中心的对称图形，
又的图象也是以为中心的对称图形，
因此，，．
，
解得，∴，即
又，∴．
【点睛】
方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：
（1）把不等式转化为的模型；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.
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