高中数学北师大版（2019）必修第一册第二章函数培优专练3word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第二章函数培优专练3
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知函数，若，则的取值范围是
A． B． C． D．
2．已知三次函数，且，，，则（ ）
A．2023 B．2027 C．2031 D．2035
3．定义在上的可导函数，其导函数记为，满足，且当时，恒有.若，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
4．设函数，若对于任意实数，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，且满足．若当时，总有，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知是定义在区间，上的奇函数，且（1），若，，，时，有．若对所有，，，恒成立，则实数的取值范围可能是（ ）
A．(－∞，－6] B．(－6，6) C．(－3，5] D．[6，＋∞)
8．已知函数的图象关于对称，且对，当时，成立，若对任意的恒成立，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知函数，若对于，，，都有，则实数的取值范围为________.
10．是定义在上函数，满足且时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
11．定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是______________.
12．已知函数，，其中.若对任意的，存在，使得成立，则实数的值等于______.
四、解答题
13．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.
（1）依据推广结论，求函数图象的对称中心；
（2）请利用函数的对称性求的值；
（3）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于x轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）
14．给定函数．且用表示，的较大者，记为．
（1）若，试写出的解析式，并求的最小值；
（2）若函数的最小值为，试求实数的值．
15．已知函数.
（1）求的值；
（2）写出函数的单调递减区间（无需证明）；
（3）若实数满足，则称为的二阶不动点，求函数的二阶不动点的个数.
16．已知函数，其中，为实数，且.
（1）若函数在其定义域内为奇函数，求，满足的条件；
（2）若对于任意的，都有，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
【分析】
由，得，利用三角换元设，，其中，再由，再进行换元，令，则，，由新函数的单调性及定义域可求得值域.
【详解】
由，得，
不妨设，，其中，
则，
令，则，，
在上为增函数，
在上为减函数，.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的值域求解，利用三角函数换元将原问题转化，再进行换元及函数单调性可得值域，属于较难题.
2．D
【分析】
根据题意，构造函数，根据可以知道，进而代值得到答案.
【详解】
设，则，所以，所以，所以.
故选：D.
3．A
【分析】
由，构造函数，易得当，为增函数，且由题设可得，所以函数的图象关于直线对称，结合与的关系，函数的对称性与单调性性质，即可求解.
【详解】
令，
则.
∵当时，恒有，即，
∴当时，函数为增函数.
而，
——①
——②
把②代入①得：
∴.
∴函数的图象关于直线对称，
∴函数在上为增函数，在为减函数.
由，
得，
即，
∴，解得.
∴实数的取值范围是.
故选：A
【点睛】
本题考查构造函数以及函数的导数、函数的对称性、单调性的综合运用，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于难题.
4．D
【分析】
设，求出该函数的定义域为，分析出函数为奇函数且在上为增函数，将所求不等式变形为，可得出，进而可求得实数的取值范围.
【详解】
设，
对任意的，，
所以，函数的定义域为，
，
所以，函数为奇函数，
当时，对于函数，内层函数为增函数，外层函数为增函数，
所以，函数在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由于函数为奇函数，则该函数在为增函数，
又函数在上连续，所以，函数在上为增函数，
由得，
即，，
所以，.
令，构造函数，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，，
所以，，解得.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性与单调性求解函数不等式，涉及双勾函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
5．C
【分析】
确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为，利用双勾函数单调性求最值得到答案.
【详解】
是奇函数，
，
易知均为减函数，故且在上单调递减，
不等式，即，
结合函数的单调性可得，即，
设，，故单调递减，故，
当，即时取最大值，所以.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键.
6．A
【分析】
令，根据条件可得函数在上递增，再根据，得到在上是偶函数，从而将，转化为求解.
【详解】
令，
因为，当时，总有，即，
即，当时，总有，
所以在上递增，又因为，
所以，，
所以在上是偶函数，
又因为，
所以，即，
所以，即，
解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题令是关键，利用在上递增，结合在上是偶函数，将问题转化为求解.
7．AD
【分析】
先判断的单调性，求得的最大值，化简不等式，利用构造函数法，结合一次函数的性质列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】
任取，
，
由于，结合可知，
即，所以在上递增.
所以.
由可得，
即对任意恒成立.
构造函数，则，
即，解得或.
故选：AD
【点睛】
求解多变量的不等式恒成立问题，可考虑减少变量来进行求解.
8．BC
【分析】
由已知得函数是偶函数，在上是单调增函数，将问题转化为对任意的恒成立，由基本不等式可求得范围得选项．
【详解】
因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线（即轴）对称，所以函数是偶函数.
又时，成立，所以函数在上是单调增函数.
且对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，
当时，恒成立，当时，，
又因为，当且仅当时，等号成立，
所以，因此，
故选：BC.
【点睛】
方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立.
9．
【分析】
先求出，进而求出与的解析式，，，都有，等价于，有，对进行分类讨论 ,求出实数的取值范围
【详解】
因为，令，则
所以，故
所以，
令，
，，都有
等价于，有
当，即时
与在上单调递减，故，
所以，解得：
结合得：
当，即时
在上单调递减，在单调递增；在上单调递减，，
所以，化简：，解得
结合得：
当，即时
在上单调递增，在上单调递减，
，
所以，解得
结合得：
当，即时
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且对称轴更靠近，故，
所以，解得
结合求得：
当，即时
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且对称轴更靠近，故，
所以，解得
结合得：
当时
与在上单调递增，故，
所以，解得
结合得：
综上所述：
故答案为：
10．
【分析】
根据题意可得函数为偶函数，当，为增函数，将不等式化为，可得对任意的成立，接下来分类讨论，与三种情况，将不等式转化为恒成立的问题求解即可.
【详解】
对于函数满足，所以可知该函数为偶函数，又知时，，所以，从而，所以不等式可化为，等价于对任意的成立，即，得.
①当时，成立，符合题意；
②当时，则不等式等价于对恒成立，即，得，舍；
③当时，则不等式等价于对恒成立，即，得.
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】
对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式（组）的问题，若为偶函数，则；对于恒成立问题，恒成立，即；恒成立，即.
11．
【分析】
由题设递推关系及已知区间解析式，分析可得分段函数：在上有，应用数形结合的方法求参数m的最小值.
【详解】
由题设知，当时，，故，
同理：在上，，
∴当时，.
函数的图象，如下图示.
在上，，得或.
由图象知：当时，.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：利用递推关系判断的函数性质：上，应用数形结合思想求参数的最值.
12．
【分析】
首先等式转化为，并构造函数，分别求和在上的值域，转化为值域的包含关系，列不等式求解.
【详解】
由可得，令，则.而，所以对任意的，存在，使得成立.因为，所以在上的值域为，在上的值域为，依题意有，故，可得，得.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：求解本题的关键是将进行转化，通过构造函数，并借助域之间的包含关系建立不等式进行求解.
13．
（1）
（2）
（3）答案见解析
【分析】
（1）设对称中心为，令，根据为奇函数建立关系即可求出；
（2）根据（1）中结论可得即可求出；
（3）根据函数对称性质推论即可.
（1）
设的对称中心为，
设，则为奇函数，
由题可知，且，
所以，即，
则，整理得，
所以，解得，
所以函数的对称中心为；
（2）
由（1）知函数的对称中心为，
所以，
则，且，
则
；
（3）
推论：函数的图象关于成轴对称的充要条件是函数为偶函数
或函数的图象关于成轴对称的充要条件是满足.
14．（1），；（2）或．
【分析】
由的定义可得，（1）将代入，写出解析式，结合分段区间，求，的最小值并比较大小，即可得的最小值；（2）结合的解析式及对称轴，讨论、、分别求得对应最小值关于的表达式，结合已知求值.
【详解】
由题意，
当时，，
当时，，
∴
（1）当时，，
∴当时，，此时，
当时，，此时，
.
（2），且对称轴分别为，
①当时，即时，在单调递减，单调递增；
，即，（舍去），
②当，即时，在单调递减，单调递增；
，有，故此时无解.
③当，即时，在单调递减，单调递增；
，即，（舍去）
综上，得：或.
【点睛】
关键点点睛：写出的解析式，第二问需结合各分段上的函数性质-对称轴，讨论参数范围求最小值关于参数的表达式，进而求参数值.
15．（1）；（2），；（3）3个.
【分析】
（1）根据分段函数解析式，直接代入相应的表达式进行计算即可.
（2）分，情况讨论，并根据所得解析式直接判断即可.
（3）写出的解析式，然后分，，进行讨论，并计算判断.
【详解】
（1）因为，
所以，所以.
（2）因为，
当时，，递减区间为：；
当时，，递减区间为；
因此函数的单调递减区间为：，.
（3）由题可得：
当时，由，，解得或
即函数在上有唯一的二阶不动点.
当时，由，得到方程的根为，即函数在上有唯一的二阶不动点.
当时，由，由，，解得或
即函数在上有唯一的二阶不动点.
综上所述，函数的二阶不动点有3个.
【点睛】
思路点睛：第（1）问要代入相对应的解析式；第（2）在于分类讨论并掌握常见函数的单调性；第（3）问在于写出函数的解析式，并进行分类讨论.
16．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据分母不为0可得定义域，由奇函数的定义可知定义域对称可得，满足的条件；
（2）令，则，，命题转化为，分和讨论最值即可得解.
【详解】
（1）∵的定义域为，
若函数为奇函数的必要条件为，由于，所以，
又，
.
故.
综上，当时，为奇函数.
（2），令，
则，.
则命题转化为.
当时，.
此时，在单调递减，
当从左侧趋近于时趋近于负无穷；
当从→侧趋近于时趋近于正无穷，
所以不满足题意；
当时，，此时，.
，则.
综上所述：.
【点睛】
本题解题的关键有两个，一个是通过换元简化函数形式，第二个是将题中不等关系转化为，属于难题.
答案第1页，共2页
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