高中数学北师大版（2019）必修第一册第二章函数培优专练2word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第二章函数培优专练2
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．已知函数是定义在R上的偶函数，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数是R上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
3．已知函数是定义在上的奇函数，且在单调递增.设，当时，恒有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知定义在上的偶函数满足 ，当时，.函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知函数，，其中，若，，使得成立，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数是定义在上的偶函数，是奇函数，且当时，，则（ ）
A．1 B． C． D．2020
二、多选题
7．已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法正确的是（ ）
A．的周期 B．的最大值为4
C． D．为偶函数
8．若函数具有下列性质：①定义域为；②对于任意的，都有；③当时，，则称函数为的函数.若函数为的函数，则以下结论正确的是
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为单调递减函数 D．为单调递增函数
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，，若，则m的取值范围为__________．
10．设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是__________.
11．已知函数，，其中.若对任意的，存在，使得成立，则实数的值等于______.
12．已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．
四、解答题
13．设表示不小于的最小整数，例如．
（1）解方程；
（2）设，，试分别求出在区间、以及上的值域；若在区间上的值域为，求集合中的元素的个数；
（3）设实数，，，若对于任意都有，求实数的取值范围．
14．设的定义域是，在区间上是严格减函数；且对任意，，若，则．
（1）求证：函数是一个偶函数；
（2）求证：对于任意的，．
（3）若，解不等式．
15．已知函数，
（1）当时，①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域；
（2）当时，记函数的最大值为，求的表达式．
16．若函数满足，则称函数为“倒函数”．
（1）判断函数和是否为倒函数，并说明理由；
（2）若（恒为正数），其中是偶函数，是奇函数，求证：是倒函数；
（3）若为倒函数，求实数m、n的值；判定函数的单调性，并说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
【分析】
构造，根据已知条件，结合奇偶性、单调性的定义判断的奇偶性、单调性，再应用其性质解不等式即可.
【详解】
∵是定义在R上的偶函数，
令，则，
∴是奇函数，
又任意，，且，都有成立，
∴在单调递减，则单调递减，即在R上递减，
∴，则，
∴，可得，故解集为.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：构造，结合已知及奇偶性、单调性定义判断的性质，应用其性质解不等式.
2．D
【分析】
由函数的图像关于点对称得到，结合是偶函数得到，进一步得到的周期是4，再利用周期性计算即可得到答案.
【详解】
因为是上的偶函数，所以，
又的图象关于点对称，则，
所以，则，得，
即，所以是周期函数，且周期，
由时，，则，，，，
则，
则.
故选：D.
【点睛】
关键点睛：本题考查函数的奇偶性，对称性及周期性的应用，解题关键是利用函数的奇偶性和对称性得到函数的周期性，考查学生的数学运算能力，逻辑推理能力，属于中档题.
3．B
【分析】
结合奇函数的性质，函数为增函数，对分类讨论，即可求解.
【详解】
因为函数是定义在上的奇函数，且在单调递增，
所以，在上为增函数，
由题意得，，否则不成立，
当时，，
，且，
，
即时，恒成立，
当时，，
，且，
，
故当时，不成立.
综上所述，
【点睛】
本题主要考查了函数奇偶性的性质，函数单调性的应用，属于中档题.
4．A
【分析】
由，可得函数的图像都关于直线对称，再作函数，在上的图像，观察交点的个数即可得解.
【详解】
解：由满足，则函数的图像关于直线对称，
又 的图像也关于直线对称，
当时，，，设，，
则，即函数在为减函数，又，即，
即函数，的图像在无交点，
则函数，在上的图像如图所示，可知两个图像有3个交点，一个在直线
上，另外两个关于直线对称，则三个交点的横坐标之和为3，
故选A.
【点睛】
本题考查了函数图像的对称性，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.
5．B
【分析】
首先已知等式变形为，构造两个函数，，问题可转化为这两个函数的值域之间的包含关系．
【详解】
∵，，∴，又，∴，
∴由得，，
设，，
则，，，∴的值域是值域的子集．
∵，时，，显然，（否则0属于的值域，但）．
∴，
∴ (*)．
由上讨论知同号，
时，(*)式可化为，∴，，
当时，(*)式可化为，∴，无解．
综上：．
故选：B．
【点睛】
本题考查函数恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想．首先是分离两个变量，然后构造新函数，问题转化为两个函数值域之间的包含关系．其次通过已知关系确定函数值域的形式（或者参数的一个范围），在这个范围解不等式才能非常简单地求解．
6．B
【分析】
依题意得到函数是周期为4的周期函数，继而分别求得，进而求得结果.
【详解】
根据题意，函数是定义在上的偶函数，则有，
又是奇函数，则，
所以
即，则有，
所以函数是周期为4的周期函数，
则，，
故.
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是：依题意探究得到函数是周期为4的周期函数.
7．ABD
【分析】
由函数的图象关于直线对称，得，又，所以，，从而可得，进而根据周期性、对称性、时的解析式即可求解.
【详解】
解：函数的图象关于直线对称，
函数的图象关于直线对称，
对有，
函数的图象关于中心对称，
，即，
又，即，
，
，即，，
的周期，选项A正确；为偶函数，选项D正确；
当时，，，
当时，，，即，
当时，，
又函数的图象关于直线对称，
在一个周期上，，
在上的最大值为4，选项B正确；
，选项C错误.
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是，根据的图象关于直线对称，及对有，推导出，进而得.
8．AC
【分析】
分析奇偶性：通过令值找到与之间的关系；分析单调性：通过令值找到与的大小关系.
【详解】
定义域关于原点对称，令则有：，令，则有，所以，故是奇函数；令，，且，所以，又且，，则 ，即，所以，所以是单调减函数.
故选AC.
【点睛】
判断抽象函数的单调性和奇偶性，一般采用令值的方法解决问题.令值的时候注意构造出与之间的关系以及与的大小.
9．
【分析】
利用赋值法证明函数是偶函数，再证明函数在上是减函数，最后构造函数，利用在上是减函数，解不等式，即可得到答案；
【详解】
中，
取得，
取得，
取，，得，
所以是偶函数，
设，则，，
所以，
所以在上是减函数，
设，则在上是减函数，
所以
且
，所以m的取值范围是．
故答案为：.
【点睛】
本题考查抽象函数的奇偶性、单调性、偶函数的性质及不等式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意定义域优先法则的应用.
10．
【分析】
对的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f(a)≥－2，再对a的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.
【详解】
当时，f(f(a))≤2即为，，
解得，所以；
当时，f(f(a))≤2即为，因为恒成立，所以满足题意.
所以f(a)≥－2，则或 ，解得.
故答案为：
【点睛】
本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题.
11．
【分析】
首先等式转化为，并构造函数，分别求和在上的值域，转化为值域的包含关系，列不等式求解.
【详解】
由可得，令，则.而，所以对任意的，存在，使得成立.因为，所以在上的值域为，在上的值域为，依题意有，故，可得，得.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：求解本题的关键是将进行转化，通过构造函数，并借助域之间的包含关系建立不等式进行求解.
12．或
【分析】
首先说明函数的奇偶性及单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式即恒成立，令，，分类讨论计算可得；
【详解】
解：因为定义域为，且，
故函数为奇函数，
因为在上单调递增，在上单调递增，且时，，
所以函数在定义域上单调递增，
因为不等式恒成立，即恒成立，即恒成立，
令，
①当时，，即；
②当时，显然不成立；
③当时，
则，解得
综上所述或
故答案为：或
【点睛】
本题考查函数奇偶性单调性的判定，分段函数的性质的应用，属于难题.
13．（1）；（2）当时，值域为；当时，值域为；当时，值域为；个；（3）．
【分析】
（1）根据的定义，列式解不等式；（2）根据定义分别列举在区间、以及上的值域，和时函数的值域，最后利用等差数列求和；（3）
分别求两个函数的值域，并转化为，利用参变分离求实数的取值范围.
【详解】
【解】（1）由题意得：，解得：．
（2）当时，，于是，值域为
当时，，于是或，值域为
当时，，于是或或9，值域为
设，当时，，所以的取值范围为
，-
所以在上的函数值的个数为，-
由于区间与的交集为空集，
故中的元素个数为．-
（3）由于，，因此，当时取等号，即即时，的最大值为，
由题意得时，恒成立，当时，
恒成立，因为，所以
当时，恒成立，因为，所以
综合得，实数的取值范围是．
【点睛】
关键点点睛：1.首先理解的定义，2.第三问，若对于任意都有，转化为，再利用参变分离求的取值范围.
14．
（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
【分析】
（1）令可得，再令代入所给条件即可求解；
（2）令，代入所给条件即可得证；
（3）原不等式可化为，由二次不等式解法得出或，
再由及函数的单调性求解.
（1）
令，则，即，
因为的定义域是，在区间 上是严格减函数，所以不恒为0，
所以，即，
再令，
则，即 ，
所以函数是一个偶函数.
（2）
令，
则，
所以，得证.
（3）
令，
则，即 ，
所以，
由可得 ，即，
解得或，
所以或 ，
因为在区间上是严格减函数，
所以或，
解得或或 ，
又，即，
所以或或 ，
所以不等式的解集为
15．
（1）①，；②；
（2）.
【分析】
(1)①分别在与时，结合二次函数单调性即可得解；
②利用①中单调性确定最值点，求出最值即可作答.
(2)分别在三种情况下，结合二次函数对称轴位置与端点值的大小关系确定最大值即可作答.
（1）
当时，，
①当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
所以的单调递增区间为，.
②由①知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
于是有，，
而，，，，则，，
所以在上的值域为.
（2）
依题意，，
①当，即时，，对称轴为，
当，即时，在上单调递增，，
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，，
②当，即时，若有，若有，
因当时，，对称轴，
则在上单调递增，，
③当，即时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，
若，即时，，
若，即时，，
综上所述：.
【点睛】
方法点睛：求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.
在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值.
16．
（1）函数和都不是“倒函数”；
（2）证明见解析；
（3），函数是R上的增函数，理由见解析.
【分析】
(1)求出函数定义域即可判断；利用给定定义计算判断即可作答.
(2)探讨的定义域，再利用给定的定义计算即可作答.
(3)利用给定定义直接计算可得m、n的值，判断单调性，并用单调性定义直接证明作答.
（1）
依题意，函数为“倒函数”，函数的定义域必关于数0对称，
函数的定义域为，显然-1在定义域内，而1不在定义域内，即不是“倒函数”，
函数定义域为R，而，即不是“倒函数”，
所以函数和都不是“倒函数”.
（2）
因函数是偶函数，是奇函数，则它们的定义域必关于数0对称，
依题意，的定义域是函数与定义域的交集，也必关于数0对称，
因此，，
所以是倒函数.
（3）
显然，函数的定义域关于数0对称，又是倒函数，
于是得，则，又，解得，
所以实数m、n的值分别为；
函数是R上的增函数，
，，
则，
显然，，即，
而，即，于是有，即，
所以函数是R上的增函数.
【点睛】
方法点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数
f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(-x)＝-f(x)或f(-x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
答案第1页，共2页
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