云南省曲靖市茚旺高级中学2013届高三上学期期中考试数学（文）试题

会泽县茚旺高级中学
2012年秋季学期高三年级期中考试试卷
文 科 数 学
考生注意：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共22个小题，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数为纯虚数，则实数的值为 （ ）
A． B． C． D．或
3. 在等差数列中，若，为方程的两根，则(　　)
A．10 B．15 C．20 D．40
4. 已知为直线，为平面，给出下列命题：（ ）
① ②
③ ④
其中的正确命题序号是
A．②③ B．③④ C．①④ D．①②③④
5. 已知若，则的取值范围是（ ）　　
A. B． C． D．
6. 已知tan(α+β)=,tan(α-β)= ,那么的值是 （ ）
A. B. C. D.
7．某同学设计右面的程序框图用以计算和式
的值，则在判断框中应填写( )
A． B． C． D．
8．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场
比赛，他们在这11场比赛的得分用下面的茎叶图表示，
设甲运动员得分的中位数为M1，乙运动员得分的中位数
为M2，则在下列选项中，正确的是（ ）
A．M1=18，M2=12 B．M1=81，M2=12
C．M1=8，M2=2 D．M1=3，M2=1
9. 函数（＞1）的图象是（ ）
10．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)
A. B. C．2 D．3
11. 已知满足约束条件的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12.在棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 若等比数列{}满足，则公比 .
14. 某中学计算机教室的使用年限所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：
根据上表数据得到回归直线方程中的=1.25，据此模型估计使用年限为10年时的维修费用是 万元.
15. 下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何
体的三视图，则h＝________cm.
16. ①函数的零点所在的区间是(2,3) ；② 曲线在点处的切线方程是；③将函数的图象按向量 平移后得到函数的图象；④函数y=的定义域是（-，-1）∪（1，）⑤·＞0是、的夹角为锐角的充要条件；以上命题正确的是 。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
三、解答题：解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．
17．（本题满分12分）
已知（a∈R，a为常数）.
（Ⅰ）若x∈R，求的最小正周期；
（Ⅱ）若在上最大值与最小值之和为3，求a的值；
18．（本小题满分12分）
如下图，在直三棱柱ABC －中，AB=2，
AC==2，=。
（Ⅰ）证明：AB；
（Ⅱ） 求二面角的正弦值.
19．（本小题满分12分）
某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中的3杯为A饮料，另外的2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料。若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格。假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力
（Ⅰ）求此人被评为优秀的概率
（Ⅱ）求此人被评为良好及以上的概率
20.（本小题共12分）
已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线
的焦点，M的离心率，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线，交M于A，B两点。
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）设点N（t，0）是一个动点，且，求实数t的取值范围。
21.（本小题满分12分）设函数
（Ⅰ）若与具有完全相同的单调区间，求的值；
（Ⅱ）若当时恒有求的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲
如图，直线AB经过⊙O上一点C，且OA=OB，CA=CB，
⊙O交直线OB于E、D。
（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）若⊙O的半径为3，求OA的长。
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程．
已知直线的参数方程为（为参数），曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正方向建立直角坐标系，点，直线与曲线C交于A、B两点．
（Ⅰ）写出直线的极坐标方程与曲线C的普通方程；
（Ⅱ）线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求的值．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设．
（Ⅰ）当时，解不等式≤4；
（Ⅱ）若≥4恒成立，求实数的取值范围。
会泽县茚旺高级中学
2012年秋季学期高三年级期中考试试卷
数 学 答 案
考生注意：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共22个小题，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1----5 CABCD 6----10 ACABB 11-12 DD
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. （文）若等比数列{}满足，则公比 .
答案：4
（理）展开式中的常数项为 。
答案： 提示：
14、某中学计算机教室的使用年限x所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：
根据上表数据得到回归直线方程中的=1.25，据此模型估计使用年限为10年时的维修费用是 万元.11.1
15. 下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.
解析：由20＝××5×6×h，得h＝4.
答案：4
16. ①函数的零点所在的区间是(2,3) ；② 曲线在点处的切线方程是；③将函数的图象按向量 平移后得到函数的图象；④函数y=的定义域是（-，-1）∪（1，）
⑤·＞0是、的夹角为锐角的充要条件；以上命题正确的是 。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①②
三、解答题：解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．
17．（本题满分12分）
已知（a∈R，a为常数）.
（Ⅰ）若x∈R，求f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）若f(x)在上最大值与最小值之和为3，求a的值；
解：
（Ⅰ）最小正周期
（Ⅱ）
所以
即所以
18．（本小题满分12分）
如下图，在直三棱柱ABC －中，AB=2，AC==2，=。
（Ⅰ）证明：AB；
（Ⅱ） 求二面角的正弦值.
（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理可求得
∴
以A为原点，分别以AB、AC、AA1 为
x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图
则


即 6分
（Ⅱ）解：由（1）知

设二面角的平面角为，

∴ 12分
19．（本小题满分12分）
（文）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中的3杯为A饮料，另外的2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料。若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格。假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力
（1）求此人被评为优秀的概率。
（2）求此人被评为良好及以上的概率。
解：将5不饮料编号为：1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：（123），（124），（1，2，5），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345）可见共有10种
令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评人良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件。则
（1）
（2）
（理）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：
，，，，，．
???（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
???（Ⅱ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，
由题意知
（Ⅱ）可取．，
；
故的分布列为
答：的数学期望为
20.（本小题共12分）
已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线的焦点，M的离心率，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线，交M于A，B两点。
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（2）设点N（t，0）是一个动点，且，求实数t的取值范围。
（Ⅰ）椭圆的标准方程： （4分）
（Ⅱ）设，，设

由韦达定理得 ① （6分）
将，代入上式整理得：
，由知
，将①代入得 （10分）
所以实数 （12分）
21.（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）若与具有完全相同的单调区间，求的值；
(Ⅱ)若当时恒有求的取值范围.
解：（Ⅰ），………2分
当时，
在内单调递减；
当时，
在内单调递增. ………4分
又由得.
此时，
显然在内单调递减，在内单调递增，故.………6分
（Ⅱ）由，得.………7分
令，则.………8分
，.
若，则当时，，为增函数，而，
从而当，即；………10分
若，则当时，，为减函数，而，
从而当时，即，则不成立.
综上，的取值范围为.………12分
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲
如图，直线AB经过⊙O上一点C，且OA=OB，CA=CB，
⊙O交直线OB于E、D。
（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）若⊙O的半径为3，求OA的长。
（Ⅰ）如图，连接OC，∵ OA=OB，CA=CB，∴ OC⊥AB，∴ AB是⊙O的切线
（Ⅱ）∵ ED是直径， ∴ ∠ECD=90°，Rt△BCD中，
∵ tan∠CED=, ∴ = ， ∵ AB是⊙O的切线，
∴ ∠BCD=∠E，又 ∵ ∠CBD=∠EBC，∴ △BCD∽△BEC,
∴ == ， 设BD=x,则BC=2x，
又BC2=BD·BE， ∴ =x·（ x＋6），
解得：x1=0,x2=2, ∵ BD=x＞0, ∴ BD=2， ∴ OA=OB=BD＋OD=3＋2=5?
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程．
已知直线的参数方程为（为参数），曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正方向建立直角坐标系，点，直线与曲线C交于A、B两点．
（Ⅰ）写出直线的极坐标方程与曲线C的普通方程；
（Ⅱ）线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求的值．
解（Ⅰ）直线的极坐标方程， ……3分
曲线普通方程 ……5分
（Ⅱ）将代入得，……8分
……10分
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设=|x|+2|x-a|（a>0）．
（Ⅰ）当a=l时，解不等式≤4；
（Ⅱ）若≥4恒成立，求实数a的取值范围
解：（Ⅰ）＝|x|＋2|x－1|＝ 2分
当x＜0时，由2－3x≤4，得－≤x＜0；当0≤x≤1时，1≤2－x≤2；
当x＞1时，由3x－2≤4，得1＜x≤2． 4分
综上，不等式≤4的解集为[－，2]． 5分
（Ⅱ）＝|x|＋2|x－a|＝7分
可见，在(－∞，a]单调递减，在(a，＋∞)单调递增．
当x＝a时，取最小值a．9分
所以，a取值范围为[4，＋∞) 10分