高中数学北师大版（2019）必修第二册第二章平面向量及其应用综合强化1word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第二册第二章平面向量及其应用综合强化1
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
3．若面积为1的满足，则边的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
4．在中，D为三角形所在平面内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知共面向量满足，且.若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为
A． B．2 C．4 D．6
6．已知平面向量，，（与不共线），满足，，设，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，且，则
C．若直线过的中点，则
D．
8．在中，，，其中，，，，，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知A、B、C、D是单位圆上的四个点，且A、B关于原点对称，则的最大值是________．
10．如图，已知正方形的边长为，在延长线上，且．动点从点出发沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，则下列命题正确的是____________．（填上所有正确命题的序号）
①；
②当点为中点时，；
③若，则点有且只有一个；
④的最大值为；
⑤的最大值为．
11．如图，在△中，，，．若为△内部的点且满足，则________．
12．已知向量满足，则的最大值是_________
四、解答题
13．三角形的内角所对的边分别是，，，且
（1）若三角形是锐角三角形，且，求的取值范围；
（2）若，，求三角形的面积．
14．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，，（）.
（1）若，且，求；
（2）若向量与向量共线，当，且的最大值为2时，求.
15．在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，．
（1）求角的大小和边长的值；
（2）求面积的最大值．
16．如图，某人身高，他站的地点和云南大理文笔塔塔底在同水平线上，他直立时，测得塔顶的仰角（点在线段上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段向塔前进到达点，在点直立时，测得塔顶的仰角：塔尖MN的视角（是塔尖底，在线段上）.
（1）求塔高；
（2）此人在线段上离点多远时，他直立看塔尖的视角最大？说明理由.
参考数据： ，，.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．A
【分析】
利用三角恒等变换及正弦定理将进行化简，可求出的值，再利用边化角将化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.
【详解】
由题知，
即
由正弦定理化简得
即
故选：.
【点睛】
方法点睛：边角互化的方法
（1）边化角：利用正弦定理（为外接圆半径）得，，；
（2）角化边：
①利用正弦定理：，，
②利用余弦定理：
2．A
【分析】
本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出、、，然后根据、、三点共线以及、、三点共线得出，再然后根据向量的运算法则得出、，最后根据即可得出结果.
【详解】
如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系，
因为，，所以，，，
设，
因为、、三点共线，所以，，，
因为，、、三点共线，所以，
联立，解得，，，
因为，，所以，，
因为，
所以，
故选：A.
【点睛】
方法点睛：本题考查向量的几何应用，可借助平面直角坐标系进行解题，考查应用向量的数量积公式求夹角，考查向量共线的相关性质，体现了数形结合思想，是难题.
3．C
【分析】
由已知利用三角形的面积公式可得，由余弦定理可求，利用辅助角公式和正弦函数的性质即可求解．
【详解】
解：的面积，且，
，
，
根据余弦定理得：
，
即，
可得，
，
则，
解得：，
即边的最小值为.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形的面积公式、余弦定理和辅助角公式的应用，以及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了化简和运算能力.
4．B
【分析】
设AD交BC于E，然后根据条件得到点E的位置，进而根据向量关系得到线段间的比例，最后得出面积比.
【详解】
如图，设AD交BC于E，且，由B,E,C三点共线可得：
，∴，
∴.
设，则，∴.
又，∴，∴.
故选：B.
5．B
【分析】
作出平面向量的几何表示，用表示出即可得出结论．
【详解】
解：设，，，以，为邻边作平行四边形，
由题意可知，，
，，，
过作，则的最小值为，
设，，则，
，
故选：B．
6．A
【分析】
设，由已知条件判断出，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，所在的边为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则，，得，再由得，设，求出范围可得答案
【详解】
设，则，
，
所以，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，
所在的边为轴的正半轴建立平面 直角坐标系，如图，
则，，因为，所以，
因为，所以，
所以，，
两式相加得，
所以，
因为，所以设，
所以，
因为不共线，所以不共线，所以，
所以，，
，
所以，
故选：A.
7．AB
【分析】
由，，即可判断A；
将两边平方可得的值，再结合即可判断B；
设的中点为，则再结合即可得之间的关系可判断C；取点使得，，，则点为的重心，可得，再利用三角形面积公式即可求，即可求得，即可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：若，，则，因为，
，代入可得即
，所以，可得，
故选项A正确；
对于B：若，，则，所以
所以，即，
所以，可得，
所以
，故选项B正确；
对于C：设的中点为，则
若直线过的中点，则存在实数满足，
即，
所以，所以，，所以不一定，故选项C不正确；
对于D：取点使得，，，则
，所以点为的重心，
因为重心到中点的距离等于中线的，所以重心到的距离等于高线的，可得，同理可得，，
所以，
所以，同理可得：，
，所以，故选项D不正确；
故选：AB.
【点睛】
结论点睛：若点O为所在平面内一点，且，则
.
8．AD
【分析】
当时，，再把用表示可判断A；
当时是边长为4的等边三角形，由可判断B；
当时，，两边平方化简可判断C；
当时，，计算出，
，由向量夹角公式可判断D.
【详解】
因为，所以与的夹角为，
当时，，
故A正确；
当时，，所以是边长为4的等边三角形，
，所以B错误；
当时，，所以
，
所以，故C错误；
当时，，
，
所以
，
，
所以，
因为，所以，故D正确.
故选：AD.
9．
【分析】
建立平面直角坐标系，设，，，用向量数量积的坐标表示表示出来，再根据三角恒等变换以及二次函数的性质即可求出.
【详解】
建立平面直角坐标系，如图所示：
设，，，
所以
，当且仅当且时取等号．
故答案为：．
【点睛】
思路点睛：本题主要考查数量积的运算，涉及有关平面向量数量积运算的最值问题，一般通过解析法解决，根据题目条件引入参数，用三角函数定义表示出点的坐标，再根据三角恒等变换转化为函数的值域问题，变形难度较大，考查学生综合运用知识的能力．
10．①②④⑤
【分析】
建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算将有关问题转化为点的坐标的有关问题，即可逐一作出判断.
【详解】
建立如图所示的坐标系，则，，
故，，=.
设点的坐标,则，易得.
①由的运行轨迹可知，所以，故①正确；
②当点为中点时，,,，故②正确；
③由时，直线经过，与线段交于点,
∴使得的点有两个，故③错误；
④，显然当直线平行移动，
经过点时取得最大值3,故④正确.
由于在的方向上的投影在与重合时取得最大值，
此时取得最大值，，故⑤正确．
11．
【分析】
根据已知的向量关系先分析出，然后通过设，根据相似三角形以及正弦定理找到的关系，从而可求解出的结果.
【详解】
因为，所以，
所以，
所以，
所以，所以，
即，同理可知：，
不妨设，所以，
又因为，，，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以；
在中，，
所以，所以，
又在中，，
所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是通过向量关系分析得到的角度，再利用角度结合正弦定理分析所求线段长度之间的关系，本例中的点要注意和“内心”作区分.
12．8
【分析】
设,以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，建立直角坐标系，
作矩形OADB,根据矩形的性质，转化为，利用向量共线取得最大值.
【详解】
平面向量满足设,以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，建立直角坐标系，
作矩形OADB,根据矩形的性质，
而，
所以, 25+25=1+CD2，所以CD=7.
由,
当O,C,D共线的时候成立.
故答案为:8.
【点睛】
向量的基本运算处理的常用方法：
(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；
(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．
13．（1）；（2）.
【分析】
（1）先利用得出，再解出，将用含的式子表示，然后根据角的范围，求的取值范围；
（2）利用余弦定理将化为关于三边的关系式，代入，，解出，然后再设法求其面积.
【详解】
又，且都为锐角，故，，
又，
所以
又，所以，得，，
所以，
故.
（2）由余弦定理得，
代入，整理得：，
解得：
则△为直角三角形，面积为.
【点睛】
本题考查解三角形中的综合问题，考查学生的计算能力，最值、取值范围问题的分析与处理能力，难度较大. 解答时，要注意利用余弦定理进行边角互化，取值范围问题要设法表示出所求量满足的关系式，然后利用函数的性质或不等式等求解.
14．（1）或；（2）8.
【分析】
（1）由两个向量垂直和模相等得出两个等式，解出a，b，进一步求模即可.
（2）由向量共线得出等式，进一步得出，从二次函数的角度确定最大值，从而得出，进一步解出即可.
【详解】
（1），，∵，∴.
又∵，∴，
∴，∴.
∴或，∴或.
（2）.
∵与向量共线，∴.
∵，
∵，∴，
∴当时，取最大值.由，得，此时，.
∴.
15．（1），；（2）.
【分析】
（1）根据得出，然后根据角是锐角得出，最后根据正弦定理与余弦定理对进行转化，即可得出结果；
（2）由正弦定理得出、，然后根据得出，再然后根据解三角形面积公式得出，并将其转化为，最后根据正弦函数的性质即可求出最值.
【详解】
（1）因为，所以，，
因为角是锐角，所以，
因为，
所以由正弦定理与余弦定理易知，，
整理得，解得.
（2）因为，所以，，
因为，，，所以，
则
，
因为，所以，
则，，
故，面积的最大值为.
【点睛】
方法点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
16．（1）；（2），理由见解析.
【分析】
（1）在中利用正弦定理求出，再由、计算可得；
（2）由（1）求出，设此人应在线段上的处，，直立时，眼睛处于点，则，，由利用两角差的正切公式及基本不等式计算可得；
【详解】
解：（1），，
.
在中，由正弦定理得，，
又，
.
，
所以，.
（2）由（1）知，.
.
，
.
设此人应在线段上的处，，直立时，眼睛处于点，
则，，
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，他站在线段上到点的距离为为处时，看塔尖的视角最大.
答案第1页，共2页
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