高中数学北师大版（2019）必修第二册第一章三角函数综合强化5word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第二册第一章三角函数综合强化5
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．如图是函数的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2．已知定义域为的函数，对任意的都有，且.当时，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
4．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数同时满足：①定义域内任意实数，都有；②对于定义域内任意，，当时，恒有；则称函数为“DM函数”.若“DM函数”满足，则锐角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知函数，下列关于该函数结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的一个周期是
C．的最小值是 D．在区间是减函数
8．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．点是的对称中心
B．直线是的对称轴
C．在区间上单调减
D．的图象向右平移个单位得的图象
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．函数()的值域有6个实数组成，则非零整数的值是_________.
10．定义在上的函数满足，且，当时，，则函数在区间上所有的零点之和为__________.
11．已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，则函数在区间上零点的个数为__________个.
12．若，，且，则______（提示：在上严格增函数）
四、解答题
13．函数的定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的“区间”．
（1）判断是否是函数的“区间”，并说明理由；
（2）设为正实数，若是函数的“区间”，求的取值范围．
14．已知函数．
（1）若，，求的值；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到曲线，再把上所有的点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若函数在区间（）上恰有个零点，求，的值．
15．若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质．
（1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由；
（2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由；
（3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：．
16．已知函数.
(1)解不等式；
(2)若，且的最小值是，求实数的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【分析】
先由图用求出，由 求出,由 求出,
得到；运用二倍角公式和辅助角公式化简
利用三角函数图象平移性质得解.
【详解】
如图知: ,
， , 又
,,
解得：
又,，，
由三角函数图象平移性质得
(技巧：由三角函数图象平移性质得 )
所以函数向右平移个单位长度得到.
故选：B
【点睛】
本题考查由图象求函数的解析式.
确定的步骤和方法:
(1)求 ：确定函数的最大值和最小值，则 ，；
(2)求：确定函数的周期，则可；
(3)求：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
2．D
【分析】
设，求导可得在R上单调递增，求的解集，等价于求的解集，接着利用在R上单调递增，可得到答案.
【详解】
设，则，， 在R上单调递增，又，求的解集，等价于求的解集，在R上单调递增，，且，，故选D.
【点睛】
本题主要考查利用导函数解不等式，构造一个新函数是解决本题的关键.
3．B
【分析】
利用已知条件可得，则为奇函数，构造即可知为奇函数，又由上存在最大、最小值，易知最小、最大值的和为0，即可求最大、最小值的和.
【详解】
由题设，且，
∴，则，
∴为奇函数，令，
∴，即是奇函数，
∴在上的最小、最大值的和为0，即，
∴.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：由题设求出，构造奇函数，根据区间内存在最值可知，进而求最值的和.
4．D
【分析】
先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数的单调递增区间，结合集合的包含关系求出的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个的范围，两个范围取交集即可求解.
【详解】
令，解得，，
而函数在区间上单调递增，
所以，解得，
当时，，
因为在区间上有且仅有一个解，
所以，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得的一个取值范围；然后根据取最值的个数，求得的另一个范围.这里要注意，说明，而根据题意，只有一个解，所以只能取一个值，而根据函数本身的图象可以发现只能等于1.如果能够取到，那么根据自变量的范围，此时肯定也可以取1，所以舍去.
5．D
【分析】
根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围
【详解】
因为，所以.由，得.
当时，，又，则.
因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.
故选：D
6．A
【分析】
由题设知是上的增函数且，进而将不等式转化为，结合单调性及正切函数的性质求锐角的范围.
【详解】
由，知：函数是上的增函数，
由，即，
由题设：，
∴，即有，
∴，即，
∵为锐角﹐则，
∴，则的取值范围是.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：根据已知条件确定的单调性，由已知函数的关系将不等式转化，并结合函数单调性、正切函数的性质求参数范围.
7．BD
【分析】
根据正弦函数与余弦函数的性质，对选项逐一判断，即可得到答案．
【详解】
对于A，，故选项A错误；
对于B，，故选项B正确；
对于C，若f(x)最小值为－2，则此时﹒∵－1≤cosx≤1，∴，也即，故选项C错误；
对于D，在上是减函数，且，，，
∴在区间上是减函数，
在区间上是增函数，且，，，
∴在区间上是减函数，故选项D正确．
故选：BD．
8．CD
【分析】
由图知且求，再由过求，将A、B中的点代入验证是否为对称中心、对称轴，根据正弦函数的性质判断给定区间是否为减区间，应用诱导公式化简，进而判断平移后解析式是否为.
【详解】
由图知：且，则，
∴，可得，
又过，
∴，得，又，
∴当时，.
综上，.
A：代入得：，故错误；
B：代入得：，故错误；
C：由，故在上单调递减，则上递减，而，故正确；
D：，故正确；
故选：CD
【点睛】
关键点点睛：利用函数部分图象确定的参数，写出解析式，进而根据各选项的描述，判断对称中心、对称轴、单调区间及平移后的解析式.
9．，
【分析】
由题设可得最小正周期为，又且值域有6个实数组成，即上一定存在6个整数点，讨论为奇数或偶数，求值即可.
【详解】
由题设知：的最小正周期为，又，
∴为非零整数，在上的值域有6个实数组成，即的图象在以上区间内为6个离散点，且各点横坐标为整数，
∴当为偶数，有，即；
当为奇数，有，即；
故答案为：，
【点睛】
关键点点睛：根据余弦函数的性质可求最小正周期为，结合已知有内有6个整数点，讨论的奇偶性求值.
10．36
【分析】
根据给定条件探讨出函数在R上的性质，结合函数的性质，作出与在上的图象，借助图象即可得解.
【详解】
因上的函数满足，则是周期函数，周期是4，
而，当时，，于是得是偶函数，是 f(x)图象的对称轴，
函数是周期函数，周期是8，由得其对称轴为，
显然，函数与的图象有公共的对称轴 ，
由得，即函数的零点是函数与图象的交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数与在上的图象，它们有9个公共点，其横坐标依次为，如图：
观察图象得：，，从而得，
所以函数在区间上所有的零点之和为36.
故答案为：36
11．6
【分析】
根据、的性质，判断在、的交点情况，结合的性质，判断在上的交点情况，最后利用导数判断上的交点，即可知在上的零点个数.
【详解】
由题设，易知时，有，
，故在无零点，同理在也无零点.
∵，故将的图象向右平移个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍，
∴在平面直角坐标系，、在上如图所示：
又，故、在上的图象共有5个不同交点，
下证：当，有且只有一个零点.
此时，而，故在上为减函数，
故当，有，当且仅当时等号成立.
综上，、在上的图象共有6个不同交点，即在有6个不同的零点，
故答案为：6.
【点睛】
关键点点睛：利用有及各分段函数的性质，分区间判断它们的交点情况，即可知的零点个数.
12．1
【分析】
根据已知条件先分析的单调性和奇偶性，然后将已知等式变形可得，根据单调性奇偶性可知的关系，则结果可求.
【详解】
因为，所以，
所以，所以且，
设，在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为，定义域关于原点对称，
所以为奇函数，
由可知，所以，
所以，所以，所以，
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如的等式的思路：
（1）利用奇偶性将等式变形为；
（2）根据单调性得到与的等量关系；
（3）结合函数定义域完成相关计算.
13．（1）不是，理由见解析；（2）.
【分析】
(1)根据函数值的范围可判定不是函数的“区间”；
(2)根据新定义和余弦函数的性质可得存在k，，使得，再分类讨论即可求出的取值范围.
【详解】
(1) 不是函数的“区间”.理由如下：
因为，
所以对于任意的，，都有，
所以不是函数的“区间”.
(2)因为是函数的“区间”，
所以存在，，使得.
所以
所以存在，使得
不妨设，又因为，
所以，所以.
即在区间内存在两个不同的偶数.
①当时，区间的长度，
所以区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意.
②当时，有，
所以.
当时，有，即.
所以也符合题意.
当时，有，即.
所以符合题意.
当时，有，此式无解.
综上所述，的取值范围是.
14．（1）；（2），.
【分析】
（1）化简函数，根据，得到，结合，即可求解；
（2）由（1）知，根据三角函数的图象变换，得到，得到，令，得到，令，得到方程（*），分一根为，另一根为和一根为，另一根为，以及在上只有一根，三种情况分类讨论，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数
，
则，即，
因为，所以，所以.
（2）由（1）知，
将函数的图像向右平移个单位长度，可得，
再向下平移个单位长度得到
最后把上所有的点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数，
可得
令，即，
令，（*），时显然不成立
①若（*）其中一根为，则，另一根为，
所以在上个零点，上个零点，
即在上共有个零点，上个零点，个零点，所以不存在使得有个零点
②若（*）其中一根为，则，另一根为，
所以在上个零点，上个零点，
即在上共有个零点，上个零点，所以
③若（*）在上只有一根，则在上要么个零点，要么个，
所以上零点个数只能是偶数，
因为是奇数，所以不符题意舍去
综上，.
15．（1）函数具有性质，不具有性质，理由见解析；（2）不具备，理由见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）根据具有性质的定义依次讨论即可得答案；
（2）假设函数具有性质，则有，即，进而得，再根据并结合函数的值域为得，故，此时，在验证不具有性质，进而得到答案；
（3）结合（2），并根据题意得，进而得在的值域为，当时，与零点唯一性矛盾得或，再讨论当时不成立得，即．
【详解】
（1）函数具有性质，不具有性质，说明如下：
，
，
对任意，都有，
所以具有性质，
，，
所以，
所以不具有性质；
（2）若函数具有性质，
则有，即，
于是，结合知，
因此；
若，不妨设
由可知：
（记作*），其中
只要充分大时，将大于1
考虑到的值域为为，等式（*）将无法成立，
综上所述必有，即；
再由，，从而，而
当时，，
而，显然两者不恒相等（比如时)
综上所述，不存在以及使得具有性质；
(3）由函数具有性质以及（2）可知，
由函数是以为周期的周期函数，有，
即，也即
由，及题设可知
在的值域为
当时，当及时，均有，
这与零点唯一性矛盾，因此或，
当时，，在的值域为
此时
于是在上的值域为，
由正弦函数的性质，此时当时和的取值范围不同，
因而，即．
【点睛】
本题考查函数的新定义问题，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于正确理解具有性质P的函数的定义，利用定义，结合反证法，分类讨论思想等讨论求解.
16．(1)，；(2).
【分析】
(1)利用三角恒等变换公式化简，再结合三角函数图像解不等式；
(2) 利用三角恒等变换公式化简，再转化为关于的一元二次不等式，利用分类讨论的思想求出的值.
【详解】
(1)∵
由，得，
解集为，
(2)
∵，∴，，
①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知不相符；
②当时，当且仅当时，取最小值，由已知得，解得；
③当时，当且仅当时，取得最小值，由已知得，解得，这与相矛盾.综上所述，.
【点睛】
解三角函数的不等式问题需要利用数形结合的思想，而二次函数含参的最值问题需要利用分类讨论的思想.
答案第1页，共2页
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