高中数学北师大版（2019）必修第二册第一章三角函数综合强化3word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第二册第一章三角函数综合强化3
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．设函数，则下列结论正确的个数是（ ）
①当时，的最小正周期为；
②当时，的最大值为；
③当时，的最大值为．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论中：
①；②函数的最小正周期为；
③函数在区间上单调递增；④函数关于点中心对称
其中正确结论的个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
4．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．既不是奇函数也不是偶函数
B．的图象与有无数个交点
C．的图象与只有一个交点
D．
5．已知，函数在区间上恰有个极值点，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线之间，，与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于点E、D，设弧FG的长为，，若从平行移动到，则函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知函数（其中），恒成立，且在区间上单调，则（ ）
A．是偶函数．
B．
C．是奇数
D．的最大值为3
8．已知点是函数的图象的一个对称中心，且的图象关于直线对称，在单调递减，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数为奇函数
C．若的根为，则
D．若在上恒成立，则的最大值为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．已知函数对任意都有，若在上的取值范围是，则实数的取值范围是__________．
10．设.若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是___________.
11．定义在上的函数满足，且，当时，，则函数在区间上所有的零点之和为__________.
12．函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
① ；
② 是函数的周期；
③ 函数在区间上单调递增；
④ 函数所有零点之和为.
其中，正确结论的序号是___________.
四、解答题
13．若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质．
（1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由；
（2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由；
（3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：．
14．已知函数的图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）若函数，当时，求的值域.
15．定义：若函数的定义域为D，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期.
（1）下列函数（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是____________（直接填写序号）；
（2）若为线周期函数，其线周期为，求证：为周期函数；
（3）若为线周期函数，求的值.
16．已知函数，，设
（1）求的值；
（2）是否存在这样的负实数k，使对一切恒成立，若存在，试求出k取值集合；若不存在，说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
【分析】
对①，将代入化简，求得的最小正周期，判断是否正确；
对②，利用和三角函数的有界性，得到的最大值，判断是否正确；
对③，令，，换元法转化为求二次函数最值问题：区间定对称轴动，分类讨论求最值，判断是否正确.
【详解】
①当时，，的最小正周期为，故①正确；
②因为，故②正确；
③当时，设，，
令，，，
且当时，取得极小值，
极小值为．
令，解得．
（ⅰ）当时，在内无极值点，
，，，所以的最大值为．
（ⅱ）当时，由，
知．又，
所以的最大值为，故③错误．
故选：C.
【点睛】
本题考查了三角函数式化简，三角函数的周期，有界性，换元法的应用，分类讨论求区间定，对称轴动的二次函数的最值，难底较大.
2．D
【分析】
由函数图象的平移可得，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质、平面几何的知识即可得出，即可得解.
【详解】
由条件可得，，作出两个函数图象，如图：
，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点，.
由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，，
由，整理得，得，
则，所以，
要使为钝角三角形，只需即可，
由，所以.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于的不等式，运算即可.
3．C
【分析】
对①，先根据图象分析出的取值范围，然后根据分析出的可取值，然后分类讨论的可取值是否成立，由此确定出的取值；对②，根据图象平移确定出的解析式，利用最小正周期的计算公式即可判断；对③，先求解出的单调递增区间，然后根据的取值确定出是否为单调递增区间；对④，根据的值是否为,即可判断.
【详解】
解：由图可知： ，
，
即，
又，，
由图可知：，
又，
，
且，
，
故，
当时，，解得：，满足条件，
，
故，
对①，由上述可知①错误；
对②，，
的最小正周期为，故②正确；
对③，令，
即，
令，此时单调递增区间为，且，故③正确；
对④，，
不是对称中心，故④错误；
故选：C.
【点睛】
方法点睛：已知函数，
若求函数的单调递增区间，则令，；
若求函数的单调递减区间，则令，；
若求函数图象的对称轴，则令，；
若求函数图象的对称中心或零点，则令，．
4．C
【分析】
A根据函数奇偶性的定义即可判断的奇偶性；B利用放缩法，当易证，由奇函数的对称性知时，即可知与的交点情况；C：由变形可得，设只需判断解得个数即可；D根据函数解析式求出比较大小即可.
【详解】
A：定义域为且，故为奇函数，错误；
B：当时有，又为奇函数，则当时，，即在上，则的图象与没有交点，错误，
C：若，则有，即，变形得，即，
设，则为减函数且其值域为，则有且只有一个解，即的图象与只有一个交点，正确，
D：，而，则有，错误.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：A利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，B放缩法及奇函数的对称性，结合正弦函数的性质判断交点情况，C将交点问题，通过恒等变形转化为方程是否有解的问题，D通过函数解析式求函数值，进而比较大小.
5．B
【分析】
先利用向量数量积和三角恒等变换求出 ，函数在区间上恰有个极值点即为三个最值点，解出，，再建立不等式求出的范围，进而求得的范围.
【详解】
解：
令，解得对称轴，，
又函数在区间恰有个极值点，只需
解得．
故选：．
【点睛】
本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或 的形式; (2)根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.
6．D
【分析】
根据给定条件求出函数的解析式，再借助函数性质即可判断作答.
【详解】
依题意，正的高为1，则其边长，
如图，连接OF，OG，过O作ON⊥l1于N，交l于点M，过E作EH⊥l1于H，
因OF=1，弧FG的长为，则，又，即有，
于是得，，，
因此，，
即，，显然在上单调递增，且图象是曲线，排除选项A，B，
而，C选项不满足，D选项符合要求，
所以函数的图像大致是选项D.
故选：D
【点睛】
方法点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
7．BCD
【分析】
根据得到，根据单调区间得到，得到或，故CD正确，代入验证知不可能为偶函数，A错误，由函数的对称性可判断B，得到答案.
【详解】
∵，，
∴，，
故，，，
由，则，
故，，，
当时，，，
∵在区间上单调，
故，故，即，
，故，故，
综上所述：或，故CD正确；
或，故或，，不可能为偶函数，A错误；
由题可知是函数的一条对称轴，故成立，B正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
8．ACD
【分析】
先根据函数图象的对称性和函数的单调性得到函数的最小正周期，然后求出，的值，最后利用三角函数的图象和性质进行求解即可．
【详解】
对于A，设的最小正周期为，因为点是函数图象的一个对称中心，且的图象关于直线对称，在上单调递减，，所以，，故函数的最小正周期为，故A正确．
对于B，，因为，所以，因为，所以．又在上单调递减，所以，即，所以，，为偶函数，故B错误．
对于C，由得，，结合三角函数的周期性可知，方程有6个根，在内的两根关于直线对称，同理可得，所以C正确．
对于D，由得，因此，
所以，
故，即，所以的最大值为，故D正确．
故选：ACD
【点睛】
利用三角函数性质求得函数解析式是解题关键
9．
【分析】
由辅助角公式可得，由题意可知的最大值为，可求得，然后结合已知函数的值域及正弦函数的图象的性质可求实数的取值范围．
【详解】
解：，其中，
因为函数对任意，都有，
所以的最大值为，所以，即，，所以，
所以，
因为，所以，
若在，上的值域为，
所以
结合正弦函数的性质可知，，
解得，
即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用函数对任意，都有求得函数的最大值，从而求得的值，才能解决函数的解析式，利用三角函数性质解决问题.
10．或或.
【分析】
由得则满足的k恰有两解，即求.
【详解】
由得即，
∵函数在区间上恰有两个零点，
∴，即满足的k恰有两解，
又，所以k取1,2或2,3或3,4，
当k取1,2时，且，即；
当k取2,3时，且，即，
当k取3,4时，且，即，
所以的取值范围是或或.
故答案为：或或.
11．36
【分析】
根据给定条件探讨出函数在R上的性质，结合函数的性质，作出与在上的图象，借助图象即可得解.
【详解】
因上的函数满足，则是周期函数，周期是4，
而，当时，，于是得是偶函数，是 f(x)图象的对称轴，
函数是周期函数，周期是8，由得其对称轴为，
显然，函数与的图象有公共的对称轴 ，
由得，即函数的零点是函数与图象的交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数与在上的图象，它们有9个公共点，其横坐标依次为，如图：
观察图象得：，，从而得，
所以函数在区间上所有的零点之和为36.
故答案为：36
12．① ③ ④
【分析】
由可得直接计算即可判断① ；根据函数的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断② ；先判断在的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③ ；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④.
【详解】
对于①：由可得，故①正确；
对于② ：由可得关于直线对称，
因为是定义域为R的奇函数，所以
所以，
所以函数的周期为，故② 不正确；
对于③ ：当时，单调递增，且，
在单调递减，且，
所以在单调递增，因为是奇函数，
所以函数在区间上单调递增；故③ 正确；
对于④ ：由可得关于直线对称，作出示意图
函数所有零点之和即为函数与两个函数图象交点的横坐标之和，当时，两图象交点关于对称，此时两根之和等于 ，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于时两图象无交点 ，
所以函数所有零点之和为.故④ 正确；
故答案为：① ③ ④
【点睛】
求函数零点的方法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和.
13．（1）函数具有性质，不具有性质，理由见解析；（2）不具备，理由见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）根据具有性质的定义依次讨论即可得答案；
（2）假设函数具有性质，则有，即，进而得，再根据并结合函数的值域为得，故，此时，在验证不具有性质，进而得到答案；
（3）结合（2），并根据题意得，进而得在的值域为，当时，与零点唯一性矛盾得或，再讨论当时不成立得，即．
【详解】
（1）函数具有性质，不具有性质，说明如下：
，
，
对任意，都有，
所以具有性质，
，，
所以，
所以不具有性质；
（2）若函数具有性质，
则有，即，
于是，结合知，
因此；
若，不妨设
由可知：
（记作*），其中
只要充分大时，将大于1
考虑到的值域为为，等式（*）将无法成立，
综上所述必有，即；
再由，，从而，而
当时，，
而，显然两者不恒相等（比如时)
综上所述，不存在以及使得具有性质；
(3）由函数具有性质以及（2）可知，
由函数是以为周期的周期函数，有，
即，也即
由，及题设可知
在的值域为
当时，当及时，均有，
这与零点唯一性矛盾，因此或，
当时，，在的值域为
此时
于是在上的值域为，
由正弦函数的性质，此时当时和的取值范围不同，
因而，即．
【点睛】
本题考查函数的新定义问题，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于正确理解具有性质P的函数的定义，利用定义，结合反证法，分类讨论思想等讨论求解.
14．
（1）
（2）
【分析】
（1）根据函数图象易知：、、且，结合已知即可求参数，进而写出的解析式；
（2）由（1）可得，应用换元法令，进而有并由题设确定的范围，最后利用二次函数的性质求的值域.
（1）
由图知：，则，
又，故，又，
∴，
，可得，
∴，又，则，
∴当时，，综上：.
（2）
由题设，，
又，令，
∴， 则，
∴且，又在上递增，
由，
∴.
15．（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
（1）根据新定义逐一判断即可；
（2）根据新定义证明即可；
（3）若为线周期函数，则存在非零常数，对任意，都有
，可得，解得的值再检验即可.
【详解】
（1）对于，，所以不是线周期函数，
对于，，所以不是线周期函数，
对于，，所以是线周期函数；
（2）若为线周期函数，其线周期为，
则存在非零常数对任意，都有恒成立，
因为，
所以，
所以为周期函数；
（3）因为为线周期函数，
则存在非零常数，对任意，
都有，
所以，
令，得，
令，得，
所以，因为，所以，
检验：当时，，
存在非零常数，对任意，
，
所以为线周期函数，
所以：.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解和应用，以及特殊值解决恒成立问题.
16．
（1）；
（2）存在，.
【分析】
（1）由题可得，代入即得；
（2）由题可得函数，，为奇函数且在上单调递减，构造函数，则可得恒成立，进而可得，对恒成立，即求.
（1）
∵函数，，
∴，
∴
.
（2）
∵，
由，得，
又在上单调递减，在其定义域上单调递增，
∴在上单调递减，
又，
∴为奇函数且单调递减；
∵，又函数在R上单调递增，
∴函数在R上单调递减，
又，
∴函数为奇函数且单调递减；
令，则函数在上单调递减，且为奇函数，
由，可得，
即恒成立，
∴，即，对恒成立，
故，即，
故存在负实数k，使对一切恒成立，k取值集合为.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是构造奇函数，从而问题转化为，对恒成立，参变分离后即求.
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