高中数学北师大版（2019）必修第二册第一章三角函数综合强化2word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第二册第一章三角函数综合强化2
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．若和是定义在实数集上的函数，且方程有实数解，则不可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
3．已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线之间，，与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于点E、D，设弧FG的长为，，若从平行移动到，则函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，函数在区间上恰有个极值点，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．点是的对称中心
B．直线是的对称轴
C．在区间上单调减
D．的图象向右平移个单位得的图象
8．已知点是函数的图象的一个对称中心，且的图象关于直线对称，在单调递减，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数为奇函数
C．若的根为，则
D．若在上恒成立，则的最大值为
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
9．设.若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是___________.
10．定义在上的函数满足，且，当时，，则函数在区间上所有的零点之和为__________.
11．以下关于函数的结论：
①函数的图象关于直线对称；
②函数的最小正周期是；
③若，则；
④函数在上的零点个数为20．
其中所有正确结论的编号为______．
12．关于函数，下列说法正确的是___________（将正确的序号写在横线上）
（1）是以为周期的函数；
（2）当且仅当时，函数取得最小值；
（3）图像的对称轴为直线；
（4）当且仅当时，.
四、解答题
13．定义：若函数的定义域为D，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期.
（1）下列函数（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是____________（直接填写序号）；
（2）若为线周期函数，其线周期为，求证：为周期函数；
（3）若为线周期函数，求的值.
14．已知函数，.若对于给定的非零常数，存在非零常数﹐使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为.
（1）已知函数是上周期为1的“2级类周期函数”，且当时，，求的值﹔
（2）已知函数是上周期为1的“级类周期函数”，且当时，.若函数是上的单调递增函数，求实数的取值范围；
（3）是否存在非零实数，使得函数是上周期为的“级类周期函数”？若存在，求出实数和的值；若不存在，请说明理由.
15．己知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.
（1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：
（2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；
（3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.
16．已知函数，.
（1）当时，写出的单调递减区间（不必证明），并求的值域；
（2）设函数，若对任意，总有，使得，求实数t的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
【分析】
由题设令为原方程的解：可得，即可将问题转化为是否有实数解，根据各选项函数，应用数形结合确定正确选项.
【详解】
设为的实数解，即，令，则.
∴，即为的实数解，有实数解，
∴结合各选项的函数，判断与是否有交点即可，如下图示：
由图知：当时无交点，无实数解，
故选：C.
2．B
【分析】
利用已知条件可得，则为奇函数，构造即可知为奇函数，又由上存在最大、最小值，易知最小、最大值的和为0，即可求最大、最小值的和.
【详解】
由题设，且，
∴，则，
∴为奇函数，令，
∴，即是奇函数，
∴在上的最小、最大值的和为0，即，
∴.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：由题设求出，构造奇函数，根据区间内存在最值可知，进而求最值的和.
3．D
【分析】
由函数图象的平移可得，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质、平面几何的知识即可得出，即可得解.
【详解】
由条件可得，，作出两个函数图象，如图：
，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点，.
由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，，
由，整理得，得，
则，所以，
要使为钝角三角形，只需即可，
由，所以.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于的不等式，运算即可.
4．D
【分析】
根据给定条件求出函数的解析式，再借助函数性质即可判断作答.
【详解】
依题意，正的高为1，则其边长，
如图，连接OF，OG，过O作ON⊥l1于N，交l于点M，过E作EH⊥l1于H，
因OF=1，弧FG的长为，则，又，即有，
于是得，，，
因此，，
即，，显然在上单调递增，且图象是曲线，排除选项A，B，
而，C选项不满足，D选项符合要求，
所以函数的图像大致是选项D.
故选：D
【点睛】
方法点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
5．B
【分析】
对变形，得到，当时，利用的几何意义求解其取值范围，进而得到，当时，，从而求出的最小值.
【详解】
当，
当时,因为，
令，的含义是点与单位圆上的点的连线的斜率，所以，所以
所以，即，
综合得，，
故最小值为：.
故选：B.
6．B
【分析】
先利用向量数量积和三角恒等变换求出 ，函数在区间上恰有个极值点即为三个最值点，解出，，再建立不等式求出的范围，进而求得的范围.
【详解】
解：
令，解得对称轴，，
又函数在区间恰有个极值点，只需
解得．
故选：．
【点睛】
本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或 的形式; (2)根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.
7．CD
【分析】
由图知且求，再由过求，将A、B中的点代入验证是否为对称中心、对称轴，根据正弦函数的性质判断给定区间是否为减区间，应用诱导公式化简，进而判断平移后解析式是否为.
【详解】
由图知：且，则，
∴，可得，
又过，
∴，得，又，
∴当时，.
综上，.
A：代入得：，故错误；
B：代入得：，故错误；
C：由，故在上单调递减，则上递减，而，故正确；
D：，故正确；
故选：CD
【点睛】
关键点点睛：利用函数部分图象确定的参数，写出解析式，进而根据各选项的描述，判断对称中心、对称轴、单调区间及平移后的解析式.
8．ACD
【分析】
先根据函数图象的对称性和函数的单调性得到函数的最小正周期，然后求出，的值，最后利用三角函数的图象和性质进行求解即可．
【详解】
对于A，设的最小正周期为，因为点是函数图象的一个对称中心，且的图象关于直线对称，在上单调递减，，所以，，故函数的最小正周期为，故A正确．
对于B，，因为，所以，因为，所以．又在上单调递减，所以，即，所以，，为偶函数，故B错误．
对于C，由得，，结合三角函数的周期性可知，方程有6个根，在内的两根关于直线对称，同理可得，所以C正确．
对于D，由得，因此，
所以，
故，即，所以的最大值为，故D正确．
故选：ACD
【点睛】
利用三角函数性质求得函数解析式是解题关键
9．或或.
【分析】
由得则满足的k恰有两解，即求.
【详解】
由得即，
∵函数在区间上恰有两个零点，
∴，即满足的k恰有两解，
又，所以k取1,2或2,3或3,4，
当k取1,2时，且，即；
当k取2,3时，且，即，
当k取3,4时，且，即，
所以的取值范围是或或.
故答案为：或或.
10．36
【分析】
根据给定条件探讨出函数在R上的性质，结合函数的性质，作出与在上的图象，借助图象即可得解.
【详解】
因上的函数满足，则是周期函数，周期是4，
而，当时，，于是得是偶函数，是 f(x)图象的对称轴，
函数是周期函数，周期是8，由得其对称轴为，
显然，函数与的图象有公共的对称轴 ，
由得，即函数的零点是函数与图象的交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数与在上的图象，它们有9个公共点，其横坐标依次为，如图：
观察图象得：，，从而得，
所以函数在区间上所有的零点之和为36.
故答案为：36
11．①②④
【分析】
利用正弦型函数的对称性可判断①，由正弦型函数的周期可判断②，由可得，或，可判断③，由得，可判断④.
【详解】
对于①，当时，，故函数的图象关于直线对称，①正确；
对于②，函数的最小正周期是，②正确；
对于③，，即，
∴，或，
∴，或，如时，，③错误；
对于④，由得，，则由可得，，所以函数在上的零点个数为20，④正确.
故答案为：①②④.
12．
【分析】
由函数解析式，转化为分段函数的形式，并画出其函数图象，结合各分段的函数性质，判断它的周期、最小值及对应的自变量值、对称轴、以及对应的区间，即可判断各项的正误.
【详解】
由题设，，，
∴，所以周期为.
由解析式可得的图象如下：
由图知：当且仅当时，函数取得最小值；图像的对称轴为直线；当且仅当时，.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：分类讨论并求出的分段函数形式，进而画出函数图象，应用数形结合的方法判断各项的正误.
13．（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
（1）根据新定义逐一判断即可；
（2）根据新定义证明即可；
（3）若为线周期函数，则存在非零常数，对任意，都有
，可得，解得的值再检验即可.
【详解】
（1）对于，，所以不是线周期函数，
对于，，所以不是线周期函数，
对于，，所以是线周期函数；
（2）若为线周期函数，其线周期为，
则存在非零常数对任意，都有恒成立，
因为，
所以，
所以为周期函数；
（3）因为为线周期函数，
则存在非零常数，对任意，
都有，
所以，
令，得，
令，得，
所以，因为，所以，
检验：当时，，
存在非零常数，对任意，
，
所以为线周期函数，
所以：.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解和应用，以及特殊值解决恒成立问题.
14．
（1）3
（2）
（3）存在，或
【分析】
（1）由题意知，结合条件即求；
（2）由题可得当时，，再结合函数的单调性可求；
（3）结合条件及三角函数的性质即求.
（1）
由题意知对恒成立，
故．
（2）
由题意知对恒成立．
对于任意自然数，当时，
．
由于在上单调递增，故在上单调递增，
因此对于任意自然数均有，解得．
进一步，对于任意自然数均有，
化简得，又，解得，
综上知实数的取值范围是．
（3）
若存在，则对恒成立．
注意，故函数的值域为，函数的值域为，
因此，．
当时，有对恒成立，故；
当时，有对恒成立，故．
综上可知或
15．
（1）不是，理由见解析；
（2）；
（3）.
【分析】
(1)假定函数是 “自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答.
(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答.
(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.
（1）
假定函数是 “自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有，
即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域，
而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R，
所以函数不是 “自均值函数”.
（2）
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，
当时，而，则，
若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意，
于是得，，要在的值域包含，
则在的最小值小于等于0，又时，递减，且，
从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域，
所以的取值范围是.
（3）
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值，
当时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，此时a的值不唯一，不符合要求，
当时，函数的对称轴为，
当，即时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，要a的值唯一，当且仅当，即，则，
当，即时，，，，，
由且得：，此时a的值不唯一，不符合要求，
由且得，，此时a的值不唯一，不符合要求，
综上得：，
所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是.
【点睛】
结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集.
16．（1）单调递减区间为；值域为；（2）.
【分析】
（1）由对勾函数的图像，直接写出递减区间和值域；
（2）先求出的值域，把对任意，总有，使得转化为两个值域的包含关系，解不等式即可.
【详解】
（1）当时，的图像如图示，
∴的单调递减区间为；值域为
（2），由知：，
∵上递减；上递增；
∴在上单增，在上单减，
∴在上的值域为，记B=
设的值域为A，要使“对任意，总有，使得”，只需.
对于：
当时，在上单增，有，
此时，只需，解得：.
当时，在上单减，值域为；在上单增，值域为，
此时，只需，解得：；
当时，在上单减，有，
此时，只需，无解.
综上：.
∴实数t的取值范围为
【点睛】
方法点睛：含双量词的数学问题中参数范围的求解分为两大类：
（1）不等式型转化为最值的比较；
（2）等式型的转化为值域的包含关系.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页