高中数学北师大版（2019）必修第二册第一章综合强化1word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第二册第一章综合强化1
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．设函数，则下列结论正确的个数是（ ）
①当时，的最小正周期为；
②当时，的最大值为；
③当时，的最大值为．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论中：
①；②函数的最小正周期为；
③函数在区间上单调递增；④函数关于点中心对称
其中正确结论的个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
4．若函数同时满足：①定义域内任意实数，都有；②对于定义域内任意，，当时，恒有；则称函数为“DM函数”.若“DM函数”满足，则锐角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．关于函数y=sin（2x+φ）（）有如下四个命题：
甲：该函数在上单调递增；
乙：该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数；
丙：该函数图象的一条对称轴方程为；
丁：该函数图像的一个对称中心为.
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．高斯是德国著名的数学家，人们称他为“数学王子”，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数（例如：，），则称为高斯函数．已知函数，，下列结论中不正确是（ ）
A．函数是周期函数
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的值域是
D．函数只有一个零点
8．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．若.则
C．在区间上是增函数
D．的对称轴是
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．以下关于函数的结论：
①函数的图象关于直线对称；
②函数的最小正周期是；
③若，则；
④函数在上的零点个数为20．
其中所有正确结论的编号为______．
10．若，，且，则______（提示：在上严格增函数）
11．(数学文卷·2017届江西省玉山一中高三上学期第二次月考第16题)中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；②函数可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形．其中正确的命题是__（写出所有正确命题的序号）
12．设.若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是___________.
四、解答题
13．已知函数，，设
（1）求的值；
（2）是否存在这样的负实数k，使对一切恒成立，若存在，试求出k取值集合；若不存在，说明理由.
14．已知，函数，其中.
（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；
（2）求函数的最大值（可以用表示）；
（3）若对区间内的任意，，若有，求实数的取值范围.
15．已知函数．
（1）若，，求的值；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到曲线，再把上所有的点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若函数在区间（）上恰有个零点，求，的值．
16．已知函数，.若对于给定的非零常数，存在非零常数﹐使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为.
（1）已知函数是上周期为1的“2级类周期函数”，且当时，，求的值﹔
（2）已知函数是上周期为1的“级类周期函数”，且当时，.若函数是上的单调递增函数，求实数的取值范围；
（3）是否存在非零实数，使得函数是上周期为的“级类周期函数”？若存在，求出实数和的值；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
【分析】
对①，将代入化简，求得的最小正周期，判断是否正确；
对②，利用和三角函数的有界性，得到的最大值，判断是否正确；
对③，令，，换元法转化为求二次函数最值问题：区间定对称轴动，分类讨论求最值，判断是否正确.
【详解】
①当时，，的最小正周期为，故①正确；
②因为，故②正确；
③当时，设，，
令，，，
且当时，取得极小值，
极小值为．
令，解得．
（ⅰ）当时，在内无极值点，
，，，所以的最大值为．
（ⅱ）当时，由，
知．又，
所以的最大值为，故③错误．
故选：C.
【点睛】
本题考查了三角函数式化简，三角函数的周期，有界性，换元法的应用，分类讨论求区间定，对称轴动的二次函数的最值，难底较大.
2．D
【分析】
先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数的单调递增区间，结合集合的包含关系求出的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个的范围，两个范围取交集即可求解.
【详解】
令，解得，，
而函数在区间上单调递增，
所以，解得，
当时，，
因为在区间上有且仅有一个解，
所以，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得的一个取值范围；然后根据取最值的个数，求得的另一个范围.这里要注意，说明，而根据题意，只有一个解，所以只能取一个值，而根据函数本身的图象可以发现只能等于1.如果能够取到，那么根据自变量的范围，此时肯定也可以取1，所以舍去.
3．C
【分析】
对①，先根据图象分析出的取值范围，然后根据分析出的可取值，然后分类讨论的可取值是否成立，由此确定出的取值；对②，根据图象平移确定出的解析式，利用最小正周期的计算公式即可判断；对③，先求解出的单调递增区间，然后根据的取值确定出是否为单调递增区间；对④，根据的值是否为,即可判断.
【详解】
解：由图可知： ，
，
即，
又，，
由图可知：，
又，
，
且，
，
故，
当时，，解得：，满足条件，
，
故，
对①，由上述可知①错误；
对②，，
的最小正周期为，故②正确；
对③，令，
即，
令，此时单调递增区间为，且，故③正确；
对④，，
不是对称中心，故④错误；
故选：C.
【点睛】
方法点睛：已知函数，
若求函数的单调递增区间，则令，；
若求函数的单调递减区间，则令，；
若求函数图象的对称轴，则令，；
若求函数图象的对称中心或零点，则令，．
4．A
【分析】
由题设知是上的增函数且，进而将不等式转化为，结合单调性及正切函数的性质求锐角的范围.
【详解】
由，知：函数是上的增函数，
由，即，
由题设：，
∴，即有，
∴，即，
∵为锐角﹐则，
∴，则的取值范围是.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：根据已知条件确定的单调性，由已知函数的关系将不等式转化，并结合函数单调性、正切函数的性质求参数范围.
5．D
【分析】
根据题意首先求出函数的增区间，平移后的解析式，对称轴和对称中心，进而分别讨论甲、乙、丙、丁为错误时其它命题的正误，进而得到答案.
【详解】
令，则函数的增区间为…①；
函数图象向右平移个单位长度得到…②；
令…③；
令…④.
若甲错误，则乙丙丁正确，由②，由函数的奇偶性性，令，由①，函数的增区间为，则甲正确，矛盾.令，由①，函数的增区间为，则甲错误，满足题意.由③，函数的对称轴方程为，时，，则丙正确.由④，函数的对称中心为，令，丁错误.不合题意；
若乙错误，则甲丙丁正确，易知函数增区间的的两个端点的中点为对称中心，由①，令，结合④，令，由函数的奇偶性，取k=0，，由③，，令，则丙错误.不合题意；
若丙错误，则甲乙丁正确，由②，由函数的奇偶性，令，由①，函数的增区间为，则甲错误，不合题意.令，由①，函数的增区间为，甲正确.取区间中点，则丁错误.不合题意；
若丁错误，则甲乙丙正确. 由②，由函数的奇偶性，令，由①，函数的增区间为，则甲错误，不合题意.令，，由①，函数的增区间为，甲正确.由③，.k=-2时，，则丙正确.由④，，令，④错误.满足题意.
综上：该命题是丁.
故选：D.
6．D
【分析】
根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围
【详解】
因为，所以.由，得.
当时，，又，则.
因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.
故选：D
7．AB
【分析】
由题可知函数为偶函数，结合条件可得，然后逐项判断即得.
【详解】
∵，
∴，
∴函数为偶函数，不是周期函数，是周期函数，
对于，当时，，当时，，
∴，
由函数为偶函数，函数是偶函数，时函数成周期性，但起点为，所以函数不是周期函数，故选项A不正确；
由函数是偶函数，函数的图象关于对称，由，，故函数的图象不关于对称，故B不正确；
由上可知函数的值域是，故C正确；
由可得，，当时，，，当时，，，当时，，，故直线与的图象只有一个交点，即函数只有一个零点，故D正确.
故选：AB.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是利用正弦函数的性质分析函数的图象和性质，进而利用高斯函数的定义可得函数的性质即得.
8．BD
【分析】
把函数化成分段函数，作出函数图象，再逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】
依题意，，函数部分图象如图，
函数是周期函数，周期为，而，
即不是的周期，A不正确；
因且，则当时，且，
则且，，因此，，，B正确；
观察图象知，在区间上不单调，事实上，，在区间上不是增函数，C不正确；
观察图象知，，是函数图象的相邻两条对称轴，且相距半个周期长，
事实上，即图象关于对称，
同理有图象关于对称，而函数的周期是，所以函数图象对称轴，D正确.
故选：BD
【点睛】
结论点睛：存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
9．①②④
【分析】
利用正弦型函数的对称性可判断①，由正弦型函数的周期可判断②，由可得，或，可判断③，由得，可判断④.
【详解】
对于①，当时，，故函数的图象关于直线对称，①正确；
对于②，函数的最小正周期是，②正确；
对于③，，即，
∴，或，
∴，或，如时，，③错误；
对于④，由得，，则由可得，，所以函数在上的零点个数为20，④正确.
故答案为：①②④.
10．1
【分析】
根据已知条件先分析的单调性和奇偶性，然后将已知等式变形可得，根据单调性奇偶性可知的关系，则结果可求.
【详解】
因为，所以，
所以，所以且，
设，在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为，定义域关于原点对称，
所以为奇函数，
由可知，所以，
所以，所以，所以，
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如的等式的思路：
（1）利用奇偶性将等式变形为；
（2）根据单调性得到与的等量关系；
（3）结合函数定义域完成相关计算.
11．①②③
【详解】
①以圆心O为新的坐标原点建立坐标系，对于任意实数a,函数y=kx即为其“优美函数”，有无数个，故①正确；
②函数为偶函数，如图所示以函数图象上两点为直径作圆O,即可保证函数的图象平分圆的周长，当圆O适当移动到如图1位置，函数的图象有可能正好平分圆的面积，故②不正确；对于③正弦函数是奇函数，将圆的圆心放在函数的对称中心上，则函数是该圆的“优美函数”，故有无数个圆成立，故③正确；对于④，函数的图象是中心对称图形，则函数不一定是“优美函数”，如图所示，函数是奇函数，为保证函数图象平分圆的周长，分点A，B的连线段一定是圆的直径，当A，B都在右支上时（如图2所示），由于函数图象是下凸函数，函数的图象分圆的两部分的面积不相等；当A,B两点都在左支上式，同样函数图象分圆的两部分的面积不相等；当A,B一个在左支上，一个在右支上时，函数图象分圆成三部分（如图3所示），或者特殊情况下两部分（如图4所示），但此时不能再平分周长.故函数的图象是中心对称图象不是函数为“优美函数”的充分条件，由②可知也不是必要条件(也可以举出如图5所示的折线函数ABOCD,不是偶函数却平分圆的周长和面积）.故④错误.
故答案为：①②③.
12．或或.
【分析】
由得则满足的k恰有两解，即求.
【详解】
由得即，
∵函数在区间上恰有两个零点，
∴，即满足的k恰有两解，
又，所以k取1,2或2,3或3,4，
当k取1,2时，且，即；
当k取2,3时，且，即，
当k取3,4时，且，即，
所以的取值范围是或或.
故答案为：或或.
13．
（1）；
（2）存在，.
【分析】
（1）由题可得，代入即得；
（2）由题可得函数，，为奇函数且在上单调递减，构造函数，则可得恒成立，进而可得，对恒成立，即求.
（1）
∵函数，，
∴，
∴
.
（2）
∵，
由，得，
又在上单调递减，在其定义域上单调递增，
∴在上单调递减，
又，
∴为奇函数且单调递减；
∵，又函数在R上单调递增，
∴函数在R上单调递减，
又，
∴函数为奇函数且单调递减；
令，则函数在上单调递减，且为奇函数，
由，可得，
即恒成立，
∴，即，对恒成立，
故，即，
故存在负实数k，使对一切恒成立，k取值集合为.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是构造奇函数，从而问题转化为，对恒成立，参变分离后即求.
14．（1），；（2）；（3）.
【分析】
（1）由题设得，则，代入可得.
（2）由（1）知，的最大值即为的最大值，讨论、、时在上的单调性，即可得对应的最大值.
（3）将问题转化为，结合（2）所得单调性，求的范围.
【详解】
（1）由题意，，而，则，
∴，显然，则，且，
∴，；
（2）的最大值，即的最大值.
①时，在递减，；
②时，在递增，；
③时，在递增，递减，；
综上，
（3）由题意，，即，；
①时，在递减，
则：；
②时，在递增，
则：；
③时，在递增，递减，，
则：：
综上，.
【点睛】
关键点点睛：第二问，要求的最大值，即求的最大值，讨论参数a结合的区间单调性写出最大值；第三问，将问题转化为，结合所得单调性求参数范围即可.
15．（1）；（2），.
【分析】
（1）化简函数，根据，得到，结合，即可求解；
（2）由（1）知，根据三角函数的图象变换，得到，得到，令，得到，令，得到方程（*），分一根为，另一根为和一根为，另一根为，以及在上只有一根，三种情况分类讨论，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数
，
则，即，
因为，所以，所以.
（2）由（1）知，
将函数的图像向右平移个单位长度，可得，
再向下平移个单位长度得到
最后把上所有的点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数，
可得
令，即，
令，（*），时显然不成立
①若（*）其中一根为，则，另一根为，
所以在上个零点，上个零点，
即在上共有个零点，上个零点，个零点，所以不存在使得有个零点
②若（*）其中一根为，则，另一根为，
所以在上个零点，上个零点，
即在上共有个零点，上个零点，所以
③若（*）在上只有一根，则在上要么个零点，要么个，
所以上零点个数只能是偶数，
因为是奇数，所以不符题意舍去
综上，.
16．
（1）3
（2）
（3）存在，或
【分析】
（1）由题意知，结合条件即求；
（2）由题可得当时，，再结合函数的单调性可求；
（3）结合条件及三角函数的性质即求.
（1）
由题意知对恒成立，
故．
（2）
由题意知对恒成立．
对于任意自然数，当时，
．
由于在上单调递增，故在上单调递增，
因此对于任意自然数均有，解得．
进一步，对于任意自然数均有，
化简得，又，解得，
综上知实数的取值范围是．
（3）
若存在，则对恒成立．
注意，故函数的值域为，函数的值域为，
因此，．
当时，有对恒成立，故；
当时，有对恒成立，故．
综上可知或
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