2022届高三冲刺高考（文科数学）空间几何体的三视图、表面积与体积专训课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
冲刺高考 （文科数学）空间几何体的三视图、表面积与体积专训
考点一　空间几何体的三视图——识图、想图、构图，“原形毕露”
一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．
[例1]　 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是(　　)
答案：D
解析：根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可知该几何体的侧视图为D.
应该注意的是，三视图中的虚线表示几何体中看不到的线．
二是建立三视图中的数据与几何体的几何度量之间的关系．其中，三视图的画法是解决该问题的重要依据，其画法的基本要求与规则如下．
①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．
②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽．
[若例1条件不变，正方体的棱长为1，求所截三棱锥A-EFG的体积．

解析：由题意知：VA-EFG＝×S△AEF·|AG|＝＝.
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有倚壁外角堆米，下周九十尺，高十二尺．”其意思为：在屋外墙角处堆放米(其三视图如图所示)，米堆底部的弧长为90尺，米堆的高为12尺．圆周率约为3.若将此堆米用草席盖上，则此草席的面积至少约为(计算结果保留整数，如≈23，≈23)(　　)
A．250平方尺　　 B．990平方尺
C．1 035平方尺 D．518平方尺
答案：C
解析：由三视图可知，米堆为圆锥的，其中，圆锥的高为12尺，底面圆的周长的为90尺．
设圆锥的底面半径为r，则×2πr＝90，由π≈3可得，r＝20.
所以圆锥的母线长为＝≈23(尺)．
易知草席的面积为圆锥的侧面积的，即×23×120＝×90×23＝1 035(平方尺)．故选C.
考点二　空间几何体的表面积与体积——找特征、求标量、代公式，割补相济
1．柱体、锥体、台体的侧面积公式
(1)S柱侧＝________(c为底面周长，h为高)；
(2)S锥侧＝________(c为底面周长，h′为斜高)；
(3)S台侧＝________(c′，c分别为上、下底面的周长，h′为斜高)．
ch
ch′
(c＋c′)h′
2．柱体、锥体、台体的体积公式
(1)V柱体＝________(S为底面面积，h为高)，
(2)V锥体＝________(S为底面面积，h为高)；
(3)V台＝______________(S，S′分别为上、下底面面积，h为高)
3．球的表面积和体积公式
(1)S球表＝________(R为球的半径)；
(2)V球＝________(R为球的半径)．
Sh
Sh
(S＋＋S′)h
4πR2
πR3
角度1 求空间几何体的表面积
[例2]　(1) 如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为(　　)
A．(＋4)π B．(2＋4)π
C.(3＋4)π D．(4＋4)π
解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则4πr＝4π，解得r＝1，所以h＝＝，圆柱的侧面积为2πr·2h＝4π，故制作这样一个粮仓的用料面积为(4＋4)π.
答案：D　
(2)某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为(　　)
A. B．4
C.3＋ D．2
答案：A
解析：根据三视图可得如图所示的几何体－正三棱锥O ABC，
其侧面为等腰直角三角形，底面为等边三角形，
由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，
故其表面积为3××1×1＋2＝，
故选A.
[拓展训练]　若例2(1)条件不变，求此粮仓的体积．
解析：由例2(1)的解析知，圆锥的底面半径r＝1，h＝，圆柱的高h′＝2，故粮仓的体积为V＝×(πr2)×h＋(πr2)×h′＝×π×＋π×2
＝π.
角度2 求空间几何体的体积
[例3]　(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是(　　)
A. B．3
C. D．3
答案：A　
解析：如图，该几何体的直观图是一个以等腰梯形为底面的直四棱柱ABCD-A′B′C′D′.过点C′作C′E⊥A′D′，垂足为E，则C′E＝.所以VABCD-A′B′C′D′＝(B′C′＋A′D′)·C′E·BB′＝×(＋2)××1＝.故选A.
(2)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1 D1MN的体积为(　　)
A.1 B．2
C.3 D．4
答案：A
解析：如图，易知V三棱锥A1-D1MN＝V三棱锥D1-A1MN，由正方体的结构特征，知D1A1⊥平面A1MN，所以D1A1为三棱锥D1-A1MN的高．因为M，N分别为棱BB1，AB的中点，所以S△A1MN＝2×2－×1×1－×1×2－×1×2＝，所以V三棱锥A1-D1MN＝V三棱锥D1-A1MN＝×S△A1MN×D1A1＝×2＝1.
在本例3(2)的条件下，求三棱锥A1-D1MN的表面积？
解析：由正方体的结构特征，知D1A1⊥平面A1MN，所以D1A1⊥A1N，D1A1⊥A1M所以A1M＝A1N＝＝，
D1M＝D1N＝
=，即sin ∠ND1M＝，
故S△D1MN＝×3×3×＝，
S△D1A1N＝S△D1A1M＝×2×＝，
S△A1NM＝，
所以S三棱锥A1-D1MN＝＝＋2.
1. 某储粮囤如图所示，可看作一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面重合．圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面圆的圆心分别为O1，O2，若该组合体有半径为1的外接球，且球心为O，＝，则储粮囤(不含底面)的表面积为________．
答案：π
解析：设圆锥的高为h1，圆柱的高为h，圆柱的上、下底面圆半径为r.
由题意得r2＋＝1，＋h1＝1，＝，
解得h1＝，h＝，r＝.易知圆锥的母线长l＝，
圆锥的侧面积为S1＝×(2πr)×l＝＝π，
圆柱的侧面积为S2＝(2πr)·h＝＝π，
所以储粮囤(不算底面)的表面积为π.
2．将棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥D1-ACD后得到如图所示的几何体，则几何体ACB1A1D1的体积为________．
解析：因为正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，
所以＝23＝8，
因为＝，
VD1-ACD＝＝＝×2×2×2＝，所以＝8－3×＝4.
答案：4
考点三　多面体与球的切、接问题——找“切”点，抓“接”点，与半径相“联”
几何体与球组合体的结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R.
①正方体的外接球，则2R＝a；
②正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
[例4]　(1)与棱长为的正方体所有棱都相切的球的体积为(　　)
A．　　 　B．
C． D．
解析：易知正方体的体对角线的中点为球心O，设O到任意棱的距离为R，则R＝1.
所以该球的体积V＝R3＝.
答案：C　
(2)在三棱锥P ABC中，PA＝BC＝3，PB＝AC＝2，PC＝AB＝，则该三棱锥外接球的体积为________．
答案：π
解析：由于三棱锥相对的棱长对应相等，所以可构造长方体模型，相对的棱长即长方体的面对角线长，如图．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则＝3，＝2，＝，所以a2＋b2＋c2＝8.外接球的半径R＝＝.所以三棱锥P ABC外接球的体积V＝πR3＝π.
何体与球接、切问题的求解方法
(1)确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系．
(2)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(3)补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则的几何体．
若例4(1)条件不变，求正方体的外接球的体积．
解析：由题意知，正方体的体对角线的中点为球心O，正方体的体对角线为外接球的直径，则2R＝＝，故R＝，所以外接球的体积V＝πR3＝π.
如图所示，P，A，B，C是球O的球面上四点，其中平面ABC过球心O，△ABC是边长为2的正三角形，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P-ABC的体积的最大值为________．

答案：
解析：因为平面PAB⊥平面ABC，所以点P在平面ABC上的射影H在AB上，连接PH，根据球的对称性可知，当H为AB的中点时，PH最大，此时三棱锥P ABC的体积最大，此时有：
因为△ABC是边长为2的正三角形，平面ABC过球心O，
所以球心O是△ABC的中心，连接CH，则球的半径R＝OC＝CH＝，连接PO，在Rt△PHO中，OH＝OC＝OP，所以PH＝OH＝＝1，故VP-ABC＝×S△ABC×PH＝×22×1＝.
故三棱锥P-ABC的体积的最大值为.
1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为(　　)
A．25∶1 B．1∶25
C．1∶5 D．5∶1
解析：由题意可知三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，且存在内切球，设内切球的半径为r，则正三棱柱的高h＝2r，正三棱柱的底面正三角形的内切圆半径为r，则正三棱柱的底面正三角形的外接圆的半径为2r，所以正三棱柱外接球的半径R＝＝r，所以＝，则外接球与内切球表面积之比为5∶1，故选D.
答案：D
2．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为(　　)
A．　　　　B． C．　　　　D．
解析：如图所示，因为AC⊥BC且AC＝BC＝1，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，则OO1⊥面ABC，OO1＝＝＝，所以三棱锥O－ABC的体积V＝S△ABC×OO1＝×1×1×＝.
答案：A
3．张衡是东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率为10的开方．已知三棱锥A-BCD，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝2，BC＝，利用张衡的结论可得三棱锥A-BCD的外接球O的表面积为________，体积为________．
解析：如图所示，因为BC⊥CD，所以BD＝.
易知△BCD的外接圆的圆心O1为BD的中点，又AB⊥底面BCD，由外接球的性质得球O的球心为侧棱AD的中点，所以球O的直径为AD＝＝，由已知可得π＝，
所以球O的表面积为4π＝11π＝11.
体积为π＝
11
4．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的每个顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为24π，则该三棱柱的侧面积的最大值为________．
解析：设球的半径为R，则4πR2＝24π，解得R＝.
设正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a，高为h，则底面正三角形外接圆的半径为a，所以＋＝R2，由基本不等式可得6＝a2＋h2≥ah，
当且仅当a2＝h2时，等号成立，所以ah≤6.
易知该正三棱柱的侧面积为3ah，其最大值为6×3＝18.
答案：18