2022届高三冲刺高考（文科数学）等差数列、等比数列课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
冲刺高考 （文科数学）　等差数列、等比数列
考点一　等差、等比数列的基本运算
——结合问题找各量，对应公式建关系
1．通项公式
等差数列：an＝______________；
等比数列：an＝______________．
2．求和公式
等差数列：Sn＝______________＝______________；
等比数列：Sn＝______________＝______________(q≠1)．
a1＋（n－1）d
a1·qn－1
na1＋d
[例1]　等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝51，则2a10－a11＝(　　)
A．2 B．3
C.4 D．6
解析：方法一　∵S17＝51，∴＝51，可得a1＋a17＝6＝2a9，解得a9＝3，∴2a10－a11＝a9＋a11－a11＝a9＝3.故选B.
方法二　S17＝17a9＝51，得a9＝3，则2a10－a11＝a9＋a11－a11＝a9＝3.故选B.
答案：B
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}的前3项和为21，且a1＝3，则a3＋a5＝________．
答案：60
解析：设等比数列{an}的公比为q，显然q≠1，由题意得
得q＝2，∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝12＋48＝60.
归纳总结
等差(比)数列基本运算的解题思路
(1)设基本量a1和公差d(公比q)．
(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．
将例1(2)中“等比数列”改为“等差数列”，其它条件不变，则a3＋a5＝________．
解析：设等差数列{an}的公差为d.由题意，
S3＝3a1＋d＝3×3＋d＝21，得d＝4，
∴a3＋a5＝(a1＋2d)＋(a1＋4d)
＝(3＋8)＋(3＋16)＝30.
答案：30
对点训练
1.若等比数列{an}满足a1＋a2＝1，a4＋a5＝8，则a7＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：设等比数列{an}的公比为q，则＝q3＝8，所以q＝2，又a1＋a2＝a1(1＋q)＝1，a1＝，所以a7＝a1×q6＝×26＝.
故选A.
答案：A
2．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　)
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
解析：设等比数列{an}的公比为q，则＝＝q＝＝2，∴＝＝2－21－n.故选B.
答案：B
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，
则a2＝－2＋d，a6＝－2＋5d，
因为a2＋a6＝2，
所以－2＋d＋(－2＋5d)＝2，
解得d＝1，
所以S10＝10×(－2)＋×1＝－20＋45＝25.
答案：25
考点二　等差、等比数列的性质及应用——分清条件，类比性质
等差数列 等比数列
性质 (1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq； (2)an＝am＋(n－m)d； (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列 (1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，
则am·an＝ap·aq；
(2)an＝amqn－m；
(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(q≠－1)
[例2]　(1)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　)
A．12　　 　B．24
C．30 D．32
解析：设等比数列{an}的公比为q，
故a2＋a3＋a4＝q(a1＋a2＋a3)，
又a2＋a3＋a4＝2，a1＋a2＋a3＝1，
∴q＝2，
∴a6＋a7＋a8＝q5(a1＋a2＋a3)＝25＝32，故选D.
答案：D　
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3n2＋17n，若bn＝an·，则数列{bn}的最大值为(　　)
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
答案：D
解析：当n＝1时，a1＝S1＝10；
由2Sn＝3n2＋17n，当n≥2时，2Sn－1＝3(n－1)2＋17(n－1)，
两式相减，可得2an＝3n2＋17n－3(n－1)2－17(n－1)＝6n＋14，
解得an＝3n＋7(n≥2且n∈N*)，当n＝1时，也符合该式，故an＝3n＋7.
所以bn＝an·＝(3n＋7)·.
由＝>1，解得n<；又n∈N*，所以n≤7，所以b1b9>b10>…，因此最大项为b8，故选D.
归纳总结
与数列性质有关问题的求解策略
抓关系 抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解
用性质 数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题
　将例2(1)中“等比数列”改为“等差数列”，其余条件不变，则a6＋a7＋a8＝________．
解析：∵a1＋a2＋a3＝1　①
a2＋a3＋a4＝2　②
∴②－①得3d＝1，d＝.
由①得3a2＝1，∴a2＝，∴a1＝0.
∴a7＝a1＋6d＝6×＝2.
∴a6＋a7＋a8＝3a7＝6.
答案：6
对点训练
1.{an}和{bn}是两个等差数列，其中(1≤k≤5)为常值，a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝(　　)
A．64 B．128
C．256 D．512
解析：由题可知，＝，则b5＝＝＝64，故b3＝＝＝128.
答案：B
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝10，S9＝72，数列{bn}中，b1＝2，bnbn＋1＝－2，则a7b2 020＝________．
答案：－10
解析：方法一　设数列{an}的公差为d，则由题意，得解得所以a7＝a1＋6d＝10.
因为b1＝2，bnbn＋1＝－2，所以b2＝－1, b3＝2，…，由此可知数列{bn}是周期为2的数列，所以b2 020＝－1，所以a7b2 020＝－10.
方法二　因为a1＋a3＝2a2＝10，所以a2＝5.又S9＝＝9a5＝72，所以a5＝8，设数列{an}的公差为d，则d＝＝1，所以a7＝a5＋2d＝10.因为b1＝2，bnbn＋1＝－2，所以b2＝－1，b3＝2，…，由此可知数列{bn}是周期为2的数列，所以b2 020＝－1，所以a7b2 020＝－10.
考点三　等差、等比数列的判定与证明——用定义，巧构造
1．证明数列{an}是等差数列的两种基本方法
(1)利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；
(2)利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
2．证明数列{an}是等比数列的两种基本方法
(1)利用定义，证明(n∈N*)为一常数；
(2)利用等比中项，即证明＝an－1an＋1(n≥2)．
[例3]　记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＝2.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
解析：(1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，
所以n≥2时，Sn＝，代入＝2可得，＝2，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2)．
又＝＝2，所以b1＝，
故{bn}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)由(1)可知，bn＝，则＝2，所以Sn＝，
当n＝1时，a1＝S1＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝－. 故an＝.
判断和证明数列是等差(比)数列的方法
(1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an为与正整数n无关的一常数．
(2)中项公式法：
①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列；
②若＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2)且an≠0，则{an}为等比数列．
对点训练
已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝k(Sn＋1)，a1＝k>0.
(1)求证：{Sn＋1}是等比数列；
(2)证明：Sn＋1＝an－1.
证明：(1)由an＋1＝k(Sn＋1)可得，Sn＋1－Sn＝k(Sn＋1)，
则Sn＋1＝k(Sn＋1)＋Sn，Sn＋1＋1＝(k＋1)(Sn＋1)，
由S1＝a1＝k>0，知S1＋1≠0，
则＝k＋1≠0.
因此{Sn＋1}是以k＋1为首项，k＋1为公比的等比数列．
(2)由(1)得Sn＋1＝(k＋1)n，则Sn＝(k＋1)n－1，
因此当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(k＋1)n－1k，
当n＝1时，a1＝k，满足an＝(k＋1)n－1k，(用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求数列的通项时，一定要对首项进行验证)
因此an＝(k＋1)n－1k.
所以·an－1＝·(k＋1)n－1k－1＝(k＋1)n＋1－1＝Sn＋1.
考点四　数列与新定义相交汇问题　——紧依定义，快解问题
[例4]　对于数列{an}，定义Hn＝为{an}的“优值”，已知数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，记数列{an－20}的前n项和为Sn，则Sn最小值为(　　)
A．－70　　 B．－72
C．－64 D．－68
答案：B
解析：∵数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，∴Hn＝＝2n＋1，∴a1＋2a2＋…＋2n－1an＝，∴2n－1an＝n·2n＋1－(n－1)·2n(n≥2)，∴an＝4n－2(n－1)＝2n＋2(n≥2)，又a1＝4，满足上式，∴an＝2n＋2(n∈N*)，∴an－20＝2n－18，由得8≤n≤9，∴Sn的最小值为S8＝S9＝－72，故选B.
归纳总结
数列新定义型创新题的一般解题思路
(1)阅读审清“新定义”．
(2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义”的相关知识．
(3)利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论．
对点训练
意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 019项的和为(　　)
A．672 B．673
C．1 346 D．2 019
答案：C
解析：由于{an}是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，
故{an}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…
所以{an}是周期为3的周期数列，
且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2.
因为2 019＝673×3，
所以数列{an}的前2 019项的和为673×2＝1 346.故选C.