2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修（第二册）4.2.1两角和与差的余弦公式及其应用课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
4.2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
北师大（2019）必修2
聚焦知识目标
1.会用向量的数量积推导出两角和与差的余弦公式．
2．熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．
数学素养
1.通过对两角和与差的余弦公式的推导，培养学生逻辑推理素养．
2．通过应用两角和与差的余弦公式进行求值、化简和证明，培养学生数学运算和逻辑推理素养.
情境引入
情境引入
某超市的电梯长度约为8米，坡度(与地面夹角)约为15°，请问当我们上完电梯后，在水平方向上前进了多少米？
cos15°=
情境引入
cos15°=cos(45°-30°) 或cos15°=cos(60°-45°)
cos(45°-30°) =cos45°-cos30°
猜想
设α，β为两个任意角，你能判断
cos(α-β)=cosα-cosβ恒成立吗
验算
显然cos(60°-30°)≠cos60°-cos30°，因此对任意角α、β，cos(α-β)=cosa-cosβ不成立
情境引入
已知任意角α，β的正弦、余弦，能推出a-β的余弦吗
探究
分析理解
现在，考虑cos(a-β)与角α，β的正弦和余弦的关系.因为余弦函数是偶函数.所以可以只讨论a≥β.
如图，设角α.β的终边与单位圆的交点分别记为P，Q.此时，点P和点Q的坐标分别为(cos a. sin a)和(cosβ·sinβ).
探究两角差的余弦公式
如果0≤a-β≤π，那么可以用向量的数量积求cos(a-β)
如果0≤a-β≤π，那么可以用向量的数量积求cos(a-β).由于向量和向量都是单位向量，它们的夹角是a-β.根据向量数量积的定义知，=cos(a-β)，再利用向量的坐标表示，得
cos( - )=cosαcosβ+sinαsinβ
探究两角差的余弦公式
如果π< a-β<2π，那么2π-(a-β)是向量和向量的夹角

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
对于任意角α，β来说，上述结论仍然成立.证明过程请同学课下自己试一试.
记作Ca-β.
探究两角和的余弦公式
因为a+β=a-(-β)，所以由公式Ca-β，得
cos(a+β)= cos[a-(-β)]=cosacos(-β)+sin asin(-β)= cosacosβ-sin asinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
记作Ca+β.
两角和与差的余弦公式理解
两角和与差的余弦公式
cos(α＋β)＝ .(Cα＋β)
cos(α－β)＝ .(Cα－β)
(1)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反．
口诀“余余正正号相反”记忆公式.
两角和的余弦公式理解
两角和与差的余弦公式
cos(α＋β)＝ .(Cα＋β)
cos(α－β)＝ .(Cα－β)
(2)两角和与差的余弦公式有怎样的适用条件
公式中的α,β不仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团体”,如
cos 中的“ ”相当于公式中的α,“ ”相当于公式中的角β.可用两角差的余弦公式展开,因此对公式的理解要注意结构形式,而不要局限于具体的角.
两角和的余弦公式理解
思考
1.“cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β”正确吗？
不正确．cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
2．把“cos ”用两角和的余弦公式展开，和用诱导公式化简的结果相同吗？
相同．用两角和的余弦公式展开为cos＝cos αcos－sin αsin＝－sin α，用诱导公式化简为cos ＝－sin α.
两角和与差的余弦公式应用
两角和的余弦公式应用
例1.利用两角差的余弦公式求cos15°的值.
解:我们熟知30°.15°，60°的三角函数值.15°可用 表示.也可用45°-30°表示.
本题与这【情境引】入中的问题形成照应
1．(1)化简cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为(　　)
A．　　　　　　 B．
C．－ D．－
(2)cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)＝________
跟踪训练
在利用两角和与差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，正用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式
给角求值
两角和的余弦公式应用
例2.已知 求cosa的值.
解:观察已知的两个角a-β,β与未知角a之间的运算关系，可以得到a=(a-β)+β.因此，求cosa的值可以看成求两个角(a-β)，β和的余弦值
因为 所以 从而
两角和的余弦公式应用
例2.已知 求cosa的值.
本题涉及【拆凑角规律】
2.α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cos α的值．
跟踪训练
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活运用拆角或凑角变换，例如：
给值求值
①α＝(α－β)＋β；
②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
学以致用
1.利用公式证明：

2.已知 ，求 的值.
3.已知cosθ=-, θ第二象限角,求cos 的值.
4、已知sinα=- ,cosβ=,β∈求cos(a+β)的值.