高中数学北师大版（2019）必修第一册第七章概率综合强化5word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第七章概率综合强化5
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的铁钉（如图所示），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子正好对准上面一排两个相邻铁钉的正中央从入口处放入一个直径路小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接若小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内求小球落到第7个格子（从左开始）的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为　　
A． B． C． D．
3．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列，如果为数列的前项和，那么 且的概率为
A． B． C． D．
4．新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，为中不同数字的种类，如，求所有的个的排列所得的的平均值为
A． B． C． D．
6．一个正四面体的四个面上分别标有数字.掷这个四面体四次，令第次得到的数为，若存在正整数使得的概率，其中是互质的正整数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（ ）
A．恰有四支球队并列第一名为不可能事件 B．有可能出现恰有三支球队并列第一名
C．恰有两支球队并列第一名的概率为 D．只有一支球队名列第一名的概率为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
8．对于函数，其定义域为D，若对任意的，当时都有，则称函数为“不严格单调增函数”，若函数定义域为，值域为，则函数是“不严格单调增函数”的概率是_____________
9．从个男生和个女生（）中任选个人当班长，假设事件表示选出的个人性别相同，事件表示选出的个人性别不同，如果的概率和的概率相同，则可能为__________.
10．将给定的15个互不相同的实数，排成五行，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，第四行4个数，第五行5个数，则每一行中的最大的数都小于后一行中最大的数的概率是________.
11．我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘，在制签及抽签公平的前提下，甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率为_________.
四、解答题
12．某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40名同学进行询问打分，将最终得分按，，，，，，分成6段，并得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；
（2）若从打分区间在的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间的概率.
13．某中学长期坚持贯彻以人为本，因材施教的教育理念，每年都会在校文化节期间举行“数学素养能力测试”和“语文素养能力测试”两项测试，以给学生课外兴趣学习及辅导提供参考依据．成绩分为，，，，五个等级（等级，，，，分别对应5分，4分，3分，2分，1分）．某班学生两科的考试成绩的数据统计如图所示，其中“语文素养能力测试”科目的成绩为的考生有3人．
（1）求该班“数学素养能力测试”的科目平均分以及“数学素养能力测试”科目成绩为的人数；
（2）若该班共有9人得分大于7分，其中有2人10分，3人9分，4人8分．从这9人中随机抽取三人，设三人的成绩之和为，求．
（3）从该班得分大于7分的9人中选3人即甲，乙，丙组队参加学校内的“数学限时解题挑战赛”．规则为：每队首先派一名队员参加挑战赛，在限定的时间，若该生解决问题，即团队挑战成功，结束挑战；若解决问题失败，则派另外一名队员上去挑战，直至派完队员为止．通过训练，已知甲，乙，丙通过挑战赛的概率分别是，，，问以怎样的先后顺序派出队员，可使得派出队员数目的均值达到最小？（只需写出结果）
14．某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，下雨会影响药材品质，基地收益如表所示：
周一 无雨 无雨 有雨 有雨
周二 无雨 有雨 无雨 有雨
收益 30万元 20万元 15万元 10万元
若基地额外聘请工人，可在下周一当天完成全部采摘任务，无雨时收益万元；有雨时，收益万元.额外聘请工人的成本为万元.
已知下周一和下周二有雨的概率都为，两天是否下雨互不影响，基地收益为万元的概率为.
（1）若不额外聘请工人，求基地的预期收益；
（2）该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由.
15．在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛：
（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率p（x）.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
【分析】
落入第7个格子需要次左次右，计算概率得到答案.
【详解】
小球从开始下落到结束共有9次左右下落情况，落入第7个格子需要次左次右，
故概率是：.
故选：.
【点睛】
本题考查了概率的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.
2．D
【分析】
利用分步计数原理求出不同的涂色方案有420种，其中，区域涂色不相同的情况有120种，由此根据古典概型概率公式能求出区域涂色不相同的概率．
【详解】
提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，
根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析：
，对于区域，有5种颜色可选；
，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；
，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；
，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，
则区域有种选择，
则不同的涂色方案有种，
其中，区域涂色不相同的情况有：
，对于区域，有5种颜色可选；
，区域，有4种颜色可选；
对于区域，有3种颜色可选；
，若与颜色相同，区域有2种颜色可选；
若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选；
所以区域有种选择；
不同的涂色方案有种，
区域涂色不相同的概率为 ,故选D．
【点睛】
本题考查古典概型概率公式的应用，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.
3．A
【分析】
说明共摸球七次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，故可以用独立事件的概率乘法公式求解，再求出前两次为，后五次均为1的概率，即可得出结论．
【详解】
由题意说明共摸球七次，只有两次摸到红球，5次白的，
每次取得红球的概率为，取得白球的概率为，则；
又，所以，前两次不能为，
前两次为，后五次均为1的概率为：，
所以所求概率为：．
故选A．
【点睛】
本题考查独立事件的概率乘法公式，考查学生分析解决问题的能力，确定说明共摸球七次，只有两次摸到红球是关键．
4．C
【分析】
5个快递送到5个地方有种方法，
全送错的方法：第一步A送错有4种可能，然后第二步是关键，考虑A送错的地方对应的快递，如送到丙地，第二步考虑快递，而送错位置分两类，一类是送到甲，一类是送其他三个地方，再对剩下的3个快递分别考虑即可完成．
【详解】
5个快递送到5个地方有种方法，
全送错的方法数：
先分步：第一步快递送错有4种方法，第二步考虑所送位置对应的快递，假设送到丙地，第二步考虑快递，对分类，第一类送到甲地，则剩下要均送错有2种可能（丁戊乙，戊乙丁），第二类送到乙丁戊中的一个地方，有3种可能，如送到丁地，剩下的只有甲乙戊三地可送，全送错有3种可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），∴总的方法数为，所求概率为．
故选：C．
【点睛】
本题考查古典概型，快递送错位置与信装错信封（信封上已写地址）是同一回事，属于典型的计数问题，注意其求解方法，分类还是分步要确定好．
5．D
【分析】
本题首先可以确定的所有可能取值分别为，然后分别计算出每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出的平均值．
【详解】
由题意可知：
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
综上所述，所有的个的排列所得的的平均值为：
，故选D．
【点睛】
本题考查了平均值的计算，能否通过题意得出的所有可能情况并计算出每一种可能情况所对应的概率是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是难题．
6．B
【解析】
分析：先求k=i时的概率，再求p的值，最后求的值.
详解：当k=1时，概率为
当k=2时，4=1+3=2+2=3+1，概率为.
当k=3时，4=1+1+2=1+2+1=2+1+1,概率为.
当k=4时，4=1+1+1+1，概率为.
所以p=
所以
所以=3-4=-1.
故答案为B
点睛：（1）本题主要考查概率的求法和对数的运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是读懂已知条件，由于已知中的字母比较多，比较抽象，难以读懂，可以给字母取值，把问题具体化，帮助自己读懂已知.
7．ABD
【分析】
4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；
选项A，这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况；
选项B，举特例说明即可；
选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，再分类计数相互获胜的可能数，最后由古典概型计算概率；
选项D，只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即可.
【详解】
4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；
选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；
选项B，其中6场比赛中，依次获胜的可以是，此时3队都获得2分，并列第一名，正确；
选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，若选中a，b，其中第一类a赢b，有a,b,c,d,a,b和a,b,d,c,a,b两种情况，同理第二类b赢a，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为，错误；
选项D，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有种，故只有一支球队名列第一名的概率为，正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查利用计数原理解决实际问题的概率问题，还考查了事件成立与否的判定，属于较难题.
8．
【分析】
考虑有4个函数值相同，有3个函数值相同，各有2个函数值相同三种情况，计算概率得到答案.
【详解】
当有4个函数值相同时：共有，满足条件的有种；
当有3个函数值相同，另外有2个函数值相同时，共有，满足条件的有种；
当各有2个函数值相同时，共有，满足条件的有1种.
故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了概率的计算，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.
9．
【分析】
此题基本事件总数一定，两个事件的概率相同，则其包含的基本事件个数相同，分别求出，列出方程，根据分析即可得解.
【详解】
从个男生和个女生（）中任选个人当班长，共种，
假设事件表示选出的个人性别相同，包含基本事件个数为，
事件表示选出的个人性别不同，包含基本事件个数为
如果的概率和的概率相同，则，
即，，
化简得：，是完全平方数，（）
，所以=16，，
所以可能为.
故答案为：
【点睛】
此题以古典概型为背景实际考查计数原理相关知识，涉及整数的相关处理办法，综合性强，对解题能力要求较高．
10．
【分析】
通过分析最大数在第行的概率，得到规律，从而可求得结果
【详解】
解：设是从上往下数第行的最大数，设的概率为，最大数在第行的概率为，
在任意排好第行后余下的个数排在前行符合要求的排列的概率为，
所以，以此类推，
，
所以当时，，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：此题考查古典概型的概率的求法，考查推理能力和计算能力，解题的关键是求出最大数要第行的概率为，通过分析得到，以此类推，，从而可求得结果，属于较难题
11．
【分析】
先分类讨论求出所求事件数，再利用古典概型的方法计算概率即可.
【详解】
将“甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务”这一事件可以分为两类：
第一类：甲抽到夏季六幅彩绘任务的事件数为：，
第二类：甲抽不到夏季六幅彩绘任务的事件数为：,
总的事件数为：，故所求概率为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查古典概型的应用，考查排列组合的应用，考查分析能力和计算能力，属于中档题.
12．（1），中位数为；（2）.
【分析】
（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，由求得a，然后利用中位数公式求解.
（2）先分别得到打分区间在和打分区间在的同学的人数，然后利用古典概型的概率公式求解.
【详解】
（1）因为频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，
所以，
解得，
所以中位数为；
（2）打分区间在的同学共有人，分别记为，
打分区间在的同学共有人，分别记为，
从这6人中随机抽出两位同学，共有以下15种情况：
，，，，；，，，；，，；，；
其中，至少有一位同学来自打分区间共有14种情况：
，，，；，，，；，，；，；
所以至少有一位同学来自打分区间的概率为.
【点睛】
方法点睛：利用频率分布直方图：
求概率根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1求解；
求中位数根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和的对应点求解；
求平均数根据频率分布直方图中各矩形横坐标中点与其概率之积的和求解；
13．（1）2.575,4；（2）；（3）乙，甲，丙．
【分析】
（1）根据频率分布直方图，直接求加权平均数，再根据语文素养能力测试为的频率和人数得出总人数，再根据“数学素养能力测试”科目的频率即可得解.
【详解】
（1）由图可知，数学素养能力测试为的频率为0.1，故该班“数学素养能力测试”的科目平均分为，
语文素养能力测试为的频率为0.075，故而该班有人．“数学素养能力测试”科目成绩为的人数（人）．
（2）依题：的取值可为29，28，27，26，25，24．
，，，
，，，
，
．
（3）乙，甲，丙．
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的识别与分析，考查了利用排列组合求概率及期望，以及对概率的深入理解，考查了计算能力和分类讨论思想，属于较难题.
14．（1）预期收益为万元；
（2）见解析
【分析】
（1）由题知，两天都无雨的概率为，解得，写出基地收益X的可能取值，利用独立事件同时发生的概率计算公式，计算对应的概率，写出分布列，求出数学期望；
（2）设基地额外聘请工人时的收益为万元，计算数学期望，比较、，即可得出结论.
【详解】
解：（1）由题意得，解得，
基地收益的可能取值为，则
，，
，，
所以基地收益的分布列为
30 20 15 10
0.36 0.24 0.24 0.16
（万元），
所以基地的预期收益为万元；
（2）设基地额外聘请工人时的收益为万元，
则其预期收益，
，
综上，当额外聘请工人的成本高于万元，不额外聘请工人；成本高低于万元，额外聘请工人；成本等于万元，额外聘请或不额外聘请工人均可.
【点睛】
本题考查了独立事件同时发生的概率问题，离散型随机变量的分布列和数学期望的应用问题，也考查了数学期望的计算问题，综合性较强的题.
15．（1）（2）x的取值为2或4, .
【分析】
（1）先确定甲队最后赢得整场比赛的情况，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后根据互斥事件概率加法公式得结果；
（2）先根据比赛规则确定x的取值，再确定甲赢得整场比赛的情况，最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.
【详解】
（1）甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，
所以甲队最后赢得整场比赛的概率为，
（2）根据比赛规则，x的取值只能为2或4,对应比分为
两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为；
两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为.
【点睛】
本题考查独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式，考查综合分析求解能力，属中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页