高中数学北师大版（2019）必修第一册第七章概率综合强化3word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第七章概率综合强化3
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为
A． B． C． D．
2．袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（ ）
A． B．
C． D．
3．在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下满分为10分：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加分，以此类推，，连续七次发球成功加3分假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是( )
A． B． C． D．
4．已知，，为中不同数字的种类，如，求所有的个的排列所得的的平均值为
A． B． C． D．
5．某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参加与交通相关的各类活动.现有包括甲、乙两人在内的6名中学生，自愿参加交通志愿者的服务工作这6名中学生中2人被分配到学校附近路口执勤，2人被分配到医院附近路口执勤，2人被分配到中心市场附近路口执勤，如果分配去向是随机的，则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是
A．事件“”的概率为 B．事件“是奇数”与“”互为对立事件
C．事件“”与“”互为互斥事件 D．事件“”的概率为
二、多选题
7．4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（ ）
A．恰有四支球队并列第一名为不可能事件 B．有可能出现恰有三支球队并列第一名
C．恰有两支球队并列第一名的概率为 D．只有一支球队名列第一名的概率为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
8．某人有两盒火柴,每盒都有根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根,求他发现用完一盒时另一盒还有根()的概率_____.
9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．
①；
②；
③事件与事件相互独立；
④是两两互斥的事件；
⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关
10．将给定的15个互不相同的实数，排成五行，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，第四行4个数，第五行5个数，则每一行中的最大的数都小于后一行中最大的数的概率是________.
11．对于函数，其定义域为D，若对任意的，当时都有，则称函数为“不严格单调增函数”，若函数定义域为，值域为，则函数是“不严格单调增函数”的概率是_____________
四、解答题
12．某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测，为了了解玩家对游戏的体验感，研究人员随机调查了300名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如图所示，其中.
（1）求这300名玩家测评分数的平均数；
（2）由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测，如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进，则公司将回收该款游戏进行改进；若3人中仅1人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请2位专家二测，二测时，2人中至少有1人认为游戏需要改进的话，公司则将对该款游戏进行回收改进.已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为，且每款游戏之间改进与否相互独立.
（i）对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率；
（ii）每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人，今年所有游戏的研发总费用为50万元，现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测，假设公司的预算为110万元，判断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明.
13．某省采用的“”模式新高考方案中，对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分。
某校的一次年级统考中，政治、化学两选考科目的原始分分布如下表：
等级 A B C D E
比例 约15% 约35% 约35% 约13% 约2%
政治学科 各等级对应的原始分区间
化学学科 各等级对应的原始分区间
现从政治、化学两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据如下：
政治：64 72 66 92 78 66 82 65 76 67 74 80 70 69 84 75 68 71 60 79
化学：72 79 86 75 83 89 64 98 73 67 79 84 77 94 71 81 74 69 91 70
并根据上述数据制作了如下的茎叶图：
（1）茎叶图中各序号位置应填写的数字分别是：
①应填______，②应填______，③应填______，④应填______，⑤应填______，⑥应填______.
（2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考化学学科，其原始分为91分.基于高考实测的转换赋分模拟，试分别探究这①6;②7;③8;④9;⑤8;⑥9.，并从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法.
（3）若从该校政治、化学学科等级为的学生中，随机挑选2人次（两科都选，且两科成绩都为等的学生，可有两次被选机会），试估计这2人次挑选，其转换分都不少于91分的概率.
附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.
等级 A B C D E
原始分从高到低排序的等级人数占比 约15% 约35% 约35% 约13% 约2%
转换分的赋分区间
附2：计算转换分的等比例转换赋分公式：（其中：，，分别表示原始分对应等级的原始分区间下限和上限；，分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.的计算结果按四舍五入取整）
14．为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了A，B两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下：①单独投给A方案，则A方案得1分，B方案得-1分；②单独投给B方案，则B方案得1分，A方案得-1分；③弃权或同时投票给A，B方案，则两种方案均得0分.当前一名物业人员的投票结束，再安排下一名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案.假设A，B两种方案获得每一名物业人员投票的概率分别为和.
（1）在第一名物业人员投票结束后，A方案的得分记为，求的分布列；
（2）求最终选取A方案为小区管理方案的概率.
15．某省开展“精准脱贫，携手同行”的主题活动，某贫困县统计了100名基层干部走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，统计结果见下表.
走访数量区间 频数 频率
b
10
38
a 0.27
9
总计 100 1.00
（1）求a与b的值；
（2）根据表中数据，估计这100名基层干部走访数量的中位数（精确到个位）；
（3）如果把走访贫困户不少于35户视为“工作出色”，按照分层抽样，从“工作出色”的基层干部中抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求其中有1人走访贫困户不少于45户的概率.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．A
【分析】
计算所有情况共有种，满足条件的共有种，得到答案.
【详解】
所有情况共有种.
满足条件的共有种，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
2．A
【分析】
根据分层抽样的方法计算出每种颜色所抽取的数量，在根据分步计数原理和古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】
根据分层抽样的知识可知，抽样比为，即红球个，蓝球个，白球个，黄球个，根据分步计数原理和古典概型概率计算公式得所求概率为，故选A.
【点睛】
本小题主要考查分层抽样抽样比的计算，考查分步计数原理，考查古典概型概率计算，考查组合数的计算，属于基础题.
3．B
【分析】
明确恰好得5分的所有情况：发球四次得分，有两个连续得分和发球四次得分，有三个连续得分，分别求解可得.
【详解】
该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率，所求概率；故选B.
【点睛】
本题主要考查相互独立事件的概率，题目稍有难度，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
4．D
【分析】
本题首先可以确定的所有可能取值分别为，然后分别计算出每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出的平均值．
【详解】
由题意可知：
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
综上所述，所有的个的排列所得的的平均值为：
，故选D．
【点睛】
本题考查了平均值的计算，能否通过题意得出的所有可能情况并计算出每一种可能情况所对应的概率是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是难题．
5．A
【分析】
结合排列、组合求得把6名同学平均分配到三个不同的路口分配种数，再求得甲、乙两人被分配到同一路口种数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，把6名同学平均分配到三个不同的路口，共有种分配方案，
其中甲、乙两人被分配到同一路口有种可能，
所以甲、乙两人被分配到同一路口的概率为.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列组合的应用，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
6．D
【详解】
对于A,,则概率为,选项错误;
对于B, “是奇数”即向上的点数为奇数与偶数之和,其对立事件为都是奇数或都是偶数,选项错误;
对于C,事件“”包含在“”中,不为互斥事件,选项错误;
对于D, 事件“”的点数有: ,共9种,故概率为,选项正确;
综上可得,选D.
点睛:事件A和B的交集为空,A与B就是互斥事件,也可以描述为:不可能同时发生的事件,则事件A与事件B互斥,从集合的角度即;若A交B为不可能事件,A并B为必然事件,那么事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生,其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.
7．ABD
【分析】
4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；
选项A，这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况；
选项B，举特例说明即可；
选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，再分类计数相互获胜的可能数，最后由古典概型计算概率；
选项D，只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即可.
【详解】
4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；
选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；
选项B，其中6场比赛中，依次获胜的可以是，此时3队都获得2分，并列第一名，正确；
选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，若选中a，b，其中第一类a赢b，有a,b,c,d,a,b和a,b,d,c,a,b两种情况，同理第二类b赢a，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为，错误；
选项D，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有种，故只有一支球队名列第一名的概率为，正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查利用计数原理解决实际问题的概率问题，还考查了事件成立与否的判定，属于较难题.
8．
【分析】
根据题意，记两个火柴盒分别为A，B，一共抽了根，不妨令这么多次抽取动作中，有次都是操作在A盒上,次操作在B盒上，则最后一次一定操作在A盒，所有的抽法共有种，用完一盒时另一盒还有根的抽法有种，由古典概型的概率公式，即可求出概率.
【详解】
解:根据题意，记两个火柴盒分别为A，B，一共抽了根，
不妨令这么多次抽取动作中，有次都是操作在A盒上，次操作在B盒上，
则最后一次一定操作在A盒，
因此所有的抽法共有种，
用完一盒时另一盒还有根的抽法有种，
由古典概型的概率公式得，
他发现用完一盒时另一盒还有根()的概率为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.
9．②④
【分析】
根据互斥事件的定义即可判断④；根据条件概率的计算公式分别得出事件发生的条件下B事件发生的概率，即可判断②；然后由，判断①和⑤；再比较的大小即可判断③.
【详解】
由题意可知事件不可能同时发生，则是两两互斥的事件，则④正确；
由题意得，故②正确；
,①⑤错；
因为，所以事件B与事件A1不独立，③错；综上选②④
故答案为：②④
【点睛】
本题主要考查了判断互斥事件，计算条件概率以及事件的独立性，属于中档题.
10．
【分析】
通过分析最大数在第行的概率，得到规律，从而可求得结果
【详解】
解：设是从上往下数第行的最大数，设的概率为，最大数在第行的概率为，
在任意排好第行后余下的个数排在前行符合要求的排列的概率为，
所以，以此类推，
，
所以当时，，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：此题考查古典概型的概率的求法，考查推理能力和计算能力，解题的关键是求出最大数要第行的概率为，通过分析得到，以此类推，，从而可求得结果，属于较难题
11．
【分析】
考虑有4个函数值相同，有3个函数值相同，各有2个函数值相同三种情况，计算概率得到答案.
【详解】
当有4个函数值相同时：共有，满足条件的有种；
当有3个函数值相同，另外有2个函数值相同时，共有，满足条件的有种；
当各有2个函数值相同时，共有，满足条件的有1种.
故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了概率的计算，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.
12．（1）76；（2）（i）；（ii）所需的最高费用将超过预算.计算见解析
【分析】
(1)利用矩形面积和等于1列式可得,结合,可解得 的值,再用各区间的中点值与该矩形的面积相乘后再相加,即得平均值.
(2)(i)利用互斥事件的概率的加法公式可得;
(ii)利用期望公式求出这600款游戏所需的最高费用的平均值后,再利用导数求出最大值即可.
【详解】
（1）依题意，，
故；
而，
联立两式解得，；
所求平均数为；
（2）（i）因为一款游戏初测被认定需要改进的概率为，
一款游戏二测被认定需要改进的概率为，
所以某款游戏被认定需要改进的概率为：
；
（ii）设每款游戏的评测费用为元，则的可能取值为900，1500；
，
，
故 ；
令 ，
.
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以的最大值为
所以实施此方案，最高费用为
故所需的最高费用将超过预算.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图,互斥事件的概率,随机变量的期望的应用，考查了利用导数解决最值问题的方法,属难题.
13．（1）①6;②7;③8;④9;⑤8;⑥9；（2）甲乙转换分都是87分，公平性评述见解析；（3）.
【分析】
（1）根据已知数据与茎叶图的关系得出答案．
（2）根据高考实测的转换赋分模拟公式及结果得出答案．
（3）列举法写出所有基本事件，然后按概率公式计算．
【详解】
（1）由题意知①6;②7;③8;④9;⑤8;⑥9.
（2）甲同学选考政治学科可以的等级A，根据等比例转换赋分公式：得T＝87
乙同学选考化学学科可以的等级A，根据等比例转换赋分公式：得T＝87
故甲乙两位同学的转换分都为87分．
从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法：
一，从茎叶图可得甲乙同学原始分都排第三，转换后都是87分，因此高考这种“等级转换赋分法”具有公平性与合理性．
二，甲同学与乙同学原始分差9分，但转换后都是87分，高考这种“等级转换赋分法”对尖子生不利．
（3）该校政治学科等级为A的学生中82，84，92根据等比例转换赋分公式：87，88，95
该校化学学科等级为A的学生中91，94，98根据等比例转换赋分公式：87，92，97
设“转换分都不少于91分”为事件M
所有基本事件：（82，84）（82，92）（82，91）（82，94））（82，98）（84，92）（84，91）（84，94）（84，98）（92，91）（92，94）（92，98）（91，94）
（91，98）（94，98）共15个基本事件，时间M包含3个基本事件
所以.
【点睛】
此题是概率统计综合题，需要理清题目信息，正确理解相关概念.
14．(1)分布列见解析 (2)
【分析】
（1）由题意知，所有可能取值为，0，1，然后，列出的分布列即可；
(2记表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，记表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，记表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，记选取A方案为小区管理方案的概率为P，然后分别求出 P( )，P()，P()的值，则选取A方案为小区管理方案的概率为：P= P( )+P()+P()，然后计算求解即可.
【详解】
由题意知，所有可能取值为，0，1，
的分布列为：
(2）记表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，由（1）知，，
记表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，
，
记表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，
①若A方案比B方案多4分，有两类:
第一类，A方案前三次得了一次1分两次0分，最后一次得1分，其概率为
，
第二类，A方案前两次得了一次1分一次分，后两次均得1分，其概率为
，
②若A方案比B方案多2分，有三类:
第一类，A方案四次中得了一次1分，其他三次全0分，其概率为
，
第二类，A方案前三次得了一次Ⅰ分，一次0分，一次分，最后一次得了1分，其概率为 ，
第三类，A方案前两次得了一次1分一次分，第三次得1分，第四次得0分，其概率为
，
故，
最终选取A方案为小区管理方案的概率为
【点睛】
本题主要考查了随机分布列的问题，考查了分类讨论的思想，考查了独立事件的概率，属于难题.
15．（1）27，0.16（2）中位数为31.（3）
【分析】
（1）根据频数频率表可计算a与b的值；
（2）根据中位数的定义，先确定中位数在区间内，利用计算即可；
（3）抽样后走访数量在内的3人记为A，B，C，走访数量在内的记为D，列出基本事件，根据古典概型求解即可.
【详解】
（1）.
区间内共有人，
.
（2）设这100名基层干部走访数量的中位数为x，
，所以.
，
解得，所以估计这100名基层干部走访数量的中位数为31.
（3）抽取的4人中，走访数量在内的有人，分别记为A，B，C.
走访数量在内的有人，记为D，
从这4人中抽取2人的所有情况有，共6种情况，
其中有1人走访贫困户不少于45户共有3种情况.
所求的概率.
【点睛】
本题主要考查了频数、频率，中位数，分层抽样，古典概型，属于中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页