高中数学北师大版（2019）必修第一册第七章概率综合强化2word版含答案

高中数学北师大版（2019）必修第一册第七章概率综合强化2
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是
A．事件“”的概率为 B．事件“是奇数”与“”互为对立事件
C．事件“”与“”互为互斥事件 D．事件“”的概率为
2．将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球分别放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为
A． B． C． D．
3．袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（ ）
A． B．
C． D．
4．在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下满分为10分：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加分，以此类推，，连续七次发球成功加3分假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是( )
A． B． C． D．
5．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列，如果为数列的前项和，那么 且的概率为
A． B． C． D．
6．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（）
A． B． C． D．
二、多选题
7．4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（ ）
A．恰有四支球队并列第一名为不可能事件 B．有可能出现恰有三支球队并列第一名
C．恰有两支球队并列第一名的概率为 D．只有一支球队名列第一名的概率为
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
8．由1， 2， 3， …，1000这个1000正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为______．
9．一个口袋中有3个红球4个白球，从中取出2个球．下面几个命题：
（1）如果是不放回地抽取，那么取出1个红球，1个白球的概率是
（2）如果是不放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是
（3）如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是
（4）如果是有放回地抽取，那么第2次取到红球的概率和第1次取到红球的概率相同.
其中正确的命题是__________．
10．乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是,甲赢得比赛的概率是,则的最大值为_____.
11．我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘，在制签及抽签公平的前提下，甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率为_________.
四、解答题
12．
在长方体中，已知，从该长方体的八个顶点中，任取两个不同的顶点，用随机变量表示这两点之间的距离．
（1）求随机变量的概率；
（2）求随机变量的分布列.
13．11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响.
（1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；
（2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.
①求；
②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列的通项公式.
14．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.
15．某省采用的“”模式新高考方案中，对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分。
某校的一次年级统考中，政治、化学两选考科目的原始分分布如下表：
等级 A B C D E
比例 约15% 约35% 约35% 约13% 约2%
政治学科 各等级对应的原始分区间
化学学科 各等级对应的原始分区间
现从政治、化学两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据如下：
政治：64 72 66 92 78 66 82 65 76 67 74 80 70 69 84 75 68 71 60 79
化学：72 79 86 75 83 89 64 98 73 67 79 84 77 94 71 81 74 69 91 70
并根据上述数据制作了如下的茎叶图：
（1）茎叶图中各序号位置应填写的数字分别是：
①应填______，②应填______，③应填______，④应填______，⑤应填______，⑥应填______.
（2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考化学学科，其原始分为91分.基于高考实测的转换赋分模拟，试分别探究这①6;②7;③8;④9;⑤8;⑥9.，并从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法.
（3）若从该校政治、化学学科等级为的学生中，随机挑选2人次（两科都选，且两科成绩都为等的学生，可有两次被选机会），试估计这2人次挑选，其转换分都不少于91分的概率.
附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.
等级 A B C D E
原始分从高到低排序的等级人数占比 约15% 约35% 约35% 约13% 约2%
转换分的赋分区间
附2：计算转换分的等比例转换赋分公式：（其中：，，分别表示原始分对应等级的原始分区间下限和上限；，分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.的计算结果按四舍五入取整）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
【详解】
对于A,,则概率为,选项错误;
对于B, “是奇数”即向上的点数为奇数与偶数之和,其对立事件为都是奇数或都是偶数,选项错误;
对于C,事件“”包含在“”中,不为互斥事件,选项错误;
对于D, 事件“”的点数有: ,共9种,故概率为,选项正确;
综上可得,选D.
点睛:事件A和B的交集为空,A与B就是互斥事件,也可以描述为:不可能同时发生的事件,则事件A与事件B互斥,从集合的角度即;若A交B为不可能事件,A并B为必然事件,那么事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生,其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.
2．C
【分析】
先判断奇偶性不同则只能是2,2,1，再计算概率
【详解】
由题知，要求每个盒子都不空，则3个盒子中放入小球的个数可分别为3,1,1或2,2,1,
若要求每个盒子中小球编号的奇偶性不同则只能是2,2,1，
且放入同一盒子中的两个小球必须是编号为一奇一偶，
故所求概率为
故答案选C
【点睛】
本题考查了概率的计算，判断奇偶性不同则只能是2,2,1是解题的关键，意在考查学生的计算能力.
3．A
【分析】
根据分层抽样的方法计算出每种颜色所抽取的数量，在根据分步计数原理和古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】
根据分层抽样的知识可知，抽样比为，即红球个，蓝球个，白球个，黄球个，根据分步计数原理和古典概型概率计算公式得所求概率为，故选A.
【点睛】
本小题主要考查分层抽样抽样比的计算，考查分步计数原理，考查古典概型概率计算，考查组合数的计算，属于基础题.
4．B
【分析】
明确恰好得5分的所有情况：发球四次得分，有两个连续得分和发球四次得分，有三个连续得分，分别求解可得.
【详解】
该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率，所求概率；故选B.
【点睛】
本题主要考查相互独立事件的概率，题目稍有难度，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
5．A
【分析】
说明共摸球七次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，故可以用独立事件的概率乘法公式求解，再求出前两次为，后五次均为1的概率，即可得出结论．
【详解】
由题意说明共摸球七次，只有两次摸到红球，5次白的，
每次取得红球的概率为，取得白球的概率为，则；
又，所以，前两次不能为，
前两次为，后五次均为1的概率为：，
所以所求概率为：．
故选A．
【点睛】
本题考查独立事件的概率乘法公式，考查学生分析解决问题的能力，确定说明共摸球七次，只有两次摸到红球是关键．
6．A
【分析】
先求出概率，再求最大值，借助于均值不等式求解．
【详解】
解：设事件A：检测5个人确定为“感染高危户”，
事件B：检测6个人确定为“感染高危户”.
∴，.
即.
设，则
，
∴
，
当且仅当即时取等号，
即.
故选：A.
【点睛】
本题考查概率，以及求函数最值，属于中档题．
7．ABD
【分析】
4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；
选项A，这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况；
选项B，举特例说明即可；
选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，再分类计数相互获胜的可能数，最后由古典概型计算概率；
选项D，只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即可.
【详解】
4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；
选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；
选项B，其中6场比赛中，依次获胜的可以是，此时3队都获得2分，并列第一名，正确；
选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，若选中a，b，其中第一类a赢b，有a,b,c,d,a,b和a,b,d,c,a,b两种情况，同理第二类b赢a，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为，错误；
选项D，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有种，故只有一支球队名列第一名的概率为，正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查利用计数原理解决实际问题的概率问题，还考查了事件成立与否的判定，属于较难题.
8．
【分析】
根据题意，，且，要使得，即：，分类讨论当时，对应的的值，得出所有取法，即可求出的概率.
【详解】
解：由题可知，，且，
要使得，即：，则有：
当时，或，有2种取法；
当时，的取值增加3、4、5，有2+3种取法；
当时，的取值增加6、7、8，有种取法；
当时，有种取法；
当时，都有1000种取法.
故
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查古典概型求概率，考查分类讨论思想和计算能力.
9．（2）（4）
【分析】
算出（1）和（3）中对应事件的概率即可判断其正确与否，（2）当中是条件概率，先算出至少取出一个红球的概率和至少取出一个红球且第2次取出红球的概率即可，（4）是正确的.
【详解】
如果是不放回地抽取，那么取出1个红球，1个白球的概率是
，故（1）错误
如果是不放回地抽取，至少取出一个红球的概率是
至少取出一个红球且第2次取出红球的概率是
所以如果是不放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，
第2次取出红球的概率是，故（2）正确
如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是
，故（3）错误
如果是有放回地抽取，那么第2次取到红球的概率和第1次取到红球的概率相同
都为，故（4）正确
故答案为：（2）（4）
【点睛】
抽取问题一定要注意是放回还是不放回.
10．
【详解】
分析：采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率；进而求得的最大值.
详解：采用三局两胜制，
则甲在下列两种情况下获胜： （甲净胜二局）， （前二局甲一胜一负，第三局甲胜）．
因为 与 互斥，所以甲胜概率为 则 设
即答案为.，注意到，则函数在和 单调递减，在上单调递增，故函数在处取得极大值，也是最大值，最大值为
即答案为.
点睛：本题考查概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．
11．
【分析】
先分类讨论求出所求事件数，再利用古典概型的方法计算概率即可.
【详解】
将“甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务”这一事件可以分为两类：
第一类：甲抽到夏季六幅彩绘任务的事件数为：，
第二类：甲抽不到夏季六幅彩绘任务的事件数为：,
总的事件数为：，故所求概率为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查古典概型的应用，考查排列组合的应用，考查分析能力和计算能力，属于中档题.
12．（1）（2）
【详解】
（1）如图，
由于从长方体的八个顶点中，任取两个不同的顶点的取法总共有种，
又的情况有两类:
当时，即取矩形，或矩形，或矩形，或矩形的对角线的两个端点，每个矩形有种取法，共有种取法；
当时，取长方体的体对角线的两个端点，共有种取法，
故随机变量的概率是.
（2）依题意，随机变量的所有可能取值为.
当时，即取正方形和正方形的边所对棱的两个端点，共有种取法，则；
当时，即取正方形和正方形的对角线的两个端点，每个正方形有种取法，共有种取法，则；
当时，即取棱长为的棱的两个端点，共有种取法，则；
由（1）知，当时，；当时，.
故随机变量的分布列为
13．（1）分布列见解析；（2）①；②，.
【分析】
（1）经过1轮投球，甲的得分的取值为，记一轮投球，甲投中为事件，乙投中为事件，相互独立，计算概率后可得分布列；
（2）由（1）得，由两轮的得分可计算出，计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列（的取值为），然后结合的分布列和的分布可计算，
由，代入，得两个方程，解得，从而得到数列的递推式，变形后得是等比数列，由等比数列通项公式得，然后用累加法可求得．
【详解】
（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，
，
，
，
∴的分布列为：
－1 0 1
（2）由（1），
，
同理，经过2轮投球，甲的得分取值：
记，，，则
，，，，
由此得甲的得分的分布列为：
－2 －1 0 1 2
∴，
∵，，
∴，，∴，
代入得：，
∴，
∴数列是等比数列，公比为，首项为，
∴．
∴．
【点睛】
本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概率公式计算出概率．
14．（1）；（2）.
【分析】
（1）甲在4局以内（含4局）赢得比赛的情况有：前2局甲赢；第1局乙赢、第2、3局甲赢；第1局甲赢、第2局乙赢、第3、4局甲赢，从而就可以求出概率.（2）根据题意的可能取值为，求出相应的概率，列出分布列，再利用均值公式计算即可.
【详解】
（1）用表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”.则，.
.
（2）
的可能取值为.
，
，
.
故的分布列为
2 3 4 5
所以.
考点：1.概率的求解；2.期望的求解.
15．（1）①6;②7;③8;④9;⑤8;⑥9；（2）甲乙转换分都是87分，公平性评述见解析；（3）.
【分析】
（1）根据已知数据与茎叶图的关系得出答案．
（2）根据高考实测的转换赋分模拟公式及结果得出答案．
（3）列举法写出所有基本事件，然后按概率公式计算．
【详解】
（1）由题意知①6;②7;③8;④9;⑤8;⑥9.
（2）甲同学选考政治学科可以的等级A，根据等比例转换赋分公式：得T＝87
乙同学选考化学学科可以的等级A，根据等比例转换赋分公式：得T＝87
故甲乙两位同学的转换分都为87分．
从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法：
一，从茎叶图可得甲乙同学原始分都排第三，转换后都是87分，因此高考这种“等级转换赋分法”具有公平性与合理性．
二，甲同学与乙同学原始分差9分，但转换后都是87分，高考这种“等级转换赋分法”对尖子生不利．
（3）该校政治学科等级为A的学生中82，84，92根据等比例转换赋分公式：87，88，95
该校化学学科等级为A的学生中91，94，98根据等比例转换赋分公式：87，92，97
设“转换分都不少于91分”为事件M
所有基本事件：（82，84）（82，92）（82，91）（82，94））（82，98）（84，92）（84，91）（84，94）（84，98）（92，91）（92，94）（92，98）（91，94）
（91，98）（94，98）共15个基本事件，时间M包含3个基本事件
所以.
【点睛】
此题是概率统计综合题，需要理清题目信息，正确理解相关概念.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页